2 y 3 - Amolasmates
2 y 3 - Amolasmates 2 y 3 - Amolasmates
k) P(x)=12x 4 -25x 3 +25x-12 l) P(x)=2x 4 -x 3 +6x 2 -7x m) P(x)=x 4 -x 3 -x 2 -x-2 n) P(x)=x 5 -x 3 -x 2 +1 o) P(x)=x 4 -2x 3 -7x 2 +5x-6 p) P(x)=3x 4 -9x 3 -6x 2 +36x-24 q) P(x)=6x 4 +11x 3 -13x 2 -16x+12 r) P(x)=x 6 +6x 5 +9x 4 -x 2 -6x-9 CONSECUENCIA: TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: "Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales" 36. Resolver la ecuación 2x 3 37. Resolver la ecuación x −2 = x 3 2 1 − 3x = − , sabiendo que una de sus raíces es 1/2 (Soluc: x=±1/2, 3/2) 2 3 38. ¿Serías capaz de resolver la ecuación x = 2 x − 1 ? Aunque es un poco complicada para este curso, puedes resolverla con los conocimientos ya adquiridos: tendrás que aplicar binomio de Newton y Ruffini… (Sol: x=1) 39. Resolver: a) 1 1 1⎫ - = ⎪ x y 2 b) ⎬ 2 y - x = 1 ⎪ ⎭ 3 1⎫ y = x − ⎪⎬⎪⎭ 2 2 40. Inventar una ecuación polinómica que tenga únicamente por soluciones x=-2, x=1 y x=3 41. Inventar, de dos formas distintas, una ecuación polinómica que tenga únicamente como raíces 1 y 2 y= x 42. Determinar el polinomio de grado 3 que verifica: P(-1)=P(2)=P(-3)=0 y P(-2)=18 43. Un polinomio de grado 3, ¿cuántas raíces puede tener como mínimo? Razonar la respuesta. 3 78
FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIOS 1. Utilizando identidades notables, desarrollar las siguientes expresiones: a) (x+2) 2 b) (x-2) 2 c) (x+2)(x-2) d) (2x+3) 2 e) (3x-5) 2 f) (3x+2) (3x-2) g) (ax+1) 2 h) (ax-b) 2 i) (3x-2) 2 j) (2x+5) (2x-5) k) (-1+2x) 2 l) (-2-x) 2 m) ( x + 3)( x − 3) n) ( ) 2 x + 2 o) (x 2 +x+2) 2 2. a) Razonar por qué (A-B) 2 y (B-A) 2 dan el mismo resultado. b) Ídem con (A+B) 2 y (-A-B) 2 3. Averiguar de qué expresiones notables proceden los siguientes polinomios (Fíjate en el 1 er ejemplo): a) x 2 +2x+1=(x+1) 2 b) x 2 -4x+4 c) x 2 -1 d) x 2 +6x+9 e) x 2 -8x+16 f) x 2 -4 g) 9-x 2 h) x 2 +2ax+a 2 i) 3x 2 +6x+3 j) x 2 -a 2 k) a 2 x 2 -b 2 l) x 2 -16 m) x 2 +10x+25 n) x 2 -2 o) 4x 2 -9 p) a 2 x 2 -2ax+1 q) x 4 -16 r) 4x 2 +4x+1 s) x 2 -6x+9 t) x 2 -25 u) 25x 2 -16 4. Utilizar identidades notables para simplificar las siguientes fracciones algebraicas: a) b) c) d) e) 2 x − 2x + 1 2 x −1 2 x −16 2 x − 4x 2x 2x 3x 2 + 4 − 4 2x 2 2 − 2 + 6x + 3 x + 2ax + a mx + ma RECORDAR: 2 f) g) h) i) j) 2 x 2 x 2 2 − y + xy 2 x − 4 x − 4x + 4 2 x + 2x + 1 x 2 2 4 x −1 − 2ax + a x a x 2 a x 2 2 2 − a 2 − 1 2 + 2ax + 1 TEOREMA DEL FACTOR: "P(x) es divisible por x-a (o dicho de otra forma, P(x) contiene el factor x-a) si se cumple que P(a)=0" Ejemplo: Dado P(x)=x 2 +x-2, como P(1)=0, podemos asegurar que P(x) es divisible por x-1 De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene x 2 +x-2=(x-1)(x+2) 79
- Page 27 and 28: f) g) h) i) j) k) l) m) 3 5 3 9 3 1
- Page 29 and 30: p) ( ) = ⎜ ⎛ ⎝ 3 4 x 3 6 x
- Page 31 and 32: 3 2 y) ( ) = 3 a a 3 3 b a 2 b z) (
- Page 33 and 34: β) γ) 5 64 3 6 16x δ) 28x 75y 5
- Page 35 and 36: v) 2 27 5 3 − + 3 243 9 w) 6 1 3
- Page 37 and 38: 2 u) ( 3 2 + 2 3 ) v) ( 3 + 3 2 )(
- Page 39 and 40: j) 3 2 3 k) 12 = 8 l) 2 − 4 = 3 2
- Page 41 and 42: k) 2 5 2 l) 3 3 3 m) 4 4 64 n) x +
- Page 43 and 44: s) 12 - 5 3 = 2 3 − 3 ⎜ ⎛ 2 +
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- Page 51 and 52: m) 6x + 1 2x - 3 = 11 7 n) o) p) 3(
- Page 53 and 54: 10. Inventar, razonadamente, una ec
- Page 55 and 56: p) x 4 0 x 3 2 − = + x 4 q) -12 x
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- Page 65 and 66: c) x(x 2 +x)-(x+1)(x 2 -2)>-4 d) (2
- Page 67 and 68: s) t) u) v) w) x) 2 2 (2x − 3)
- Page 69 and 70: 2 16. ( 3x + 2) = 2 17. ( 2x − 5)
- Page 71 and 72: 5 3 2 3 f) ( − + − − + 1) ⋅
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k) P(x)=12x 4 -25x 3 +25x-12<br />
l) P(x)=2x 4 -x 3 +6x 2 -7x<br />
m) P(x)=x 4 -x 3 -x 2 -x-2<br />
n) P(x)=x 5 -x 3 -x 2 +1<br />
o) P(x)=x 4 -2x 3 -7x 2 +5x-6<br />
p) P(x)=3x 4 -9x 3 -6x 2 +36x-24<br />
q) P(x)=6x 4 +11x 3 -13x 2 -16x+12<br />
r) P(x)=x 6 +6x 5 +9x 4 -x 2 -6x-9<br />
CONSECUENCIA:<br />
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA: "Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces reales"<br />
36. Resolver la ecuación<br />
2x<br />
3<br />
37. Resolver la ecuación x −2<br />
= x<br />
3<br />
2 1<br />
− 3x<br />
= − , sabiendo que una de sus raíces es 1/2 (Soluc: x=±1/2, 3/2)<br />
2<br />
3<br />
38. ¿Serías capaz de resolver la ecuación x = 2 x − 1 ? Aunque es un poco complicada para este curso,<br />
puedes resolverla con los conocimientos ya adquiridos: tendrás que aplicar binomio de Newton y<br />
Ruffini… (Sol: x=1)<br />
39. Resolver: a)<br />
1 1 1⎫<br />
- = ⎪<br />
x y 2<br />
b)<br />
⎬<br />
2<br />
y - x = 1<br />
⎪<br />
⎭<br />
3 1⎫<br />
y = x − ⎪⎬⎪⎭<br />
2 2<br />
40. Inventar una ecuación polinómica que tenga únicamente por soluciones x=-2, x=1 y x=3<br />
41. Inventar, de dos formas distintas, una ecuación polinómica que tenga únicamente como raíces 1 y 2<br />
y= x<br />
42. Determinar el polinomio de grado 3 que verifica: P(-1)=P(2)=P(-3)=0 y P(-2)=18<br />
43. Un polinomio de grado 3, ¿cuántas raíces puede tener como mínimo? Razonar la respuesta.<br />
3<br />
78
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