PROBLEMAS MÉTRICOS ÁNGULOS DISTANCIAS - Amolasmates

Ejercicio nº 1.-
PROBLEMAS MÉTRICOS
ÁNGULOS
a) Determina la ecuación del plano π que pasa por el punto P(1, −2, 0) y es perpendicular a la recta r:{x + y = 0,
y − 3z + 2 = 0}.
b) Halla el ángulo que forman los planos siguientes:
π 1 : x + y = 0 π 2 : y − 3z + 2 = 0
Ejercicio nº 2.-
Halla el ángulo que forma la recta
⎧3x
− y − z + 1 = 0
r : ⎨
⎩ x + 2y
− 3z
= 0
y el plano π: 2x − y + 4z − 2 = 0.
Ejercicio nº 3.-
a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0, 1, −1) y es paralela a los planos π1 : x + 2y − z −2 = 0,
π2 : 2x + y + 2z − 1 = 0.
b) Halla el ángulo que forman π 1 y π 2 .
Ejercicio nº 4.-
a) Halla el ángulo que forman las rectas:
⎧x
= 1+
λ
⎪
x − 1 y z + 2
r :
⎨y
= − 2λ
y s : = =
⎪
2 − 1 1
⎩z
= 2
b) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Ejercicio nº 5.-
Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos P 1 (2, 1, −3) y P 2 (4, 2, 1) y es perpendicular al plano:
π: 2x − y − z + 3 = 0
Ejercicio nº 6.-
DISTANCIAS
Dados los puntos P(1, 0, 2) y Q(2, −1, 0) y el plano π: x + y + 2z − 1 = 0, calcula:
a) La distancia entre P y Q.
b) La distancia de P a π.
1

Ejercicio nº 7.-
Calcula la distancia entre los planos siguientes:
π: y + 3z = 0 π': 2y + 6z − 5 = 0
Ejercicio nº 8.-
Halla la distancia de P(3, 4, −1) al plano π: 2x + y − 3z + 8 = 0.
Ejercicio nº 9.-
Calcula la distancia entre los planos siguientes:
π: x − 3y + z − 10 = 0 π': 2x − 6y + 2z + 3 = 0
Ejercicio nº 10.-
Halla la distancia de P(5, 3, −4) al plano π: x + 3y − z + 5 = 0.
Ejercicio nº 11.-
Calcula la distancia de P(1, 0, 2) a la recta r : (2λ, −λ, 1 + λ).
Ejercicio nº 12.-
Calcula la distancia de P(1, 0, −1) a la recta r : (2λ, 1 − λ, −λ).
Ejercicio nº 13.-
Calcula la distancia del punto P(1, −1, 2) a la recta siguiente:
⎧x
= 2λ
⎪
r : ⎨y
= λ
⎪
⎩z
= −λ
Ejercicio nº 14.-
Calcula razonadamente la distancia del punto P(3, −1, 5) a la recta siguiente:
⎧x
= 2 − λ
⎪
r : ⎨y
= − λ
⎪
⎩z
= 3 + 2λ
Ejercicio nº 15.-
Calcula la distancia de P(2, 1, −1) a la recta r : (4λ, 1 − λ, λ).
Ejercicio nº 16.-
Calcula la distancia entre las rectas r y s:
⎧x
+ y = 2
⎧x
+ z = 0
r :
⎨
s : ⎨
⎩x
− z = −2
⎩y
− z = 1
2

Ejercicio nº 17.-
Dadas las rectas:
Halla:
a) La ecuación del plano que pasa por la segunda y es paralelo a la primera.
b) La distancia entre ambas rectas.
Ejercicio nº 18.-
Considera las rectas r y s:
Calcula la distancia entre ellas dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.
Ejercicio nº 19.-
Calcula la distancia entre:
dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.
Ejercicio nº 20.-
Dadas las rectas:
Halla:
x − 2 y + 3 z − 1 x − 1 y + 1 z − 3
r 1 : = = , r2
: = =
3 2 4
2 3 1
⎧x
= 3 + λ
⎪
⎧x
+ z = 2
r : ⎨y
= − 2λ
s : ⎨
⎪
⎩y
− z = 0
⎩z
= −1
⎧x
= 2 + λ
⎧x
= 4 − µ
⎪
⎪
r : ⎨y
= − 2λ
y s : ⎨y
= 2 + µ
⎪
⎪
⎩z
= 5
⎩z
= µ
⎧x
= 1+
λ
⎪
x − 2 y z − 1
r :
⎨y
= 2λ
y s : = =
⎪
3 2 1
⎩z
= −2
a) La distancia entre las rectas.
b) La recta perpendicular a r y s.
Ejercicio nº 21.-
Considera el plano 2x − y + z − 4 = 0.
ÁREAS
a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas.
b) Calcula el área del triángulo formado por estos tres puntos.
3

Ejercicio nº 22.-
a) Obtén la ecuación del plano π que pasa por el punto medio del segmento PQ siendo
P(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.
b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcula el área del
triángulo ABC.
Ejercicio nº 23.-
Los puntos P(0, 2, 0) y Q(2, 1, −1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero, S,
pertenece a la recta
recta r.
⎧x
= 2 + λ
⎪
r : ⎨y
= − λ
⎪
⎩z
= 3
La recta que contiene a P y a S es perpendicular
a la
a) Determina las coordenadas de S.
b) Calcula el área del triángulo PQS.
Ejercicio nº 24.-
Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta
⎧x
= 1+
λ
⎪
x − 2 y + 1 z
r : ⎨y
= − 2λ
y otro sobre s : = =
⎪
2 − 4 − 2
⎩z
= 3 − λ
Calcula el área del cuadrado.
Ejercicio nº 25.-
Considera los puntos A(3, 0, 2), B(4, −1, 3) y C(2, 2, 1).
a) Prueba que son los vértices de un triángulo.
b) Calcula el área de dicho triángulo.
Ejercicio nº 26.-
VOLÚMENES
Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano:
2x − y + z − 4 = 0
Ejercicio nº 27.-
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, −1, −1) y es perpendicular a
v( 1,
1,
1).
b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano anterior.
4

Ejercicio nº 28.-
Calcula el volumen de un cubo que tiene uno de sus lados sobre la recta
x − 2 y z
x − 1 y − 2 z
r : = = y otro sobre la recta s : = = .
2 1 − 1
4 2 − 2
Ejercicio nº 29.-
Considera los puntos P(2, 1, 1) y Q(4, 5, 3).
a) Obtén la ecuación del plano que pasa por el punto medio de PQ y es perpendicular a
este.
b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por los ejes de coordenadas y el plano π.
Ejercicio nº 30.-
A(0, 1, 2), B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice, D, está sobre la recta:
x − 2 y z − 1
r : = =
− 1 1 1
Halla las coordenadas de D para que el volumen del ortoedro sea 2 unidades cúbicas.
Ejercicio nº 31.-
PROBLEMAS MÉTRICOS
Halla el punto simétrico de P(0, 2, 1), respecto del plano π: x + y − z = 2.
Ejercicio nº 32.-
Halla el punto simétrico de P(2, 1, 0) respecto del plano π: 2x − y + z = 2.
Ejercicio nº 33.-
Determina el punto simétrico de A(−2, 1, 3) respecto de la recta r :
⎧x
= 1+
λ
⎪
r : ⎨y
= − 2λ
⎪
⎩z
= 2
Ejercicio nº 34.-
Halla el punto simétrico de P(1, 0, 3) respecto del plano π: x − y +2z = 1.
Ejercicio nº 35.-
Determina el punto simétrico de A(2, 1, 4) respecto de la recta:
x − 1 y z + 1
r :
= =
3 2 − 1
5

Ejercicio nº 36.-
Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano de ecuación 2x − y + z + 4 = 0 y que dista 10 unidades
del punto P(2, 0, 1).
Ejercicio nº 37.-
Halla la ecuación de la proyección ortogonal,
sobre el plano π: x − y + z + 2 = 0.
Ejercicio nº 38.-
Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la
x −
2 y − 1 z
recta r : = = .
2 − 1 2
Ejercicio nº 39.-
En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta CD con la recta que une D y el punto medio de AB.
Ejercicio nº 40.-
x − 1 y z + 2
r ',
de la recta r : = =
2 − 1 1
Determina la ecuación de un plano, π, paralelo al plano de ecuación x − y + z + 2 = 0 y que dista 20 unidades
del punto P(0, 2, 3).
6

ÁNGULOS
Ejercicio nº 1.-
SOLCUIONES PROBLEMAS MÉTRICOS
a) Determina la ecuación del plano π que pasa por el punto P(1, −2, 0) y es perpendicular a la recta r:{x + y = 0,
y − 3z + 2 = 0}.
b) Halla el ángulo que forman los planos siguientes:
Solución:
π 1 : x + y = 0 π 2 : y − 3z + 2 = 0
a) Vector dirección de la recta: (1, 1, 0) × (0, 1, −3) = (−3, 3, 1)
Este vector es perpendicular a π. Por tanto:
π i : −3(x − 1) + 3(y + 2) + z = 0 → −3x + 3y + z + 9 = 0
b) El vector normal a π1
es n1
=
2 2
Ejercicio nº 2.-
Halla el ángulo que forma la recta
y el plano π: 2x − y + 4z − 2 = 0.
Solución:
Por otro lado, el vector normal al plano es:
90° − α = arccos (0,5573) = 56° → α = 34°
( 1,
1,
0)
y el vector normal a π es n = ( 0,
1,
− 3)
. Así:
n1
· n2
0 + 1+
0 1
cos α = =
= = 0,
22 → α = 77°
n · n 1+
1+
0 · 1+
9 20
1
⎧3x
− y − z + 1 = 0
r : ⎨
⎩ x + 2y
− 3z
= 0
Determinamos
un vector dirección de
i
v = 3
1
v =
j
−1
2
( 5,
8,
7)
2
k
−1
= 5 i + 8 j + 7k
− 3
n = ( 2,
−1,
4)
Por tanto:
cos °
v ·
n
v · n
r,
v:
10 − 8 + 28
30
21 · 138
( 90 − α)
= =
=
= 0,
5573
21 ·
138
7

Ejercicio nº 3.-
a) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(0, 1, −1) y es paralela a los planos π1 : x + 2y − z −2 = 0,
π2 : 2x + y + 2z − 1 = 0.
b) Halla el ángulo que forman π 1 y π 2 .
Solución:
a) Al ser paralela a los planos x + 2y − z − 2 = 0, 2x + y + 2z − 1 = 0, es también paralela a la recta:
b) Los vectores normales son:
Ejercicio nº 4.-
a) Halla el ángulo que forman las rectas:
b) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s.
Solución:
⎧ x + 2y
− z − 2 = 0
⎨
⎩2x
+ y + 2z
−1
= 0
determinada
por ambos, cuyo vector
i
d = 1
2
j
2
1
d = , −
( 5,
− 4 3)
k
−1
= 5 i − 4 j − 3k
2
La ecuación de la recta buscada es :
( 1,
2,
−1)
y n = ( 2,
1,
2)
n1 =
2
( 1,
2,
−1)
· ( 2,
1,
2)
dirección
es :
b) El plano buscado pasa por 1, 0, 2 y su vector normal es dr
× ds
n = dr
× ds
= ( − 2,
−1,
3)
Así:
d,
x y −1
z + 1
= =
5 − 4 − 3
2
cos α =
= = 0,
27 → α = 74°
1+
4 + 1 · 4 + 1+
4 54
⎧x
= 1+
λ
⎪
x − 1 y z + 2
r : ⎨y
= − 2λ
y s : = =
⎪
2 − 1 1
⎩z
= 2
a) El vector dirección de r es dr
= s −
dr
· ds
4
4
cos α = =
= = 0,
73 → α = 43°
d · d 1+
4 · 4 + 1+
1 30
r
s
( 1,
− 2,
0)
, y el de s es d = ( 2,
1,
1)
. Así:
( ) .
−2(x − 1) − 1 · y + 3(z − 2) = 0 → −2x − y + 3z − 4 = 0
8

Ejercicio nº 5.-
Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos P 1 (2, 1, −3) y P 2 (4, 2, 1) y es perpendicular al plano:
Solución:
π: 2x − y − z + 3 = 0
Los vectores PP 1 2 y n (vector normal del plano π ) y uno de los puntos P1 o P2
determinan
el plano que buscamos:
x − 2
y −1
z + 3
Ejercicio nº 6.-
DISTANCIAS
Dados los puntos P(1, 0, 2) y Q(2, −1, 0) y el plano π: x + y + 2z − 1 = 0, calcula:
a) La distancia entre P y Q.
b) La distancia de P a π.
Solución:
a)
dist
b) dist
Ejercicio nº 7.-
Calcula la distancia entre los planos siguientes:
Solución:
2
1
4
2
−1
= 0
−1
→
π: y + 3z = 0 π': 2y + 6z − 5 = 0
3x
+ 10y
− 4z
− 28 = 0
2 2 2
( P,
Q)
= ( 2 −1)
+ ( −1)
+ ( − 2)
= 6 = 2,
45
1+
0 + 2 · 2 −1
4
6
( P,
π)
=
= = 1,
63
2 2 2
1 + 1 + 2
Los dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incógnitas son proporcionales. Por tanto, la distancia entre
ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.
P(0, 3, −1) es un punto del plano π.
9

Por tanto:
dist
Ejercicio nº 8.-
Halla la distancia de P(3, 4, −1) al plano π: 2x + y − 3z + 8 = 0.
Solución:
dist
( P,
π)
Ejercicio nº 9.-
Calcula la distancia entre los planos siguientes:
Solución:
π: x − 3y + z − 10 = 0 π': 2x − 6y + 2z + 3 = 0
Los dos planos son paralelos pues los coeficientes de sus incógnitas son proporcionales. Por tanto, la distancia entre
ellos es la distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.
Por tanto:
P(1, 0, 9) es un punto del plano π.
dist
Ejercicio nº 10.-
Halla la distancia de P(5, 3, −4) al plano π: x + 3y − z + 5 = 0.
Solución:
dist
( P,
π)
Ejercicio nº 11.-
Calcula la distancia de P(1, 0, 2) a la recta r : (2λ, −λ, 1 + λ).
Solución:
1ª forma:
( π π')
= dist ( P,
π')
=
• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :
Su ecuación es:
π: 2(x − 1) − y + (z − 2) = 0 → π: 2x − y + z − 4 = 0
• Intersección de π y r:
( −1)
6 + 6 · − 5 5
, =
= =
4 + 36 40
2 · 3 + 4 − 3 ·
2
2
2
+ 1 +
( −1)
( − 3)
+ 8
2
=
21
=
14
2 · 1+
2 · 9 + 3
4 + 36 + 4
5,
61
23
44
0,
79
( π, π')
= dist ( P,
π')
=
= = 3,
47
5 + 3 · 3 + 4 + 5 23
=
= = 6,
93
2 2 2
1 + 3 + 11
( −1)
Su vector normal es el vector dirección de la recta:
n =
,
( 2,
−1,
1)
. Pasa por P(
1,
0 2).
10

Sustituimos las coordenadas de r en π:
• Distancia pedida:
2ª forma:
Ejercicio nº 12.-
⎧R
⎪
Recta r : ⎨
⎪⎩ d
Punto
P
( 0,
0,
1)
( 2,
−1,
1)
( 1, 0, 2)
Calcula la distancia de P(1, 0, −1) a la recta r : (2λ, 1 − λ, −λ).
Solución:
⎧
⎪x
= 1
⎪
⎪
1 ⎪ −1
⎛ −1
3 ⎞
2 · ( 2λ)
+ λ + ( 1+
λ)
− 4 = 0 → 6λ
− 3 = 0 → λ = → ⎨y
= → P'
⎜1,
, ⎟
2 ⎪ 2 ⎝ 2 2 ⎠
⎪
⎪ 3
⎪z
=
⎩ 2
dist
dist
dist
2
( P,
r ) = dist ( P,
P')
= ( 1−
1)
+ ⎜ ⎟ + ⎜2
⎟ = = 0,
71
( P,
r )
• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :
Su ecuación es:
π: 2 · (x − 1) − y − 1 · (z + 1) = 0 → π: 2x − y − z −3 = 0
• Intersección de π y r :
=
Área
Base
3
6
⎛ 1 ⎞
⎝ 2 ⎠
Sustituimos las coordenadas de r en π:
=
( P,
r ) = = 0,
71
RP × d
d
2
⎛ 3 ⎞
−
⎝ 2 ⎠
2
2
2
⎧
⎪ RP × d = ( 1,
1,
−1)
⎪
⎪
⎨ RP × d = 1+
1+
1 =
⎪
⎪
⎪ d = 4 + 1+
1 = 6
⎩
Su vector normal es el vector dirección de la recta:
n =
P
3
( 2,
−1,
−1)
. Pasa por .
11

2 ·
→
• Distancia pedida:
dist
Ejercicio nº 13.-
Calcula la distancia del punto P(1, −1, 2) a la recta siguiente:
Solución:
( 2λ)
− ( 1−
λ)
+ λ − 3 = 0 → 6λ
− 4 = 0 → λ = → y = →
⎛ 4 1 − 2 ⎞
P'⎜
, , ⎟
⎝ 3 3 3 ⎠
• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :
Su ecuación es:
π: 2 · (x − 1) + (y + 1) − (z − 2) = 0 → π: 2x + y − z + 1 = 0
• Intersección de π y r.
Sustituimos las coordenadas de r en π:
• Distancia pedida:
⎛ 4 ⎞
−
⎝ 3 ⎠
2
⎛ 1 ⎞
−
⎝ 3 ⎠
2
3
2 ⎞
3 ⎠
⎧ 4
⎪x
=
3
⎪
⎪
⎪ 1
⎨
⎪ 3
⎪
⎪ − 2
⎪z
=
⎩ 3
( P,
r ) = dist ( P,
P')
= ⎜1
⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜−
1+
⎟ = = 0,
58
⎧x
= 2λ
⎪
r : ⎨y
= λ
⎪
⎩z
= −λ
Su vector normal es el vector dirección de la recta:
n =
,
2
⎛
⎝
2
3
3
( 2,
1,
−1)
. Pasa por P(
1,
−1
2).
⎧ − 2
⎪x
=
6
⎪
⎪
−1
⎪ −1
⎛ − 2 −1
1 ⎞
2 · ( 2λ)
+ λ + λ + 1=
0 → 6λ
+ 1=
0 → λ = → ⎨y
= → P'
⎜ , , ⎟
6 ⎪ 6 ⎝ 6 6 6 ⎠
⎪
⎪ 1
⎪z
=
⎩ 6
dist
⎛ 2 ⎞
+
⎝ 6 ⎠
2
⎛
1 ⎞
6 ⎠
⎛ 1 ⎞
−
⎝ 6 ⎠
210
6
( P,
r ) = dist ( P,
P')
= ⎜1
⎟ + ⎜−
1+
⎟ + ⎜2
⎟ = = 2,
42
⎝
2
2
12

Ejercicio nº 14.-
Calcula razonadamente la distancia del punto P(3, −1, 5) a la recta siguiente:
Solución:
• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :
Su vector normal, es el vector dirección de la recta : n =
Su ecuación es:
−1,
−1,
2 . Pasa por P 3,
−1,
5
−1 · (x − 3) − 1 · (y + 1) + 2 · (z − 5) = 0
Simplificando:
π: −x − y + 2z − 8 = 0 o también π: x + y − 2z + 8 = 0.
• Intersección de π y r :
Sustituimos las coordenadas de r en π.
• Distancia pedida:
Ejercicio nº 15.-
Calcula la distancia de P(2, 1, −1) a la recta r : (4λ, 1 − λ, λ).
Solución:
1ª forma:
⎧x
= 2 − λ
⎪
r : ⎨y
= − λ
⎪
⎩z
= 3 + 2λ
• Plano π que pasa por P y es perpendicular a r :
Su ecuación es:
π: 4 · (x − 2) − 1 · (y − 1) + (z + 1) = 0 → π: 4x − y + z − 6 = 0
• Intersección de π y r :
( ) ( ).
⎧ 4
⎪x
=
3
⎪
⎪
⎪ − 2
⎨
⎪ 3
⎪
⎪ 13
⎪z
=
⎩ 3
( 2 − λ)
− λ − 2(
3 + 2λ)
+ 8 = 0 → − 6λ
+ 4 = 0 → λ = → y = →
→
dist
⎛ 4 − 2 13 ⎞
P'⎜
, , ⎟
⎝ 3 3 3 ⎠
⎛ 4 ⎞
−
⎝ 3 ⎠
2
⎛
2 ⎞
3 ⎠
( P,
r ) = dist ( P,
P')
= ⎜3
⎟ + ⎜−
1+
⎟ + ⎜5
⎟ = = 1,
83
⎝
2
2
3
⎛ 13 ⎞
−
⎝ 3 ⎠
Su vector normal es el vector dirección de la recta:
n = ( 4,
−1,
1)
. Pasa por P.
2
30
3
13

Sustituimos las coordenadas de r en π:
4 ·
→
• Distancia pedida:
dist
2ª forma:
dist
dist
Ejercicio nº 16.-
Calcula la distancia entre las rectas r y s:
Solución:
⎧R
⎪
Recta r : ⎨
⎪⎩ d
( 0,
1,
0)
( 4,
−1,
1)
Punto P( 2,
1,
−1)
Hallemos el plano π que contiene a r y es paralelo a s.
El punto (−2, 4, 0) es de r y, por tanto, de π.
Ecuación de π:
( 4λ)
− ( 1−
λ)
+ λ − 6 = 0 → 16λ
+ λ + λ − 7 = 0 → 18λ
− 7 = 0 → λ = →
⎧ 14
⎪x
=
9
⎪
⎪
⎪ 11
⎨y
=
⎪ 18
⎪
⎪ 7
⎪z
=
⎩ 18
→
⎛14
11
P'⎜
, ,
⎝ 9 18
7 ⎞
⎟
18 ⎠
⎛ 14 ⎞
−
⎝ 9 ⎠
2
⎛ 11⎞
−
⎝ 18 ⎠
7 ⎞
18 ⎠
738
18
( P,
r ) = dist ( P,
P')
= ⎜2
⎟ + ⎜1
⎟ + ⎜−
1−
⎟ = = 1,
5
( P,
r )
=
Área
Base
41
18
=
( P,
r ) = = 1,
5
RP × d
d
⎧x
+ y = 2
⎧x
+ z = 0
r : ⎨
s : ⎨
⎩x
− z = −2
⎩y
− z = 1
2
⎧
⎪ RP × d = ( −1,
− 6,
− 2)
⎪
⎪
⎨ RP × d = 1+
36 + 4 =
⎪
⎪
⎪ d = 16 + 1+
1 = 18
⎩
El vector dirección de r es d =
−
( 1,
−1,
1)
( −1,
1,
1)
// r
⎫
⎬ Por tanto,
// s⎭
( 1,
−1,
1)
y el de s es d'=
( 1,
1,
1).
⎛
⎝
2
41
7
18
( 1,
−1,
1)
× ( −1,
1,
1)
= ( − 2,
− 2,
0)
es perpendicu lar a π.
14

−2(x + 2) − 2(y − 4) = 0 → 2x + 2y − 4 = 0
Ejercicio nº 17.-
Dadas las rectas:
Halla:
dist
a) La ecuación del plano que pasa por la segunda y es paralelo a la primera.
b) La distancia entre ambas rectas.
Solución:
a) Hallamos el plano, π, que contiene a r 2 y es paralelo a r 1 .
El punto (1, −1, 3) es de r 2 y, por tanto, de π.
Ecuación de π:
dist
−10(x − 1) + 5(y + 1) + 5(z − 3) = 0 → π: 2x − y − z = 0
Ejercicio nº 18.-
Considera las rectas r y s:
Calcula la distancia entre ellas dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.
Solución:
2 − 4
2
8
( s,
r ) = dist ( s,
π)
= dist [ ( 0,
1,
0)
, π]
= = = 0,
71
4 + 4
x − 2 y + 3 z − 1 x − 1 y + 1 z − 3
r 1 : = = , r2
: = =
3 2 4
2 3 1
( 3,
2,
4)
( 2,
3,
1)
// r1⎪⎫
⎬ Por tanto,
// r2
⎪⎭
( 3, 2, 4)
× ( 2,
3,
1)
= ( −10,
5,
5)
es perpendicular
a π.
4 + 3 −1
( r , r ) = dist ( r , π)
= dist [ ( 2,
− 3,
1)
, π]
= = = 2,
45
b) 1 2
1
⎧x
= 3 + λ
⎪
⎧x
+ z = 2
r : ⎨y
= − 2λ
s : ⎨
⎪
⎩y
− z = 0
⎩z
= −1
dist
4 + 1+
1
( s,
r ) = dist ( S,
plano RPQ)
=
=
6
6
Volumen del paralelepípedo
definido por RS,
d,
d'
Área del paralelogramo
definido por d,
d'
15

Ejercicio nº 19.-
Calcula la distancia entre:
dividiendo el volumen de un paralelepípedo entre el área de su base.
Solución:
( 3,
0,
−1)
⎧Un
punto:
R
⎪
⎨
⎪⎩ Un vector dirección:
( 2,
0,
0)
⎧Un
punto:
S
⎪
s ⎨
⎪⎩ Un vector dirección:
−1
d
=
( 1,
− 2,
0)
d'
( −1, 1,
1)
[ RS,
d,
d'
] = 1 − 2 0 = 1
−1
d × d'=
−
0
1
( − 2,
−1,
1)
d × d'
= 4 + 1+
1 =
dist
1
6
( r,
s)
= = 0,
41
⎧x
= 2 + λ
⎧x
= 4 − µ
⎪
⎪
r : ⎨y
= − 2λ
y s : ⎨y
= 2 + µ
⎪
⎪
⎩z
= 5
⎩z
= µ
dist
6
1
1
[ RS,
d,
d'
]
d × d'
Volumen del paralelepípedo
definido por RS,
d,
d'
Área del paralelogramo
definido por d,
d'
( r,
s)
= dist ( S,
plano RPQ)
=
=
2
[ RS,
d,
d'
] = 1 − 2 0 = −1
−1
2
1
− 5
1
=
[ RS,
d,
d'
]
d × d'
16

Ejercicio nº 20.-
Dadas las rectas:
Halla:
a) La distancia entre las rectas.
b) La recta perpendicular a r y s.
Solución:
d × d'=
−
( − 2,
−1,
1)
d × d'
= 4 + 1 + 1 =
dist
1
6
( r,
s)
= = 0,
41
⎧x
= 1+
λ
⎪
x − 2 y z − 1
r : ⎨y
= 2λ
y s : = =
⎪
3 2 1
⎩z
= −2
a) R y S son los extremos del segmento perpendicular a ambas rectas.
Un punto genérico de r es R(1 + λ, 2λ, −2) y un punto genérico de s es
S(2 + 3µ, 2µ, 1 + µ).
Un vector genérico que tenga su origen en r y su extremo en S es:
( 1+
3µ
− λ,
2µ
− 2λ,
+ µ )
RS = 3
De todos los posibles vectores RS,
rectas:
RS ·
RS ·
( 1,
2,
0)
La solución es:
Sustituyendo en r y s obtenemos los puntos R y S.
6
= 0 → 1+
3µ
− λ + 4µ
− 4λ
= 0
buscamos aquel que sea perpendicular
a las dos
⎫
⎪ 1−
5λ
+ 7µ
= 0 ⎪⎫
⎬ →
⎬
⎪ ( 3,
2,
1)
= 0 → 3 + 9µ
− 3λ
+ 4µ
− 4λ
+ 3 + µ = 0⎪
6 − 7λ
+ 14µ
= 0⎭
−4
−23
λ = , µ =
3 21
⎛ −1
− 8 ⎞ ⎫
R⎜
, , − 2⎟
⎪
⎝ 3 3 ⎠ ⎪
⎬ dist
⎛ − 9 − 46 − 2 ⎞⎪
S⎜
, , ⎟⎪
⎝ 7 21 21 ⎠⎪⎭
⎭
⎛ − 20 ⎞
⎝ 21 ⎠
2
⎛10
⎞
⎝ 21⎠
⎛ 40 ⎞
⎝ 21 ⎠
2100
21
( r,
s)
= dist ( R,
S)
= ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = = 2,
18
2
2
17

) La recta perpendicular a r y s, es la recta que pasa por R y S.
Ejercicio nº 21.-
Considera el plano 2x − y + z − 4 = 0.
ÁREAS
a) Halla los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas.
b) Calcula el área del triángulo formado por estos tres puntos.
Solución:
a) Si y = 0, z = 0 → x = 2 → A(2, 0, 0)
Si x = 0, z = 0 → y = −4 → B(0, −4, 0)
Si x = 0, y = 0 → z = 4 → C(0, 0, 4)
Ejercicio nº 22.-
b) El plano del apartado anterior corta a los ejes de coordenadas en los puntos A, B y C. Calcula el área del
triángulo ABC.
Solución:
⎛ − 20 10
RS = ⎜ , ,
⎝ 21 21
M = (1, 2, 2)
40 ⎞
⎟
21 ⎠
⎧ −1
20
⎪x
= − λ
3 21
⎪
⎪
⎪ − 8 10
La recta buscada es:
⎨y
= + λ
⎪ 3 21
⎪
⎪ 40
⎪z
= −2
+ λ
⎩ 21
( − 2,
4,
0)
b) AB = −
AC =
( − 2,
0 4)
−2(x − 1) + 2(y − 2) + 4(z − 2) = 0
( −16,
8,
− 8)
384
2
AB × AC
Área ABC =
2
=
2
=
2
= 9,
8 u
a) Obtén la ecuación del plano π que pasa por el punto medio del segmento PQ siendo
P(2, 1, 0) y Q(0, 3, 4) y es perpendicular a dicho segmento.
a) Calculamos el punto medio de PQ :
El vector normal a π es el vector PQ
= −
( 2,
2,
4)
, por tanto, el plano es:
18

−2x + 2y + 4z − 10 = 0
2x − 2y − 4z + 10 = 0
b) Calculamos los puntos A, B y C :
Si z = 0, y = 0 → x = −5 → A(−5, 0, 0)
Si x = 0, z = 0 → y = 5 → B(0, 5, 0)
5 ⎛ 5 ⎞
Si x = 0,
y = 0 → z = → C⎜0,
0,
⎟
2 ⎝ 2 ⎠
Ejercicio nº 23.-
Los puntos P(0, 2, 0) y Q(2, 1, −1) son dos vértices de un triángulo, y el tercero, S,
pertenece a la recta
recta r.
⎧x
= 2 + λ
⎪
r : ⎨y
= − λ
⎪
⎩z
= 3
La recta que contiene a P y a S es perpendicular
a la
a) Determina las coordenadas de S.
b) Calcula el área del triángulo PQS.
Solución:
⎛ 25 − 25 ⎞
AB × AC ⎜ , , − 25⎟
⎝ 2 2 ⎠ 3750
Área ABC =
=
= = 15
2
2
4
a) PS ⊥ dr
→ PS · dr
= 0
b) PS =
(2 + λ, −λ − 2, 3) · (1, −1, 0) = 0
2 + λ + λ + 2 = 0
λ = −2 → S = (0, 2, 3)
( 0,
0,
3)
PQ =
( 2, −1,
−1)
( 3,
6,
0)
45
2
PS × PQ
Área PQS
=
2
=
2
=
2
= 3,
35 u
, 3
2
u
19

Ejercicio nº 24.-
Un cuadrado tiene uno de sus lados sobre la recta
Calcula el área del cuadrado.
Solución:
El lado del cuadrado es la distancia entre r y s.
Ejercicio nº 25.-
Considera los puntos A(3, 0, 2), B(4, −1, 3) y C(2, 2, 1).
a) Prueba que son los vértices de un triángulo.
b) Calcula el área de dicho triángulo.
Solución:
⎧x
= 1+
λ
⎪
x − 2 y + 1 z
r : ⎨y
= − 2λ
y otro sobre s : = =
⎪
2 − 4 − 2
⎩z
= 3 − λ
d =
s −
a) Hay que probar que A, B y C no están alineados.
Sus coordenadas no son proporcionales, luego los puntos no están alineados y son los vértices de un triángulo.
Ejercicio nº 26.-
r
( 1,
− 2,
−1)
// d = ( 2,
− 4,
2)
. Por tanto las dos rectas son paralelas.
Área
RS × ds
( −10,
− 4,
− 2)
120 lado del
dist ( r,
s)
= dist ( R,
s)
= = =
= = 5 =
Base d 4 + 16 + 4 24 cuadrado
2
2
( 5 ) 5 u
Por tanto, Área = =
( 1,
−1,
1)
AB = ⎪⎫
⎬
AC = ( −1,
2,
−1)⎪
⎭
s
( −1,
0,
1)
2
2
AB × AC
b) Área ABC
=
2
=
2
=
2
= 0,
71 u
VOLÚMENES
Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano:
2x − y + z − 4 = 0
20

Solución:
Buscamos los puntos de corte con los ejes:
Si y = 0, z = 0 → x = 2 → A(2, 0, 0)
Si x = 0, z = 0 → y = −4 → B(0, −4, 0)
Si x = 0, y = 0 → z = 4 → C(0, 0, 4)
El cuarto vértice del tetraedro es el punto D(0, 0, 0).
DA =
DB =
DC =
Ejercicio nº 27.-
a) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(3, −1, −1) y es perpendicular a
v( 1,
1,
1).
b) Calcula el volumen del tetraedro determinado por los ejes de coordenadas y el plano anterior.
Solución:
( 2,
0,
0)
( 0, − 4,
0)
( 0,
0,
4)
2 0 0
1
Volumen de ABCD = DC
=
6
6
6
0 0 4
a) La ecuación del plano es:
1 · (x − 3) + 1 · (y + 1) + 1 · (z + 1) = 0, es decir:
x + y + z − 1 = 0
b) Obtenemos los puntos de corte del plano con los ejes de coordenadas:
− Con el eje X → y = z = 0 → x = 1 → Punto A(1, 0, 0).
− Con el eje Y → x = z = 0 → y = 1 → Punto B(0, 1, 0).
− Con el eje Z → x = y = 0 → z = 1 → Punto C(0, 0, 1).
El cuarto vértice del tetraedro es el origen D(0, 0, 0).
DA
Ejercicio nº 28.-
( 1, 0,
0)
DB ( 0,
1,
0)
DC(
0,
0,
1)
1
1
1 16 3
[ DA,
DB,
] = · 0 − 4 0 = · 32 u
1 1 3
[ DA,
DB,
DC ] = 0 1 0 = 1 → Volumen = · 1=
u
0
0
0
0
1
Calcula el volumen de un cubo que tiene uno de sus lados sobre la recta
x − 2 y z
x − 1 y − 2 z
r
: = = y otro sobre la recta s : = = .
2 1 − 1
4 2 − 2
6
6
3
21

Solución:
El lado del cuadrado es la distancia entre r y s.
Ejercicio nº 29.-
Considera los puntos P(2, 1, 1) y Q(4, 5, 3).
a) Obtén la ecuación del plano que pasa por el punto medio de PQ y es perpendicular a
este.
b) Calcula el volumen del tetraedro limitado por los ejes de coordenadas y el plano π.
Solución:
dr = s −
π: 2(x − 3) + 4(y − 3) + 2(z − 2) = 0 → π: 2x + 4y + 2z − 22 = 0 →
→ π: x + 2y + z − 11 = 0
b) Puntos de corte con los ejes:
Si y = 0, z = 0 → x = 11 → A(11, 0, 0)
Si x = 0, y = 0 → z = 11 → C(0, 0, 11)
D(0, 0, 0)
( 2,
1,
−1)
// d ( 4,
2,
2)
. Por tanto las dos rectas son paralelas.
Área
RS × ds
( − 4,
− 2,
−10)
120
dist ( r,
s)
= dist ( R,
s)
= = =
= = 5 = arista
Base d 16 + 4 + 4 24
3
3
( 5 ) 5 5 u
Por tanto, Volumen = =
a) Hallamos el punto medio de PQ → M
El vector normal al plano es PQ =
s
( 3,
3,
2)
( 2,
4,
2)
, así:
11 ⎛ 11 ⎞
Si x = 0,
z = 0 → y = → B⎜0,
, 0⎟
2 ⎝ 2 ⎠
⎛
11 ⎞
DA ⎟
⎝ 2 ⎠
( 11, 0,
0)
DB ⎜0,
, 0 DC(
0,
0,
11)
del cubo
22

Ejercicio nº 30.-
A(0, 1, 2), B(0, 2, 3) y C(0, 2, 5) son tres vértices de un tetraedro. El cuarto vértice, D, está sobre la recta:
Halla las coordenadas de D para que el volumen del ortoedro sea 2 unidades cúbicas.
Solución:
1
Volumen de ABCD =
DC
6
x − 2 y z − 1
r : = =
− 1 1 1
D es un punto de r → D(2 − λ, λ, 1 + λ)
V ABCD
AB =
AC =
AD =
1
6
1
=
6
Hay dos soluciones:
D(6, −4, −3) y D(−6, 8, 9).
Ejercicio nº 31.-
·
·
( 0,
1,
1)
( 0,
1,
3)
[ AB,
AC,
AD ]
( 2 − λ,
λ −1,
λ −1)
0
0
2 − λ
1
1
λ −
1
1
3
λ −
1 11 1 1 331
[ DA,
DB,
] = · 0 0 = · =
1331
= = 110
12
1
= 2
→
PROBLEMAS MÉTRICOS
Halla el punto simétrico de P(0, 2, 1), respecto del plano π: x + y − z = 2.
, 92
3
u
6
11
0
0
2
0
11
⎧4
− 2λ
= 12 → λ = −4
4 − 2λ
= 12 ⎨
⎩2λ
− 4 = 12 → λ = 8
Solución:
Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π.
d = n = −
r
( 1,
1,
1)
Obtenemos el punto, M, de corte de r y π:
0
6
2
⎧x
= λ
⎪
r
: ⎨y
= 2 + λ
⎪
⎩z
= 1 − λ
23

El punto que buscamos, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M.
Como M es el punto medio de PP',
Ejercicio nº 32.-
Halla el punto simétrico de P(2, 1, 0) respecto del plano π: 2x − y + z = 2.
Solución:
Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular a π.
Calculamos el punto, M, de corte de r y π:
El punto buscado, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M. Como M es el punto
medio de PP',
se tiene:
Ejercicio nº 33.-
Determina el punto simétrico de A(−2, 1, 3) respecto de la recta r :
Solución:
⎛ x y + 2 z + 1⎞
⎛ 1 7
⎜ , , ⎟ = ⎜ , ,
⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ 3 3
d = n = −
r
( 2,
1,
1)
⎧x
= 2 + 2λ
⎪
r : ⎨y
= 1−
λ
⎪
⎩z
= 0 + λ
2 ⎞
⎟
3 ⎠
tenemos:
→
2
x = ,
3
8
y = ,
3
1
z =
3
→
⎛ 2 8
P'⎜
, ,
⎝ 3 3
−1
⎛ 5 7 −1⎞
2 M
( 2 + 2λ)
− ( 1−
λ)
+ λ = 2 → 6λ
= −1
→ λ = → ⎜ , , ⎟
6 ⎝ 3 6 6 ⎠
⎛ x + 2 y + 1 z ⎞ ⎛ 5 7 −1⎞
⎜ , , ⎟ = ⎜ , , ⎟ →
⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ 3 6 6 ⎠
⎧x
= 1+
λ
⎪
r : ⎨y
= − 2λ
⎪
⎩z
= 2
4
x = ,
3
8
y = ,
6
−1
z =
3
→
1 ⎞
⎟
3 ⎠
⎛ 4 4 −1⎞
P'⎜
, , ⎟
⎝ 3 3 3 ⎠
Hallamos el plano π que contiene al punto A y es perpendicular
a r :
n = dr
= −
( 1,
2,
0)
24

x + 2 − 2(y − 1) = 0 → x − 2y + 4 = 0
Buscamos el punto de corte de r y π:
M(0, 2, 2)
El punto A' es el simétrico de A respecto de M:
Ejercicio nº 34.-
Halla el punto simétrico de P(1, 0, 3) respecto del plano π: x − y +2z = 1.
Solución:
⎛ x − 2 y + 1 z + 3 ⎞
⎜ , , ⎟ =
⎝ 2 2 2 ⎠
Hallamos la recta r que pasa por P y es perpendicular al plano π.
d = n = −
Obtenemos el punto, M, de corte de r y π:
1 + λ + λ + 2(3 + 2λ) = 1 → 6λ = −6 → λ = −1 → M(0, 1, 1)
El punto que buscamos, P '(x, y, z), es el simétrico de P respecto de M.
Como M
Ejercicio nº 35.-
r
( 1,
1,
2)
⎧x
= 1+
λ
⎪
r : ⎨y
= − λ
⎪
⎩z
= 3 + 2λ
es el punto medio de PP',
tenemos:
⎛ x + 1 y z + 3 ⎞
⎜ , , ⎟ =
⎝ 2 2 2 ⎠
( 0,
2,
2)
→ x = 2,
y = 3,
z = 1 → A'(
2,
3,
1)
( 0,
1,
1)
→ x = −1,
y = 2,
z = −1
→ P'
( −1,
2,
−1)
Determina el punto simétrico de A(2, 1, 4) respecto de la recta:
x − 1 y z + 1
r :
= =
3 2 − 1
25

Solución:
Hallamos el plano π que contiene al punto A y es perpendicular a r :
n = dr
= ( 3,
2,
−1)
3 · (x − 2) + 2(y − 1) − (z − 4) = 0 → 3x + 2y − z − 4 = 0
Buscamos el punto de corte de r y π:
M(1, 0, −1)
El punto A' es el simétrico de A respecto de M:
Ejercicio nº 36.-
Determina la ecuación de un plano π paralelo al plano de ecuación 2x − y + z + 4 = 0 y que dista 10 unidades
del punto P(2, 0, 1).
Solución:
⎛ x + 2 y + 1 z + 4 ⎞
⎜ , , ⎟ =
⎝ 2 2 2 ⎠
Un plano paralelo a 2x − y + z + 4 = 0 es de la forma:
π: 2x − y + z + k = 0
Tenemos que hallar k para que la distancia a P sea 10 u:
dist
Hay dos planos:
Ejercicio nº 37.-
2 · 2 + 1+
k
4 + 1+
1
( P,
π)
=
= 10
sobre el plano π: x − y + z + 2 = 0.
( 1,
0,
−1)
→ x = 0,
y = −1,
z = −6
→ A'(
0,
−1,
− 6)
⎧
⎪
5 + k = 10 6 → k = 10 6 − 5
5 + k = 10 6 ⎨
⎪
⎩−
5 − k = 10 6 → k = −5
−10
6
2 x − y + z + 10 6 − 5 = 0
2 x − y + z −10
6 − 5 = 0
Halla la ecuación de la proyección ortogonal,
x − 1 y z + 2
r ',
de la recta r : = =
2 − 1 1
26

Solución:
La proyección ortogonal de r sobre π es la recta de intersección del plano π con otro plano σ, perpendicular a σ y
que contiene a r.
La ecuación de σ es:
−1 · (y) − 1 · (z + 2) = 0 → −y − z − 2 = 0
σ: y + z + 2 = 0
La proyección ortogonal de r sobre π es:
Ejercicio nº 38.-
Halla la ecuación de la recta s que pasa por P(2, 0, 1) y corta perpendicularmente a la
x − 2 y − 1 z
recta r : = = .
2 − 1 2
Solución:
Así:
R
( 1, 0,
− 2)
, dr
= ( 2,
−1,
1)
, n = ( 1,
−1,
1)
Ejercicio nº 39.-
d × n = −
r
( 0, −1,
1)
⎧x
− y + z + 2 = 0
r ':
⎨
⎩ y + z + 2 = 0
Buscamos el vector director de s , d'=
c
• d ⊥ d'
→ d · d'=
0 → 2a
− b + 2c
= 0
( a,
b,
) , teniendo en cuenta que:
a b c
• r y s se cortan → ran
c =
0 1 −1
( d,
d',
PR)
= 2 → 2 −1
2 = 0 → − a + 2b
+ 2 0
2a
− b + 2c
= 0⎫
Las soluciones del sistema:
⎬ son los vectores de la recta s:
− a + 2b
+ 2c
= 0⎭
d'
( − 2λ,
− 2λ
λ)
= ,
Para λ = 1 → d'=
−
⎧x
= 2 − 2λ
⎪
s
: ⎨y
= − 2λ
⎪
⎩z
= 1 + λ
( − 2,
2,
1)
En la figura adjunta, calcula el ángulo que forma la recta CD con la recta que une D
y el punto medio de AB.
27

Solución:
Consideremos que el cubo es de lado 1 y está centrado en el origen.
Así A(1, 0, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 0) y D(0, 1, 1)
α = 70,53°
Ejercicio nº 40.-
Determina la ecuación de un plano, π, paralelo al plano de ecuación x − y + z + 2 = 0 y que dista 20 unidades
del punto P(0, 2, 3).
Solución:
⎛ 1 ⎞
M = ⎜1,
0,
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ −1⎞
DM = ⎜1,
−1,
⎟,
DC = −
⎝ 2 ⎠
cos α =
Un plano paralelo a x − y + z + 2 = 0 es de la forma:
π: x − y + z + k = 0
Tenemos que hallar k para que la distancia a P sea 20 u:
dist
1+
k
Hay dos planos:
DM · DC
DM
·
DC
=
− 2 + 3 + k
( 0,
0,
1)
1
2
9
·
4
1+
k
=
1
( P,
π)
=
= = 20
= 20
1+
1+
1
x − y + z + 20 3 −1
= 0
x
− y + z − 20 3 −1
= 0
3
1
2
3
2
=
1
3
⎧
⎪
1+
k = 20 3 → k = 20 3 −1
3 ⎨
⎪
⎩−1−
k = 20 3 → k = −20
3 −1
28