Ejercicios de límites y continuidad - Amolasmates

EJERCICIOS DE LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
a) lim f
x x Ejercicio nº 2.-
b) lim f
x x c) lim f
x1
x d) lim f
x1
x e) lim f
x5 La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
a) lim f
x x Ejercicio nº 3.-
b) lim f
x x c) lim f
x3
x d) lim f
x3
x e) limf
x0 Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
a) lim f
x x b) lim f
x x c) lim f
x2
x 8 6
8 6
8 6
d) lim f
x2
x Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2
4
2 4
2
4
e) limf
x0 x x x 6 8
6 8
6 8
X
X
X
1

Ejercicio nº 4.-
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
a) lim f
x x Ejercicio nº 5.-
b) lim f
x x Sobre la gráfica de f(x), halla :
a) lim f
x x Ejercicio nº 6.-
b) lim f
x x c) lim f
x3
c) lim f
x2
x x d) lim f
x3
d) lim f
x2
x x Representa gráficamente los siguientes resultados:
a) lim f
x
x
Ejercicio nº 7.-
b) lim g
x
x
8 6
8 6
Para la función f
x 1
x 3
x 1
lim
x 3 x 3
y
x 1
lim
x3
x 3
x , sabemos que :
Representa gráficamente estos dos límites.
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2 4
e) limf
x0 2 4
e) limf
x0 x x 6 8
6 8
X
X
2

Ejercicio nº 8.-
Representa gráficamente:
x 1
x 0
a) lim f
x
lim
x1
b) g
Ejercicio nº 9.-
Representa los siguientes límites:
lim f
x lim f x
x2 x2
Ejercicio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
x 2
x
a) lim f
x
b) lim g
x
Ejercicio nº 11.-
Calcula:
a) lim 3 x
b)
x
2
lim
x
8
x
2
2
1 2x
c) limsenx
Ejercicio nº 12.-
Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim
x2
2
x x 1
b)
lim
x
1
lim
x 1
6 3x
c) log x
Ejercicio nº 13.-
Resuelve:
2 3 x x
a) lim
x2
2 4
b) lim 3
x2
x
4
x1
c) lim tg x
3

Ejercicio nº 14.-
Calcula ellímite
de la función
Ejercicio nº 15.-
Calcula los siguientes límites:
4
a) lim
x3
2
x 2x
3
b) lim
x3
x
2
c) limcos
x
x 0
9
Ejercicio nº 16.-
f
x
3
4
x
2
x en x 1 y en x 3.
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x
2:
x 1
lim
x 2 x 2
Ejercicio nº 17.-
2
Dada la función
x 1
f x ,
2
x 5x
6
calcula ellímite
de f ( x)
en x 2.
información que obtengas.
Ejercicio nº 18.-
Representa la
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:
1
lim
x 3 2
x 9
Ejercicio nº 19.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de
x 0:
2x
1
lim
x 0
2
x 2x
Ejercicio nº 20.-
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y
por la derecha:
f
x 1
x 3
4

Ejercicio nº 21.-
Calculaellímite cuando x y cuando x
y representa la información que obtengas:
Ejercicio nº 22.-
f
x 2
1
2x
4x
3
Halla ellímite
cuando x
la información que obtengas:
a) f
b)
f
3
x x
2 2
2
3x
2x
5
x 1
x Ejercicio nº 23.-
3
delasiguientefunción
de las siguientes funciones yrepresenta
gráficamente
Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
4 2 x
a) lim x
x
3 2 x x
b) lim
2x
x
3 2
Ejercicio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
2 x x
a) lim
x
x
3 4
4 x x
b) lim
x
x
3 4
Ejercicio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2
4
a) lim x
x
2
4
b) lim x
x
Ejercicio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida
2
x 3x
4
lim
1 2
x 2x
1
x
5

Ejercicio nº 27.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
Ejercicio nº 28.-
2
x 4x
5
lim
x 1 3 2
x 3x
3x
1
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
Ejercicio nº 29.-
2
2x
12x
18
lim
x 3 2
x x 6
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
Ejercicio nº 30.-
lim
2x
2
x 0
4
x 2
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
Ejercicio nº 31.-
x
2
x 4
lim
x 2 2x
4
3
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
a)
lim
1
3 1 x
x
3 x
b) lim
x
2
x
Ejercicio nº 32.-
3
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
a)
b)
3x
lim
2
1
3
2 x
x
3
2 x
lim
2
x 1
x
6

Ejercicio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
4
x 2x
lim
x
4
4 3x
b)
2
3x
2x
1
lim
x
2
3
x 1
x
Ejercicio nº 34.-
Halla ellímite
cuando x y cuando x
y representa los resultados que obtengas:
Ejercicio nº 35.-
f
x
x 2
3 1
x
delasiguiente
función,
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
a)
3x
lim
x
5 3x
b)
3x
lim
x
5 3x
Ejercicio nº 36.-
Continuidad
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua,
indica la causa de la discontinuidad.
8 6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2 4
6 8
X
7

Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde
a la función f x :
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la
causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?
a) b)
Y
8 6
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2 4
6 8
X
8 6
8
6
4
2
4 2
2
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de
f x: 8 6
a) ¿Es continua en x 1?
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
8 6
2 4
6 8
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
X
2
4
4
6
6 8
Y
X
2 4
6 8
X
8

) ¿Y en x 2?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
Ejercicio nº 40.-
Esta esla
gráfica de la función f x :
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Ejercicio nº 41.-
x seacontinua
en x 1:
Halla el valorde
k para que f
Ejercicio nº 42.-
Estudia la continuidad de:
Ejercicio nº 43.-
f
f
x x 2x
1
k
2
x 2x
3x
1
si
si
si
si
x 1
x 1
x 1
x 1
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0
f
8 6
x
2
1
2
2
2
x
x
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
si
si
2 4
x 0
x 0
6 8
X
9

Ejercicio nº 44.-
Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
Ejercicio nº 45.-
f
x 2x
x
2
Estudia la continuidad de la función:
f
x
x 1
3
2
x
15
si
si
si
si
x 2
x 2
x 4
x 4
10

SOLUCIONES EJERC. LÍMITES DE FUNCIONES
Ejercicio nº 1.-
A partir de la gráfica de f(x), calcula:
a) lim f
x x Solución:
a) limf
x
x
Ejercicio nº 2.-
b) lim f
x x b) limf
x
c) lim f
x1
x
x c)
lim f
x 1
d) lim f
x1
x 2
x d)
e) lim f
x 1
x5 lim f
x x 3
e) limf
x 5
x 0
La siguiente gráfica corresponde a la función f(x). Sobre ella, calcula los límites:
a) lim f
x x Solución:
x 0
a) limf
x
b) lim f
x x b) limf
x
c) lim f
x3
x
x 8 6
8 6
c) limf
x3 d) lim f
x3
x
x Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2
e) limf
x0 d) limf
x3 4
2 4
x 6 8
6 8
x
X
X
e) f lim
x 0
1 x
11

Ejercicio nº 3.-
Dada la siguiente gráfica de f(x), calcula los límites que se indican:
a) lim f
x x Solución:
a) limf
x
x
Ejercicio nº 4.-
b) lim f
x x b) limf
x
c) lim f
x2
x
x c) limf
x 2
d) lim f
x2
x 2
x e) limf
x0 d) limf
x 2
Calcula los siguientes límites a partir de la gráfica de f(x):
a) lim f
x x Solución:
x 0
a) limf
x
b) lim f
x x x 0
b) limf
x
c) lim f
x3
x c) limf
x3 8 6
8 6
d) lim f
x3
x
x Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2
e) limf
x0 d) limf
x3 4
2 4
x x 4
x 6 8
6 8
x
X
e) f lim
X
x 0
e) f lim
x 0
0 x
1 x
12

Ejercicio nº 5.-
Sobre la gráfica de f(x), halla :
a) lim f
x x Solución:
x 1
a) limf
x
Ejercicio nº 6.-
b) lim f
x x x 1
b) limf
x
c) lim f
x2
x c) lim f
x2 d) lim f
x2
x
x Representa gráficamente los siguientes resultados:
a) lim f
x
Solución:
a)
b)
x
Ejercicio nº 7.-
b) lim g
x
x
8 6
Para la función f
x 1
x 3
x 1
lim
x 3 x 3
y
x 1
lim
x3
x 3
x , sabemos que :
Representa gráficamente estos dos límites.
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
d) limf
x2 2 4
e) limf
x0 x x
6 8
X
e) limf
x 0
x 1
13

Solución:
Ejercicio nº 8.-
Representa gráficamente:
x 1
x 0
a) lim f
x
lim
x1
b) g
Solución:
a)
1
b) Por ejemplo:
1
Ejercicio nº 9.-
3
o bien
Representa los siguientes límites:
lim f
x lim f x
x2 x2
Solución:
2
Ejercicio nº 10.-
Representa en cada caso los siguientes resultados:
x 2
x
a) lim f
x
b)
lim g
x
1
14

Solución:
a)
b)
2
Ejercicio nº 11.-
Calcula:
a) lim 3 x
b)
x
2
lim
x
8
x
2
2
1 2x
c) limsenx
Solución:
a)
b)
lim
x 2
lim
x 8
2 2
3 x
5 25
o bien
1 2x
1
16 1
4 5
) limsen
x sen 1
2
c
x
2
Ejercicio nº 12.-
Halla los límites siguientes:
x 3
a) lim
x2
2
x x 1
b)
lim
x
1
lim
x 1
6 3x
c) log x
Solución:
a)
b)
lim
x2
2
x x
lim
x1
x 3 1
1
1 4 2 1 7
6 3x
6 3
c)
lim log x log 1
0
x1
9 3
2
15

16
Ejercicio nº 13.-
Resuelve:
4
2
a)
3
2
2
x
x
lim
x
1
2
3
b)
x
x
lim
x
tg
lim
x
4
c)
Solución:
0
2
2
4
2
a)
3
2
2
x
x
lim
x
3
1
3
3
b)
1
1
2
x
x lim
1
4
c)
4
tg
x
tg
lim
x
Ejercicio nº 14.-
3.
en
y
1
en
2
3
función
la
de
límite
el
Calcula
4
x
x
x
x
x
f
Solución:
6
1
2
1
3
1
2
3
4
1
x
x
lim
x
2
51
2
3
27
2
3
4
3
x
x
lim
x
Ejercicio nº 15.-
Calcula los siguientes límites:
3
2
4
a) 2
3
x
x
lim
x
9
b)
2
3
x
lim
x
x
cos
lim
x 0
c)
Solución:
9
2
18
4
3
6
9
4
3
2
4
a) 2
3
x
x
lim
x
0
0
9
9
9
b)
2
3
x
lim
x
1
0
c)
0
cos
x
cos
lim
x

Ejercicio nº 16.-
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de x
2:
x 1
lim
x 2 x 2
Solución:
Ejercicio nº 17.-
lim
2
x 1
lim
x 1
lim
x 1
2
2
x 2 x 2 x 2
x2
x
x2
2
2
2
Dada la función
x 1
f x ,
2
x 5x
6
calcula ellímite
de f ( x)
en x 2.
información que obtengas.
Solución:
Calculamos los límites laterales:
Ejercicio nº 18.-
x 1 x 1
2
x 5x
6
x 2x
3
x 1
x 1
lim
lim
2 x 2x
3
x2
2
x 5x
6
x
2
Representa la
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función a la izquierda y a la derecha de x 3:
1
lim
x 3 2
x 9
Solución:
Calculamos los límites laterales:
1
1
lim lim
x3
2
x 9 x3
x
x 3
3
17

Ejercicio nº 19.-
1
1
lim lim
3 2
9
3
2
x
x x 9
x
3
Calcula el siguiente límite y estudia el comportamiento de la función por la izquierda y por la derecha de
x 0:
2x
1
lim
x 0
2
x 2x
Solución:
Calculamos los límites laterales:
Ejercicio nº 20.-
2x
1 2x
1
lim lim
x0
2
x 2x
x0
x x
2
2x
1
2x
1
lim lim
x0 2
x 2x
x0
2
x 2x
Calcula el límite de la siguiente función en el punto x 3 y estudia su comportamiento por la izquierda y
por la derecha:
Solución:
f
x 1
x 3
x 3 0 x 3
Calculamos los límites laterales:
1
lim
x 3 x 3
1
lim
x3
x 3
3
18

Ejercicio nº 21.-
Calculaellímite cuando x y cuando x
y representa la información que obtengas:
Solución:
2
f
x 1
2x
4x
lim
3
2
1
2x
4x
3
1
2x
lim
x x
3
Ejercicio nº 22.-
Halla ellímite
cuando x
la información que obtengas:
a) f
b)
f
3
x x
2 2
2
3x
2x
5
x 1
x Solución:
3 x x
a) lim
1
x
2 2
b)
2
3x
lim
x
5
Ejercicio nº 23.-
2x
3
3
2
4x
delasiguientefunción
de las siguientes funciones yrepresenta
gráficamente
19

Calcula los siguientes límites y representa la información que obtengas:
4 2 x
a) lim x
x
3 2 x x
b) lim
2x
x
3 2
Solución:
x
4 2 x
a) lim x
b) x
3 2
x x
lim 2x
3 2
Ejercicio nº 24.-
Calcula los siguientes límites y representa el resultado que obtengas:
2 x x
a) lim
x
x
3 4
4 x x
b) lim
x
x
3 4
Solución:
2
x x
a) lim x
x
3 4
4
x x
b) lim x
x
3 4
20

Ejercicio nº 25.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados obtenidos:
2
4
a) lim x
x
2
4
b) lim x
x
Solución:
a) lim x
x
b) lim x
x
2 4
2 4
Ejercicio nº 26.-
Calcula y representa gráficamente la información obtenida
Solución:
2
x 3x
4
lim
x 1 2
x 2x
1
Calculamos los límites laterales:
2
x 1x
4
x 4
lim
2 x 1
x1
1
x 3x
4
lim
lim
1 2
x 2x
1 x1
x
x
x 4
lim
x 1
x 4
lim
x 1 x1
x 1
1
21

Ejercicio nº 27.-
Halla el límite siguiente y representa la información obtenida:
Solución:
Ejercicio nº 28.-
2
x 4x
5
lim
x 1 3 2
x 3x
3x
1
lim
2
x 4x
5
lim
2
3x
3x
1 x1
x 1x
5
3 x 1
lim
x 5
2 x
x1
3
x
x1
1
Resuelve el siguiente límite e interprétalo gráficamente.
Solución:
Ejercicio nº 29.-
1
2
2x
12x
18
lim
x 3 2
x x 6
2
2x
12x
18
lim
lim
3
2
x x 6
2
2x
3
x 3x
2
2
lim
x
x3
x3
x
3
x 3
2
Calcula el siguiente límite y representa gráficamente los resultados obtenidos:
Solución:
lim
2x
2
x 0
4
x 2
2
x
3
2x
2x
2
lim lim lim
0 4 3
3
x 2x
x0
x
x
x
2
x 2
x0
x
2
0
22

Calculamos los límites laterales:
Ejercicio nº 30.-
x
lim
2
lim
x 2
x0
x
0 x
x 2
Calcula el siguiente límite e interprétalo gráficamente:
Solución:
Ejercicio nº 31.-
2
x 4
lim
x 2 2x
4
2
x 4
lim lim
x2
2x
4
x2
x 2x
2
2x
2
2
2
x2
2
x 2 4
lim 2
2 2
Resuelve los siguientes límites y representa los resultados obtenidos
a)
lim
1
3 1 x
x
3 x
b) lim
x
2
x
Solución:
a)
b)
lim
1
3
1
x
x
x
0
3
3
3 x
lim
2
x
23

Ejercicio nº 32.-
Halla los siguientes límites y representa gráficamente los resultados que obtengas:
a)
3x
lim
2
1
3
2 x
x
3
2 x
b) lim
x 2
x 1
Solución:
a)
b)
2
3x
lim
2
x
x
1
0
3
3
2 x
lim
2
x 1
x
Ejercicio nº 33.-
Calcula los siguientes límites y representa los resultados que obtengas:
a)
4
x 2x
lim
x
4
4 3x
b)
2
3x
2x
1
lim
x
2
3
x 1
x
Solución:
a)
4
x 2x
1
lim
4
4 3x
3
x
1
3
24

)
1/3
2
3x
2x
1
lim
0
2 3
x 1
x
x
Ejercicio nº 34.-
Halla ellímite
cuando x y cuando x
y representa los resultados que obtengas:
Solución:
Ejercicio nº 35.-
f
x
x 2
3 1
x
lim
x 2
0
delasiguiente
función,
lim
x 2
3 1 x
x
1
x
3
x
Calcula los siguientes límites y representa las ramas que obtengas:
a)
3x
lim
x
5 3x
b)
3x
lim
x
5 3x
Solución:
3x
3
a) lim 1
x 5 3x
3
1
0
25

3x
b) lim 1
x 5 3x
1
Ejercicio nº 36.-
Continuidad
A partir de la gráfica de f(x ) señala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua,
indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
8 6
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
En x = 0, sí es continua.
En x = 3 es discontinua porque no está definida, ni tiene límite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una
asíntota vertical).
Ejercicio nº 37.-
La siguiente gráfica corresponde
a la función f x :
8 6
Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cuál es la
causa de la discontinuidad.
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2 4
2
4
6 8
6 8
X
X
26

Solución:
En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que
limf
x limf
x
x1
x1
.
En x 2 sí es continua.
Ejercicio nº 38.-
¿Son continuas las siguientes funciones en x 2?
a) b)
Y
8 6
8
6
4
2
4 2
2
4
6
2 4
6 8
X
8 6
8
6
4
2
4 2
2
Si alguna de ellas no lo es, indica la razón de la discontinuidad.
Solución:
4
6
Y
2 4
6 8
a) No es continua en x 2; aunque esté definida en x 2, tiene el punto desplazado. Es una
discontinu idad evitable porque existe limf
x
b) Sí es continua en x 2.
Ejercicio nº 39.-
Dada la gráfica de
f x: 8 6
a) ¿Es continua en x 1?
b) ¿Y en x 2?
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
x 2 .
2 4
6 8
Si no es continua en alguno de los puntos, indica cuál es la razón de la discontinuidad.
X
X
27

Solución:
a) Sí es continua en x 1.
b) No, en x 2 es discontinua porque no está definida en ese punto. Como sí tiene límite en ese punto, es una
discontinuidad evitable.
Ejercicio nº 40.-
Esta esla
gráfica de la función f x :
a) ¿Es continua en x = 2?
b) ¿Y en x 0?
Si no es continua en alguno de los puntos, indica la causa de la discontinuidad.
Solución:
a) No es continua en x 2 porque no está definida, ni tiene límite finito en ese punto. Tiene una rama infinita en
ese punto (una asíntota vertical).
b) Sí es continua en x 0.
Ejercicio nº 41.-
x seacontinua
en x 1:
Halla el valorde
k para que f
Solución:
f
f x lim2x
1
1
x1
f x k
1
1 3
lim
x
lim
x
Para que sea
Ha de ser k 3.
f
3
continua en
8 6
x 2x
1
k
x 1,
limf
Y
8
6
4
2
4 2
2
4
6
si
si
2 4
x 1
x 1
6 8
x limf
x f 1
x
1
x1
.
X
28

Ejercicio nº 42.-
Estudia la continuidad de:
Solución:
f
x Si x 1, la función es continua.
Si x 1:
lim f
x1
lim f
x1
2
x limx
2x
x1
1
x lim3x
1
2
x1
No escontinua
en
Ejercicio nº 43.-
2
x 2x
3x
1
x 1
porque limf
x1
si
si
x 1
x 1
x limf
x. Es decir, no tienelímite
enese
punto.
x1
Comprueba si la siguiente función es continua en x 0
Solución:
2
x lim
2x
1
f
x
lim f
1
x0
x0
x 2
lim f x lim
1
x0
x0
2
f 0 1
Ejercicio nº 44.-
2
1
2
2
2
x
x
si
si
Es continuaen
x 0
x 0
x 0
porque
Averigua si la siguiente función es continua en x 2:
Solución:
lim f
x2
lim f
x2
f
2 x
lim
2x
x2
x
limx
2
4
x2
f
4
4
x 2x
x
2
si
si
Es continuaen
x
x 2
x 2
2
porque limf
x2
limf
x0
x f 0. x f 2.
29

Ejercicio nº 45.-
Estudia la continuidad de la función:
Solución:
f
x
Si x 4, la función es continua.
Si x 4:
x 1
lim f x lim 1
3
x4
x4
2
lim f x limx
15
1
x4
x4
f 4 1
x 1
3
2
x
15
si
si
x 4
x 4
También escontinua
en
x 4 porque limf
x4
x f 4. 30