Estudio de las curvas epicicloide y evolvente utilizadas en el perfil ...

Estudio de las curvas epicicloide y evolvente para formar el ... 109
Las coordenadas (m, n) del centro del círculo osculador
de una curva plana pueden calcularse de la siguiente
forma (Lehmann C, 1974; Rektorys K, 1968; Rey J, 1966;
Thomas G, 1968; Woods F, 1963):
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
dy ⎝ dϕ
⎠ ⎝ dϕ
m = x −
⎠
2
2
dϕ
⎛ dx ⎞⎛
d y ⎞ ⎛ d x ⎞⎛
dy ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟ − ⎜
⎟
⎟⎜
⎟
2
2
⎝ dϕ
⎠⎝
dϕ
⎠ ⎝ dϕ
⎠⎝
dϕ
⎠
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
dx ⎝ dϕ
⎠ ⎝ dϕ
n = y −
⎠
2
2
dϕ
⎛ dx ⎞⎛
d y ⎞ ⎛ d x ⎞⎛
dy ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟ − ⎜
⎟
⎟⎜
⎟
2
2
⎝ dϕ
⎠⎝
dϕ
⎠ ⎝ dϕ
⎠⎝
dϕ
⎠
2
2
Sustituyendo las ecuaciones (1), (3) y (4) en (6) y (7)
respectivamente se obtiene:
m =
n =
A =
⎛ A ⎞
( r + r ) ⋅ ⎜1
− ⎟ ⋅ cos ϕ − ( r + d)
O
g
⎝
B ⎠
⎛ A ⎞
( r + r ) ⋅ ⎜1
− ⎟ ⋅ senϕ
− ( r + d)
O
g
⎝
Donde:
( r + r )
O
g
B ⎠
2
⎡
⋅ ⎢1
+
⎢⎣
g
g
( r + d )
g
r
2
g
2
⎡
⋅ ⎢1
−
⎢⎣
⎡
⋅ ⎢1
−
⎢⎣
2
2
( r + r )
O
⎤ ⎛ ⎞
g ⋅ A rO
+ rg
⎥ ⋅ cos⎜
ϕ⎟
r ⋅ ⎥
⎜ ⎟
g B ⎦ ⎝ rg
⎠
( r + r )
2 ( r + d)
( r + r ) ( r + d)(
r + 2r
)
O
⎤ ⎛ ⎞
g ⋅ A rO
+ rg
⎥ ⋅ sen⎜
ϕ⎟
r ⋅ ⎥
⎜ ⎟
g B ⎦ ⎝ rg
⎠
(6)
(7)
(8)
(9)
r
⎤
g + d ⎛ ⎞
⎜
rO
− 2 ⋅ cos ϕ ⎟
⎜ ⎟
⎥
(10)
rg
⎝ rg
⎠⎥⎦
⎡
⎛ ⎞⎤
2 g O g g O g
( ) ⎢
⎜
rO
B = r + ⋅ +
−
⋅ ϕ⎟
O rg
1
cos ⎥ (11)
3
2
⎢
⎜ ⎟
⎣
rg
rg
⎝ rg
⎠⎥⎦
3 Curvas evolventes de círculo
Si el círculo rodante (circunferencia generatriz) se
convierte en una recta, entonces la curva epicicloidal da
origen a la evolvente de círculo. Esta afirmación, por simple
inspección, parece lógica, pero en ninguno de los textos
consultados se demuestra; menos aún teniendo en cuenta su
formulación general. Para que se tenga una idea más clara
de la relación o parentesco de estas curvas, a continuación
se presentará esta demostración.
Para que la circunferencia generatriz se convierta en
una recta tendría que ser su radio de longitud infinita, por lo
que las ecuaciones de la evolvente deberán obtenerse aplicando
este límite a la expresión general de la epicicloide
(1); esto es:
⎡
x = lim ⎢
rg
→ ∞⎢⎣
( r + r ) ⋅ cos ϕ − ( r + d)
O
g
g
⎛ r ⎤
O + rg
⎞
⋅ cos⎜
ϕ⎟
⎜ ⎟
⎥
⎝ rg
⎠⎥⎦
Revista Ciencia e Ingeniería. Vol. 25 No. 2. 2004
A la ecuación de la coordenada y se le aplica el mismo
procedimiento y como resultado se obtienen las ecuaciones:
x =
y =
( r − d)
cosϕ
+ rO
⋅ ϕ ⋅ senϕ
( r − d)
senϕ
− r ⋅ ϕ ⋅ cosϕ
O (12)
O
O
Fig. 2. Curva evolvente de círculo.
Las ecuaciones (12) coinciden con las planteadas por
Rektorys (1968), como ecuaciones paramétricas generales
de la evolvente de círculo, lo cual puede verificarse con la
ayuda de la Fig. 2. La evolvente de círculo, de acuerdo con
el valor de la distancia d, se clasifica, al igual que la epicicloide,
en: común, alargada y acortada. La demostración
realizada permite afirmar que las curvas evolventes de círculo
son un caso especial de las curvas epicicloidales,
cuando el radio generatriz toma valor infinito.
La evolvente de círculo, en su formulación general,
tampoco es tratada en la bibliografía referida, por lo que
resulta necesario establecer las expresiones que determinan
su radio de curvatura y el centro del círculo osculador. Esto
se hace de forma análoga a las curvas epicicloidales, partiendo
de (2), (6) y (7).
Para la evolvente de círculo dada por (12), se obtiene:
2 2 2 ( d + r ⋅ ϕ )
O
2
rO
⋅
3
2
r = (13)
2
d + ϕ + d ⋅ r
O
[ r − d ⋅ ( 1 − A)
] ⋅ cos ϕ + r ⋅ ϕ ⋅ ( 1 − A)
⋅ ϕ
m = O O
sen (14)
[ r − d ⋅ ( 1 − A)
] ⋅ senϕ
− r ⋅ ϕ ⋅ ( 1 − A)
⋅ ϕ
n = O O
cos (15)
Donde:
2 2 2
d + rO
⋅ϕ
A = (16)
2
2
d + r ⋅ϕ
+ d ⋅ r
2
O
O