Geometría analítica. - Web del Profesor

SISTEMAS DE COORDENADAS 11
6. Distancia entre dos puntos dados. Sean Pdzl, yl) y Pd22, y2)
dos puntos dados cualesquiera (fig. 7) . Vamos a determinar la distancia
d entre Pi y P2, siendo d = [P1/. Por PI P2 tracernos las
perpendiculares PI A y P2 D a ambos ejes coordenados, como se indica
en la @ura, y sea E su punto de intersecci6n. Consideremos el
triBngulo rectfingulo PI EPt . For el teorema de PitBgoras , tenemos :
+I
Fig. 7
Las coordenadas de 10s pies de las perpendiculares a 10s ejes coorde-
nadosson A(x1, 0), B(0, yl), C(x2, O), D(0, 92). Luego, pore1
teorema 1 (Art. 3) tenemos
Sustituyendo estos valores en (1 ) , obtenemos
d2 = (21 - ~ 2 + ) (y1 ~ - y2)2,
de donde ,
d = d (XI - 21)' + (pi - ~ 2 ) ' .
Este resultado se enuncia como sigue :
TEOREMA 2. La distancia d entre dos puntos P~(XI, yl) y Pz(xz, y2)
estd dada por la j6muEa
d = d (xi - ~ 2 + ) (yl ~ --~2)'. NOTAS. 1. En la demostracidn del teorema 2, no se hizo menci6n de 10s
cuadrantes en que se encuentran 10s puntos PI y Pa. Seg6n esto el resultado
del teorema 2 es completamente general e independiente d, la situacibn de 10s