Ejercicios de límites y continuidad - Amolasmates
Ejercicios de límites y continuidad - Amolasmates
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EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES<br />
Ejercicio nº 1.-<br />
A partir <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x), calcula:<br />
a) lim f<br />
x x Ejercicio nº 2.-<br />
b) lim f<br />
x x c) lim f<br />
<br />
x1<br />
x d) lim f<br />
<br />
x1<br />
x e) lim f<br />
x5 La siguiente gráfica correspon<strong>de</strong> a la función f(x). Sobre ella, calcula los <strong>límites</strong>:<br />
a) lim f<br />
x x Ejercicio nº 3.-<br />
b) lim f<br />
x x c) lim f<br />
<br />
x3<br />
x d) lim f<br />
<br />
x3<br />
x e) limf<br />
x0 Dada la siguiente gráfica <strong>de</strong> f(x), calcula los <strong>límites</strong> que se indican:<br />
a) lim f<br />
x x b) lim f<br />
x x c) lim f<br />
<br />
x2<br />
x 8 6<br />
8 6<br />
8 6<br />
d) lim f<br />
<br />
x2<br />
x Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
4<br />
2 4<br />
2<br />
4<br />
e) limf<br />
x0 x x x 6 8<br />
6 8<br />
6 8<br />
X<br />
X<br />
X<br />
1
Ejercicio nº 4.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> a partir <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x):<br />
a) lim f<br />
x x Ejercicio nº 5.-<br />
b) lim f<br />
x x Sobre la gráfica <strong>de</strong> f(x), halla :<br />
a) lim f<br />
x x Ejercicio nº 6.-<br />
b) lim f<br />
x x c) lim f<br />
<br />
x3<br />
c) lim f<br />
<br />
x2<br />
x x d) lim f<br />
<br />
x3<br />
d) lim f<br />
<br />
x2<br />
x x Representa gráficamente los siguientes resultados:<br />
a) lim f<br />
x<br />
x <br />
Ejercicio nº 7.-<br />
b) lim g<br />
x<br />
x <br />
8 6<br />
8 6<br />
Para la función f<br />
x 1<br />
<br />
x 3<br />
x 1<br />
lim <br />
x 3 x 3<br />
y<br />
x 1<br />
lim <br />
x3<br />
x 3<br />
x , sabemos que :<br />
Representa gráficamente estos dos <strong>límites</strong>.<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2 4<br />
e) limf<br />
x0 2 4<br />
e) limf<br />
x0 x x 6 8<br />
6 8<br />
X<br />
X<br />
2
Ejercicio nº 8.-<br />
Representa gráficamente:<br />
x 1<br />
x 0<br />
a) lim f <br />
x<br />
lim<br />
x1<br />
b) g <br />
Ejercicio nº 9.-<br />
Representa los siguientes <strong>límites</strong>:<br />
lim f<br />
x lim f x <br />
<br />
<br />
x2 x2<br />
Ejercicio nº 10.-<br />
Representa en cada caso los siguientes resultados:<br />
x 2<br />
x <br />
a) lim f <br />
x <br />
b) lim g<br />
x<br />
Ejercicio nº 11.-<br />
Calcula:<br />
a) lim 3 x<br />
b)<br />
x<br />
2<br />
lim<br />
x<br />
8<br />
<br />
x<br />
2<br />
2<br />
1 2x<br />
<br />
c) limsenx<br />
Ejercicio nº 12.-<br />
Halla los <strong>límites</strong> siguientes:<br />
x 3<br />
a) lim<br />
x2<br />
2<br />
x x 1<br />
b)<br />
lim<br />
x<br />
1<br />
lim<br />
x 1<br />
6 3x<br />
c) log x<br />
<br />
Ejercicio nº 13.-<br />
Resuelve:<br />
2 3 x x <br />
a) lim<br />
<br />
<br />
<br />
x2<br />
<br />
2 4 <br />
b) lim 3<br />
x2<br />
<br />
x<br />
4<br />
x1<br />
c) lim tg x<br />
3
Ejercicio nº 14.-<br />
Calcula ellímite<br />
<strong>de</strong> la función<br />
Ejercicio nº 15.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong>:<br />
4<br />
a) lim<br />
x3<br />
2<br />
x 2x<br />
3<br />
b) lim<br />
x3<br />
x<br />
2<br />
c) limcos<br />
x<br />
x 0<br />
9<br />
Ejercicio nº 16.-<br />
f<br />
x<br />
3<br />
4<br />
x<br />
2<br />
x en x 1 y en x 3.<br />
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento <strong>de</strong> la función por la izquierda y por la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x <br />
2:<br />
x 1<br />
lim<br />
x 2 x 2<br />
Ejercicio nº 17.-<br />
2<br />
Dada la función<br />
x 1<br />
f x ,<br />
2<br />
x 5x<br />
6<br />
calcula ellímite<br />
<strong>de</strong> f ( x)<br />
en x 2.<br />
información que obtengas.<br />
Ejercicio nº 18.-<br />
Representa la<br />
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento <strong>de</strong> la función a la izquierda y a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x 3:<br />
1<br />
lim<br />
x 3 2<br />
x 9<br />
Ejercicio nº 19.-<br />
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento <strong>de</strong> la función por la izquierda y por la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong><br />
x 0:<br />
2x<br />
1<br />
lim<br />
x 0<br />
2<br />
x 2x<br />
Ejercicio nº 20.-<br />
Calcula el límite <strong>de</strong> la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y<br />
por la <strong>de</strong>recha:<br />
f<br />
x 1<br />
<br />
x 3<br />
4
Ejercicio nº 21.-<br />
Calculaellímite cuando x y cuando x <br />
y representa la información que obtengas:<br />
Ejercicio nº 22.-<br />
f<br />
x 2<br />
1<br />
2x<br />
4x<br />
<br />
3<br />
Halla ellímite<br />
cuando x <br />
la información que obtengas:<br />
a) f<br />
b)<br />
f<br />
3<br />
x x<br />
2 2<br />
2<br />
3x<br />
2x<br />
<br />
5<br />
x 1<br />
x Ejercicio nº 23.-<br />
3<br />
<strong>de</strong>lasiguientefunción<br />
<strong>de</strong> las siguientes funciones yrepresenta<br />
gráficamente<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa la información que obtengas:<br />
4 2 x <br />
a) lim x<br />
x<br />
<br />
3 2 x x <br />
b) lim <br />
<br />
<br />
2x<br />
x <br />
<br />
3 2 <br />
Ejercicio nº 24.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa el resultado que obtengas:<br />
2 x x <br />
a) lim <br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
3 4 <br />
4 x x <br />
b) lim <br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
3 4 <br />
Ejercicio nº 25.-<br />
Halla los siguientes <strong>límites</strong> y representa gráficamente los resultados obtenidos:<br />
2<br />
4 <br />
a) lim x<br />
x <br />
2<br />
4 <br />
b) lim x<br />
x <br />
Ejercicio nº 26.-<br />
Calcula y representa gráficamente la información obtenida<br />
2<br />
x 3x<br />
4<br />
lim<br />
1 2<br />
x 2x<br />
1<br />
x<br />
5
Ejercicio nº 27.-<br />
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:<br />
Ejercicio nº 28.-<br />
2<br />
x 4x<br />
5<br />
lim<br />
x 1 3 2<br />
x 3x<br />
3x<br />
1<br />
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.<br />
Ejercicio nº 29.-<br />
2<br />
2x<br />
12x<br />
18<br />
lim<br />
x 3 2<br />
x x 6<br />
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:<br />
Ejercicio nº 30.-<br />
lim<br />
2x<br />
2<br />
x 0<br />
4<br />
x 2<br />
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:<br />
Ejercicio nº 31.-<br />
x<br />
2<br />
x 4<br />
lim<br />
x 2 2x<br />
4<br />
3<br />
Resuelve los siguientes <strong>límites</strong> y representa los resultados obtenidos<br />
a)<br />
lim<br />
1<br />
3 1 x<br />
x <br />
<br />
3 x<br />
b) lim<br />
x <br />
2<br />
x<br />
Ejercicio nº 32.-<br />
3<br />
Halla los siguientes <strong>límites</strong> y representa gráficamente los resultados que obtengas:<br />
a)<br />
b)<br />
3x<br />
lim<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2 x<br />
x <br />
<br />
3<br />
2 x<br />
lim<br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
6
Ejercicio nº 33.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa los resultados que obtengas:<br />
a)<br />
4<br />
x 2x<br />
lim<br />
x <br />
4<br />
4 3x<br />
b)<br />
2<br />
3x<br />
2x<br />
1<br />
lim<br />
x <br />
2<br />
3<br />
x 1<br />
x<br />
Ejercicio nº 34.-<br />
Halla ellímite<br />
cuando x y cuando x <br />
y representa los resultados que obtengas:<br />
Ejercicio nº 35.-<br />
f<br />
x <br />
<br />
x 2<br />
3 1<br />
x<br />
<strong>de</strong>lasiguiente<br />
función,<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa las ramas que obtengas:<br />
a)<br />
3x<br />
lim<br />
x <br />
5 3x<br />
b)<br />
3x<br />
lim<br />
x <br />
5 3x<br />
Ejercicio nº 36.-<br />
Continuidad<br />
A partir <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso <strong>de</strong> no ser continua,<br />
indica la causa <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
8 6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2 4<br />
6 8<br />
X<br />
7
Ejercicio nº 37.-<br />
La siguiente gráfica correspon<strong>de</strong><br />
a la función f x :<br />
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno <strong>de</strong> los puntos no es continua, indica cuál es la<br />
causa <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Ejercicio nº 38.-<br />
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?<br />
a) b)<br />
Y<br />
8 6<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2 4<br />
6 8<br />
X<br />
8 6<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
Si alguna <strong>de</strong> ellas no lo es, indica la razón <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Ejercicio nº 39.-<br />
Dada la gráfica <strong>de</strong><br />
f x: 8 6<br />
a) ¿Es continua en x 1?<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
8 6<br />
2 4<br />
6 8<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
X<br />
2<br />
4<br />
4<br />
6<br />
6 8<br />
Y<br />
X<br />
2 4<br />
6 8<br />
X<br />
8
) ¿Y en x 2?<br />
Si no es continua en alguno <strong>de</strong> los puntos, indica cuál es la razón <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Ejercicio nº 40.-<br />
Esta esla<br />
gráfica <strong>de</strong> la función f x :<br />
a) ¿Es continua en x = 2?<br />
b) ¿Y en x 0?<br />
Si no es continua en alguno <strong>de</strong> los puntos, indica la causa <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Ejercicio nº 41.-<br />
x seacontinua<br />
en x 1:<br />
Halla el valor<strong>de</strong><br />
k para que f<br />
<br />
Ejercicio nº 42.-<br />
Estudia la <strong>continuidad</strong> <strong>de</strong>:<br />
Ejercicio nº 43.-<br />
f<br />
f<br />
x x 2x<br />
1<br />
<br />
k<br />
2 <br />
<br />
x 2x<br />
<br />
3x<br />
1<br />
si<br />
si<br />
si<br />
si<br />
x 1<br />
x 1<br />
x 1<br />
x 1<br />
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0<br />
f<br />
8 6<br />
x <br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
si<br />
si<br />
2 4<br />
x 0<br />
x 0<br />
6 8<br />
X<br />
9
Ejercicio nº 44.-<br />
Averigua si la siguiente función es continua en x 2:<br />
Ejercicio nº 45.-<br />
f<br />
x 2x<br />
<br />
x<br />
2<br />
Estudia la <strong>continuidad</strong> <strong>de</strong> la función:<br />
f<br />
x <br />
x 1<br />
<br />
3<br />
2<br />
x<br />
15<br />
si<br />
si<br />
si<br />
si<br />
x 2<br />
x 2<br />
x 4<br />
x 4<br />
10
SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES<br />
Ejercicio nº 1.-<br />
A partir <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x), calcula:<br />
a) lim f<br />
x x Solución:<br />
a) limf<br />
x<br />
x <br />
Ejercicio nº 2.-<br />
b) lim f<br />
x x b) limf<br />
x<br />
c) lim f<br />
<br />
x1<br />
x <br />
x c)<br />
lim f<br />
<br />
x 1<br />
d) lim f<br />
<br />
x1<br />
x 2<br />
x d)<br />
e) lim f<br />
<br />
x 1<br />
x5 lim f<br />
x x 3<br />
e) limf<br />
x 5<br />
x 0<br />
La siguiente gráfica correspon<strong>de</strong> a la función f(x). Sobre ella, calcula los <strong>límites</strong>:<br />
a) lim f<br />
x x Solución:<br />
x 0<br />
a) limf<br />
<br />
x <br />
b) lim f<br />
x x b) limf<br />
x<br />
c) lim f<br />
<br />
x3<br />
x <br />
x 8 6<br />
8 6<br />
c) limf<br />
<br />
x3 d) lim f<br />
<br />
x3<br />
x <br />
x Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
e) limf<br />
x0 d) limf<br />
<br />
x3 4<br />
2 4<br />
x 6 8<br />
6 8<br />
x <br />
X<br />
X<br />
e) f lim<br />
x 0<br />
1 x<br />
11
Ejercicio nº 3.-<br />
Dada la siguiente gráfica <strong>de</strong> f(x), calcula los <strong>límites</strong> que se indican:<br />
a) lim f<br />
x x Solución:<br />
a) limf<br />
x<br />
x <br />
Ejercicio nº 4.-<br />
b) lim f<br />
x x b) limf<br />
x<br />
c) lim f<br />
<br />
x2<br />
x <br />
x c) limf<br />
<br />
x 2<br />
d) lim f<br />
<br />
x2<br />
x 2<br />
x e) limf<br />
x0 d) limf<br />
<br />
x 2<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> a partir <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x):<br />
a) lim f<br />
x x Solución:<br />
x 0<br />
a) limf<br />
<br />
x <br />
b) lim f<br />
x x x 0<br />
b) limf<br />
<br />
x <br />
c) lim f<br />
<br />
x3<br />
x c) limf<br />
<br />
x3 8 6<br />
8 6<br />
d) lim f<br />
<br />
x3<br />
x <br />
x Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2<br />
e) limf<br />
x0 d) limf<br />
<br />
x3 4<br />
2 4<br />
x x 4<br />
x 6 8<br />
6 8<br />
x <br />
X<br />
e) f lim<br />
X<br />
x 0<br />
e) f lim<br />
x 0<br />
0 x<br />
1 x<br />
12
Ejercicio nº 5.-<br />
Sobre la gráfica <strong>de</strong> f(x), halla :<br />
a) lim f<br />
x x Solución:<br />
x 1<br />
a) limf<br />
<br />
x <br />
Ejercicio nº 6.-<br />
b) lim f<br />
x x x 1<br />
b) limf<br />
<br />
x <br />
c) lim f<br />
<br />
x2<br />
x c) lim f<br />
<br />
x2 d) lim f<br />
<br />
x2<br />
x <br />
x Representa gráficamente los siguientes resultados:<br />
a) lim f<br />
x<br />
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
x <br />
Ejercicio nº 7.-<br />
b) lim g<br />
x<br />
x <br />
8 6<br />
Para la función f<br />
x 1<br />
<br />
x 3<br />
x 1<br />
lim <br />
x 3 x 3<br />
y<br />
x 1<br />
lim <br />
x3<br />
x 3<br />
x , sabemos que :<br />
Representa gráficamente estos dos <strong>límites</strong>.<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
d) limf<br />
<br />
x2 2 4<br />
e) limf<br />
x0 x x <br />
6 8<br />
X<br />
e) limf<br />
x 0<br />
x 1<br />
13
Solución:<br />
Ejercicio nº 8.-<br />
Representa gráficamente:<br />
x 1<br />
x 0<br />
a) lim f <br />
x<br />
lim<br />
x1<br />
b) g <br />
Solución:<br />
a)<br />
1<br />
b) Por ejemplo:<br />
1<br />
Ejercicio nº 9.-<br />
3<br />
o bien<br />
Representa los siguientes <strong>límites</strong>:<br />
lim f<br />
x lim f x <br />
<br />
<br />
x2 x2<br />
Solución:<br />
2<br />
Ejercicio nº 10.-<br />
Representa en cada caso los siguientes resultados:<br />
x 2<br />
x <br />
a) lim f <br />
x <br />
b)<br />
lim g<br />
x<br />
1<br />
14
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
2<br />
Ejercicio nº 11.-<br />
Calcula:<br />
a) lim 3 x<br />
b)<br />
x<br />
2<br />
lim<br />
x<br />
8<br />
<br />
x<br />
2<br />
2<br />
1 2x<br />
<br />
c) limsenx<br />
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
lim<br />
x 2<br />
lim<br />
x 8<br />
2 2<br />
3 x<br />
5 25<br />
o bien<br />
1 2x<br />
1<br />
16 1<br />
4 5<br />
<br />
) limsen<br />
x sen 1<br />
<br />
2<br />
c<br />
x<br />
2<br />
Ejercicio nº 12.-<br />
Halla los <strong>límites</strong> siguientes:<br />
x 3<br />
a) lim<br />
x2<br />
2<br />
x x 1<br />
b)<br />
lim<br />
x<br />
1<br />
lim<br />
x 1<br />
6 3x<br />
c) log x<br />
<br />
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
lim<br />
x2<br />
2<br />
x x<br />
lim<br />
x1<br />
x 3 1<br />
1<br />
<br />
1 4 2 1 7<br />
6 3x<br />
<br />
6 3 <br />
c)<br />
lim log x log 1<br />
0<br />
x1<br />
9 3<br />
2<br />
15
16<br />
Ejercicio nº 13.-<br />
Resuelve:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
2<br />
a)<br />
3<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
1<br />
2<br />
3<br />
b)<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
tg<br />
lim<br />
x<br />
4<br />
c)<br />
<br />
<br />
Solución:<br />
0<br />
2<br />
2<br />
4<br />
2<br />
a)<br />
3<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
3<br />
1<br />
3<br />
3<br />
b)<br />
1<br />
1<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x lim<br />
1<br />
4<br />
c)<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
tg<br />
x<br />
tg<br />
lim<br />
x<br />
Ejercicio nº 14.-<br />
3.<br />
en<br />
y<br />
1<br />
en<br />
2<br />
3<br />
función<br />
la<br />
<strong>de</strong><br />
límite<br />
el<br />
Calcula<br />
4<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
x<br />
f<br />
Solución:<br />
6<br />
1<br />
2<br />
1<br />
3<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
2<br />
51<br />
2<br />
3<br />
27<br />
2<br />
3<br />
4<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
Ejercicio nº 15.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong>:<br />
3<br />
2<br />
4<br />
a) 2<br />
3 <br />
<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
9<br />
b)<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
x<br />
cos<br />
lim<br />
x 0<br />
c) <br />
Solución:<br />
9<br />
2<br />
18<br />
4<br />
3<br />
6<br />
9<br />
4<br />
3<br />
2<br />
4<br />
a) 2<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
0<br />
0<br />
9<br />
9<br />
9<br />
b)<br />
2<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
1<br />
0<br />
c)<br />
0<br />
<br />
<br />
<br />
cos<br />
x<br />
cos<br />
lim<br />
x
Ejercicio nº 16.-<br />
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento <strong>de</strong> la función por la izquierda y por la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x <br />
2:<br />
x 1<br />
lim<br />
x 2 x 2<br />
Solución:<br />
Ejercicio nº 17.-<br />
lim<br />
2<br />
x 1<br />
<br />
lim<br />
x 1<br />
lim<br />
x 1<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
x 2 x 2 x 2<br />
x2<br />
x <br />
<br />
x2<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
Dada la función<br />
x 1<br />
f x ,<br />
2<br />
x 5x<br />
6<br />
calcula ellímite<br />
<strong>de</strong> f ( x)<br />
en x 2.<br />
información que obtengas.<br />
Solución:<br />
Calculamos los <strong>límites</strong> laterales:<br />
Ejercicio nº 18.-<br />
x 1 x 1<br />
<br />
2<br />
x 5x<br />
6<br />
<br />
x 2x<br />
3<br />
x 1<br />
x 1<br />
lim<br />
lim<br />
<br />
<br />
<br />
2 x 2x<br />
3<br />
x2<br />
2<br />
x 5x<br />
6<br />
x<br />
2<br />
Representa la<br />
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento <strong>de</strong> la función a la izquierda y a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x 3:<br />
1<br />
lim<br />
x 3 2<br />
x 9<br />
Solución:<br />
Calculamos los <strong>límites</strong> laterales:<br />
1<br />
1<br />
lim lim<br />
x3<br />
2<br />
x 9 x3<br />
x <br />
x 3<br />
3<br />
17
Ejercicio nº 19.-<br />
1<br />
1<br />
lim lim <br />
<br />
<br />
3 2<br />
9<br />
3<br />
2<br />
x<br />
x x 9<br />
x<br />
3<br />
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento <strong>de</strong> la función por la izquierda y por la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong><br />
x 0:<br />
2x<br />
1<br />
lim<br />
x 0<br />
2<br />
x 2x<br />
Solución:<br />
Calculamos los <strong>límites</strong> laterales:<br />
Ejercicio nº 20.-<br />
2x<br />
1 2x<br />
1<br />
lim lim<br />
x0<br />
2<br />
x 2x<br />
x0<br />
x x <br />
2<br />
2x<br />
1<br />
2x<br />
1<br />
lim lim <br />
<br />
<br />
x0 2<br />
x 2x<br />
x0<br />
2<br />
x 2x<br />
Calcula el límite <strong>de</strong> la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y<br />
por la <strong>de</strong>recha:<br />
Solución:<br />
f<br />
x 1<br />
<br />
x 3<br />
x 3 0 x 3<br />
Calculamos los <strong>límites</strong> laterales:<br />
1<br />
lim <br />
<br />
x 3 x 3<br />
1<br />
lim <br />
<br />
x3<br />
x 3<br />
3<br />
18
Ejercicio nº 21.-<br />
Calculaellímite cuando x y cuando x <br />
y representa la información que obtengas:<br />
Solución:<br />
2<br />
f<br />
x 1<br />
2x<br />
4x<br />
lim<br />
<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2x<br />
4x<br />
<br />
3<br />
1<br />
2x<br />
lim<br />
x x<br />
3<br />
Ejercicio nº 22.-<br />
Halla ellímite<br />
cuando x <br />
la información que obtengas:<br />
a) f<br />
b)<br />
f<br />
3<br />
x x<br />
2 2<br />
2<br />
3x<br />
2x<br />
<br />
5<br />
x 1<br />
x Solución:<br />
3 x x <br />
a) lim <br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
x<br />
2 2 <br />
b)<br />
2<br />
3x<br />
lim<br />
x<br />
5<br />
Ejercicio nº 23.-<br />
2x<br />
3<br />
3<br />
<br />
2<br />
4x<br />
<br />
<strong>de</strong>lasiguientefunción<br />
<strong>de</strong> las siguientes funciones yrepresenta<br />
gráficamente<br />
19
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa la información que obtengas:<br />
4 2 x <br />
a) lim x<br />
x<br />
<br />
3 2 x x <br />
b) lim <br />
<br />
<br />
2x<br />
x <br />
<br />
3 2 <br />
Solución:<br />
x <br />
4 2 x <br />
a) lim x<br />
b) x<br />
3 2 <br />
<br />
x x<br />
lim 2x<br />
<br />
<br />
<br />
3 2 <br />
Ejercicio nº 24.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa el resultado que obtengas:<br />
2 x x <br />
a) lim <br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
3 4 <br />
4 x x <br />
b) lim <br />
<br />
<br />
x<br />
x <br />
<br />
3 4 <br />
Solución:<br />
2 <br />
<br />
x x<br />
a) lim x<br />
<br />
x <br />
3 4 <br />
4<br />
<br />
<br />
x x<br />
b) lim x <br />
x <br />
3 4 <br />
20
Ejercicio nº 25.-<br />
Halla los siguientes <strong>límites</strong> y representa gráficamente los resultados obtenidos:<br />
2<br />
4 <br />
a) lim x<br />
x <br />
2<br />
4 <br />
b) lim x<br />
x <br />
Solución:<br />
a) lim x<br />
x <br />
b) lim x<br />
x <br />
2 4 <br />
2 4 <br />
Ejercicio nº 26.-<br />
Calcula y representa gráficamente la información obtenida<br />
Solución:<br />
2<br />
x 3x<br />
4<br />
lim<br />
x 1 2<br />
x 2x<br />
1<br />
Calculamos los <strong>límites</strong> laterales:<br />
2<br />
x 1x<br />
4<br />
x 4<br />
lim<br />
2 x 1<br />
x1<br />
1<br />
x 3x<br />
4<br />
lim<br />
lim<br />
1 2<br />
x 2x<br />
1 x1<br />
x <br />
x<br />
x 4<br />
lim <br />
x 1<br />
x 4<br />
lim <br />
<br />
<br />
<br />
x 1 x1<br />
x 1<br />
1<br />
21
Ejercicio nº 27.-<br />
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:<br />
Solución:<br />
Ejercicio nº 28.-<br />
2<br />
x 4x<br />
5<br />
lim<br />
x 1 3 2<br />
x 3x<br />
3x<br />
1<br />
lim<br />
2<br />
x 4x<br />
5<br />
lim<br />
2<br />
3x<br />
3x<br />
1 x1<br />
x 1x<br />
5<br />
3 x 1<br />
lim<br />
x 5<br />
2 x <br />
x1<br />
3<br />
x<br />
x1<br />
1<br />
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.<br />
Solución:<br />
Ejercicio nº 29.-<br />
1<br />
2<br />
2x<br />
12x<br />
18<br />
lim<br />
x 3 2<br />
x x 6<br />
2<br />
2x<br />
12x<br />
18<br />
lim<br />
lim<br />
3<br />
2<br />
x x 6<br />
2<br />
2x<br />
3<br />
x 3x<br />
2<br />
2<br />
lim<br />
x<br />
x3<br />
x3<br />
x<br />
3<br />
x 3<br />
2<br />
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:<br />
Solución:<br />
lim<br />
2x<br />
2<br />
x 0<br />
4<br />
x 2<br />
2<br />
x<br />
3<br />
2x<br />
2x<br />
2<br />
lim lim lim<br />
0 4 3<br />
3<br />
x 2x<br />
x0<br />
x<br />
x <br />
x<br />
2<br />
x 2<br />
x0<br />
x<br />
2<br />
0<br />
<br />
22
Calculamos los <strong>límites</strong> laterales:<br />
Ejercicio nº 30.-<br />
x<br />
lim<br />
2<br />
<br />
lim<br />
<br />
x 2<br />
x0<br />
x<br />
<br />
<br />
0 x<br />
x 2<br />
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:<br />
Solución:<br />
Ejercicio nº 31.-<br />
2<br />
x 4<br />
lim<br />
x 2 2x<br />
4<br />
2<br />
x 4<br />
lim lim<br />
x2<br />
2x<br />
4<br />
x2<br />
x 2x<br />
2<br />
2x<br />
2<br />
2<br />
2<br />
<br />
x2<br />
2<br />
<br />
x 2 4<br />
lim 2<br />
2 2<br />
Resuelve los siguientes <strong>límites</strong> y representa los resultados obtenidos<br />
a)<br />
lim<br />
1<br />
3 1 x<br />
x <br />
<br />
3 x<br />
b) lim<br />
x <br />
2<br />
x<br />
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
lim<br />
1<br />
3<br />
1 <br />
x<br />
x<br />
x<br />
0<br />
3 <br />
3<br />
3 x<br />
lim<br />
2<br />
x<br />
<br />
23
Ejercicio nº 32.-<br />
Halla los siguientes <strong>límites</strong> y representa gráficamente los resultados que obtengas:<br />
a)<br />
3x<br />
lim<br />
2<br />
1<br />
3<br />
2 x<br />
x <br />
<br />
3<br />
2 x<br />
b) lim<br />
x 2<br />
x 1<br />
Solución:<br />
a)<br />
b)<br />
2<br />
3x<br />
lim<br />
2 <br />
x<br />
x<br />
1<br />
0<br />
3<br />
3<br />
2 x<br />
lim <br />
2<br />
x 1<br />
x<br />
Ejercicio nº 33.-<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa los resultados que obtengas:<br />
a)<br />
4<br />
x 2x<br />
lim<br />
x <br />
4<br />
4 3x<br />
b)<br />
2<br />
3x<br />
2x<br />
1<br />
lim<br />
x <br />
2<br />
3<br />
x 1<br />
x<br />
Solución:<br />
a)<br />
4<br />
x 2x<br />
1<br />
lim<br />
<br />
4<br />
4 3x<br />
3<br />
x<br />
1<br />
3<br />
24
)<br />
1/3<br />
2<br />
3x<br />
2x<br />
1<br />
lim<br />
0<br />
2 3<br />
x 1<br />
x<br />
x<br />
Ejercicio nº 34.-<br />
Halla ellímite<br />
cuando x y cuando x <br />
y representa los resultados que obtengas:<br />
Solución:<br />
Ejercicio nº 35.-<br />
f<br />
x <br />
<br />
x 2<br />
3 1<br />
x<br />
lim<br />
x 2<br />
0<br />
<strong>de</strong>lasiguiente<br />
función,<br />
lim<br />
x 2<br />
3 1 x<br />
x<br />
1 <br />
x<br />
3<br />
x<br />
Calcula los siguientes <strong>límites</strong> y representa las ramas que obtengas:<br />
a)<br />
3x<br />
lim<br />
x <br />
5 3x<br />
b)<br />
3x<br />
lim<br />
x <br />
5 3x<br />
Solución:<br />
3x<br />
3<br />
a) lim 1<br />
x 5 3x<br />
3<br />
1<br />
0<br />
25
3x<br />
b) lim 1<br />
x 5 3x<br />
1<br />
Ejercicio nº 36.-<br />
Continuidad<br />
A partir <strong>de</strong> la gráfica <strong>de</strong> f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso <strong>de</strong> no ser continua,<br />
indica la causa <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Solución:<br />
8 6<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
En x = 0, sí es continua.<br />
En x = 3 es discontinua porque no está <strong>de</strong>finida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una<br />
asíntota vertical).<br />
Ejercicio nº 37.-<br />
La siguiente gráfica correspon<strong>de</strong><br />
a la función f x :<br />
8 6<br />
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno <strong>de</strong> los puntos no es continua, indica cuál es la<br />
causa <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2 4<br />
2<br />
4<br />
6 8<br />
6 8<br />
X<br />
X<br />
26
Solución:<br />
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que<br />
limf<br />
x limf<br />
x <br />
<br />
x1<br />
x1<br />
.<br />
En x 2 sí es continua.<br />
Ejercicio nº 38.-<br />
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?<br />
a) b)<br />
Y<br />
8 6<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
2 4<br />
6 8<br />
X<br />
8 6<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
Si alguna <strong>de</strong> ellas no lo es, indica la razón <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Solución:<br />
4<br />
6<br />
Y<br />
2 4<br />
6 8<br />
a) No es continua en x 2; aunque esté <strong>de</strong>finida en x 2, tiene el punto <strong>de</strong>splazado. Es una<br />
discontinu idad evitable porque existe limf<br />
x<br />
b) Sí es continua en x 2.<br />
Ejercicio nº 39.-<br />
Dada la gráfica <strong>de</strong><br />
f x: 8 6<br />
a) ¿Es continua en x 1?<br />
b) ¿Y en x 2?<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
<br />
x 2 .<br />
2 4<br />
6 8<br />
Si no es continua en alguno <strong>de</strong> los puntos, indica cuál es la razón <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
X<br />
X<br />
27
Solución:<br />
a) Sí es continua en x 1.<br />
b) No, en x 2 es discontinua porque no está <strong>de</strong>finida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una<br />
dis<strong>continuidad</strong> evitable.<br />
Ejercicio nº 40.-<br />
Esta esla<br />
gráfica <strong>de</strong> la función f x :<br />
a) ¿Es continua en x = 2?<br />
b) ¿Y en x 0?<br />
Si no es continua en alguno <strong>de</strong> los puntos, indica la causa <strong>de</strong> la dis<strong>continuidad</strong>.<br />
Solución:<br />
a) No es continua en x 2 porque no está <strong>de</strong>finida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en<br />
ese punto (una asíntota vertical).<br />
b) Sí es continua en x 0.<br />
Ejercicio nº 41.-<br />
x seacontinua<br />
en x 1:<br />
Halla el valor<strong>de</strong><br />
k para que f<br />
<br />
Solución:<br />
f<br />
f x lim2x<br />
1<br />
<br />
<br />
1<br />
x1<br />
f x k<br />
<br />
1<br />
1 3<br />
lim<br />
x<br />
lim<br />
x<br />
Para que sea<br />
Ha <strong>de</strong> ser k 3.<br />
<br />
f<br />
3<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
continua en<br />
8 6<br />
x 2x<br />
1<br />
<br />
k<br />
x 1,<br />
limf<br />
Y<br />
8<br />
6<br />
4<br />
2<br />
4 2<br />
2<br />
4<br />
6<br />
si<br />
si<br />
2 4<br />
x 1<br />
x 1<br />
6 8<br />
x limf<br />
x f 1 <br />
<br />
x<br />
1<br />
x1<br />
.<br />
X<br />
28
Ejercicio nº 42.-<br />
Estudia la <strong>continuidad</strong> <strong>de</strong>:<br />
Solución:<br />
f<br />
x Si x 1, la función es continua.<br />
Si x 1:<br />
lim f<br />
<br />
x1<br />
lim f<br />
<br />
x1<br />
2<br />
x limx<br />
2x<br />
<br />
x1<br />
1<br />
<br />
<br />
x lim3x<br />
1<br />
2 <br />
x1<br />
<br />
No escontinua<br />
en<br />
Ejercicio nº 43.-<br />
2 <br />
<br />
x 2x<br />
<br />
3x<br />
1<br />
x 1<br />
porque limf<br />
<br />
x1<br />
si<br />
si<br />
x 1<br />
x 1<br />
x limf<br />
x. Es <strong>de</strong>cir, no tienelímite<br />
enese<br />
punto.<br />
<br />
x1<br />
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0<br />
Solución:<br />
2<br />
x lim<br />
2x<br />
1<br />
f<br />
x <br />
lim f<br />
1<br />
<br />
<br />
x0<br />
x0<br />
<br />
x 2 <br />
lim f x lim<br />
1<br />
<br />
<br />
<br />
x0<br />
x0<br />
2 <br />
f 0 1<br />
<br />
<br />
Ejercicio nº 44.-<br />
2<br />
1<br />
<br />
2<br />
<br />
2<br />
2<br />
x<br />
x<br />
si<br />
si<br />
Es continuaen<br />
x 0<br />
x 0<br />
x 0<br />
porque<br />
Averigua si la siguiente función es continua en x 2:<br />
Solución:<br />
lim f<br />
<br />
x2<br />
lim f<br />
<br />
x2<br />
f<br />
2 x<br />
lim<br />
2x<br />
<br />
<br />
x2<br />
x<br />
limx<br />
2<br />
4<br />
<br />
x2<br />
f<br />
4 <br />
<br />
4<br />
<br />
<br />
x 2x<br />
<br />
x<br />
2<br />
si<br />
si<br />
Es continuaen<br />
x<br />
x 2<br />
x 2<br />
2<br />
porque limf<br />
x2<br />
limf<br />
x0<br />
x f 0. x f 2.<br />
29
Ejercicio nº 45.-<br />
Estudia la <strong>continuidad</strong> <strong>de</strong> la función:<br />
Solución:<br />
f<br />
x <br />
Si x 4, la función es continua.<br />
Si x 4:<br />
x 1 <br />
lim f x lim 1<br />
<br />
3<br />
<br />
x4<br />
x4<br />
2 <br />
lim f x limx<br />
15<br />
1<br />
<br />
<br />
x4<br />
x4<br />
<br />
f 4 1<br />
<br />
<br />
x 1<br />
<br />
3<br />
2<br />
x<br />
15<br />
si<br />
si<br />
x 4<br />
x 4<br />
También escontinua<br />
en<br />
x 4 porque limf<br />
x4<br />
x f 4. 30