MATRICES - Amolasmates

Ejercicio nº 1.-
Halla los valores de
⎛0
siendo B = ⎜
⎜
⎝0
Ejercicio nº 2.-
Dadas las matrices:
⎛2
⎜
A = ⎜ 1
⎜
⎜
⎝5
0
3
1
1⎞
⎟
0⎟
⎟
3
⎟
⎠
b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.
Ejercicio nº 3.-
Resuelve el siguiente sistema matricial:
Ejercicio nº 4.-
Calcula los valores de x para que la matriz:
MATRICES
verifique la ecuación A 2 − 6A + 9l = 0, donde l y O son, respectivamente, las matrices identidad y nula de
orden tres.
Ejercicio nº 5.-
1⎞
⎟.
0⎟
⎠
y
a) Comprueba que
Si I
a
y
⎛ 1
⎜
B = ⎜2
⎜
⎜
⎝0
A
−1
b
en la matriz
1⎞
⎟
1⎟
⎟
3
⎟
⎠
⎛ 9
⎜
1
= ⎜ − 3
4 ⎜
⎜
⎝−
14
1
1
− 2
⎛a
A = ⎜
⎜
⎝0
− 3⎞
⎟
1 ⎟
⎟
6
⎟
⎠
⎛ 0 5 − 4⎞
⎛ 7
⎜
⎟
⎜
3X − 2Y
= ⎜ 5 9 0 ⎟ ; 2X
+ Y = ⎜−
6
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎝15
− 4 4 ⎠
⎝ 10
⎛ x
⎜
A = ⎜ 0
⎜
⎜
⎝ 0
0
x
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
x
⎟
⎠
es la matriz identidad de orden 2 y
para que se cumpla la igualdad
A
2
b⎞
⎟,
a
⎟
⎠
1
6
− 5
de forma que
2 ⎞
⎟
7 ⎟
⎟
− 2
⎟
⎠
A
2
− 2A
= B ,
⎛ 2
A = ⎜
⎜
⎝−
2
− xA − yI = 0.
3⎞
⎟,
halla el valor que deben tener
1⎟
⎠
x
e
y
1

Ejercicio nº 6.-
Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales:
Halla
⎛2 −3⎞ ⎛1 −4⎞
2 X − Y = ⎜ ⎟ ; X + 2Y
= ⎜ ⎟
⎝1 −5⎠
⎝3 0 ⎠
X
e Y ,
Ejercicio nº 7.-
⎛0 − 1
⎜
Dada la matriz A = ⎜ 1 0
⎜
⎜
⎝0
0
Ejercicio nº 8.-
Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:
Ejercicio nº 9.-
Se considera la matriz:
a) Encuentra A n para todo natural n.
Ejercicio nº 10.-
Dada la matriz:
y calcula, si tiene sentido,
2 3 4 5
a) Calcula A , A , A , A .
0⎞
⎟
0⎟:
⎟
1
⎟
⎠
25 1
b) Halla el valor de A A .
−
⎛ 1
A = ⎜
⎜
⎝−
1
⎛0
⎜
A = ⎜0
⎜
⎜
⎝0
a
0
0
0⎞
⎟
1⎟
⎠
⎛ − 1
y B = ⎜
⎜
⎝−
3
+
2⎞
⎟
1⎟
⎠
b⎞
⎟
c ⎟,
donde a,
b
⎟
0
⎟
⎠
35 2 ( A − ) .
b) Calcula A
⎛0
A
= ⎜
⎜
⎝ 1
1
0
0⎞
⎟
1⎟
⎠
y
c
a) Calcula A t A y AA t , donde A t denota la matriz traspuesta de A.
X
−1
e Y
.
−1
son tres números reales arbitrarios.
2

⎛ x ⎞
b) Encuentra las matrices de la forma X = ⎜ ⎟,
⎜
y
⎟
⎝ ⎠
⎛ a ⎞
⎜ ⎟
c) Encuentra todas las matrices de la forma Y = ⎜b
⎟,
⎜ ⎟
⎜
c
⎟
⎝ ⎠
Ejercicio nº 11.-
Obtén el rango de la siguiente matriz:
⎛ 2
⎜
⎜−
1
M = ⎜
⎜
⎜
4
⎜
⎝ 7
Ejercicio nº 12.-
Averigua cuál es el rango de:
⎛−
3
⎜
⎜ − 1
A = ⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎝−
2
Ejercicio nº 13.-
Calcula el rango de la matriz:
⎛2
⎜
⎜ 1
A = ⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎝5
Ejercicio nº 14.-
− 1⎞
⎟
1 ⎟
⎟
− 1
⎟
⎟
⎟
− 4⎠
Estudia el rango de la matriz:
⎛4
⎜
⎜ 1
A
= ⎜
⎜
⎜
2
⎜
⎝ 1
3
0
9
9
0
1
2
− 1
− 1
2
− 8
− 10
7
0
7
− 7
1
2
7
1
1
− 1
− 3
2
3
− 1
9
15
0
1
− 2
1
1⎞
⎟
1⎟
⎟
1
⎟
⎟
⎟
0⎠
0 ⎞
⎟
2 ⎟
⎟
− 6
⎟
⎟
⎟
− 6⎠
2 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
2
⎟
⎟
⎟
− 2⎠
tales que:
tales que:
t
AA X = X
t
A AY = Y
3

Ejercicio nº 15.-
Halla el rango de la siguiente matriz:
⎛ 1
⎜
⎜ 1
M = ⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎝3
Ejercicio nº 16.-
Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:
⎛ 3
⎜
A = ⎜ − 1
⎜
⎜
⎝ 1
Ejercicio nº 17.-
Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores
Ejercicio nº 18.-
a) Halla el rango de la matriz:
b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:
Ejercicio nº 19.-
− 4
− 1
8
1
2
1
− 6
Dados los vectores:
2
0
− 6
2
1
1
− 5
− 5⎞
⎟
1 ⎟
⎟
19
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
2 ⎞
⎟
− 2⎟
⎟
6
⎟
⎠
{ = ( 2, − 1, 0, 1)
; u = ( − 1, 0, 2, 1)
; u = ( 5, − 4, 6, 7)
}
u1 2
3
y di cuál es el rango de la matriz cuyas filas son u1,
u2
, u3
.
⎛ 2
⎜
⎜−
1
A = ⎜
⎜
⎜
3
⎜
⎝ 4
0
1
1
2
− 1⎞
⎟
3 ⎟
⎟
4
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
( 2, − 1, 3, 4)
; u = ( 0, 1, 1, 2)
y u = ( − 1, 3, 4, 1)
u1 =
2
3
=
( 3, − 1, 2, 0)
; u = ( 1, 2, − 1, 1)
; u = ( 2, 1, 0, − 1)
u1 2
3
Estudia la dependencia o independencia lineal y di cuál es el rango de la matriz cuyas
son u , u , u .
filas 1 2 3
4

Ejercicio nº 20.-
Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:
=
Ejercicio nº 21.-
En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de
muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:
Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar
100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Ejercicio nº 22.-
Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La
evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.
a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial.
Ejercicio nº 23.-
( 1, 1, − 1, 1)
; u = ( 2, 3, − 2, 1)
; u = ( 1, 3, − 1, − 1)
u1 2
3
SILLA MECEDORA SOFÁ
MADERA 1 unidad 1 unidad 1 unidades
PLÁSTICO 1 unidad 1 unidad 2 unidades
ALUMINIO 2 unidades 3 unidades 5 unidades
b) ¿Qué información nos da el elemento c34
de la matriz producto?
PAN AGUA LECHE
F1
⎛450
⎜
A = F ⎜
2 500
⎜
F
⎜
3 ⎝200
800
810
500
650⎞
⎟
620⎟
⎟
600
⎟
⎠
1997 1998 1999 2000
PAN ⎛85
⎜
B = AGUA ⎜28
⎜
⎜
LECHE⎝
70
90
30
72
90
30
75
95⎞
⎟
35⎟
⎟
80
⎟
⎠
En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de
chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades
de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:
PRODUCTO
MATERIAL
A B C
CHATARRA 8 6 6
CARBÓN 6 6 4
ALEACIONES 2 1 3
Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la
producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.
5

Ejercicio nº 24.-
Una empresa produce tres bienes A, B, y C. Tiene tres factorías y, cada una de ellas, produce los tres
bienes en las cantidades por hora siguientes:
En la Factoría 1 se trabajan 8 horas diarias, la Factoría 2 funciona las 24 horas del día y en la Factoría 3 se
trabajan 10 horas diarias.
a) Calcula matricialmente el número de unidades diarias de los bienes A, B y C que fabrica la empresa.
b) Si se trabaja durante 22 días cada mes, obtén matricialmente la proporción mensual de la empresa en cada
uno de los bienes A, B y C.
Ejercicio nº 25.-
En una papelería van a vender carpetas, cuadernos y bolígrafos, agrupándolos en tres tipos de lotes:
− Lote A: 1 carpeta, 1 cuaderno y 1 bolígrafo.
− Lote B: 1 carpeta, 3 cuadernos y 3 bolígrafos.
− Lote C: 2 carpetas, 3 cuadernos y 4 bolígrafos.
FACTORÍA 1 FACTORÍA 2 FACTORÍA 3
A 10 unidades/hora 20 unidades/hora 15 unidades/hora
B 25 unidades/hora 25 unidades/hora 20 unidades/hora
C 30 unidades/hora 25 unidades/hora 25 unidades/hora
Cada carpeta cuesta 6 euros, cada cuaderno 1,5 euros y cada bolígrafo 0,24 euros.
a) Escribe una matriz que describa el contenido (número de carpetas, cuadernos y bolígrafos) de cada lote.
b) Obtén matricialmente el precio total de cada uno de los lotes A, B y C.
6

7
SOLUCIONES EJERCICIOS DE MATRICES
Ejercicio nº 1.-
Solución:
Calculamos A 2 − 2A e igualamos el resultado a B:
Por tanto, ha de ser:
Ejercicio nº 2.-
Dadas las matrices:
b) Halla una matriz, X, tal que AX = B.
.
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
1
0
siendo
,
2
que
forma
de
,
0
matriz
la
en
y
de
valores
los
Halla
2
B
B
A
A
a
b
a
A
b
a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
2
2
2
0
2
0
0 a
ab
a
a
b
a
a
b
a
A
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
0
0
1
0
2
0
2
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2
a
a
b
ab
a
a
a
b
a
a
ab
a
A
A
( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
→
=
−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
−
=
−
2
ó
0
0
2
1
2
2
0
2
2
a
a
a
a
b
ab
a
a
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
→
−
=
→
=
−
=
•
0
0
2
1
0
2
1
1
2
,
0
Si
A
b
b
a
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
→
=
→
=
=
•
2
0
2
1
2
2
1
1
2
,
2
Si
A
b
b
a
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
0
1
2
1
1
=
y
3
1
5
0
3
1
1
0
2
B
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
−
6
2
14
1
1
3
3
1
9
4
1
que
Comprueba
a)
1
A

Solución:
a) Se trata de probar que A · A −1 = l, donde l es la matriz identidad de orden 3. Efectuamos el producto:
⎛2
⎜
⎜ 1
⎜
⎜
⎝5
⎛ 1
⎜
= ⎜0
⎜
⎜
⎝0
0
3
1
b) Despejamos X en la igualdad AX = B, multiplicando por la izquierda por A − 1:
A
Por al apartado a), conocemos A −1 ; luego:
Ejercicio nº 3.-
Resuelve el siguiente sistema matricial:
Solución:
0
1
0
AX = A
Llamamos:
1⎞
⎛ 9
⎟ ⎜
⎟ 1
0 ⋅ ⎜ − 3
⎟ 4 ⎜
3
⎟ ⎜
⎠ ⎝−
14
0⎞
⎟
0⎟
,
⎟
1
⎟
⎠
B
Así, el sistema queda:
1
1
− 2
⎜
⎜
⎜⎜
− 3⎞
⎛2
⎟
⎟ 1
1 = 1
⎟ 4
6
⎟
⎠ ⎝5
como queriamos demostrar.
→
IX = A
B
→
0
3
1
X = A
−1
−1
−1
−1
⎛ 9
⎜
1
X = ⎜ − 3
4 ⎜
⎜
⎝−
14
⎛ 0
⎜
A = ⎜ 5
⎜
⎜
⎝15
1
1
− 2
− 3⎞
⎛1
⎟ ⎜
1 ⎟ ⋅ ⎜2
⎟ ⎜
6
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
⎛
⎜
⎟ = ⎜ −
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝−
⎟
1⎞
11
1
1 1
4
3⎠
18
⎛ 0 5 − 4⎞
⎛ 7
⎜
⎟
⎜
3X − 2Y
= ⎜ 5 9 0 ⎟ ; 2X
+ Y = ⎜−
6
⎜
⎟
⎜
⎜
⎟
⎜
⎝15
− 4 4 ⎠
⎝ 10
5
9
− 4
− 4⎞
⎟
0 ⎟
⎟
4
⎟
⎠
3X
− 2X
= A⎪⎫
⎬
2X
+ X = B ⎪⎭ X = B − 2X
y
⎛ 7
⎜
B = ⎜−
6
⎜
⎜
⎝ 10
1
6
− 5
2 ⎞
⎟
7 ⎟
⎟
− 2
⎟
⎠
1⎞
⎛ 9
⎟ ⎜
0⎟
⎜ − 3
⎟ ⎜
3
⎟ ⎜
⎠ ⎝−
14
B
1
1
2
1
1
− 2
⎛ 11
⎜
⎜ 4
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
−1
=
⎟ ⎜ 4
⎟
⎠
⎜
⎜
⎜ − 9
⎜
⎝ 2
1
6
− 5
2 ⎞
⎟
7 ⎟
⎟
− 2
⎟
⎠
− 3⎞
⎛4
⎟ ⎜
⎟ 1
1 = ⎜0
⎟ 4 ⎜
6
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
1 ⎞
⎟
4 ⎟
⎟
1
⎟
⎟
4 ⎟
⎟
⎟
1 ⎟
2 ⎠
1
3 X −
2
+ 2
7
0
4
0
0⎞
⎟
0⎟
=
⎟
4
⎟
⎠
( B − 2X
) = A → 3X
− 2B
+ 4X
= A → 7X
= A + 2B
→ X = ( A B)
8

2
2 4 3 2 1
Y = B − 2X = B −
− 2
7
7 7 7 7 7
Por tanto:
1
X =
7
⎛ 2
⎜
= ⎜−
1
⎜
⎜
⎝ 5
1
Y =
7
⎛ 3
⎜
= ⎜−
4
⎜
⎜
⎝ 0
Ejercicio nº 4.-
Calcula los valores de x para que la matriz:
verifique la ecuación A 2 − 6A + 9l = 0, donde l y O son, respectivamente, las matrices identidad y nula de
orden tres.
Solución:
( A + 2B)
= B − A − B = B − A = ( 3B
A)
⎡⎛
0
⎢⎜
1
7 ⎢⎜
⎢⎜
⎣⎝15
− 4⎞
⎟
( A + 2B)
= ⎢⎜
5 9 0 ⎟ + 2 ⎜−
6 6 7 ⎟⎥
= ⎜−
7 21 14⎟
=
1
3
− 2
0⎞
⎟
2⎟
⎟
0
⎟
⎠
− 4
⎟
4
⎟
⎠
⎛ 7
⎜
⎜
⎜
⎝ 0
Calculamos A 2 − 6A + 9l e igualamos a 0:
A
2
⎛ x
⎜
= ⎜0
⎜
⎜
⎝0
5
⎡
1
⎢
⎛ 7
⎜
7 ⎢
⎢
⎣
⎜
⎜
⎝ 10
1
2 ⎞
⎟
⎛ 0
⎜
1
− 5
2 ⎞⎤
⎟⎥
⎟⎥
− 2
⎟⎥
⎠⎦
− 4⎞⎤
⎟⎥
⎛ 14
⎜
1
7 ⎜
⎜
⎝ 35
7
−14
( 3B
− 2A)
= ⎢3
⎜−
6 6 7 ⎟ − 2 ⎜ 5 9 0 ⎟⎥
= ⎜−
28 0 21 ⎟ =
−1
0
−1
⎛ x
⎜
A = ⎜ 0
⎜
⎜
⎝ 0
0
x
0
2 ⎞
⎟
3 ⎟
⎟
− 2
⎟
⎠
0
x
0
0⎞
⎛ x
⎟ ⎜
0⎟
⎜0
⎟ ⎜
x
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
2 ⎛ x
⎜
2
⎜
A
− 6A
+ 9I
=
⎜
0
⎜
⎝
0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
x
⎟
⎠
0
x
0
0
x
2
0
− 5
2
0⎞
⎛ x
⎟ ⎜
⎜
0⎟
=
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
x ⎠ ⎝
0
0 ⎞ ⎛ x
⎟ ⎜
⎟
0 − ⎜
⎟
6 0
⎜
2 ⎟
x
⎜
⎠ ⎝0
⎟
− 2
⎟
⎠
0
x
2
0
0
x
0
⎜
⎜
⎝15
0 ⎞
⎟
⎟
0
⎟
2 ⎟
x
⎠
5
− 4
0⎞
⎛ 1
⎟ ⎜
0⎟
+ 9 ⎜0
⎟ ⎜
x
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
1
0
⎟⎥
4
⎟⎥
⎠⎦
0⎞
⎟
0⎟
=
⎟
1
⎟
⎠
⎛
⎜
1
21
7 ⎜
⎜
⎝ 0
− 7
− 7
0 ⎞
⎟
⎟
0
⎟
⎠
14 ⎞
⎟
⎟
−14
⎟
⎠
9

⎛ x
⎜
⎜
=
⎜
⎜
⎝
2
Ha de ser:
x
2
Por tanto, el único valor de x que hace que se verifique la igualdad propuesta es x = 3.
Ejercicio nº 5.-
Si
Solución:
− 6x
+ 9
0
0
Calculamos A 2 − xA − yl e igualamos a 0:
Así, tenemos que ha de ser:
Por tanto: x = 3, y = 8
Ejercicio nº 6.-
x
2
0
− 6x
+ 9
0
x
2
0 ⎞ ⎛0
⎟ ⎜
⎟
0 = ⎜
⎟
0
⎜
⎟
− 6x
+ 9
⎜
⎠ ⎝0
Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales:
0
0
0
0⎞
⎟
0⎟
⎟
0
⎟
⎠
6 ± 36 − 36 6
− 6x
+ 9 = 0 → x =
= = 3 → x = 3
2 2
I
es la matriz identidad de orden 2 y
para que se cumpla la igualdad
2
A
A
2
⎛ 2
= ⎜
⎜
⎝−
2
3⎞
⎛ 2
⎟ ⎜
1⎟
⎜
⎠ ⎝−
2
⎛−
2
− xA − yI = ⎜
⎜
⎝−
6
− 2 − 2x
− y = 0⎫
⎪
9 − 3x
= 0 ⎪
⎬
− 6 + 2x
= 0⎪
⎪
− 5 − x − y = 0⎪⎭
Halla
→
→
→
→
3⎞
⎛−
2
⎟ = ⎜
1⎟
⎜
⎠ ⎝−
6
9 ⎞ ⎛ 2
⎟ − x ⎜
− 5⎟
⎜
⎠ ⎝−
2
x = 3
x = 3
A
2
9 ⎞
⎟
− 5⎟
⎠
⎛ 2
A = ⎜
⎜
⎝−
2
− xA − yI = 0.
3⎞
⎟,
halla el valor que deben tener
1⎟
⎠
x
3⎞
⎛1
⎟ − y ⎜
1⎟
⎜
⎠ ⎝0
y = −2
− 2x
= −2
− 6 = −8
y = −5
− x = −5
− 3 = −8
⎛2 −3⎞ ⎛1 −4⎞
2 X − Y = ⎜ ⎟ ; X + 2Y
= ⎜ ⎟
⎝1 −5⎠
⎝3 0 ⎠
X
e Y ,
y calcula, si tiene sentido,
0⎞
⎛−
2 − 2x
− y
⎟ = ⎜
1⎟
⎜
⎠ ⎝ − 6 + 2x
X
−1
e Y
.
−1
9 − 3x
⎞ ⎛0
⎟ = ⎜
− 5 − x − y
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0⎞
⎟
0⎟
⎠
e
y
10

11
Solución:
Llamamos:
Así, el sistema queda:
Por tanto:
La solución al sistema es:
• Matrices inversas:
X no tiene matriz inversa. Veámoslo:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
0
3
4
1
y
5
1
3
2
B
A
Y
B
X
B
Y
X
A
Y
X
2
2
2
−
=
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
+
=
−
( ) →
−
=
→
−
=
−
→
=
−
−
→
=
−
− A
B
y
B
A
Y
A
Y
Y
B
A
Y
Y
B 2
5
2
5
4
2
2
2
( )
A
B
Y −
=
→ 2
5
1
( ) ( )
A
B
A
B
A
B
B
A
B
B
Y
B
X 2
5
1
5
2
5
1
5
2
5
4
2
5
2
2 +
=
+
=
+
−
=
−
−
=
−
=
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟ ⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
+
=
2
1
2
1
10
5
10
5
5
1
5
1
3
2
2
0
3
4
1
5
1
2
5
1
A
B
X
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
−
=
1
1
1
0
5
5
5
0
5
1
5
1
3
2
0
3
4
1
2
5
1
2
5
1
A
B
Y
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
1
1
1
0
;
2
1
2
1
Y
X
:
entonces
,
que
Supongamos
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
d
c
b
a
X
:
decir
es
;
1
0
0
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⋅
−
d
b
c
a
d
b
c
a
d
c
b
a
X
X
.
existe
no
Luego,
imposible
1
2
0
2
imposible
0
2
1
2
1
−
⎪
⎪ ⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
−
=
−
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
=
−
=
−
X
d
b
d
b
c
a
c
a

Calculamos Y
Y ⋅Y
(Se comprueba que Y · Y −1 − c = 1⎫
c = −1
⎫
⎪
⎪
− d = 0 ⎪ d = 0
⎪
⎬
⎬
a + c = 0⎪
a = −c
= 1 ⎪
⎪
⎪
b + d = 1⎪⎭
b = 1−
d = 1−
0 = 1⎪⎭
= l).
Ejercicio nº 7.-
Solución:
−1
−1
⎛a
= ⎜
⎜
⎝c
⎛0 −1⎞
⎛a
= ⎜ ⎟ ⎜
⎜
1 1
⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝c
⎛0 − 1
⎜
Dada la matriz A = ⎜ 1 0
⎜
⎜
⎝0
0
b ⎞
⎟ :
d
⎟
⎠
2 3 4 5
a) Calcula A , A , A , A .
b ⎞ ⎛ − c
⎟ = ⎜
d
⎟ ⎜
⎠ ⎝a
+ c
0⎞
⎟
0⎟:
⎟
1
⎟
⎠
25 1
b) Halla el valor de A A .
−
+
a)
b)
2
A
A
3
⎛0 −1
⎜
= ⎜ 1 0
⎜
⎜
⎝0
0
⎛−
1
⎜
2
= A A = ⎜ 0
⎜
⎜
⎝ 0
0⎞
⎛0 −1
⎟ ⎜
0⎟
⎜1
0
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
0
−1
0
0⎞
⎛−
1
⎟ ⎜
0⎟
= ⎜ 0
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
0⎞
⎛0 −1
⎟ ⎜
0⎟
⎜ 1 0
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
Para hallar A −1 , tenemos en cuenta que:
− d ⎞ ⎛ 1
⎟ = ⎜
b + d
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
Por tanto:
−1
0⎞
⎟
0⎟
⎟
1
⎟
⎠
0⎞
⎟;
1⎟
⎠
Utilizando los resultados del apartado a), tenemos que:
0
0
0⎞
⎛ 0
⎟ ⎜
0⎟
= ⎜−
1
⎟ ⎜
1
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 0
1
0
0
Y
−1
0⎞
⎟
0⎟
⎟
1
⎟
⎠
A A A
= I
⎟ ⎟⎟⎟
⎞
⎜
⎠
⎜⎜⎜
⎛ − ⎞ ⎛
⎜ ⎟
⎜ ⎟ =
⎜ ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝
⎟⎟⎟
⎞
⎜
⎠
⎜⎜⎜
⎛ 0 1 0 0 1 0 1 0 0
4 3
= = −1
0 0 1 0 0 0 1 0
⎝ 0 0 1 0 0 1 0 0 1
A = A A = IA = A
4 5
25
A
4 6 ( A ) A = I A = IA A
4⋅6+
1
6
= A =
=
4 3
−1
A = A A = I → A =
A
3
de donde :
⎛ 1
= ⎜
⎜
⎝−
1
1⎞
⎟
0
⎟
⎠
12

13
Ejercicio nº 8.-
Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:
Solución:
Despejamos X en la ecuación propuesta:
Calculamos la inversa de A:
Operamos para obtener X = 2l − A −1 B:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ −
=
+
=
+ −
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
3
1
25
A
A
A
A
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
1
3
2
1
y
1
1
0
1
B
A
( ) AX
A
B
A
A
AX
B
A
B
AX
A
1
1 2
2
2
−
−
=
−
→
=
−
→
+
=
X
B
A
I
IX
B
A
A
A =
−
→
=
−
−
−
− 1
1
1
2
2
:
entonces
,
Llamamos
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
d
c
b
a
A
:
donde
de
;
0
1
0
1
1
1
0
1
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
d
b
c
a
b
a
d
c
b
a
AA
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
+
=
+
=
=
=
=
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
=
+
−
=
+
−
=
=
−
1
1
0
1
:
tanto
Por
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
A
b
d
a
c
b
a
d
b
c
a
b
a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
3
4
2
1
1
3
2
1
1
1
0
1
1 B
A
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
−
=
−
1
4
2
3
3
4
2
1
2
0
0
2
2
1 B
A
I
X

Ejercicio nº 9.-
Se considera la matriz:
⎛0
⎜
A = ⎜0
⎜
⎜
⎝0
a
0
0
a) Encuentra A n para todo natural n.
Solución:
Por tanto, como A 3 = 0, tenemos que A n = 0 para n ≥ 3.
b) Teniendo en cuenta lo obtenido en a):
⎛0
⎜
35 2
2
2 2
( A − A)
= ( 0 − A)
= ( − A)
= A = ⎜0
⎜
⎜
⎝0
Ejercicio nº 10.-
Dada la matriz:
b⎞
⎟
c ⎟,
donde a,
b
⎟
0
⎟
⎠
35 2 ( A − ) .
b) Calcula A
1
a) A = A
A
A
2
3
⎛0
A = ⎜
⎜
⎝ 1
⎛0
⎜
= ⎜0
⎜
⎜
⎝0
a
0
0
⎛0
⎜
2
= A A = ⎜0
⎜
⎜
⎝0
1
0
0⎞
⎟
1⎟
⎠
b⎞
⎛0
⎟ ⎜
c ⎟ ⎜0
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
0
0
a
0
0
ac ⎞ ⎛0
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜0
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
y
c
b⎞
⎛0
⎟ ⎜
c ⎟ = ⎜0
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
a
0
0
son tres números reales arbitrarios.
ac ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
0
⎟
⎠
a) Calcula A t A y AA t , donde A t denota la matriz traspuesta de A.
0
0
0
b⎞
⎛0
⎟ ⎜
c ⎟ = ⎜0
⎟ ⎜
0
⎟ ⎜
⎠ ⎝0
0
0
0
0
0
0
0⎞
⎟
0⎟
⎟
0
⎟
⎠
ac ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
0
⎟
⎠
⎛ x ⎞
b) Encuentra las matrices de la forma X = ⎜ ⎟,
⎜
y ⎟
⎝ ⎠
⎛ a ⎞
⎜ ⎟
c)
Encuentra todas las matrices de la forma Y = ⎜b
⎟,
⎜ ⎟
⎜
c
⎟
⎝ ⎠
tales que:
tales que:
t
AA X = X
t
A AY = Y
14

Solución:
a) La matriz transpuesta de A es:
t
A
A A
t
t
AA
⎛0
⎜
= ⎜1
⎜
⎜
⎝0
⎛0
⎜
= ⎜ 1
⎜
⎜
⎝0
⎛0
= ⎜
⎜
⎝ 1
b) Imponemos la condición dada:
c)
AA X
t
= X
Ejercicio nº 11.-
1⎞
⎟
0⎟.
Por tanto:
⎟
1
⎟
⎠
1⎞
⎟ ⎛0
0⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝ 1
1⎠
1
0
→
⎛ 1
0⎞
⎜
⎟ = ⎜0
1
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎝ 1
1⎞
⎟
0⎟
⎟
1
⎟
⎠
Obtén el rango de la siguiente matriz:
1
0
⎛0
0⎞
⎜
⎟ ⎜ 1
1⎟
⎜
⎠ ⎜
⎝0
⎛1
⎜
⎜
⎝0
1⎞
⎟ ⎛ 1
0⎟
= ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎝0
1⎠
0
1
0
0⎞
⎟
2⎟
⎠
0⎞
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
2⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ y ⎠ ⎝ y ⎠
⎛x⎞ Por tanto : X = ⎜ ⎟,
donde x∈R.
⎝0⎠ A AY
t
= Y
→
⎛1
⎜ ⎜⎜⎜
0
⎝1
0
1
0
→
⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝2y
⎠ ⎝ y ⎠
⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎟ = ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝ ⎠
⎜⎜
1⎞
⎛a
⎞ ⎛a
+ c a
⎟ ⎜ ⎟
0⎟
⎜b
⎟ = b b
⎟ ⎜ ⎟
1
⎟ ⎜ ⎟
⎠ ⎝c
⎠ ⎝a
+ c c
⎛0⎞ ⎜ ⎟
Por tanto : Y =
⎜
b
⎟
, donde b ∈ R.
⎜0⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2
⎜
⎜−
1
M
= ⎜
⎜
⎜
4
⎜
⎝ 7
3
0
9
9
1
2
7
1
− 1⎞
⎟
1 ⎟
⎟
− 1
⎟
⎟
⎟
− 4⎠
→
→
⎪⎧
x = x
⎨
⎪⎩ 2y
= y
⎧a
+ c = a
⎪
⎨b
= b
⎪
⎪⎩
a + c = c
→
→
→
c = 0
a = 0
y = 0
15

16
Solución:
Ejercicio nº 12.-
Averigua cuál es el rango de:
Solución:
Ejercicio nº 13.-
Calcula el rango de la matriz:
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
⋅
+
⋅
+
⋅
+
3
15
9
0
3
15
9
0
1
5
3
0
1
2
0
1
4
1
9
7
1
7
9
4
1
1
3
2
1
2
0
1
4
1
9
7
1
7
9
4
1
2
0
1
1
1
3
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
7
4
1
4
3
1
2
2
1
4
3
1
2
( ) .
2
ran
tanto,
Por
.
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
3
0
1
2
0
1
a
a
a
a
a
a
2
3
4
2
3
3
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛−
→
⋅
−
⋅
−
M
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
0
2
1
2
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
0
3
A
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
⋅
−
+
⋅
−
2
4
3
0
2
4
3
0
2
4
3
0
1
1
1
1
0
2
1
2
1
3
2
1
1
1
0
3
1
1
1
1
0
2
1
2
1
3
2
1
1
1
1
1
1
1
0
3
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
2
4
1
3
1
3
2
1
4
3
1
2
( ) .
2
ran
tanto,
Por
.
0
0
0
0
0
0
0
0
2
4
3
0
1
1
1
1
a
a
a
a
a
a
2
4
2
3
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
→
−
+
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
=
6
15
10
5
6
9
8
1
2
1
2
1
0
3
1
2
A

17
Solución:
Ejercicio nº 14.-
Estudia el rango de la matriz:
Solución:
Ejercicio nº 15.-
Halla el rango de la siguiente matriz:
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
−
−
⋅
−
−
⋅
−
16
20
20
0
8
10
10
0
4
5
5
0
2
1
2
1
6
15
10
5
6
9
8
1
0
3
1
2
2
1
2
1
6
15
10
5
6
9
8
1
2
1
2
1
0
3
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
5
4
1
3
1
2
2
1
4
3
1
2
( ) .
2
ran
tanto,
Por
.
0
0
0
0
0
0
0
0
4
5
5
0
2
1
2
1
a
a
a
a
a
a
2
4
4
2
2
3
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⋅
−
⋅
−
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
2
1
7
1
2
2
7
2
0
1
0
1
2
0
7
4
A
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
⋅
−
⋅
−
2
0
7
0
2
4
7
0
2
4
7
0
0
1
0
1
2
1
7
1
2
2
7
2
2
0
7
4
0
1
0
1
2
1
7
1
2
2
7
2
0
1
0
1
2
0
7
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
1
4
1
2
3
1
4
2
1
4
3
1
2
( ) .
3
ran
tanto,
Por
.
0
4
0
0
0
0
0
0
2
4
7
0
0
1
0
1
a
a
a
a
a
a
2
4
2
3
2
1
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
→
+
−
A
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
1
2
1
3
19
6
8
1
1
0
1
1
5
2
4
1
M

Solución:
⎛ 1
⎜
⎜ 1
⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎝3
→
− 4
−1
8
1
3
a
3 ⋅ 4
a
1
2
Ejercicio nº 16.-
Calcula el rango de la siguiente matriz y di cuál es el número de columnas linealmente independientes:
Solución:
2
0
− 6
2
Calculamos el rango de la matriz dada:
⎛ 3
⎜
⎜ −1
⎜
⎜
⎝ 1
→
Esto significa que hay dos columnas linealmente independientes en A; las otras dos dependen linealmente de ellas.
Ejercicio nº 17.-
a
a
a
+ 3 ⋅ 2
a
+ 4 ⋅ 2
⎛ 3
⎜
A = ⎜ − 1
⎜
⎜
⎝ 1
2
1
− 6
1
1
− 5
a
1 ⎛ −1
⎜
a
2 ⎜ 0
⎜
a a ⎜
3 + 2 ⎝ 0
− 5⎞
⎟
1 ⎟
⎟
19
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
⎛1
⎜
⎜0
⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎝0
2
1
− 6
0
0
→
−1
− 3
2 ⎞
⎟
− 2⎟
⎟
6
⎟
⎠
1
5
0
1
1
2
1
3
4
a
a
0
2
0
a
a
14
− 5
→
1
4
0
⎛ 1
⎜
⎜ 1
⎜
⎜
⎜
1
⎜
⎝3
−1
− 4
8
1
1 ⎞
⎟
− 6 ⎟
⎟.
0
⎟
⎟
⎟
− 30⎠
2 ⎞
⎟
− 2⎟
⎟
6
⎟
⎠
a
2 ⎛ −1
⎜
a
1 ⎜ 3
⎜
a ⎜
3 ⎝ 1
− 6
1 ⎞
⎟
− 5⎟
⎟
19
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores
0
2
2
→
Por tanto, ran
1
2
− 6
1
1
− 5
− 2⎞
⎟
− 4⎟.
Por tanto, ran
⎟
0
⎟
⎠
− 2⎞
⎟
2 ⎟
⎟
6
⎟
⎠
4
2
3
a
a
a
1
a
a
− 1
a
− 1
a
− 3 ⋅1
( M)
= 3.
→
( A)
= 2.
⎛ 1
⎜
⎜0
⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎝0
−1
− 3
9
4
a
1 ⎛ −1
⎜
a a
2 + 3 ⋅ 1 ⎜ 0
⎜
a a ⎜
3 + 1 ⎝ 0
{ = ( 2, − 1, 0, 1)
; u = ( − 1, 0, 2, 1)
; u = ( 5, − 4, 6, 7)
}
u1 2
3
y di cuál es el rango de la matriz cuyas filas son u1,
u2
, u3
.
0
2
− 6
2
1
5
− 5
1 ⎞
⎟
− 6⎟
⎟
18
⎟
⎟
⎟
− 2⎠
1
4
− 4
→
− 2⎞
⎟
− 4⎟
⎟
4
⎟
⎠
→
18

Solución:
Estudiamos el rango de la matriz cuyas filas son u1
, u2
, u3
:
⎛ 2
⎜
⎜ −1
⎜
⎜
⎝ 5
→
3
−1
0
− 4
a
Esto significa que los vectores son linealmente dependientes. Hay dos vectores linealmente independientes y el
tercero depende de ellos.
Ejercicio nº 18.-
a) Halla el rango de la matriz:
b) Estudia la dependencia o independencia lineal del conjunto de vectores:
Solución:
a)
0
2
6
a
1 ⎛−
1
⎜
a
2 ⎜ 0
⎜
a ⎜
− 4 ⋅ 2 ⎝ 0
⎛ 2
⎜
⎜−
1
A = ⎜
⎜
⎜
3
⎜
⎝ 4
0
1
1
2
1
1
7
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
0
−1
0
− 1⎞
⎟
3 ⎟
⎟
4
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
→
2
4
0
a
2 ⎛ −1
⎜
a
1 ⎜ 2
⎜
a ⎜
3 ⎝ 5
1 ⎞
⎟
3 ⎟.
⎟
0
⎟
⎠
0
−1
− 4
2
0
6
1
1
7
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
→
2
3
a
1 ⎛ −1
⎜
a
+ 2 ⋅1
⎜ 0
⎜
a ⎜
+ 5 ⋅1
⎝ 0
Por tanto, el rango de la matriz es 2.
( 2, − 1, 3, 4)
; u = ( 0, 1, 1, 2)
y u = ( − 1, 3, 4, 1)
u1 =
2
3
⎛ 2
⎜
⎜−
1
⎜
⎜
⎜
3
⎜
⎝ 4
→
3
4
a
a
0
1
1
2
1
2
a
a
−1⎞
⎟
3 ⎟
⎟
4
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
a
− 2 ⋅ 2
a
− 3 ⋅ 2
⎛ −1
⎜ ⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
0
0
0
→
2
1
3
4
1
2
0
0
a
a
a
a
⎛−
1
⎜
⎜ 2
⎜
⎜
⎜
3
⎜
⎝ 4
3 ⎞
⎟
5 ⎟
⎟
3
⎟
⎟
⎟
− 2⎠
1
0
1
2
→
3 ⎞
⎟
−1⎟
⎟
4
⎟
⎟
⎟
1 ⎠
3 ⋅ 4
a
1
2
3
→
a
a
a
2
3
4
+ 2 ⋅ 3
a
a
a
1
a
a
+ 2 ⋅1
a
+ 3 ⋅1
+ 4 ⋅1
⎛− 1
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎝ 0
a
Observamos que las columnas de la matriz A
coinciden con los vectores u1,
u2,
u .
El número de vectores linealmente independientes es el rango de A. Por tanto, los vectores son linealmente
independientes.
a
a
⎛− 1
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜
0
⎜
⎝ 0
a
1
2
0
0
1
2
4
6
3 ⎞
⎟
5 ⎟
⎟.
3
⎟
⎟
⎟
0 ⎠
3 ⎞
⎟
5 ⎟
⎟
13
⎟
⎟
⎟
13⎠
0
−1
− 4
→
2
4
16
Por tanto, ran
1 ⎞
⎟
3 ⎟
⎟
12
⎟
⎠
( A)
= 3.
b) 3
→
19

Ejercicio nº 19.-
Dados los vectores:
Estudia la dependencia o independencia lineal y di cuál es el rango de la matriz cuyas
son u , u , u .
Ejercicio nº 20.-
Estudia la dependencia lineal del conjunto de vectores:
Solución:
Estudiemos el rango de la matriz cuyas filas son los tres vectores dados. El rango coincide con el número de vectores
linealmente independientes.
Por tanto, el rango de la matriz es 2. Luego, hay dos vectores linealmente independientes; el tercero se puede escribir
como combinación lineal de los otros dos.
Ejercicio nº 21.-
( 3, − 1, 2, 0)
; u = ( 1, 2, − 1, 1)
; u = ( 2, 1, 0, − 1)
u1 =
2
3
filas 1 2 3
Solución:
Calcula el rango de la matriz cuyas filas son los vectores u1
, u2
, u3:
⎛ 3
⎜
⎜ 1
⎜
⎜
⎝ 2
→
−1
2
1
2
−1
0
a
1 ⎛
⎜
a
2 ⎜
⎜
a a ⎜
7 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⎝
0 ⎞
⎟
1 ⎟
⎟
−1
⎟
⎠
1
0
0
→
a
2 ⎛ 1
⎜
a
1 ⎜ 3
⎜
a ⎜
3 ⎝ 2
2
− 7
Esto significa que u1,
u2,
u3
⎛
⎜ ⎜⎜⎜
⎝
1
2
1
0
−1
5
−1
2
−1
1
−1
2
0
1 ⎞
⎟
− 3 ⎟.
⎟
−12
⎟
⎠
1 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
−1
⎟
⎠
→
2
3
a
a
a
1 ⎛ 1
⎜
a
− 3 ⋅ 1 ⎜ 0
⎜
a ⎜
− 2 ⋅ 1 ⎝ 0
En una compañía se utilizan tres tipos de materiales (madera, plástico y aluminio) para fabricar tres tipos de
muebles: sillas, mecedoras y sofás, según la tabla:
2
− 7
− 3
−1
Por tanto, el rango de la matriz es 3.
son linealmente
independientes.
( 1, 1, − 1, 1)
; u = ( 2, 3, − 2, 1)
; u = ( 1, 3, − 1, − 1)
u1 =
2
3
1
3
3
−1
− 2
−1
1 ⎞
⎟
1 ⎟
⎟
−1
⎟
⎠
→
Los tres vectores u1,
u2,
u3
a
1 ⎛ 1
⎜
a a
2 − 2 ⋅ 1 ⎜ 0
⎜
a a ⎜
3 − 1 ⎝ 0
1
1
2
−1
0
0
1 ⎞
⎟
−1⎟
⎟
− 2
⎟
⎠
son linealmente
dependientes.
→
3
a
5
2
a
1 ⎛ 1
⎜
a
2 ⎜ 0
⎜
a ⎜
− 2 ⋅ 2 ⎝ 0
1 ⎞
⎟
− 3⎟
⎟
− 3
⎟
⎠
1
1
0
→
−1
SILLA MECEDORA SOFÁ
MADERA 1 unidad 1 unidad 1 unidades
PLÁSTICO 1 unidad 1 unidad 2 unidades
ALUMINIO 2 unidades 3 unidades 5 unidades
0
0
1 ⎞
⎟
−1⎟
⎟
0
⎟
⎠
20

Obtén, matricialmente, las unidades de madera, de plástico y de aluminio que se han utilizado para fabricar
100 sillas, 100 mecedoras y 200 sofás.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:
SILLA MECED. SOFÁ
MADERA ⎛1
⎜
PLÁSTICO ⎜1
⎜
⎜
ALUMINIO ⎝2
1
1
3
1⎞
SILLAS ⎛100
⎞ MADERA ⎛ 400 ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
2⎟
MECEDORAS⎜100
⎟ = PLÁSTICO ⎜ 600 ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
5
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎠ SOFÁS ⎝200⎠
ALUMINIO ⎝1
500⎠
Es decir se han utilizado 400 unidades de madera, 600 de plástico y 1 500 de aluminio.
Ejercicio nº 22.-
Los consumos anuales de agua mineral, pan y leche de tres familias vienen expresados en la matriz A. La
evolución de los precios de los años 1997 a 2000 viene reflejada en la matriz B.
a) Hallar, si es posible, A · B y B · A e indicar que información proporciona el producto matricial.
b) ¿Qué información nos da el elemento c34
de la matriz producto?
Solución:
PAN AGUA LECHE
F1
⎛450
⎜
A = F ⎜
2 500
⎜
F
⎜
3 ⎝200
800
810
500
650⎞
⎟
620⎟
⎟
600
⎟
⎠
1997 1998 1999 2000
PAN ⎛85
⎜
B = AGUA ⎜28
⎜
⎜
LECHE⎝
70
90
30
72
90
30
75
95⎞
⎟
35⎟
⎟
80
⎟
⎠
a) La matriz A es 3 × 3 y la B es 3 × 4. Para poder efectuar el producto de dos matrices, el número de columnas
de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda.
Por tanto, el producto B · A no se puede hacer, pero el A · B sí.
PAN AGUA LECHE 1997 1998 1999 2000
F1
⎛450
⎜
A ⋅ B = F ⎜
2 500
⎜
F
⎜
3 ⎝200
800
810
500
650⎞
PAN ⎛85
⎟ ⎜
620⎟
⋅ AGUA ⎜28
⎟ ⎜
600
⎟ ⎜
⎠ LECHE⎝
70
90
30
72
90
30
75
95⎞
⎟
35⎟
=
⎟
80
⎟
⎠
1997
F1
⎛106150
⎜
= F ⎜
2 108580
⎜
F
⎜
3 ⎝ 73000
1998
111300
113140
76200
1999
113 250
115800
78000
2000
122750⎞
⎟
125 450⎟
⎟
84500
⎟
⎠
La matriz A · B nos da el gasto anual de cada familia en el total de los tres productos durante los años 1997 a
2000.
b) El elemento 34 84 500,
corresponde
a la familia tercera en el año 2000; es decir,
nos indica el gasto total de esta familia en los tres productos durante ese año.
= c
21

Ejercicio nº 23.-
En una acería se fabrican tres tipos de productos que llamaremos A, B, y C, que se obtienen a partir de
chatarra, carbón mineral y ciertas aleaciones metálicas, según la tabla adjunta, que representa las unidades
de cada material necesaria para fabricar una unidad de producto:
Obtener una matriz que indique las cantidades de chatarra, carbón y aleaciones necesarias para la
producción de 6 unidades de A, 4 de B y 3 de C.
Solución:
Organizamos los datos que tenemos en dos matrices; su producto nos da la matriz que buscamos:
A
CHATARRA ⎛8
⎜
CARBÓN⎜
6
⎜
⎜
ALEACIONES⎝
2
Es decir, necesitaremos 90 unidades de chatarra, 72 de carbón mineral y 25 de aleaciones.
Ejercicio nº 24.-
Una empresa produce tres bienes A, B, y C. Tiene tres factorías y, cada una de ellas, produce los tres
bienes en las cantidades por hora siguientes:
En la Factoría 1 se trabajan 8 horas diarias, la Factoría 2 funciona las 24 horas del día y en la Factoría 3 se
trabajan 10 horas diarias.
a) Calcula matricialmente el número de unidades diarias de los bienes A, B y C que fabrica la empresa.
b) Si se trabaja durante 22 días cada mes, obtén matricialmente la proporción mensual de la empresa en cada
uno de los bienes A, B y C.
Solución:
B C
6 6⎞
A⎛
6⎞
CHATARRA ⎛90⎞
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
6 4⎟
⋅ B ⎜4
⎟ = CARBÓN⎜
72⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
1 3
⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎠ C ⎝3
⎠ ALEACIONES⎝
25⎠
PRODUCTO
MATERIAL
A B C
CHATARRA 8 6 6
CARBÓN 6 6 4
ALEACIONES 2 1 3
FACTORÍA 1 FACTORÍA 2 FACTORÍA 3
A 10 unidades/hora 20 unidades/hora 15 unidades/hora
B 25 unidades/hora 25 unidades/hora 20 unidades/hora
C 30 unidades/hora 25 unidades/hora 25 unidades/hora
a) Organizamos en dos matrices los datos que tenemos; su producto nos da la matriz que buscamos:
FACT. 1 FACT. 2 FACT. 3
A⎛10
⎜
B ⎜25
⎜
C
⎜
⎝30
20
25
25
15 ⎞ FACT. 1⎛
8 ⎞ A⎛
710 ⎞
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
20⎟
⋅ FACT. 2⎜
24⎟
= B ⎜1
000⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
25
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ FACT. 3⎝10
⎠ C ⎝1
090⎠
22

Es decir, cada día se fabrican en total (entre las tres factorías de la empresa) 710 unidades de A, 1 000 unidades
de B y 1 090 de C.
b) La matriz obtenida en a) nos daba la proporción diaria: si la multiplicamos por 22 (los días que se trabajan cada
mes), obtendremos la producción mensual:
A ⎛ 710 ⎞ A ⎛15620⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
22 ⋅ B ⎜1000⎟
= B ⎜22000⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
C
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝1090⎠
C ⎝23980⎠
Por tanto, cada mes se fabrican en la empresa (entre las tres factorías) 15 620 unidades de A, 22 000 unidades de
B y 23 980 de C.
Ejercicio nº 25.-
En una papelería van a vender carpetas, cuadernos y bolígrafos, agrupándolos en tres tipos de lotes:
− Lote A: 1 carpeta, 1 cuaderno y 1 bolígrafo.
− Lote B: 1 carpeta, 3 cuadernos y 3 bolígrafos.
− Lote C: 2 carpetas, 3 cuadernos y 4 bolígrafos.
Cada carpeta cuesta 6 euros, cada cuaderno 1,5 euros y cada bolígrafo 0,24 euros.
a) Escribe una matriz que describa el contenido (número de carpetas, cuadernos y bolígrafos) de cada lote.
b) Obtén matricialmente el precio total de cada uno de los lotes A, B y C.
Solución:
a) La matriz será:
CARPETAS
A⎛
1
⎜
B ⎜ 1
⎜
C
⎜
⎝2
CUADERNOS
1
3
3
BOLíGRAFOS
1⎞
⎟
3⎟
⎟
4
⎟
⎠
b) Los precios de cada carpeta, cada cuaderno y cada bolígrafo se resumen en la matriz:
CARPETA ⎛ 6 ⎞
⎜ ⎟
CUADERNO ⎜ 1,
5 ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
BOLíGRAFO⎝
0,
24⎠
Si multiplicamos la matriz obtenida en a) con esta última, obtendremos la matriz que buscamos:
CARPETA
A⎛
1
⎜
B ⎜1
⎜
C
⎜
⎝2
CUADERNO
1
3
3
BOLíGRAFO
1⎞
CARPETA ⎛ 6 ⎞ A⎛
7,
74 ⎞
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
3⎟
⋅ CUADERNO ⎜ 1,
5 ⎟ = B ⎜11,
22 ⎟
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
4
⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎠ BOLÍGRAFO⎝
0,
24⎠
C ⎝17,
46⎠
Es decir, el lote A cuesta 7,74 euros, el lote B, 11,22 euros y el lote C, 17,46 euros.
23