Continuidad Puntual de Una Funcion
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INSTITUCION EDUCATIVA LA PRESENTACION<br />
NOMBRE ALUMNA:<br />
AREA : MATEMÁTICAS<br />
ASIGNATURA: MATEMÁTICAS<br />
DOCENTE: JOSÉ IGNACIO DE JESÚS FRANCO RESTREPO<br />
TIPO DE GUIA: Conceptual y ejercitación<br />
PERIODO GRADO FECHA DURACION<br />
3 11 Agosto 21 DE 2012 6 períodos<br />
INDICADORES DE DESEMPEÑO<br />
1. Determina si una función es continua o no, en un punto dado, para hacer uso <strong>de</strong> los límites laterales.<br />
2. Muestra respeto por el trabajo en las clases.<br />
CONTINUIDAD PUNTUAL DE UNA FUNCIÓN REAL.<br />
Después <strong>de</strong> haber estudiado la teoría <strong>de</strong> los límites y <strong>de</strong> haber analizado los procesos que se<br />
<strong>de</strong>ben seguir para calcularlos en una función <strong>de</strong>terminada, entras ahora al estudio <strong>de</strong> la<br />
continuidad haciendo uso <strong>de</strong> los límites laterales.<br />
“Durante mucho tiempo, en matemáticas se estudiaron fenómenos que no implicaban cambios<br />
repentinos, es <strong>de</strong>cir, fenómenos continuos. En 1968 el matemático francés Rene Thom propuso<br />
los fundamentos <strong>de</strong> una rama <strong>de</strong> las matemáticas llamada teoría <strong>de</strong> catástrofes. La teoría <strong>de</strong><br />
catástrofes intenta proponer expresiones matemáticas discontinuas, a partir <strong>de</strong> las cuales sea<br />
posible estudiar los fenómenos <strong>de</strong> la naturaleza.<br />
Un ejemplo relacionado con estos fenómenos <strong>de</strong> discontinuidad se presenta al pren<strong>de</strong>r y<br />
apagar un bombillo. Así, se presenta con el valor 1 el instante en que el bombillo está prendido<br />
y 0 cuando está apagado; la gráfica que <strong>de</strong>scribe períodos <strong>de</strong> tiempo en los que el bombillo<br />
está prendido o apagado será una función discontinua“.<br />
Así mismo existen otras circunstancias en nuestra cotidianidad en las que necesitamos hablar<br />
<strong>de</strong> continuidad o <strong>de</strong> discontinuidad, como el caso <strong>de</strong> una carretera que en <strong>de</strong>terminado punto<br />
<strong>de</strong> su trayectoria se vuelve discontinua <strong>de</strong>bido a la existencia <strong>de</strong> un hueco (por ejemplo) en ella.<br />
Muchos <strong>de</strong> estos fenómenos que se pue<strong>de</strong>n presentar en las diferentes ramas <strong>de</strong> la ciencia se<br />
pue<strong>de</strong>n mo<strong>de</strong>lar ó expresar mediante una función real <strong>de</strong> la cuál <strong>de</strong>bemos saber si presenta<br />
discontinuida<strong>de</strong>s bajo algunas condiciones dadas.<br />
Por esto se ha visto la necesidad <strong>de</strong> realizar el estudio <strong>de</strong> la continuidad <strong>de</strong> una función real y<br />
con la presente guía realizaremos un estudio elemental pero básico <strong>de</strong> ella para ser aplicado<br />
posteriormente en sus carreras universitarias. ¡A<strong>de</strong>lante pues que falta muy poco para alcanzar<br />
la meta!<br />
DEFINCIÓN:<br />
<strong>Una</strong> función Y = f(x) es continua en un número real así:<br />
Esta <strong>de</strong>finición implica que para que f(x) sea continua en x = a, se <strong>de</strong>ben cumplir las tres<br />
condiciones siguientes al mismo tiempo:<br />
1<br />
Lím<br />
x <br />
a<br />
f ( x)<br />
f ( a)
i) Que f(a) exista, es <strong>de</strong>cir, que en x = a la función <strong>de</strong>be estar <strong>de</strong>finida (a <strong>de</strong>be estar en el<br />
dominio <strong>de</strong> f(x). Esto quiere <strong>de</strong>cir que <strong>de</strong>be existir una función real en don<strong>de</strong> x pueda<br />
tomar el valor <strong>de</strong> a y que dicha función exista en x = a.<br />
ii) Que Lím f (x)<br />
exista; esto implicaría que en caso <strong>de</strong> tener que analizar límites laterales<br />
x a<br />
éstos <strong>de</strong>ben existir y tienen que ser iguales.<br />
iii) Que el resultado obtenido en i) sea igual al resultado obtenido en ii). Esto quiere <strong>de</strong>cir que<br />
el resultado obtenido <strong>de</strong> f(a) <strong>de</strong>be ser igual al Lím f (x)<br />
x <br />
a<br />
Gráficamente se pue<strong>de</strong> observar la continuidad porque la gráfica no tiene saltos y f(a) está<br />
sobre la gráfica (po<strong>de</strong>mos <strong>de</strong>cir cuando al trazar la figura no tenemos que levantar el esfero en<br />
ningún momento).<br />
Si alguna <strong>de</strong> las tres condiciones anteriores no se cumple se dice que la función es<br />
discontinua en x = a.<br />
CLASES DE DISCONTINUIDAD: Existen dos tipos <strong>de</strong> discontinuidad puntual: Removible (ó<br />
evitable) y no removible (ó esencial).<br />
- Discontinuidad removible ó evitable: Se da este tipo <strong>de</strong> discontinuidad cuando se<br />
cumple la condición ii) pero falla la condición i) ó la iii), es <strong>de</strong>cir, <strong>de</strong>be existir el Lím f (x)<br />
.<br />
x a<br />
En este caso se pue<strong>de</strong> volver continua redifiniendo a f(a) así: .<br />
x a<br />
Gráficamente se pue<strong>de</strong> observar este tipo <strong>de</strong> discontinuidad cuando la gráfica no tiene<br />
saltos pero en f(a) no está <strong>de</strong>finida ó está abierta. En este caso el límite existe pero no se<br />
cumple la condición i) ó la ii).<br />
- Discontinuidad no removible o esencial: Ocurre este tipo <strong>de</strong> discontinuidad cuando no se<br />
cumple la condición II, es <strong>de</strong>cir, no existe el límite. En este caso <strong>de</strong> ninguna manera se<br />
pue<strong>de</strong> volver continua.<br />
Gráficamente se pue<strong>de</strong> observar este tipo <strong>de</strong> discontinuidad cuando en la gráfica hay<br />
saltos. En este caso el límite no existe.<br />
♠ ALGUNOS TEOREMAS SOBRE CONTINUIDAD.<br />
1. Si f(x) y g(x) son funciones continuas en x = a, entonces las funciones suma, resta,<br />
multiplicación y división <strong>de</strong> ellas también serán continuas en x = a, es <strong>de</strong>cir, serán<br />
continuas:<br />
a. f(x) + g(x) b. f(x) – g(x) c. f(x).g(x) d. f(x)/g(x), con g(a) 0 e. c.f(x), c<br />
2. Cualquier función polinómica siempre es continua.<br />
3. <strong>Una</strong> función racional será discontinua en aquellos valores que anulen su <strong>de</strong>nominador, en<br />
todos los <strong>de</strong>más valores será continua.<br />
2<br />
f ( a)<br />
Lím f ( x)
4. Si f(x) y g(x) son funciones continuas, entonces<br />
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Cuando nos <strong>de</strong>n una función por tramos y no nos especifiquen<br />
en qué valores <strong>de</strong>bemos analizar la continuidad o discontinuidad, siempre la analizaremos en<br />
los extremos <strong>de</strong> los intervalos que nos dan como condiciones.<br />
1. VIENE MI PROFE CON SU APORTE...<br />
Para cada una <strong>de</strong> las funciones dadas a continuación, analizo si son continuas o discontinuas<br />
en los valores indicados, es caso <strong>de</strong> ser discontinua en algún valor digo qué tipo <strong>de</strong><br />
discontinuidad tiene y la remuevo en caso <strong>de</strong> que sea removible.<br />
2<br />
2 <br />
<br />
x ; x 1<br />
x 3x<br />
4<br />
<br />
<br />
; x<br />
1<br />
2<br />
5x<br />
2<br />
<br />
x 1<br />
; 1<br />
x<br />
4<br />
<br />
3<br />
x 7<br />
2<br />
; 1<br />
x<br />
2<br />
En:<br />
<br />
<br />
x2<br />
a.<br />
f ( x)<br />
<br />
En x = 1, x = 4 x = - 1<br />
2x<br />
; 4<br />
x<br />
6<br />
11x<br />
22<br />
b.<br />
f ( x)<br />
<br />
8<br />
<br />
; 2<br />
x<br />
5<br />
2<br />
<br />
x = 6, x = 8 x 2x<br />
x = 2<br />
0 ; x<br />
6<br />
<br />
<br />
11<br />
x = 5<br />
2;<br />
x 4<br />
5<br />
; x 5<br />
<br />
x = 6<br />
<br />
2 ; x 2<br />
<br />
<br />
<br />
c. En qué valores son discontinuas las siguientes funciones y ¿y por qué? :<br />
2<br />
x x<br />
6<br />
i.<br />
f ( x)<br />
<br />
x3<br />
ii.<br />
f ( x)<br />
<br />
2<br />
x x 2<br />
x 2<br />
3<br />
3kx + 2; x < 4<br />
d. Sea: h(x) = Determino el valor <strong>de</strong> K para que h(x) sea continua en x = 4.<br />
k + 5x ; x 4<br />
3<br />
Lím<br />
x a<br />
,<br />
,<br />
f<br />
g( x)<br />
f <br />
Lím g(<br />
x)<br />
<br />
<br />
x a <br />
para compren<strong>de</strong>r con<br />
gran facilidad<br />
la solución <strong>de</strong> los<br />
siguientes ejercicios que<br />
soluciona mi profesor en<br />
la clase.<br />
x 2<br />
x 2
2. Y AHORA VIENE MI APORTE EN LA CLASE...<br />
a poner a prueba mis competencias.<br />
Para cada una <strong>de</strong> las funciones dadas a continuación, analizo si son continuas o<br />
discontinuas en los valores indicados, es caso <strong>de</strong> ser discontinua en algún valor digo qué<br />
tipo <strong>de</strong> discontinuidad tiene y la remuevo en caso <strong>de</strong> que sea removible.<br />
a<br />
<br />
<br />
<br />
2x<br />
1<br />
;<br />
5<br />
;<br />
f ( x)<br />
<br />
x 5<br />
;<br />
4<br />
x ;<br />
<br />
<br />
. 2<br />
2<br />
x 1<br />
2<br />
x 4x<br />
5<br />
<br />
c.<br />
g(<br />
x)<br />
1<br />
3<br />
<br />
x 1<br />
2<br />
x x<br />
x 3<br />
3<br />
x<br />
0<br />
;<br />
;<br />
;<br />
0<br />
x<br />
3<br />
x 3<br />
x 1<br />
x 1<br />
x 1<br />
2 ; x 0<br />
3<br />
x 4x<br />
; 0<br />
x<br />
2<br />
2 x 2x<br />
<br />
En:<br />
En: x = - 3 b.<br />
f ( x)<br />
<br />
6<br />
x ; 2<br />
x<br />
5 x = 0<br />
x = 0 2<br />
x = 2<br />
x = 3 <br />
x 1<br />
; x<br />
5<br />
x = 5<br />
<br />
x = 3<br />
<br />
<br />
En x = 1<br />
4
Las preguntas 1 a 4 son <strong>de</strong> selección múltiple con única respuesta:<br />
1.<br />
Sea<br />
2 x 1<br />
2<br />
<br />
<br />
x 4x<br />
5<br />
f ( x)<br />
1/<br />
2<br />
2<br />
<br />
x x<br />
2<br />
<br />
x 3x<br />
2<br />
5<br />
De dicha función se pue<strong>de</strong> afirmar que:<br />
A. f(x) es continua en x = 1 porque f (1) existe y es igual a 1/2<br />
B. f(x) es discontinua no removible en x = 1 porque Lím f ( x)<br />
Lím f ( x)<br />
C. f(x) es discontinua removible en x = 1 porque f (1) <br />
D. f(x) es discontinua no removible en x = 1 porque Lím f (x)<br />
no existe<br />
2. <strong>Una</strong> <strong>de</strong> las condiciones para que una función f (x) sea continua en x = a es que el límite<br />
cuando x tien<strong>de</strong> a a exista (los límites laterales <strong>de</strong>ben ser iguales).<br />
Si<br />
2x<br />
4 ;<br />
<br />
<br />
f ( x)<br />
2<br />
2k<br />
x 4 ;<br />
<br />
<br />
A. – 1 B.<br />
;<br />
;<br />
;<br />
x 1<br />
x 1<br />
2 y<br />
<br />
x 1<br />
x 1<br />
x 1<br />
2<br />
Un valor <strong>de</strong> K para que f (x) cumpla la condición dada en<br />
x = 1 es:<br />
C. No existe valor <strong>de</strong> K porque el valor <strong>de</strong> k <strong>de</strong>be ser único y se han obtenido dos valores:<br />
- 1 y 1.<br />
D. No existe el valor <strong>de</strong> K porque al resolver la ecuación cuadrática que resulta da<br />
imaginario.<br />
Lím<br />
f (x)<br />
“LA FÉ VE LO INVISIBLE, CREE LO INCREIBLE<br />
Y RECIBE LO IMPOSIBLE”