Cap´ıtulo 3 Modelado de Convertidores Estáticos de Potencia (CEP)

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CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)37 Referencia (t) (t) x (t) Controlador PWM Planta Figura3.16:ControlmedianteretroalimentacióndelaseñaldesalidautilizandounbloquegeneradordeseñalesPWM. endondelasλi(µ(kT)),i=1,2,sonfuncionesdemagnitudlascuales,enestetrabajo,son fijadasalosvaloresdesaturacióndelaseñalcontinuaµ(t).Esimportanteseñalarquelos valoresquetomalafuncióndesalidaf(t)duranteelk-ésimointervalodemuestreodependen únicamentedelvalordelaseñaldeentradaenelinstantedeiniciodedichointervalo,esdecir, elmoduladorPWMestásujetoaunarestricciónmásseveraquelapropiedaddecausalidad yaquelosvaloresdef(t)nodependendelosvaloresdeµ(t)anterioresalvalorµ(kT),ver [14]. Demanerageneral,elprocesodepromediaciónescomosigue:considereunsistemanolinealdeunaentrada-unasalidadelaforma x(t) = f(x(x))+bϕ(t) (3.33) y(t) = h(x(t)) (3.34) dónde ϕ es una función de conmutación que modela el efecto de los interruptores y que tomavaloresdelconjuntodiscretobinario{0,1}.Entonces,ydeacuerdoaloanteriormente expuesto,elprincipioderegulaciónPWMes ϕ(t)= 1 paratk≤t
CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)38 problemadedifícilsolución,exceptoenalgunoscasosparaloscualeselcampovectorialf(x) essencillo.Enelcasodesistemaslinealeselproblemaadmitesólosolucionesaproximadas siemprequelossistemasseandesegundaoterceradimensión. Considereunintervalodemuestreoarbitrariodefinidocomo[tk,tk+1)=[tk,tk+µ(x(tk))T)∪ [tk+µ(x(tk))T,tk+1) delongitudT. Paradeterminarelvalordelestadoalfinaldelintervalodemuestreode(3.33)-(3.35)esnecesarioreescribirlaecuaciónbajolasiguienteforma integral x(tk+µ(x(tk))T)=x(tk)+ tk+µ(x(tk))T tk [f(x(σ))+b]dσ. Porotrolado,enelintantetk+T =tk+1elestadoestarádadopor alsustituirseobtiene x(tk+T)=x(tk+µ(x(tk))T)+ x(tk+T) = x(tk)+ = x(tk)+ tk+µ(x(tk))T tk tk+T tk tk+T tk+µ(x(tk))T [f(x(σ))+b]dσ+ f(x(σ))dσ+ tk+µ(x(tk))T tk [f(x(σ))]dσ tk+T tk+µ(x(tk))T bdσ [f(x(σ))]dσ Entonces,elpromedioentreelvalordelestadoaliniciodelintervaloyelvalordelestadoal finaldelintervaloT es 1 T [x(tk+T)−x(tk)]= 1 T tk+T tk f(x(σ))dσ+ 1 T tk+µ(x(tk))T tomandoellímiteconformeT →0ydefiniendoatk conelvalorgenéricodetseobtiene t+T 1 1 lím [x(t+T)−x(t)] = lím f(x(σ))dσ+ T→0T T→0 T 1 t+µ(x(t))T bdσ T = f(x(t))+µ(x(t))b Elmodelocontinuopromediadoanteriorparaunsistemaconmutadomediantelapolítica PWMmostradaestádadaentoncesporelmismomodelonolinealconladiferenciadequela entradadecontroldiscretaϕessustituidaporeltiempodetrabajoµ,elcualesunafunción continua pero acotada. Lógicamente, la expresión f(x(t))+µ(x(t))b = f(x(t))+bϕ(t) ya quef(x(t))+µ(x(t))besunequivalentepromediadodelsegundotérmino.Esteequivalente permitedefinirunanuevavariablezequivalenteaxcuyaderivadasatisface z=f(x(t))+µ(x(t))b dehecho,zeslaversiónpromediadadexalolargodeT. Observación3.10 Debe mencionarse que la naturaleza de la aproximación z depende en que tan cerca está el intervalo de conmutación del valor ideal cero. Esto es, conforme la magnitud de la frecuencia de conmutación se incremente, la aproximación promediada z serámásprecisa. t tk t bdσ
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