Cap´ıtulo 3 Modelado de Convertidores Estáticos de Potencia (CEP)

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CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)39 3.4.2. Modelopromediadodelinversordemediopuente En esta sección se muestra la forma de obtener el modelo EL que describe el comportamiento promediado, a lo largo de un periodo de conmutación T, del inversor de medio puentemostradoenlafigura3.7.Seobservarácómoelmodelopromediadocoincideconel modeloconmutadoobtenidoparadichoinversor,enelapartado2.3,exceptoquelafunción deconmutaciónϕdelosinterruptoresesreemplazadaporeltiempodetrabajoµ. Considerelasecuacionesdiferencialesque describenalinversordemedio puentedadas por(3.21),asícomolapolíticaPWMestablecidaen(3.35),dondetk representaelinstante deconmutación,elparámetroT eselperiodofijodeconmutación,losvaloresmuestreados del vector de estado x(t) del inversor están denotados por x(tk) y µ(·) es la función del tiempodetrabajo,la cual,actúarealmente comolaentradadecontrolexterna almodelo PWMpromediadodelinversor.Elvalor delafunciónµ(·)determina,entodoinstantede conmutacióntk,elanchodelpróximopulso.Entérminosgenerales,lafunciónµ(·)seráuna funciónacotadaquetomavaloresenelintervalocerrado[ϕ N ,ϕ N],dondeϕ N ≤ϕ≤ϕ N. Los parámetros EL asociados con cada uno de los dos circuitos, figura 3.8, obtenidos para las posiciones ϕ ∈ {0,1} del interruptor están dadas, respectivamente, por las ecuaciones(3.8)y(3.10).Nóteseque,deacuerdoconlapolíticadeconmutación(3.35),encada intervalo de conmutación del periodo T, la energía eléctrica V1(q0,q1,q2) es válida sólo en una fracción del periodo de conmutación dada por µ(tk), mientras que la energía eléctrica V0(q0,q1,q2) es válida durante la fracción del periodo de conmutación determinada por (1−µ(tk)). Considérense las funciones VM(q0,q1,q2) = máx(V1(q0,q1,q2),V0(q0,q1,q2)) y Vm(q0,q1,q2)=mín(V1(q0,q1,q2),V0(q0,q1,q2))asícomolasiguientedefinición: Definición3.7 [50]:UnafunciónVµ(q0,q1,q2)esunafunciónPWMpromediadadelasfuncionesdeenergíaeléctricaV1(q0,q1,q2)yV0(q0,q1,q2)siVµ(q0,q1,q2)escontinua,parametrizadaporµycumplelassiguientespropiedades: i)Vµ(q0,q1,q2)estáacotadaporlaexpresión V0(q0,q1,q2)≤Vµ(q0,q1,q2)≤V1(q0,q1,q2) ∀µ∈[0,1] ii)Vµ(q0,q1,q2),comounafunción de las cordenadas generalizadas(q0,q1,q2),satisfacelas siguientescondicionesdeconsistencia: y Vµ(q0,q1,q2)|µ=1=V1(q0,q1,q2) Vµ(q0,q1,q2)|µ=0=V0(q0,q1,q2). Definición3.8 [50]:UnparámetroELΨ(q, q)deunsistema{Tϕ,Vϕ,Fϕ,Qϕ}es invariante con respecto a la función de la posición de los interruptores, ϕ, siempre que Ψ(q, q) = Ψ1(q, q)=Ψ0(q, q)∀(q, q).
CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)40 Definición3.9 [50]:Elsistema{Tµ,Vµ,Fµ,Qµ}calificacomounmodeloELpromediadodel sistema conmutado {Tϕ,Vϕ,Fϕ,Qϕ},con ϕ∈{0,1}, siempre que el sistema ELcaracterizadoporlosparámetros(Tµ,Vµ,Fµ,Qµ)estalquedichosparámetrosesténconstituidospor funciones PWM promediadas, en el sentido de la definición (3.7), de los correspondientes parámetros(T1,V1,F1,Q1)y(T0,V0,F0,Q0). Una posible, y quizá la más natural propuesta de parámetros EL promediados para el convertidorconsiderado,eslasiguiente: Tµ( q1) = 1 2 Lf q 2 1; Fµ(q2)= 1 2 Rl q 2 2 Vµ(q0,q1,q2) = 1 (q1−q2) 2Cf 2 + 1 (q0−µq1) 2C1 2 + 1 [q0+(1−µ)q1] 2C2 2 Q µ q0 = Ve; Q µ q1=0;Q µ q2 =0, en donde el parámetro Vµ se obtiene a partir de promediar la función Vϕ a lo largo de unintervaloT.Finalmente,lafunciónLagrangianaasociadaconlosanteriormentecitados parámetrosELpromediadossedenotaráporlaexpresión Lµ= 1 2 Lf q1 2 − 1 2Cf (q1−q2) 2 − 1 (q0−µq1) 2C1 2 − 1 [q0+(1−µ)q1] 2C2 2 , (3.37) dondeenloscasosenloscualesµtomalosvaloresdesaturaciónµ=1oµ=0serecuperan, respectivamente,lasexpresionesdelaenergíaeléctricaV1(q0,q1,q2)enelLagrangiano(3.9)y V0(q0,q1,q2)enelLagrangiano(3.11)apartirdelaenergíaeléctricapromediadapropuesta, Vµ(q0,q1,q2).AunqueelrestodelosparámetrosELsoninvariantesconrespectoalvalorque puedatomarlafunciónϕ,estostambiénsehanetiquetadoconelsubíndice(·)µparatener consistenciaenlanotación. Prosiguiendo con la aplicación de las ecuaciones de EL, y realizando el mismo procedimiento empleado para el modelo conmutado se llega al siguiente modelo de espacio de estadospromediado Lf Cf z1 = −z2+Veµ−VC2 z2 = z1− 1 z2. Rl (3.38) Dondelasvariablesdeestadoz1= q 1yz2=(q1−q2)Cf denotan,respectivamente,la corrientepromediodeentradayelvoltajepromediodelcapacitordesalidaparaunintervalo deconmutación [tk,tk+1]delinversoryµ∈[0,1]. 3.4.3. Modelopromediadodelinversordepuentecompleto Aplicandolamismafilosofíademodeladousadaenelcasodelinversordemediopuente, considerandolapolíticaPWMpropuestaen(3.38),esposiblellegaralasecuacionesmostradas
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