Cap´ıtulo 3 Modelado de Convertidores Estáticos de Potencia (CEP)

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CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)43 conµ(z(tk))∈[ϕ N ,ϕ N]elciclodetrabajoalolargodeT quesatisfaceϕ m≤µ(x(tk))≤ϕ M ∀tk. A continuación se enlistan algunas propiedades del modelo (3.42) útiles para el diseño delcontroladorpropuestoenelsiguientecapítulo. Propiedad3.1 LamatrizD(q)essimétricapositivayexistenconstantespositivasdmydM talesque dmI≤D(q)≤dMI conI comounamatrizidentidaddedimensiónn×n. Propiedad3.2 La matrizJ( q,q)esantisimétrica,estoes oequivalentementeJ +J T =0. q T J( q,q)q=0 Una de las propiedades más importantes de las utilizadas en este trabajo respecto al modeloconsideradoeslapropiedaddepasividad.Básicamente,siunsistemaesvistocomo unacajanegracapazdeprocesarunaseñaldeentradaυenunaseñaldesaliday,entonces dichosistemaserápasivosilaenergíaensuinterioresigualalaenergíaqueleessuministrada desdeelexterior,pormediodeυ,máslaenergíainicialmentecontenida,dondeladiferencia entre ellas es la disipación de la energía que tiene lugar al interior de dicho sistema. En consecuencia,lapasividadesunapropiedaddetipoentrada-salida. Propiedad3.3(Pasividad) Elmodelodelcircuitoinversor(3.42)defineunoperadorpasivoυ−→z1. Laenergíatotaldecircuitoinversorestádadapor Hµ=Tµ+Vµ= 1 2 zT Dz. DiferenciandoHµ alolargodelastrayectoriasde(3.42),sacandoprovechodelapropiedad deantisimetríadelamatrizJ eintegrandoelresultadoseobtienelasiguiente equaciónde balancedeenergía Hµ(t)−Hµ(0) energía almacenada + 1 t z 2 2(τ)dτ Rl 0 energía disipada t =Ve z1(τ)υ(τ)dτ. 0 energía suministrada esdecir,elsistemaespasivoconrespectoalaseñaldecorrientez1. Losconvertidoresconsideradosposeenotrapropiedadimportante,lapropiedaddeestabilidad:
CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)44 Propiedad3.4(Estabilidad) Tomando la derivada temporal de la función de energía H(z) = 1 2zTDz y evaluando en las trayectorias del sistema no forzado, υ ≡ 0, (3.42), se tieneque H(z)=−z T Rz=− 1 z 2 2≤0 lacualesunafunciónnegativasemidefinida.AplicandoelteoremadeLaSalle(ver[18]),se tieneque H=0=⇒z2=0. Si z2 ≡0=⇒ z2 =0=⇒z1 =0, implicando que el origen de los convertidores inversores caracterizadosporlaecuación(3.42)esasintóticamenteestableenelsentidodeLyapunov. Porserestables,losconvertidoresconsideradosalsersometidosaunaseñaldeentradaϕ (µ)acotadaposeeránunatrayectoriadeestadox(t)(z(t))queconvergedemaneraasintótica aunconjuntoacotadodelespaciodeestado,permaneciendoenélsinimportarcomovaríe ϕ(µ).Laimportanciadeestehechoradicaenquelosresultadosobtenidosenelsiguiente capítulosonválidosdemaneraglobal. Observación3.11 En el caso general en el cual un convertidor no sea estable, los resultados del siguiente capítulo sólo serían válidos dentro del conjunto arriba mencionado, es decir,seránresultadoslocales.Másaún,dichosresultadosdependeránengranmedidadelas condicionesinicialesdelsistema,véase[4]. Propiedad3.5(Fasemínimadébil) Alreescribirlaecuación(3.42)alaforma ⎡ · ⎢ 0 - z(t) = ⎣ 1 ⎤ L ⎥ Ve(t) 1 1 ⎦z(t)+ υ(t) (3.44) - 0 C RC y(t) = 1 −1 R z(t), esposibledeterminarqueelsistemaesobservablegraciasaquesumatrizdeobservabilidad Mo=[C T A T C T ] T es de rango completo para la señal de salida y(t) considerada, la cual representalaseñaldecorrientepromedioenelcapacitordesalida.Ahorabien,alrealizarel cambiodevariablesz1(t)=y(t)yz2(t)=−z2(t)sellegaalasiguienteformanormal Rl L z1=− L RC z1+z2+Veυ C z2=−z1, (3.45) a partir de la cual es fácil comprobar que la dinámica cero del convertidor está dada por la expresión z2(t) = 0, mientras que el grado relativo del sistema con respecto a la salida propuestaesuno,porloqueelsistemaesdefasemínimadébil.Enconsecuencia,elsistema (3.45)espasivizablemedianteretroalimentacióndelacorrienteenelcapacitor,veáse[47].
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