Cap´ıtulo 3 Modelado de Convertidores Estáticos de Potencia (CEP)

CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)38
problemadedifícilsolución,exceptoenalgunoscasosparaloscualeselcampovectorialf(x)
essencillo.Enelcasodesistemaslinealeselproblemaadmitesólosolucionesaproximadas
siemprequelossistemasseandesegundaoterceradimensión.
Considereunintervalodemuestreoarbitrariodefinidocomo[tk,tk+1)=[tk,tk+µ(x(tk))T)∪
[tk+µ(x(tk))T,tk+1) delongitudT. Paradeterminarelvalordelestadoalfinaldelintervalodemuestreode(3.33)-(3.35)esnecesarioreescribirlaecuaciónbajolasiguienteforma
integral
x(tk+µ(x(tk))T)=x(tk)+
tk+µ(x(tk))T
tk
[f(x(σ))+b]dσ.
Porotrolado,enelintantetk+T =tk+1elestadoestarádadopor
alsustituirseobtiene
x(tk+T)=x(tk+µ(x(tk))T)+
x(tk+T) = x(tk)+
= x(tk)+
tk+µ(x(tk))T
tk
tk+T
tk
tk+T
tk+µ(x(tk))T
[f(x(σ))+b]dσ+
f(x(σ))dσ+
tk+µ(x(tk))T
tk
[f(x(σ))]dσ
tk+T
tk+µ(x(tk))T
bdσ
[f(x(σ))]dσ
Entonces,elpromedioentreelvalordelestadoaliniciodelintervaloyelvalordelestadoal
finaldelintervaloT es
1
T
[x(tk+T)−x(tk)]= 1
T
tk+T
tk
f(x(σ))dσ+ 1
T
tk+µ(x(tk))T
tomandoellímiteconformeT →0ydefiniendoatk conelvalorgenéricodetseobtiene
t+T
1 1
lím [x(t+T)−x(t)] = lím f(x(σ))dσ+
T→0T
T→0 T
1
t+µ(x(t))T
bdσ
T
= f(x(t))+µ(x(t))b
Elmodelocontinuopromediadoanteriorparaunsistemaconmutadomediantelapolítica
PWMmostradaestádadaentoncesporelmismomodelonolinealconladiferenciadequela
entradadecontroldiscretaϕessustituidaporeltiempodetrabajoµ,elcualesunafunción
continua pero acotada. Lógicamente, la expresión f(x(t))+µ(x(t))b = f(x(t))+bϕ(t) ya
quef(x(t))+µ(x(t))besunequivalentepromediadodelsegundotérmino.Esteequivalente
permitedefinirunanuevavariablezequivalenteaxcuyaderivadasatisface
z=f(x(t))+µ(x(t))b
dehecho,zeslaversiónpromediadadexalolargodeT.
Observación3.10 Debe mencionarse que la naturaleza de la aproximación z depende en
que tan cerca está el intervalo de conmutación del valor ideal cero. Esto es, conforme la
magnitud de la frecuencia de conmutación se incremente, la aproximación promediada z
serámásprecisa.
t
tk
t
bdσ