Cap´ıtulo 3 Modelado de Convertidores Estáticos de Potencia (CEP)

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CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)23 Nótese que en los casos en que la variable de conmutación toma los valores ϕ = 1 y ϕ=0,unorecupera,respectivamente,laenergíaexternageneralizadaV1(q0,q1,q2)en(3.8) yV0(q0,q1,q2)en(3.10)apartirdelafuerzaexternageneralizadapropuesta,Vϕ(q0,q1,q2). LosparámetrosELpropuestosen(3.12)sonportantoconsistentesconlosparámetros(3.8) y(3.10). LafuncióndeLagrangeconmutadaasociadaconlosparámetrosELen(3.12)estádada por Lϕ= 1 2 Lf q1 2 − 1 (q1−q2) 2Cf 2 − 1 (q0−ϕq1) 2C1 2 − 1 [q0+(1−ϕ)q1] 2C2 2 . (3.13) AlaplicarlasecuacionesdeEL(3.4)alresultadoanterior,seobtieneelsiguienteconjunto deecuacionesdiferencialesconmutadas (q1):L q 1+ 1 Cf (q0): 1 C1 (q1−q2)= 1 (q0−ϕq1)+ 1 C1 C2 ϕ(q0−ϕq1)− 1 (q2):Rlq 2− 1 Cf Apartirdelaecuación(3.14)setieneque 1 C1 ϕ(q0−ϕq1)=− 1 C2 sustituyendoesteresultadoen(3.15)sellegaa Lfq1+ 1 Cf [q0−(1−ϕ)q1]=Ve C2 (3.14) (1−ϕ)[q0−(1−ϕ)q1] (3.15) (q1−q2)=0 (3.16) ϕ[q0−(1−ϕ)q1]+ Ve, (q1−q2)=Veϕ−VC2 dondeVC2= 1 C2 [q0−(1−ϕ)q1]eselvoltajeatravésdelcapacitorC2.Conelfindemanejar unanotaciónmasamigableseconsideraráncomonuevasvariablesdeestadolacorrienteen elinductorLf yelvoltajeatravésdelcapacitorCf mediantelasiguientetransformación: x1= q 1; x2= 1 Cf (q1−q2) entonces las ecuaciones (3.15) y (3.16), aplicando la relación x2 = 1 q1− Cf q2 , pueden reescribirsecomo Lf Cf x1 = −x2+Veϕ−VC2 x2 = x1− 1 x2. Rl (3.17)
CAPÍTULO3. MODELADODECONVERTIDORESESTÁTICOSDEPOTENCIA(CEP)24 Observación3.4 Demanerapráctica,loscapacitoresC1 yC2 seeligendemaneratalque sudinámicaseadespreciableaaltasvelocidadesdeconmutación,porlocualelvoltajeVC2 esconsideadocomoconstante. Las ecuaciones (3.17) se conocen como el modelo conmutado de espacio de estado del inversordemediopuente,elcualpuedereescribirseenlaformamatricialsiguiente donde Lf 0 D= 0 Cf 0 1 ; J = −1 0 D x+Jx+Rx=ψ ϕ 0 0 ; R= 1 0 Rl Veϕ−Vc2 ; ψϕ= 0 (3.18) . (3.19) Estaformaseobtienefácilmenteapartirdelaecuación(3.17).Esteformatosepresenta debidoaquepermitevisualizarmejorlaspropiedadesfísicasdelmodelodelinversordemedio puente,estoes,lamatrizDseinterpretacomolamatrizdealmacenamientodeenergíadel sistema, con la cual es posible representar la función de energía H del sistema de manera matricial: H= 1 Lfx 2 2 1+Cfx 2 1 2 = 2 xTDx. (3.20) Porotraparte,Reslamatrizdedisipacióndeenergía,lacualnoesderangocompleto porloqueelsistemaessubamortiguado. Observación3.5 El modelo (3.19) revela que el convertidor inversor es un sistema de dinámicaconmutadadelaforma(2.11)dondeAϕ=−D −1 (J +R)ybϕ(t)=D −1 ψ ϕ. Observación3.6 Debido a que la fuente de energía es constante y predefinida, la única variable manipulable es la señal de conmutación ϕ. Por otro lado, en la práctica es muy comúnconsiderarqueloscapacitoresqueconformanuncircuitodemediopuentesoniguales, por lo cual sus repectivos voltajes también pueden ser considerados iguales, así Vc2 ∼ = 1 2 Ve, porloqueeltéminoVeϕ−Vc2puedereducirsea 1 2 Ve(2ϕ−1),enconsecuencia,laecuación (3.19)puedeserreescritacomo D x+Jx+Rx=Mϕ, (3.21) donde M = [Ve, 0] T es un vector constante, ϕ = 1(2ϕ−1) y ϕ ∈ {0,1}. Nótese que el 2 sistema es subactuado, siendo la primera ecuación diferencial la componente actuada del modelo. 2.3.1.2ConvertidorVSIdePuenteCompleto Un circuito inversor de puente completo como el mostrado en la figura 3.9 puede estructurarsemediantedosramasparalelascompuestascadaunapordosdispositivosdeconmutación, formando así un circuito conocido como de puente completo o puente H. Este
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