Cap´ıtulo 3 Modelado de Convertidores Estáticos de Potencia (CEP)

CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)44
Propiedad3.4(Estabilidad) Tomando la derivada temporal de la función de energía
H(z) = 1
2zTDz y evaluando en las trayectorias del sistema no forzado, υ ≡ 0, (3.42), se
tieneque
H(z)=−z T Rz=− 1
z 2 2≤0
lacualesunafunciónnegativasemidefinida.AplicandoelteoremadeLaSalle(ver[18]),se
tieneque
H=0=⇒z2=0.
Si z2 ≡0=⇒ z2 =0=⇒z1 =0, implicando que el origen de los convertidores inversores
caracterizadosporlaecuación(3.42)esasintóticamenteestableenelsentidodeLyapunov.
Porserestables,losconvertidoresconsideradosalsersometidosaunaseñaldeentradaϕ
(µ)acotadaposeeránunatrayectoriadeestadox(t)(z(t))queconvergedemaneraasintótica
aunconjuntoacotadodelespaciodeestado,permaneciendoenélsinimportarcomovaríe
ϕ(µ).Laimportanciadeestehechoradicaenquelosresultadosobtenidosenelsiguiente
capítulosonválidosdemaneraglobal.
Observación3.11 En el caso general en el cual un convertidor no sea estable, los resultados
del siguiente capítulo sólo serían válidos dentro del conjunto arriba mencionado, es
decir,seránresultadoslocales.Másaún,dichosresultadosdependeránengranmedidadelas
condicionesinicialesdelsistema,véase[4].
Propiedad3.5(Fasemínimadébil) Alreescribirlaecuación(3.42)alaforma
⎡
· ⎢ 0 -
z(t) = ⎣
1
⎤
L ⎥ Ve(t)
1 1 ⎦z(t)+ υ(t) (3.44)
-
0
C RC
y(t) = 1 −1
R z(t),
esposibledeterminarqueelsistemaesobservablegraciasaquesumatrizdeobservabilidad
Mo=[C T A T C T ] T es de rango completo para la señal de salida y(t) considerada, la cual
representalaseñaldecorrientepromedioenelcapacitordesalida.Ahorabien,alrealizarel
cambiodevariablesz1(t)=y(t)yz2(t)=−z2(t)sellegaalasiguienteformanormal
Rl
L
z1=− L
RC z1+z2+Veυ
C
z2=−z1,
(3.45)
a partir de la cual es fácil comprobar que la dinámica cero del convertidor está dada por
la expresión
z2(t) = 0, mientras que el grado relativo del sistema con respecto a la salida
propuestaesuno,porloqueelsistemaesdefasemínimadébil.Enconsecuencia,elsistema
(3.45)espasivizablemedianteretroalimentacióndelacorrienteenelcapacitor,veáse[47].