Taller No. 7 de Cálculo Diferencial. Semestre 02-2010 A partir de la ...

Taller No. 7 de Cálculo Diferencial.
Semestre 02-2010
A partir de la gráfica de la función f mostrada a continuación resuelva los siguientes 4 ejercicios.
1. Taller A. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
(a) La función f es continua a la izquierda en x = −3.
(b) La función f es continua a la derecha en x = −3.
(c) La función f es continua en x = 0, pues lim
x→0−f (x) = lim
x→0 +f
(x) .
(d) La función f tiene una discontinuidad infinita en x = 0.
(e) La función f no es continua en x = 3, ya que lim
x→3−f (x) = lim
x→3 +f
(x) .
(f) La función f es continua en x = −3, ya que f (−3) = lim
x→−3 +f
(x) .
(g) La discontinuidad de f en x = −3 es infinita.
(h) La única discontinuidad removible está en x = 3.
2. Taller B. Para la función f de la figura podemos afirmar que:
(a) lim f(x) = f (−3) = 0
x→−3
(b) f es continua a la izquierda de x = 3.
(c) lim
x→−3− f(x) no existe.
(d) La función f es continua en el intervalo [3, +∞).
(e) Nada de lo anterior se puede afirmar.
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3. Taller A. Con respecto a la función f de la gráfica, ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero?
(a) f es continua en el intervalo (∞, −3].
(b) f es continua en el intervalo [−3, 0]
(c) f es continua en el intervalo [1, 6]
(d) f es continua en el intervalo [−3, 0).
4. Taller B. Sean g la función definida por g (x) = x + 2 y f la función de la gráfica. ¿Cuáles de
las siguientes afirmaciones son falsas?
(a) f ◦ g es discontinua en x = 0.
(b) g ◦ f es discontinua en x = 0.
(c) f ◦ g es discontinua en x = 3.
(d) g ◦ f es discontinua en x = 3.
(e) g ◦ f es continua a la derecha de x = −3.
(f) f ◦ g es continua a la derecha de x = −3.
(g) f ◦ g es continua en x = 6.
(h) g ◦ f es continua en x = 6.
5. Taller A. Si f es una función continua en [−1, 1] . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría
ser falsa?
(a) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (−1) .
x→−1 +
(b) Si lim f (x) existe, entonces es igual a f (1) .
x→1− (c) Si lim
x→−1− f (x) existe, entonces es igual a f (−1) .
(d) lim
x→0 f (x) = f (0)
6. Taller B. Explique por qué la función f dada a continuación es discontinua en el punto x = 2.
⎧
⎪⎨
f (x) =
⎪⎩
x2 + x − 6
x − 2
7
si
si
x = 2
x = 2
⎧
⎨ x + 4 si x ≤ −1
7. Taller A. Sea f (x) = mx + b
⎩
x − 4
si
si
−1 < x ≤ 1
x > 1
.
Encuentre los valores de m y b, para que la función f sea continua en todos los reales.
(a) Haga el procedimiento en forma analítica, buscando ecuaciones al utilizar la definición de
continuidad y determinando con estas ecuaciones los valores de m y b.
(b) Haga el procedimiento de la siguiente forma: dibuje la gráfica de la función en los intervalos
(−∞, −1] y en [1, ∞) y luego busque la ecuación de la recta que empata bien con los dos
tramos dibujados. Compare su respuesta con la respuesta encontrada analíticamente.
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8. Taller B. Sea g la función cuya gráfica se muestra a continuación.
Para la función g, complete la siguiente información.
lim g (x) = _____, lim
x→∞ x→−∞
lim
x→−4
x→1
g (x) = _____, lim g (x) = _____,
x→−4− x→1
g (x) = _____, lim g (x) = _____, lim g (x) = _____,
+ − +
lim
x→−2 +
g (x) = _____, lim
x→−2− g (x) = _____, lim g (x) = _____,
x→0
g (−4) = _____, g (−2) = _____, g (1) = _____,
(a) El dominio de g es:________
(b) La(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) vértical(es) es(son):________
(c) La(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s) horizontal(es) es(son):________
(d) La función g tiene discontinuidad removible (evitable) en los siguientes valores de x:________
(e) La función g tiene discontinuidad esencial finita o infinita (no evitable, no removible o por
salto) en los siguientes valores de x:________
9. Taller A. Para la función g del problema anterior indique si es verdadero (V) o falso (F) cada
uno de los siguientes enunciados.
(a) g es continua en x = 1._____
(b) g es continua en x = 0._____
(c) La discontinuidad a la izquierda de x = 1 es removible._____
(d) La discontinuidad a la derecha de x = −2 es removible._____
(e) g tiene una discontinuidad por salto en x = −2._____
(f) g tiene una discontinuidad por salto en x = −4._____
(g) g tiene una discontinuidad infinita a la derecha de x = −4._____
(h) La discontinuidad a la izquierda en x = −4 es removible._____
(i) Podemos afirmar que g tiene una asíntota vértical en x = −4, porque g tiene discontinuidad
esencial (no removible) en x = −4._____
(j) g tiene una asíntota vértical en x = −4 ya que lim g (x) = −∞._____
x→−4 +
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10. Taller B. Para la ecuación ln x = 2x − 3 se puede afirmar que:
(a) Tiene una raíz en el intervalo (0, e).
(b) Tiene una raíz en el intervalo (1, e).
(c) Tiene una raíz en el intervalo (1, 3
2 ).
(d) No tiene soluciones.
11. Taller A. Si g (t) = 3t3 − t + 1, demuestre que existe un número c en el intervalo (−1, 1) tal que
g (c) = 0.
2 cos(π/x) x e si x = 0
12. Taller B. Si f (x) =
entonces podemos afirmar que:
0 si x = 0
(a) lim
x→0 x 2 e cos(π/x) no existe.
(b) f es continua en x = 0.
(c) f es discontinua en x = 0.
(d) lim
x→0 x 2 e cos(π/x) no se puede calcular.
13. Taller A. Si f es continua en todos los reales y f(5) = 2, f(4) = 4 y lim g(x) = 5 . El valor de
x→4
lim f(g(x)) es:
x→4
(a) 4 (b) 10 (c) 2 (d) No se puede calcular
14. Calcular si existen los siguientes límites (Taller B. literales (a);(c);(e);(g) e (i). El resto de
literales en Taller A):
(a) lim
x→3 +
ln x2 − 9
(d) lim
(g) lim
x→−∞
(b) lim
x→( π
x→−∞ x4 + x5 (e) lim
x→2
√
x2 + x + x (h) lim
x→∞
etan x (c) lim tan
x→2 −1
2 )+
cos tan−1 2 x − 4
3x2
− 6x
2
√
x2 + x − x
15. Taller A. Sea f una función tal que para todo x > 1,
lim f (x).
x→∞
16. Taller B. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de
y = 2ex
e x − 5
2 x − 4
3x2
− 6x
4x − 3
(f) lim √
x→−∞ x2 + 1
(i) lim
x→∞
√ x 2 − x 3
5 √ x
√ < f(x) <
x − 1 10ex − 21
2ex . Encuentre
17. Taller A. Dibuje la gráfica de una función f que satisfaga las condiciones dadas:
(a) f (1) = 2, lim
x→1
x→3
x→3
f(x) = −∞, f(3) = 1, lim f(x) = 1, lim f(x) = ∞,
+ − +
lim
x→∞ f(x) = −2, Df = R, f (−x) = −f (x)
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18. Taller B. Para la función g, derivable en los reales y cuya gráfica se da a continuación, disponga
los números siguientes en orden creciente y explique su razonamiento:
0; g ′ (−6); g ′ (−5); g ′ (−3); g ′ (−1); g ′ (0); g ′ (1); g ′ (3); g ′ (5).
19. Taller A. Trace la gráfica de una función g para la cual
g(1) = g ′ (1) = 0, g ′ (−2) = −1, g ′ (2) = 2, g ′ (5) = 1
20. Taller B. Una partícula se mueve en línea recta con función de posición dada por s (t) = 3t 2 −t+1.
Halle la velocidad instantánea v de la partícula después de t segundos. ¿Cuál es el valor de v (3)?
(Use la definición de derivada.).
21. Usando la definición de derivada, halle f ′ (x) para cada una de las siguientes funciones. Además
halle si es posible la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto indicado. Dibuje
la gráfica de cada una de las funciones y observe qué ocurre.
(a) Taller A. g(x) = x2 , (1, g(1)), h(x) = 2x − 1, (1, h(1)).
2 x si x < 1
(b) Taller A. f (x) =
, (1, f (1))
2x − 1 si x ≥ 1
(c) Taller B. h(x) = 5 − x, (6, h(6)); f (x) = |5 − x|, (6, 1)
Observación: La idea en éste punto es determinar la diferenciabilidad en el punto indicado
para cada función y ver gráficamente lo que ocurre. Note que para algunas de las funciones
es imprescindible calcular la derivada usando la definición de derivadas laterales.
22. Taller A. El consumo de combustible (medido en galones por hora) de un automóvil que viaja
a una velocidad de v millas por hora es c = f(v).
(a) ¿Cuál es el significado de la derivada f ′ (v)?, ¿Cuáles son sus unidades?
(b) Escriba una frase que explique el significado de f ′ (20) = −0.05.
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