Geometría analítica. - Web del Profesor

Por hipbtesis, las diagonales OB y AC son perpendiculares entre si. Segun
el corolario 2 del teorema 5 del Articulo 10, este hecho se expresa, analitica-
mente, por la relaci6n
C c --
-.-- 1.
a+b b-a
de donde,
cZ=aS-b2, y a=dbZ+c2.
Pero a es la longitud del lado OA. y, por el teorema 2. Articulo 6, db2 + ca
es la longitud del lado OC. Por tanto, pot set iguales dos lados adyacentes de
OABC el paralelogramo es un romb~, como se queria demostrar.
EJEBCICIOS. Grupo 4
Los teoremas enunciados en 10s siguientes ejercicios deben demostrarse anali-
ticamente. Para cada ejercicio dibujese una figura colocada, con respecto a 10s
ejes coordenados, de manera que facilite la demostraci6n.
1. Las diagonalea de un paralelogramo se dividen rnutuamente en partes
iguales.
2. Enunciar y demostrar el teorcma reciproco del anterior.
3. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto
medio.
4. El segmento de recta que une 10s puntos medios de dos lados cualesquiera
dc un triingulo es paralelo a1 tercer lado e igual a su mitad.
5. El punto medio de la hi~otenusa de un triingulo rectingulo equidista de
10s tres virtices.
6. Los ingulos opuestos a 10s lados iguales de un triingulo is6sceles son
iguales.
7. Enunciar y demostrat el reciproco del teorema del ejercicio 6.
8. Si las diagonales de un paral'elogramo son iguales, la figura es un rectingulo.
9. Las medianas correspondientes a 10s lados iguales de un triingulo is&celes
son igaales.
10. Enunciar y demostrar el reciproco del teorema del ejercicio 9.
11. Los dos segmentos que se obtienen uniendo dos vertices opuestos de un
paralelogramo con 10s puntos medios de dos lados opuestos son iguales y
paralelos.
12. El segmento que une 10s puntos medios de 10s lados no paralelos de
un trapecio es paralelo a las bases e igual a su semisuma.
13. El segmento que une 10s puntos medios de las diagonales de un trapecio
es igual a la mitad de la diferencia de las longitudes de 10s lados paralelos.
14. La suma de 10s cuadrados de 10s 1ado.s de un paralelogramo cualquien es
igual a la suma de 10s cuadrados de sus diagonales.
15. Los segmentos que unen 10s puntos medios de cada dos lados opuestos
de un cuadrilitero cuaIquiera se bisecan entre si.
16 Los segmentos que unen 10s puntor medios de cada dos lados contiguos
de an rectingulo forman un rombo,
17. Los segmentos que unen 10s puntos medios de cada par de lados contiguos
de un rombo forman un rectdngulo.