Pág. 38 - IES Reyes Católicos

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Soluciones a “Ejercicios y problemas”
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48 Reduce a una sola potencia.
a) (x 2 ) 5 b) (m 4 ) 3 c) [a 10 : a 6 ] 2
d) (a · a 3 ) 3 e) (x 5 : x 2 ) · x 4 f ) (x 6 · x 4 ) : x 7
a) (x 2 ) 5 = x 10 b) (m 4 ) 3 = m 12 c) [a 10 : a 6 ] 2 = a 8
d) (a · a 3 ) 3 = a 12 e) (x 5 : x 2 ) · x 4 = x 7 f ) (x 6 · x 4 ) : x 7 = x 3
49 Expresa como una potencia única.
a) 5 2 · (–5) 3 b) (–6) 8 : (–6) 5 c) [7 4 · (–7) 4 ] : (–7) 6
d) (2 4 ) 3 : 2 9 e) [(–3) 4 ] 3 : [(–3) 3 ] 3 f ) (5 2 ) 5 : [(–5) 3 ] 2
a) 5 2 · (–5) 3 = –5 5 b) (–6) 8 : (–6) 5 = –6 3 c) [7 4 · (–7) 4 ] : (–7) 6 = 7 2
d) (2 4 ) 3 : 2 9 = 2 3 e) [(–3) 4 ] 3 : [(–3) 3 ] 3 = –3 3 f ) (5 2 ) 5 : [(–5) 3 ] 2 = 5 4
50 Opera y calcula.
a) [2 9 : (2 3 ) 2 ] · 5 3 b) 10 2 : [(5 2 ) 3 : 5 4 ]
c) 6 3 : [(2 7 : 2 6 ) · 3] 2 d) [(6 2 ) 2 · 4 4 ] : (2 3 ) 4
a) [2 9 : (2 3 ) 2 ] · 5 3 = [2 9 : 2 6 ] · 5 3 = 2 3 · 5 3 = 10 3 = 1 000
b) 10 2 : [(5 2 ) 3 : 5 4 ] = 10 2 : [5 6 : 5 4 ] = 10 2 : 5 2 = (10 : 5) 2 = 2 2 = 4
c) 6 3 : [(2 7 : 2 6 ) · 3] 2 = 6 3 : [2 · 3] 2 = 6 3 : 6 2 = 6
d) [(6 2 ) 2 · 4 4 ] : (2 3 ) 4 = [6 4 · 4 4 ] : (2 3 ) 4 = [6 · 4] 4 : (2 3 ) 4 = [3 · 2 3 ] 4 : (2 3 ) 4 = 3 4 = 81
■ Raíces de números enteros
51 Calcula.
a) √49 b) √7 2 c) √– 49
d) √15 2 e) √225 f ) √–225
g) √2 500 h) √50 2 i) √–2 500
a) ±7 b) ±7 c) No existe.
d) ±15 e) ±15 f ) No existe.
g) ±50 h) ±50 i) No existe.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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52 Calcula las raíces siguientes:
a) √x 2 b) √(–x ) 2 c) √–x 2
d) √a 4 e) √(–a ) 4 f ) √–a 4
g) √m 6 h) √(–m ) 6 i) √–m 6
a) ±x b) ±x c) No existe.
d) ±a 2 e) ±a 2 f ) No existe.
g) ±m 3 h) ±m 3 i) No existe.
53 Calcula, si existen, estas raíces:
a) ³ √1 b) ³ √–1 c) ³ √64
d) 4 √625 e) 4 √–625 f ) 4 √10 000
a) 1 b) –1 c) 4
d) ±5 e) No existe. f ) ±10
54 Calcula.
a) ³ √a 3 b) 4 √x 4 c) 5 √m 5
a) a b) ±x c) m
55 Observa el ejemplo y razona, en cada caso, de manera similar.
• 4 √x 12 = x 3 , puesto que (x 3 ) 4 = x 3 · 4 = x 12
a) ³ √a 12 b) 5 √m 10 c) √x 10
a) ³ √a 12 = a 4 , ya que (a 4 ) 3 = a 4 · 3 = a 12
b) ⁵ √m 10 = m 2 , ya que (m 2 ) 5 = m 2 · 5 = m 10
c) √x 10 = ±x 5 , ya que (x 5 ) 2 = x 10 y (–x 5 ) 2 = x 10
■ Interpreta, describe, exprésate
56 El brazo mecánico de un robot ha sido programado de la siguiente forma:
— Encendido: inicio del programa.
— Primer minuto: avanza 1 cm y retrocede 5 cm.
— Segundo minuto: avanza 2 cm y retrocede 5 cm.
— Tercer minuto: avanza 3 cm y retrocede 5 cm.
— …
Y así continúa, hasta que, al final de un determinado minuto, se encuentra en la
posición inicial. Entonces repite el proceso.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
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¿Cuántas veces repite el ciclo en hora y media? Justifica la respuesta.
Unidad 1. Divisibilidad y números enteros
MINUTO 1 2 3 4 5
AVANCE 1 2 3 4 5
RETROCESO 5 5 5 5 5
VARIACIÓN – 4 –3 –2 –1
POSICIÓN – 4 –7 …
Veamos cuánto dura un ciclo completo:
MINUTO 1 2 3 4 5 6 7 8 9
AVANCE 1 2 3 4 5 6 7 8 9
RETROCESO 5 5 5 5 5 5 5 5 5
VARIACIÓN – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
POSICIÓN – 4 –7 –9 –10 –10 –9 –7 –4 0
Un ciclo completo dura 9 minutos.
Por tanto, en hora y media (90 min), repetirá el ciclo 90 : 9 = 10 veces.
57 Una plataforma petrolífera marina se sostiene sobre flotadores, a 55 metros
sobre la superficie del agua, anclada en una zona con una profundidad de 470 m.
Sobre ella, hay una grúa de 35 m de altura, de la que pende un cable y en su extremo
un batiscafo auxiliar para los trabajos de mantenimiento de la plataforma.
En este momento, la grúa ha largado 120 metros de cable y sigue bajando el batiscafo
a razón de un tercio de metro por segundo.
a) ¿Cuál o cuáles de estas expresiones representan la distancia del batiscafo al fondo
en este momento?
470 + 55 + 35 – 120 470 – [120 – (55 + 35)] (470 + 55) – (120 – 35)
b) ¿Cuánto tardará el batiscafo en llegar al fondo?
c) ¿Cuánto tardará la grúa en izar el batiscafo hasta la superficie de la plataforma, si
sube a la misma velocidad que baja?
a) Todas las expresiones son equivalentes y representan la posición del batiscafo, que está
a 440 m del fondo.
b) Tardará 440 · 3 = 1 320 segundos. Esto es, 1 320 : 60 = 22 minutos.
c) Desde el fondo hasta la plataforma, hay 470 + 55 = 525 m.
Tardará 525 · 3 = 1 575 s = 26,25 min = 26 min 15 s
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