Taller No. 6 de Cálculo Diferencial. Semestre 02-2009 A partir de la ...
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<strong>Taller</strong> <strong>No</strong>. 6 <strong>de</strong> <strong>Cálculo</strong> <strong>Diferencial</strong>.<br />
<strong>Semestre</strong> <strong>02</strong>-<strong>2009</strong><br />
A<strong>partir</strong><strong>de</strong><strong>la</strong>gráfica <strong>de</strong> <strong>la</strong> función f mostrada a continuación resuelva los siguientes 4 ejercicios.<br />
1. <strong>Taller</strong> A. ¿Cuáles <strong>de</strong> <strong>la</strong>s siguientes afirmaciones son verda<strong>de</strong>ras?<br />
(a) La función f es continua a <strong>la</strong> izquierda en x = −3.<br />
(b) La función f es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha en x = −3.<br />
(c) La función f es continua en x =0, pues lim<br />
x→0−f (x) = lim<br />
x→0 +f<br />
(x) .<br />
(d) La función f tiene una discontinuidad infinita en x =0.<br />
(e) La función f no es continua en x =3, ya que lim<br />
x→3−f (x) 6= lim<br />
x→3 +f<br />
(x) .<br />
(f) La función f es continua en x = −3, ya que f (−3) = lim<br />
x→−3 +f<br />
(x) .<br />
(g) La discontinuidad <strong>de</strong> f en x = −3 es infinita.<br />
(h) La única discontinuidad removible está en x =3.<br />
2. <strong>Taller</strong> B. Para <strong>la</strong> función f <strong>de</strong> <strong>la</strong> figura po<strong>de</strong>mos afirmar que:<br />
(a) lim f(x) =f (−3) = 0<br />
x→−3<br />
(b) f es continua a <strong>la</strong> izquierda <strong>de</strong> x =3.<br />
(c) lim f(x) no existe.<br />
x→−3− (d) La función f es continua en el intervalo [3, +∞).<br />
(e) Nada <strong>de</strong> lo anterior se pue<strong>de</strong> afirmar.<br />
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3. <strong>Taller</strong> A. Con respecto a <strong>la</strong> función f <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica, ¿cuál <strong>de</strong> los siguientes enunciados es verda<strong>de</strong>ro?.<br />
(a) f es continua en el intervalo (∞, −3].<br />
(b) f es continua en el intervalo [−3, 0]<br />
(c) f es continua en el intervalo [1, 6]<br />
(d) f es continua en el intervalo [−3, 0).<br />
4. <strong>Taller</strong> B. Sean g <strong>la</strong> función <strong>de</strong>finida por g (x) =x +2y f <strong>la</strong> función <strong>de</strong> <strong>la</strong> gráfica. ¿Cuáles <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong>s siguientes afirmaciones son falsas?.<br />
(a) f ◦ g es discontinua en x =0.<br />
(b) g ◦ f es discontinua en x =0.<br />
(c) f ◦ g es discontinua en x =3.<br />
(d) g ◦ f es discontinua en x =3.<br />
(e) g ◦ f es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x = −3.<br />
(f) f ◦ g es continua a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x = −3.<br />
(g) f ◦ g es continua en x =6.<br />
(h) g ◦ f es continua en x =6.<br />
5. <strong>Taller</strong> A. Si f es continua en [−1, 1] .¿Cuál <strong>de</strong> <strong>la</strong>s siguientes afirmaciones podría ser falsa?:<br />
(a) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (−1) .<br />
x→−1 +<br />
(b) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (1) .<br />
x→1− (c) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (−1) .<br />
x→−1− (d) lim f (x) =f (0)<br />
x→0<br />
6. <strong>Taller</strong> B. Sea F (x) = x2 − 4<br />
. Determine si F es continua o no en el punto x =2.<br />
|x − 2|<br />
7. <strong>Taller</strong> A. Explique por qué <strong>la</strong> función f dada a continuación es discontinua en el punto x =2.<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
x<br />
f (x) =<br />
⎪⎩<br />
2 + x − 6<br />
si x 6= 2<br />
x − 2<br />
7 si x =2<br />
⎧<br />
⎨ x +4 si x ≤−1<br />
8. <strong>Taller</strong> B. Sea f (x) = mx + b<br />
⎩<br />
x − 4<br />
si<br />
si<br />
−1 1<br />
.<br />
Encuentre los valores <strong>de</strong> m y b, para que <strong>la</strong> función f seacontinuaentodoslosreales.<br />
(a) Haga el procedimiento en forma analítica, buscando ecuaciones al utilizar <strong>la</strong> <strong>de</strong>finición <strong>de</strong><br />
continuidad y <strong>de</strong>terminando con estas ecuaciones los valores <strong>de</strong> m y b.<br />
(b) Haga el procedimiento <strong>de</strong> <strong>la</strong> siguiente forma: dibuje <strong>la</strong> gráfica <strong>de</strong> <strong>la</strong> función en los intervalos<br />
(−∞, −1] yen[1, ∞) y luego busque <strong>la</strong> recta que empata bien con los dos tramos dibujados.<br />
Compare su respuesta con <strong>la</strong> respuesta encontrada analíticamente.<br />
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9. <strong>Taller</strong> A. Sea g <strong>la</strong> función cuya gráfica se muestra a continuación.<br />
Para <strong>la</strong> función g, complete <strong>la</strong> siguiente información.<br />
lim g (x) =_____, lim<br />
x→∞ x→−∞<br />
g (x) =_____, lim g (x) =_____,<br />
x→−4− lim g (x) =_____,<br />
x→−4 +<br />
lim g (x) =_____,<br />
x→1− lim g (x) =_____,<br />
x→1 +<br />
lim g (x) =_____,<br />
x→−2 +<br />
lim g (x) =_____,<br />
x→−2− lim g (x) =_____,<br />
x→0<br />
g (−4) = _____, g (−2) = _____, g (1) = _____,<br />
(a) El dominio <strong>de</strong> g es:________<br />
(b) La(s) ecuación(es) <strong>de</strong> <strong>la</strong>(s) asíntota(s) vértical(es) es(son):________<br />
(c) La(s) ecuación(es) <strong>de</strong> <strong>la</strong>(s) asíntota(s) horizontal(es) es(son):________<br />
(d) La función g tiene discontinuidad removible (evitable) en los siguientes valores <strong>de</strong> x:________<br />
(e) La función g tiene discontinuidad esencial finita o infinita (no evitable, no removible o por<br />
salto) en los siguientes valores <strong>de</strong> x:________<br />
10. <strong>Taller</strong> B. Para <strong>la</strong> función g <strong>de</strong>l problema anterior indique si es verda<strong>de</strong>ro (V) ofalso(F) cada<br />
uno <strong>de</strong> los siguientes enunciados.<br />
(a) g es continua en x =1._____<br />
(b) g es continua en x =0._____<br />
(c) La discontinuidad a <strong>la</strong> izquierda <strong>de</strong> x =1es removible._____<br />
(d) La discontinuidad a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x = −2 es removible._____<br />
(e) g tiene una discontinuidad por salto en x = −2._____<br />
(f) g tiene una discontinuidad por salto en x = −4._____<br />
(g) g tiene una discontinuidad infinita a <strong>la</strong> <strong>de</strong>recha <strong>de</strong> x = −4._____<br />
(h) La discontinuidad a <strong>la</strong> izquierda en x = −4 es removible._____<br />
(i) Po<strong>de</strong>mos afirmar que g tiene una asíntota vértical en x = −4, porquegtiene discontinuidad<br />
esencial (no removible) en x = −4._____<br />
(j) g tiene una asíntota vértical en x = −4 ya que lim g (x) =−∞._____<br />
x→−4 +<br />
3
11. <strong>Taller</strong> A. Para <strong>la</strong> ecuación cos x = x es correcto <strong>de</strong>cir que:<br />
(a) Tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1) .<br />
(b) Tiene al menos una solución en el intervalo (−π, 0) .<br />
(c) Tiene al menos una solución en el intervalo ¡ π<br />
2 ,π¢ .<br />
(d) <strong>No</strong> tiene soluciones.<br />
12. <strong>Taller</strong> B. Para <strong>la</strong> ecuación ln x =2x − 3 se pue<strong>de</strong> afirmar que:<br />
(a) Tiene una raíz en el intervalo (0,e).<br />
(b) Tiene una raíz en el intervalo (1,e).<br />
(c) Tiene una raíz en el intervalo (1, 3<br />
2 ).<br />
(d) <strong>No</strong> tiene soluciones.<br />
13. <strong>Taller</strong> A. Si f (x) =x 3 − x 2 + x, <strong>de</strong>muestre que existe un número c tal que f (c) =10.<br />
14. <strong>Taller</strong> B. Si g (t) =3t3− t +1, <strong>de</strong>muestre que existe un número c en el intervalo (−1, 1) tal que<br />
g (c) =0.<br />
½<br />
2 cos(π/x) x e si x 6= 0<br />
15. <strong>Taller</strong> A. Si f (x) =<br />
entonces po<strong>de</strong>mos afirmar que:<br />
0 si x =0<br />
(a) lim<br />
x→0 x 2 e cos(π/x) no existe<br />
(b) f es continua en x =0.<br />
(c) f es discontinua en x =0.<br />
(d) lim<br />
x→0 x 2 e cos(π/x) no se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r.<br />
16. <strong>Taller</strong> B. Si f es continua en todos los reales y f(5) = 2,f(4) = 4 y lim g(x) =5. El valor <strong>de</strong><br />
x→4<br />
lim f(g(x)) es:<br />
x→4<br />
17. <strong>Taller</strong> A. Evalúe el<br />
(a) lim tan<br />
x→2 −1<br />
µ 2 x − 4<br />
3x2 <br />
.<br />
− 6x<br />
µ µ<br />
(b) lim cos tan<br />
x→2<br />
−1<br />
µ 2 x − 4<br />
3x2 <br />
.<br />
− 6x<br />
(a) 4 (b) 10 (c) 2 (d) <strong>No</strong> se pue<strong>de</strong> calcu<strong>la</strong>r<br />
18. <strong>Taller</strong> B. ¿Para qué valores <strong>de</strong> a y b es <strong>la</strong> función g continua en todo punto?<br />
⎧<br />
⎨ ae<br />
g(x) =<br />
⎩<br />
1−x si xe<br />
4
19. Calcu<strong>la</strong>r si existen los siguientes límites (<strong>Taller</strong> A. literales (a);(c);(e) y (g). El resto <strong>de</strong> literales<br />
en <strong>Taller</strong> B):<br />
(b) lim<br />
x→( π<br />
2 )+ etan x e<br />
(c) lim<br />
x→5<br />
x<br />
(x − 5) 3<br />
x→−∞ x4 + x5 √<br />
(e) lim x2 − x3 (f) lim<br />
x→∞<br />
x→−∞<br />
√<br />
x2 + x + x (h) lim<br />
x→∞<br />
(a) lim<br />
x→3 + ln ¡ x 2 − 9 ¢<br />
(d) lim<br />
(g) lim<br />
x→−∞<br />
2<br />
√ x 2 + x − x<br />
4x − 3<br />
√ x 2 +1<br />
5<br />
20. <strong>Taller</strong> A. Sea f una función tal que para todo x>1,<br />
√ x<br />
√