Teorema de Rouché y Regla de Cramer - Amolasmates
Teorema de Rouché y Regla de Cramer - Amolasmates Teorema de Rouché y Regla de Cramer - Amolasmates
Resolución de sistemas por el Método de Matriz Inversa Ejercicio nº 1.- Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial: 4x 2y z 6 x z 1 2x y z 3 Ejercicio nº 2.- Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa: x 2y z 1 3x y 2z 4 x y z 1 Ejercicio nº 3.- Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa: 3x y z 5 x 2y z 0 2x z 3 Ejercicio nº 4.- Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema de ecuaciones: x y z 6 2x y z 8 x 2y z 7 Ejercicio nº 5.- Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa: 2x 3y z 7 x y 2z 5 y 2z 0 1
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Resolución <strong>de</strong> sistemas por el<br />
Método <strong>de</strong> Matriz Inversa<br />
Ejercicio nº 1.-<br />
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:<br />
4x<br />
2y<br />
z 6<br />
<br />
<br />
x z 1<br />
<br />
2x<br />
y z 3<br />
Ejercicio nº 2.-<br />
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:<br />
x 2y<br />
z 1 <br />
<br />
3x<br />
y 2z<br />
4<br />
x y z 1<br />
<br />
Ejercicio nº 3.-<br />
Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:<br />
3x<br />
y z 5<br />
<br />
<br />
x 2y<br />
z 0 <br />
<br />
2x<br />
z 3 <br />
Ejercicio nº 4.-<br />
Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
x y z 6<br />
<br />
2x<br />
y z 8<br />
x 2y<br />
z 7<br />
<br />
Ejercicio nº 5.-<br />
Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:<br />
2x<br />
3y<br />
z 7<br />
<br />
<br />
x y 2z<br />
5<br />
<br />
y 2z<br />
0<br />
1
<strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Rouché</strong> y <strong>Regla</strong> <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong><br />
Ejercicio nº 6.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema:<br />
x y 2z<br />
t 3<br />
<br />
<br />
2x<br />
y z t 2<br />
<br />
x y z t 1<br />
Ejercicio nº 7.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong> este sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
x 2y<br />
3 <br />
<br />
x 3y<br />
1<br />
<br />
<br />
x 6y<br />
2 <br />
<br />
x y 5 <br />
Ejercicio nº 8.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
2x<br />
y 3z<br />
1<br />
<br />
x y z 2<br />
x y 3z<br />
3<br />
<br />
Ejercicio nº 9.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema:<br />
x y z 3<br />
<br />
x 2y<br />
z 1<br />
2x<br />
y z 2<br />
<br />
Ejercicio nº 10.-<br />
Utiliza el teorema <strong>de</strong> <strong>Rouché</strong> para estudiar la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema:<br />
3x<br />
4y<br />
z 1<br />
<br />
x 2y<br />
z 3<br />
x z 7<br />
<br />
Ejercicio nº 11.-<br />
Resuelve estos sistemas, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
a)<br />
x<br />
4y<br />
6<br />
<br />
2x<br />
3y<br />
7 <br />
b)<br />
x 2y<br />
z <br />
2x<br />
3y<br />
z <br />
x y 3z<br />
<br />
3<br />
<br />
3 <br />
6 <br />
<br />
2
Ejercicio nº 12.-<br />
Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
a)<br />
2x<br />
y 0<br />
<br />
3x<br />
y 5<br />
Ejercicio nº 13.-<br />
Resuelve, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>, los siguientes sistemas:<br />
a)<br />
x 3y<br />
5<br />
<br />
x y 1 <br />
Ejercicio nº 14.-<br />
Resuelve, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
a) 3x<br />
2y<br />
3 <br />
<br />
2x<br />
y 1<br />
Ejercicio nº 15.-<br />
Aplica la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong> para resolver estos sistemas:<br />
a) 3x<br />
2y<br />
5<br />
<br />
5x<br />
y 1 <br />
Ejercicio nº 16.-<br />
Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:<br />
Ejercicio nº 17.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:<br />
Ejercicio nº 18.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones y resuélvelo si es posible:<br />
Ejercicio nº 19.-<br />
b)<br />
b)<br />
2x<br />
2y<br />
z t 8<br />
<br />
x y z t 1<br />
x 2y<br />
z 2t<br />
2<br />
<br />
x y 2z<br />
<br />
x 3y<br />
z <br />
7x<br />
5y<br />
11z<br />
<br />
x y 2z<br />
6<br />
<br />
3x<br />
y z 5<br />
x 2y<br />
z 1<br />
<br />
5<br />
<br />
4<br />
8 <br />
<br />
x y z 2<br />
<br />
<br />
x 2y<br />
z 4<br />
<br />
3x<br />
y z 6<br />
b)<br />
b)<br />
x 2y<br />
z <br />
x 3y<br />
z <br />
2x<br />
y z <br />
0 <br />
<br />
3<br />
1 <br />
<br />
2x<br />
y z 0 <br />
<br />
x 2y<br />
z 1 <br />
x 3y<br />
2z<br />
3<br />
<br />
x 2y<br />
z <br />
3x<br />
y z <br />
x y 3z<br />
<br />
1 <br />
<br />
5<br />
5 <br />
<br />
Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
3x<br />
4y<br />
z <br />
x 2y<br />
z <br />
x y 3z<br />
<br />
3<br />
<br />
5 <br />
6 <br />
<br />
3
Ejercicio nº 20.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong> este sistema y resuélvelo si tiene solución:<br />
x 2y<br />
z t 2<br />
<br />
<br />
2x<br />
y 2z<br />
2t<br />
3 <br />
<br />
x y z t 5 <br />
Ejercicio nº 21.-<br />
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función <strong>de</strong>l<br />
parámetro a:<br />
y az 1 <br />
2 <br />
x a z 2a<br />
1<br />
x y a<br />
Ejercicio nº 22.-<br />
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores <strong>de</strong>l parámetro m:<br />
Ejercicio nº 23.-<br />
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores <strong>de</strong>l parámetro .<br />
Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible in<strong>de</strong>terminado:<br />
Ejercicio nº 24.-<br />
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores <strong>de</strong> y resuélvelo en los casos en los que resulte<br />
ser compatible in<strong>de</strong>terminado:<br />
Ejercicio nº 25.-<br />
a 1z<br />
2a<br />
<br />
<br />
mx y z 2<br />
<br />
x my 1<br />
x my mz 1<br />
<br />
x<br />
2z<br />
0<br />
<br />
2y<br />
z 0<br />
1x<br />
y z 0<br />
<br />
x<br />
y 2z<br />
0<br />
<br />
x y<br />
2z<br />
0<br />
2x<br />
y<br />
z 0<br />
<br />
Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
a 1<br />
ax<br />
y a<br />
x 2y<br />
z a <br />
2y<br />
z 2<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
4
Ejercicio nº 1.-<br />
Soluciones sistemas por el<br />
Método <strong>de</strong> Matriz Inversa<br />
Expresa y resuelve el siguiente sistema en forma matricial:<br />
Solución:<br />
4x<br />
2y<br />
z 6<br />
<br />
<br />
x z 1<br />
<br />
2x<br />
y z 3<br />
Expresamos el sistema en forma matricial:<br />
4 2 1<br />
x 6<br />
4 2 1<br />
x 6<br />
<br />
A 1 0 1 ; X y<br />
; C 1<br />
1 0 1 y<br />
1<br />
AX C<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
z<br />
<br />
2<br />
1 1 3<br />
2<br />
1 1 3<br />
Calculamos A<br />
4<br />
Calculamos la inversa <strong>de</strong> A:<br />
Despejamos X:<br />
Por tanto, la solución <strong>de</strong>l sistema es:<br />
x 1, y 1, x 0<br />
para ver si<br />
existe<br />
A<br />
:<br />
1<br />
A 1 0 1 3<br />
0 Existe A<br />
Adj<br />
<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1 <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
t<br />
A 3 6 0 Adj A 1 6 5 <br />
A<br />
1<br />
AX C<br />
<br />
1<br />
A<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
X<br />
1<br />
3 <br />
<br />
1<br />
5<br />
t Adj A A<br />
3<br />
6<br />
0<br />
AX A<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3 <br />
1<br />
C<br />
<br />
3<br />
6<br />
0<br />
X A<br />
1<br />
2 <br />
<br />
5<br />
2<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
C<br />
2 6<br />
<br />
3<br />
1<br />
<br />
1<br />
5 1 <br />
3<br />
1<br />
3 <br />
2<br />
<br />
3<br />
0 0<br />
3<br />
0<br />
2 <br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
5
Ejercicio nº 2.-<br />
Expresa en forma matricial y resuelve utilizando la matriz inversa:<br />
Solución:<br />
x 2y<br />
z 1 <br />
<br />
3x<br />
y 2z<br />
4<br />
x y z 1<br />
<br />
Expresamos el sistema en forma matricial:<br />
<br />
1 2 1<br />
x 1 <br />
1 2 1<br />
x 1 <br />
<br />
<br />
<br />
A 3 1<br />
2 ; X y<br />
; C <br />
4<br />
3 1<br />
2 y<br />
<br />
4<br />
AX C<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
1 1<br />
1 1<br />
1 1<br />
1 1<br />
Calculamos A,<br />
1<br />
Calculamos la inversa <strong>de</strong> A:<br />
Despejamos X:<br />
Por tanto, la solución <strong>de</strong>l sistema es:<br />
x 2, y 0, z 1<br />
Ejercicio nº 3.-<br />
para ver si<br />
existe<br />
A<br />
:<br />
1<br />
A 3 1<br />
2 1<br />
0 Existe A<br />
Adj<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2 <br />
<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
t<br />
A 1<br />
0 1 Adj A 1<br />
0 1<br />
<br />
A<br />
1<br />
AX C<br />
<br />
1<br />
<br />
X 1<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
A<br />
<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
t Adj A A<br />
AX A<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
C<br />
1<br />
0<br />
1<br />
X A<br />
3<br />
<br />
1 <br />
5<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
1 <br />
<br />
1 <br />
4<br />
<br />
5<br />
<br />
1<br />
2<br />
<br />
0 <br />
<br />
1 <br />
C<br />
Expresa el siguiente sistema en forma matricial y resuélvelo utilizando la matriz inversa:<br />
3x<br />
y z 5<br />
<br />
<br />
x 2y<br />
z 0 <br />
<br />
2x<br />
z 3 <br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3 <br />
<br />
<br />
5<br />
<br />
<br />
6
Solución:<br />
Expresamos el sistema en forma matricial:<br />
Calcula la inversa <strong>de</strong> A:<br />
Despejamos X:<br />
Por tanto, la solución <strong>de</strong>l sistema es:<br />
x 1, y 1, z 1<br />
Ejercicio nº 4.-<br />
Expresa y resuelve en forma matricial el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
Solución:<br />
3 1 1<br />
x 5<br />
3 1 1<br />
x 5<br />
<br />
<br />
<br />
A 1 2 1 ; X y<br />
; C 0 1 2 1 y<br />
0 AX C<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
2 0 1 3 2 0 1 3 <br />
Calculamos A<br />
para ver si<br />
existe<br />
Expresamos el sistema en forma matricial:<br />
A<br />
:<br />
1<br />
3 1 1<br />
<br />
<br />
A 1 2 1 1<br />
0 Existe A<br />
<br />
<br />
<br />
2 0 1<br />
<br />
<br />
<br />
Adj<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
1<br />
4<br />
<br />
<br />
7<br />
<br />
<br />
t<br />
A 1<br />
1<br />
2 Adj A 1 1<br />
2 <br />
A<br />
1<br />
AX C<br />
<br />
2<br />
<br />
X 1<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
1<br />
A<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
t Adj A A<br />
x y z 6<br />
<br />
2x<br />
y z 8<br />
x 2y<br />
z 7<br />
<br />
AX A<br />
<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
4<br />
C<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
3<br />
<br />
2<br />
7<br />
<br />
<br />
X A<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
5<br />
1 <br />
<br />
2<br />
0 <br />
1<br />
<br />
7<br />
<br />
3 1 <br />
C<br />
1<br />
2<br />
3 <br />
<br />
<br />
7<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x 6<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x 6<br />
<br />
A 2<br />
1<br />
1<br />
; X y<br />
; C 8<br />
2<br />
1<br />
1<br />
y<br />
8<br />
AX C<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
z<br />
<br />
1<br />
2 1<br />
7<br />
1<br />
2 1<br />
7<br />
7
Calculamos A , para ver si existe A<br />
Calculamos la inversa <strong>de</strong> A:<br />
Despejamos X:<br />
Por tanto, la solución <strong>de</strong>l sistema es:<br />
x 2, y 1, z 3<br />
Ejercicio nº 5.-<br />
Expresa en forma matricial y resuelve, utilizando la matriz inversa:<br />
Solución:<br />
Expresamos el sistema en forma matricial:<br />
Si llamamos:<br />
:<br />
1<br />
1 1<br />
1<br />
<br />
A 2 1<br />
1<br />
1<br />
0 Existe A<br />
<br />
<br />
1 2 1<br />
<br />
<br />
Adj<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
0<br />
1<br />
3<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
t<br />
A 1<br />
0 1 Adj A 1<br />
0 1 <br />
A<br />
1<br />
AX C<br />
<br />
1<br />
<br />
X 1<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
1<br />
A<br />
<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
t Adj A A<br />
2x<br />
3y<br />
z 7<br />
<br />
<br />
x y 2z<br />
5<br />
<br />
y 2z<br />
0<br />
AX A<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
3<br />
C<br />
1<br />
0<br />
1<br />
<br />
0 <br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
X A<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0 6<br />
2 <br />
<br />
1<br />
8<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
7<br />
3 <br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
3 1 x 7<br />
2<br />
3 1 x 7<br />
<br />
A 1<br />
1 2<br />
; X y<br />
; C 5<br />
1<br />
1 2<br />
y<br />
5<br />
AX C<br />
<br />
<br />
z<br />
<br />
z<br />
<br />
0<br />
1 2 0<br />
0<br />
1 2 0<br />
Para resolverlo , <strong>de</strong>spejamos<br />
AX <br />
C<br />
<br />
A<br />
X<br />
AX A<br />
C<br />
1<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
multiplica ndoporlaizquierdapor<br />
C<br />
<br />
X A<br />
1<br />
1<br />
1<br />
C<br />
A<br />
:<br />
1<br />
8
Comprobamos<br />
que<br />
Obtenemos X:<br />
Por tanto la solución <strong>de</strong>l sistema es:<br />
x 1; y 2; z 1<br />
Soluciones <strong>Teorema</strong> <strong>de</strong> <strong>Rouché</strong> y <strong>Regla</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>Cramer</strong><br />
Ejercicio nº 6.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema:<br />
Solución:<br />
Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
Luego, ran (A) 2.<br />
A<strong>de</strong>más:<br />
Adj<br />
<br />
X<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
7<br />
A 3 0 y hallamos A<br />
2<br />
1 <br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
t<br />
A 5 4 2 Adj A 2 4 5 <br />
A<br />
1<br />
<br />
1<br />
A C<br />
1<br />
A<br />
5<br />
t Adj A 4<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
3 <br />
<br />
1<br />
x y 2z<br />
t 3<br />
<br />
<br />
2x<br />
y z t 2<br />
<br />
x y z t 1<br />
1 1<br />
<br />
A 2 1<br />
<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
5<br />
4<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
1 <br />
<br />
1<br />
<br />
4<br />
1 <br />
<br />
2<br />
3 <br />
1<br />
5<br />
4<br />
2<br />
:<br />
1<br />
7<br />
<br />
5 <br />
1<br />
<br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
5<br />
2<br />
7<br />
7<br />
3 1 <br />
<br />
1<br />
5 5 6 2 <br />
3 <br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
3<br />
<br />
1<br />
7<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1 1<br />
Tomamosunmenor <strong>de</strong>or<strong>de</strong>n<br />
2 distinto <strong>de</strong>cero<br />
: 3 0<br />
2 1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1 9 0<br />
1<br />
9
Por tanto, ran (A) 3.<br />
Con esto, también <strong>de</strong>ducimos que ran (A') = 3, siendo A' la matriz ampliada.<br />
A'<br />
<br />
Así, como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Ejercicio nº 7.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong> este sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
Solución:<br />
Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
Hallamos el rango <strong>de</strong> la matriz ampliada:<br />
Como ran (A) ran (A'), el sistema es incompatible.<br />
Ejercicio nº 8.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
Solución:<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x 2y<br />
3 <br />
<br />
x 3y<br />
1<br />
<br />
<br />
x 6y<br />
2 <br />
<br />
x y 5 <br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3 <br />
<br />
2 <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
1<br />
1 2<br />
<br />
1<br />
3 1 2<br />
A <br />
1<br />
0 <br />
1 6<br />
<br />
ran A<br />
<br />
1<br />
3<br />
<br />
1 1<br />
<br />
2.<br />
1 2 3 <br />
<br />
1 2 3<br />
1 3 1<br />
A'<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3 1<br />
3<br />
0 <br />
1 6 2<br />
<br />
ran A<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
6 2<br />
1 1 5<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
y 3z<br />
1<br />
<br />
x y z 2<br />
x y 3z<br />
3<br />
<br />
'<br />
3<br />
2 1<br />
3 <br />
<br />
<br />
2 1<br />
A<br />
1<br />
1 <br />
1<br />
0 <br />
1<br />
0 <br />
<br />
A<br />
ran A<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1 1 3 <br />
2<br />
10
Hallamos el rango <strong>de</strong> la matriz ampliada:<br />
Como ran (A) ran (A'), el sistema es incompatible.<br />
Ejercicio nº 9.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema:<br />
Solución:<br />
Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
El rango <strong>de</strong> la matriz ampliada, A', será también 3.<br />
Por tanto, como ran (A) ran (A') n o incógnitas, el sistema es compatible <strong>de</strong>terminado.<br />
Ejercicio nº 10.-<br />
Utiliza el teorema <strong>de</strong> <strong>Rouché</strong> para estudiar la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema:<br />
Solución:<br />
2 1<br />
3 1 2 1<br />
1<br />
<br />
<br />
A'<br />
1<br />
1 1<br />
2 1<br />
1 2 5<br />
0 ran A <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1 1 3 3 1 1 3<br />
x y z 3<br />
<br />
x 2y<br />
z 1<br />
2x<br />
y z 2<br />
<br />
1 1 1<br />
<br />
<br />
A <br />
1 2 1<br />
A 0 ran A<br />
<br />
2 1 1<br />
<br />
<br />
3x<br />
4y<br />
z 1<br />
<br />
x 2y<br />
z 3<br />
x z 7<br />
<br />
Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
3<br />
<br />
A <br />
1<br />
<br />
1<br />
4<br />
2<br />
0<br />
1 <br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
Tomamos un menor <strong>de</strong> or<strong>de</strong>n 2 distinto <strong>de</strong> cero:<br />
3<br />
1<br />
4<br />
2 0.<br />
Luego, ran ( A)<br />
2.<br />
2<br />
A<strong>de</strong>más, A<br />
0.<br />
Por tanto, ran ( A)<br />
<br />
2.<br />
Hallamos el rango <strong>de</strong> la matriz ampliada:<br />
3<br />
'<br />
3<br />
11
Así, como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Ejercicio nº 11.-<br />
Resuelve estos sistemas, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
a)<br />
Solución:<br />
a)<br />
3 4 1 1<br />
3 4 1<br />
<br />
<br />
A'<br />
<br />
1 2 1<br />
3 1<br />
2 3 0.<br />
Luego, ran ( A'<br />
) 2.<br />
<br />
1 0 1 7<br />
<br />
1 0 7<br />
x 4y<br />
6<br />
<br />
2x<br />
3y<br />
7 <br />
x 4y<br />
6<br />
1<br />
<br />
2 3 7 <br />
<br />
x y 2<br />
6<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 2, y 1<br />
Ejercicio nº 12.-<br />
4<br />
4<br />
3<br />
b)<br />
6<br />
;<br />
7 <br />
<br />
<br />
7 3 10<br />
x 2;<br />
y <br />
5 5<br />
b) x 2y<br />
z 3<br />
1<br />
<br />
2x<br />
3y<br />
z 3 2<br />
x y 3z<br />
6 <br />
1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
x 2y<br />
z <br />
2x<br />
3y<br />
z <br />
x y 3z<br />
<br />
1<br />
6 1<br />
3 15<br />
x ; y <br />
17 17<br />
z <br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
17<br />
3<br />
3<br />
6<br />
<br />
54<br />
17<br />
<br />
1<br />
A <br />
<br />
2<br />
1<br />
5<br />
3<br />
<br />
3 <br />
6 <br />
<br />
4 <br />
;<br />
3<br />
<br />
<br />
5<br />
5<br />
A 5<br />
1<br />
Resuelve los siguientes sistemas, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
a)<br />
1<br />
3<br />
2<br />
3<br />
<br />
3 ;<br />
6<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
6<br />
7<br />
3<br />
3<br />
6<br />
17<br />
<br />
A <br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
<br />
2<br />
3<br />
1<br />
45<br />
;<br />
17<br />
15<br />
45<br />
Lasolución <strong>de</strong>lsistema<br />
es:<br />
x , y , z <br />
17 17<br />
2x<br />
y 0<br />
<br />
3x<br />
y 5<br />
b)<br />
x y z 2<br />
<br />
<br />
x 2y<br />
z 4<br />
<br />
3x<br />
y z 6<br />
54<br />
17<br />
1<br />
1<br />
17<br />
3<br />
12
Solución:<br />
a)<br />
2x<br />
y 0<br />
2 1<br />
<br />
3x<br />
y 5 <br />
3<br />
1<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 1, y 2<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 1, y 2, z 1<br />
Ejercicio nº 13.-<br />
Resuelve, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>, los siguientes sistemas:<br />
Solución:<br />
0<br />
1<br />
0<br />
;<br />
5<br />
<br />
5 1 5<br />
x 1;<br />
y <br />
5 5<br />
b) x y z 2<br />
1<br />
<br />
x 2y<br />
z 4<br />
<br />
1<br />
3x<br />
y z 6<br />
<br />
3<br />
a)<br />
a)<br />
b)<br />
2<br />
4<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2 1<br />
A <br />
;<br />
3 1<br />
<br />
<br />
<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 2, y 1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
3<br />
5<br />
1<br />
1<br />
0<br />
5<br />
1<br />
6 1 1 12<br />
x 1;<br />
y <br />
12 12<br />
z <br />
1<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
12<br />
x 3y<br />
5<br />
<br />
x y 1 <br />
2<br />
4<br />
6<br />
12<br />
1<br />
12<br />
b)<br />
x 3y<br />
5<br />
1<br />
3 5<br />
<br />
;<br />
1 <br />
<br />
1 1 1 <br />
<br />
x y <br />
<br />
5<br />
3<br />
1 1 8<br />
x 2;<br />
y <br />
4 4<br />
x<br />
2y<br />
z 0 1<br />
<br />
x 3y<br />
z 3<br />
1<br />
2x<br />
y z 1 <br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
10<br />
2<br />
5<br />
2 <br />
<br />
4 ;<br />
6<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
3<br />
A 5<br />
1<br />
A 1<br />
2<br />
4<br />
6<br />
12<br />
x 2y<br />
z <br />
1<br />
1<br />
1<br />
x 3y<br />
z <br />
2x<br />
y z <br />
1<br />
A <br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
4<br />
5<br />
1<br />
0 <br />
<br />
3<br />
;<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
0 <br />
<br />
3<br />
1 <br />
<br />
3<br />
;<br />
1<br />
<br />
<br />
4<br />
4<br />
A <br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
24<br />
2;<br />
12<br />
A 4<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
12<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
13
14<br />
Ejercicio nº 14.-<br />
Resuelve, aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
Solución:<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 1, y 3<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 1, y 0, z 2<br />
;<br />
3<br />
3<br />
9<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
;<br />
3<br />
4<br />
3<br />
4<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
x<br />
3<br />
14<br />
3<br />
14<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
0<br />
2<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z<br />
3<br />
14<br />
;<br />
3<br />
;<br />
3<br />
4<br />
:<br />
es<br />
sistema<br />
<strong>de</strong>l<br />
solución<br />
La <br />
<br />
x<br />
y<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
b)<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
a)<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
1<br />
;<br />
1<br />
2<br />
2<br />
3<br />
;<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
a)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
A<br />
y<br />
x<br />
y<br />
x<br />
3<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
3<br />
;<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
;<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
3<br />
2<br />
3<br />
1<br />
2<br />
0<br />
2<br />
b)<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
A<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
x<br />
z<br />
y<br />
x<br />
;<br />
0<br />
2<br />
0<br />
2<br />
2<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
2<br />
;<br />
1<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
y<br />
x<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
3<br />
3<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
z
Ejercicio nº 15.-<br />
Aplica la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong> para resolver estos sistemas:<br />
a) 3x<br />
2y<br />
5<br />
<br />
5x<br />
y 1 <br />
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 1, y 4<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 2, y 0, z 1<br />
Ejercicio nº 16.-<br />
Estudia, y resuelve si es posible, el sistema:<br />
Solución:<br />
b)<br />
x 2y<br />
z <br />
3x<br />
y z <br />
3x<br />
2y<br />
5<br />
3 2 5<br />
<br />
;<br />
5 1 <br />
<br />
5 1 1 <br />
<br />
x y <br />
<br />
5<br />
2<br />
1 1 7<br />
x 1;<br />
y <br />
7 7<br />
x 2y<br />
z 1 1<br />
<br />
3x<br />
y z 5<br />
<br />
3<br />
x y 3z<br />
5 <br />
1<br />
1<br />
5<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
x y 3z<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
5<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
A <br />
<br />
5<br />
5<br />
1<br />
7<br />
5 1<br />
3 44<br />
x 2;<br />
y <br />
22 22<br />
z <br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
22<br />
1<br />
5<br />
5<br />
2x<br />
2y<br />
z t 8<br />
<br />
x y z t 1<br />
x 2y<br />
z 2t<br />
2<br />
<br />
22<br />
1<br />
22<br />
1 <br />
<br />
5<br />
5 <br />
<br />
1 <br />
<br />
5<br />
;<br />
5<br />
<br />
<br />
2<br />
;<br />
1<br />
<br />
<br />
28<br />
4<br />
7<br />
1<br />
3<br />
1<br />
A 7<br />
1<br />
A 3<br />
1<br />
5<br />
5<br />
22<br />
1<br />
1<br />
1<br />
3<br />
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema. Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
2<br />
<br />
A<br />
1<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 1<br />
<br />
1<br />
1 <br />
1 2 <br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
22<br />
1<br />
1<br />
3<br />
0<br />
22<br />
15
1 1<br />
Tomamosunmenor <strong>de</strong>or<strong>de</strong>n<br />
2 distinto <strong>de</strong>cero:<br />
3 0<br />
1<br />
2<br />
Luego, ran (A) 2.<br />
A<strong>de</strong>más:<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1 9 0<br />
Por tanto, ran (A) 3.<br />
Con esto, también <strong>de</strong>ducimos que ran (A) 3, siendo A' la matriz ampliada:<br />
2<br />
<br />
A ' 1<br />
<br />
<br />
1<br />
Así, como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Para resolverlo, pasamos la t al 2º miembro y aplicamos la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
Las soluciones <strong>de</strong>l sistema son:<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2x<br />
2y<br />
z 8 t <br />
<br />
x y z 1<br />
t <br />
x 2y<br />
z 2 2t<br />
<br />
Hacemos t :<br />
2<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
Sabemosque 1 1 1 9.<br />
8 <br />
1<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
8 <br />
<br />
1 <br />
2<br />
<br />
<br />
8 <br />
<br />
1<br />
<br />
2 2<br />
<br />
<br />
2 2<br />
2 1 18 9<br />
x 2 <br />
9<br />
9<br />
2<br />
1<br />
8 <br />
1<br />
<br />
1<br />
1 2 2<br />
1 9 9<br />
y 1<br />
<br />
9<br />
9<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
8 <br />
1<br />
<br />
1 2 2 2<br />
18 9<br />
z<br />
2 <br />
9<br />
9<br />
1<br />
x 2+, y 1, z 2+, t , con .<br />
1<br />
1<br />
16
Ejercicio nº 17.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema, y resuélvelo si es posible:<br />
Solución:<br />
x y 2z<br />
<br />
x 3y<br />
z <br />
7x<br />
5y<br />
11z<br />
<br />
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema. Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
A <br />
Luego, ran (A) 2.<br />
Hallamos el rango <strong>de</strong> la matriz ampliada:<br />
Sabemos que la 3 a columna <strong>de</strong>pen<strong>de</strong> linealmante <strong>de</strong> las otras dos primeras. Veamos qué ocurre con la 4 a columna:<br />
Por tanto, ran (A') 2.<br />
5<br />
<br />
4<br />
8 <br />
<br />
1 1 2<br />
<br />
<br />
1 3 1 <br />
<br />
<br />
7 5 11 <br />
1<br />
1<br />
Tomamosunmenor <strong>de</strong>or<strong>de</strong>n<br />
2 distinto <strong>de</strong>cero:<br />
4<br />
0<br />
1 3<br />
2.<br />
A<strong>de</strong>más, A 0.<br />
Por tanto, ran A <br />
<br />
1<br />
<br />
A'<br />
1<br />
<br />
7<br />
1<br />
1<br />
7<br />
1<br />
3<br />
5<br />
1<br />
3<br />
5<br />
5<br />
8<br />
2<br />
1<br />
11<br />
4 0<br />
5<br />
<br />
4<br />
<br />
8 <br />
Como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Para resolverlo, po<strong>de</strong>mos prescindir <strong>de</strong> la 3 a ecuación pues es combinación lineal <strong>de</strong> las dos primeras. Pasamos la z<br />
al 2 o miembro y aplicamos la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
Hacemos z<br />
x y 5<br />
2z<br />
<br />
x 3y<br />
4<br />
z <br />
<br />
:<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
Sabemosque 4.<br />
1 3<br />
x<br />
<br />
5 2<br />
4 <br />
4<br />
1<br />
3<br />
1<br />
3<br />
5 2<br />
<br />
<br />
4 <br />
11<br />
7<br />
11 7<br />
<br />
4 4 4<br />
17
y <br />
Las soluciones <strong>de</strong>l sistema son:<br />
Ejercicio nº 18.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong>l siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones y resuélvelo si es posible:<br />
Solución:<br />
Empezamos estudiando la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema. Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
También el rango <strong>de</strong> la matriz ampliada, A', será 3.<br />
Así, como ran (A) ran (A') n o incógnitas, el sistema es compatible <strong>de</strong>terminado.<br />
Lo resolveremos aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
La solución <strong>de</strong>l sistema es: x 2, y 2, z 1<br />
Ejercicio nº 19.-<br />
Estudia, y resuelve si es posible, el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
Solución:<br />
1<br />
1<br />
5 2<br />
4 <br />
4<br />
9 9 1<br />
<br />
4 4 4<br />
11 7 9<br />
1<br />
x ; y ; z , con R.<br />
4 4 4 4<br />
x y 2z<br />
6<br />
<br />
3x<br />
y z 5<br />
x 2y<br />
z 1<br />
<br />
1 1 2 <br />
<br />
<br />
A 3 1<br />
1 A 11<br />
0.<br />
Por tanto, ran A<br />
<br />
1 2 1<br />
<br />
<br />
<br />
6<br />
5<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3.<br />
1 2 1 22 1 1 1 22<br />
x 2;<br />
y <br />
2;<br />
z <br />
11 11<br />
11 11<br />
3x<br />
4y<br />
z <br />
x 2y<br />
z <br />
x y 3z<br />
<br />
3<br />
<br />
5 <br />
6 <br />
<br />
1<br />
3<br />
6<br />
5<br />
2<br />
1<br />
11<br />
1<br />
11<br />
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema. Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
3 4 1<br />
<br />
<br />
A<br />
1 2 1 A 22<br />
0 ran ( A)<br />
3<br />
<br />
1 1 3<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
3<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
11<br />
6<br />
5<br />
1<br />
18
El rango <strong>de</strong> la matriz ampliada será también 3.<br />
Por tanto, como ran (A) ran (A') n o incógnitas, el sistema es compatible <strong>de</strong>terminado.<br />
Lo resolveremos aplicando la regla <strong>de</strong> <strong>Cramer</strong>:<br />
La solución al sistema es: x 2, y 1, z 1<br />
Ejercicio nº 20.-<br />
Estudia la compatibilidad <strong>de</strong> este sistema y resuélvelo si tiene solución:<br />
Solución:<br />
En primer lugar, estudiamos la compatibilidad <strong>de</strong>l sistema. Calculamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
Luego, ran (A) 2.<br />
A<strong>de</strong>más:<br />
3<br />
5<br />
4<br />
2<br />
1<br />
6 1 3 44<br />
x 2;<br />
y <br />
22 22<br />
z <br />
3<br />
1<br />
1<br />
4<br />
2<br />
1<br />
22<br />
Por tanto, ran (A) 3.<br />
1<br />
3<br />
5<br />
6<br />
x 2y<br />
z t 2<br />
<br />
<br />
2x<br />
y 2z<br />
2t<br />
3 <br />
<br />
x y z t 5 <br />
1 2<br />
<br />
A 2 1<br />
<br />
<br />
1 1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
22<br />
1<br />
22<br />
1<br />
<br />
<br />
2 <br />
<br />
1 <br />
22<br />
22<br />
1<br />
22<br />
Con esto, también <strong>de</strong>ducimos que ran (A') 3, siendo A' la matriz ampliada:<br />
3<br />
Así, como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
1<br />
1<br />
3<br />
5<br />
6<br />
1<br />
1 2<br />
Tomamosunmenor <strong>de</strong>or<strong>de</strong>n<br />
2 distinto <strong>de</strong>cero:<br />
3<br />
0<br />
2 1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
<br />
A'<br />
2<br />
<br />
1<br />
1<br />
2 2<br />
0<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
<br />
3 <br />
5<br />
<br />
<br />
1<br />
3<br />
19
Para resolverlo , pasamos la<br />
Hacemos t = . Entonces:<br />
Las soluciones <strong>de</strong>l sistema son:<br />
Ejercicio nº 21.-<br />
x 16 5, y 13+4, z 82, t , con R<br />
Discute el siguiente sistema, y resuélvelo cuando sea posible, en función <strong>de</strong>l<br />
parámetro a:<br />
Solución:<br />
x 2y<br />
z 2<br />
t<br />
<br />
2x<br />
y 2z<br />
3 2t<br />
<br />
x y z 5 t <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
o<br />
t al 2<br />
Sabemosque 2 1 2 2.<br />
1<br />
2 <br />
3 2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
Estudiamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
miembroy<br />
aplicamoslaregla<strong>de</strong><strong>Cramer</strong>.<br />
2 <br />
<br />
3 2<br />
<br />
5 <br />
<br />
<br />
5 1<br />
1 32<br />
10<br />
x <br />
16<br />
5<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2 <br />
3 2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
5 1 26<br />
8<br />
y 13<br />
4<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2 <br />
3 2<br />
1 1 5 16 4<br />
z 8 2<br />
2<br />
2<br />
y az 1 <br />
2 <br />
x a z 2a<br />
1<br />
x y a<br />
a 1z<br />
2a<br />
<br />
<br />
0 1 a <br />
<br />
<br />
A <br />
2<br />
1<br />
0 a A 0 para cualquier valor <strong>de</strong> a.<br />
<br />
1 1 aa<br />
1<br />
<br />
20
0 1<br />
Como 1<br />
0,<br />
entonces ran <br />
a<br />
1 0<br />
Estudiamos el rango <strong>de</strong> la matriz ampliada:<br />
Por tanto, ran (A') 2.<br />
Como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado para cualquier valor <strong>de</strong> a.<br />
Po<strong>de</strong>mos prescindir <strong>de</strong> la 3ª ecuación, pues es combinación lineal <strong>de</strong> las dos primeras.<br />
Lo resolveremos pasando la z al 2º miembro:<br />
Las soluciones <strong>de</strong>l sistema serían:<br />
Ejercicio nº 22.-<br />
Discute y resuelve el siguiente sistema, según los valores <strong>de</strong>l parámetro m:<br />
Solución:<br />
Estudiamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
A 2 para cualquier valor <strong>de</strong> .<br />
0 1<br />
1 0 1<br />
<br />
a<br />
<br />
a<br />
A'<br />
2 1<br />
0 a 2a<br />
1<br />
1 0 2a<br />
1 0<br />
<br />
1 1 1<br />
2<br />
<br />
a a a 1 1 2a<br />
y az 1 y 1<br />
az <br />
<br />
Hacemos z <br />
2<br />
2<br />
x a z 2a<br />
1<br />
x 2a<br />
1<br />
a z<br />
2<br />
x 2a<br />
1<br />
a ;<br />
y 1<br />
a;<br />
z ,<br />
mx y z 2<br />
<br />
x my 1<br />
x my mz 1<br />
<br />
m<br />
<br />
A 1<br />
<br />
1<br />
1<br />
m<br />
m<br />
1 <br />
<br />
0 <br />
m<br />
<br />
<br />
<br />
A m<br />
3<br />
m m<br />
con R.<br />
2 m 1<br />
0<br />
m<br />
0<br />
<br />
m<br />
1<br />
<br />
m<br />
1<br />
Si m 0, m 1 y m 1 El sistema es compatible <strong>de</strong>terminado.<br />
Para cada valor <strong>de</strong> m, distinto <strong>de</strong> 0, 1 y 1, tenemos un sistema diferente, todos ellos con solución única:<br />
x <br />
y<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
m<br />
m<br />
1<br />
1<br />
m<br />
1<br />
m<br />
m<br />
1<br />
0<br />
m<br />
m 1<br />
m<br />
<br />
m<br />
2m 1<br />
2m<br />
1<br />
<br />
2<br />
2<br />
m 1<br />
m 1<br />
2 <br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
m<br />
m 1<br />
m<br />
<br />
m<br />
m 2<br />
m 2<br />
<br />
2<br />
2<br />
m 1<br />
m 1<br />
2 <br />
<br />
21
z <br />
Si m 0, queda:<br />
Luego, el sistema es compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Las soluciones serían:<br />
Si m 1, queda:<br />
Si m 1, queda:<br />
Las ecuaciones 1ª y 3ª son contradictorias. El sistema sería incompatible.<br />
Ejercicio nº 23.-<br />
Discute el siguiente sistema homogéneo según los diferentes valores <strong>de</strong>l parámetro .<br />
Resuélvelo en los casos en los que resulte ser compatible in<strong>de</strong>terminado:<br />
Solución:<br />
m<br />
1<br />
1<br />
m<br />
1<br />
m<br />
m<br />
2<br />
1<br />
2 m 1<br />
1<br />
0<br />
2m<br />
1<br />
m 2 <br />
Solución:<br />
, , 0<br />
2<br />
2<br />
m 1<br />
m 1<br />
<br />
0<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
1<br />
0<br />
0<br />
2<br />
<br />
1<br />
1<br />
<br />
<br />
0 1<br />
Lasdosúltimas filasson<br />
igualesy<br />
1<br />
0.<br />
1 0<br />
y 2 <br />
x 1<br />
z<br />
<br />
z<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Es <strong>de</strong>cir:<br />
x 1,<br />
y 2 ,<br />
z ,<br />
con R<br />
1<br />
1 1 2<br />
a a<br />
<br />
Lasecuaciones<br />
1 y 3<br />
1<br />
1 0 1<br />
<br />
incompatib le.<br />
1 1 1 1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2 <br />
<br />
1 <br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
FILAS<br />
a<br />
1 1<br />
1<br />
a<br />
2 1<br />
a <br />
3 1<br />
x<br />
2z<br />
0<br />
<br />
2y<br />
z 0<br />
1x<br />
y z 0<br />
<br />
Por tratarse <strong>de</strong> un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0). Veamos si tiene, en algún caso, más<br />
soluciones.<br />
Estudiamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
son contradict orias. Elsistema<br />
sería<br />
1<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
1<br />
2<br />
<br />
1 <br />
1<br />
<br />
<br />
22
A 0<br />
<br />
<br />
1<br />
0<br />
<br />
1<br />
Para = 1, queda:<br />
2<br />
2 <br />
<br />
1 <br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
El sistema sería compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Para resolverlo, pasamos z al 2 o miembro:<br />
Las soluciones serían: x 2; y ; z , con R<br />
El sistema sería compatible in<strong>de</strong>terminado.<br />
Para resolverlo, pasamos z al 2 o miembro:<br />
<br />
1<br />
2<br />
A 3<br />
7<br />
4 0 <br />
4<br />
<br />
<br />
3<br />
4<br />
Para 1 y El sistema solo tiene la solución trivial 0, 0, 0 .<br />
3<br />
1<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
0<br />
1<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
<br />
0<br />
0<br />
<br />
<br />
1 0<br />
Como 1<br />
0,<br />
ran<br />
<br />
0 1<br />
A ran A' 2.<br />
x 2z<br />
0<br />
x 2z<br />
Hacemos z <br />
y z 0<br />
y z <br />
4<br />
Para , queda:<br />
3<br />
4<br />
/ 3<br />
<br />
0<br />
<br />
1/<br />
3<br />
0<br />
2/<br />
3<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
0<br />
<br />
0<br />
<br />
0<br />
4<br />
0<br />
3 8<br />
Como 0,<br />
ran<br />
<br />
2<br />
0<br />
9<br />
3<br />
A ran A' 2.<br />
4 <br />
6 3<br />
x 2z<br />
0<br />
x z z<br />
3<br />
<br />
<br />
4x<br />
6z<br />
0<br />
4x<br />
6z<br />
4 2<br />
<br />
<br />
<br />
2 2y<br />
3z<br />
0<br />
2y<br />
3z<br />
3 3<br />
y z 0<br />
y z z<br />
3 <br />
2 2<br />
3<br />
3<br />
Las soluciones serían: x ; y ; z , con R<br />
2 2<br />
23
Ejercicio nº 24.-<br />
Estudia el siguiente sistema homogéneo según los valores <strong>de</strong> y resuélvelo en los casos en los que resulte<br />
ser compatible in<strong>de</strong>terminado:<br />
Solución:<br />
x<br />
y 2z<br />
0<br />
<br />
x y<br />
2z<br />
0<br />
2x<br />
y<br />
z 0<br />
<br />
Por tratarse <strong>de</strong> un sistema homogéneo, siempre tiene la solución trivial (0, 0, 0).Veamos si tiene, en algún caso, más<br />
soluciones:<br />
Estudiamos el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
1 2 <br />
<br />
<br />
2<br />
A <br />
1 2 A 3<br />
6<br />
3 3<br />
<br />
<br />
<br />
2 1<br />
<br />
<br />
Si 1 el sistema solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).<br />
Si 1, quedaría:<br />
1<br />
<br />
1<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
1<br />
0 <br />
<br />
0 <br />
<br />
0 <br />
1<br />
1<br />
Lasdosprimeras filasson<br />
igualesy,<br />
a<strong>de</strong>más, 3 <br />
2 1<br />
Luego, ran (A) ran (A') 2 < n o incógnitas.<br />
El sistema sería compatible in<strong>de</strong>terminado. Para resolverlo, pasamos z al 2 o miembro y aplicamos la regla <strong>de</strong><br />
<strong>Cramer</strong>:<br />
x y 2z<br />
0<br />
x y 2z<br />
<br />
<br />
2x<br />
y z 0<br />
2x<br />
y z <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
1<br />
Sabemosque 3.<br />
2 1<br />
x<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
;<br />
y <br />
3 3<br />
Las soluciones <strong>de</strong>l sistema son:<br />
x ; y ; z , con R<br />
1<br />
2<br />
Hacemos<br />
2<br />
3<br />
<br />
z<br />
3<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
2 1<br />
0 1<br />
0.<br />
24
Ejercicio nº 25.-<br />
Discute, y resuelve cuando sea posible, el siguiente sistema <strong>de</strong> ecuaciones:<br />
a 1<br />
Solución:<br />
Estudiando el rango <strong>de</strong> la matriz <strong>de</strong> los coeficientes:<br />
Si a 1 ran (A) ran (A') 3. El sistema es compatible <strong>de</strong>terminado. Para cada valor <strong>de</strong> a 1, tenemos<br />
un sistema con solución única:<br />
x <br />
y <br />
z <br />
Para cada valor <strong>de</strong> a 1, tenemos un sistema diferente.<br />
Cada uno <strong>de</strong> los sistemas tiene solución única:<br />
Si a 1<br />
ax y a<br />
x 2y<br />
z a <br />
2y<br />
z 2<br />
x 1, y 0, z 2<br />
<br />
<br />
3<br />
<br />
<br />
a 1 0<br />
<br />
A a<br />
1 2 1<br />
A 2a<br />
2a<br />
<br />
a<br />
<br />
0 2 1<br />
<br />
<br />
a<br />
a 3<br />
2<br />
<br />
a<br />
a 1<br />
0<br />
a<br />
0<br />
1<br />
2<br />
2<br />
a 1<br />
<br />
a 1<br />
<br />
a<br />
2<br />
0<br />
1<br />
1<br />
a 3<br />
a 1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
a 1<br />
a<br />
2<br />
a 1<br />
1<br />
a 1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
a 3<br />
0<br />
2<br />
<br />
<br />
1 1 0<br />
<br />
A 0 2 1<br />
<br />
0 2 1 <br />
a 1<br />
a 1<br />
2<br />
1 0<br />
Como 1<br />
0,<br />
entonces ran A <br />
2 1<br />
A'<br />
<br />
1 1 0 1<br />
<br />
<br />
0 2 1 2 <br />
<br />
<br />
0 2 1 2 <br />
a 1<br />
a<br />
1<br />
0 1<br />
2.<br />
Las dos últimas filas son iguales, luego ran (A') 2.<br />
Como ran (A) ran (A') < n o incógnitas, en este caso el sistema sería compatible in<strong>de</strong>terminado. Prescindimos <strong>de</strong><br />
la 3 a ecuación, pues es idéntica a la 2 a , pasamos z al 2 o miembro y resolvemos el sistema:<br />
25
26<br />
Las soluciones <strong>de</strong>l sistema son:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
1<br />
2<br />
2<br />
Hacemos<br />
2<br />
2<br />
1<br />
y<br />
z<br />
z<br />
y<br />
y<br />
x<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
1<br />
y<br />
x<br />
R<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
con<br />
,<br />
;<br />
2<br />
1<br />
1<br />
;<br />
2<br />
1<br />
2 z<br />
y<br />
x