Estudio de las curvas epicicloide y evolvente utilizadas en el perfil ...
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ESTUDIO DE LAS CURVAS<br />
EPICICLOIDE Y EVOLVENTE<br />
UTILIZADAS EN EL PERFIL DE ...<br />
L. I. Negrín
REVISTA CIENCIA E INGENIERÍA<br />
ISSN: 1316-7081
<strong>Estudio</strong> <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloi<strong>de</strong> y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>utilizadas</strong><br />
<strong>en</strong> <strong>el</strong> <strong>perfil</strong> <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> <strong>en</strong>granajes que operan con<br />
distancia <strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros variable<br />
Study of epicycloid and involute curves used<br />
in gear teeth working profile of variable<br />
c<strong>en</strong>ter distance transmissions<br />
L. I. Negrín*, R. Franco<br />
Departam<strong>en</strong>to <strong>de</strong> Mecánica Aplicada y Dibujo, Facultad <strong>de</strong> Ing. Mecánica<br />
Universidad C<strong>en</strong>tral “Marta Abreu” <strong>de</strong> Las Vil<strong>las</strong>,<br />
Santa Clara, Cuba.<br />
*linegrin@fim.uclv.edu.cu<br />
Resum<strong>en</strong><br />
En este trabajo se realiza un estudio <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epiciloidales y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s <strong>de</strong> círculo <strong>en</strong> sus formas g<strong>en</strong>erales, con <strong>el</strong> objetivo<br />
<strong>de</strong> formar <strong>el</strong> <strong>perfil</strong> <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> los di<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> los <strong>en</strong>granajes que operan con distancia <strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros variable. Primeram<strong>en</strong>te<br />
se parte <strong>de</strong> <strong>las</strong> expresiones g<strong>en</strong>erales <strong>de</strong> estas <strong>curvas</strong> y se <strong>de</strong>sarrollan <strong>las</strong> fórmu<strong>las</strong> para <strong>de</strong>terminar algunas<br />
propieda<strong>de</strong>s <strong>de</strong> <strong>las</strong> mismas, como <strong>el</strong> radio <strong>de</strong> curvatura, la evoluta, etc. Aquí se realiza también la <strong>de</strong>mostración <strong>de</strong> que la<br />
<strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo es un caso particular <strong>de</strong> la epicicloi<strong>de</strong>, <strong>de</strong>mostración que no aparece <strong>en</strong> la literatura especializada.<br />
Con posterioridad se hace una comparación t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta <strong>las</strong> propieda<strong>de</strong>s cinemáticas <strong>de</strong> los <strong>en</strong>granajes formados<br />
por <strong>las</strong> difer<strong>en</strong>tes <strong>curvas</strong>. Como conclusiones <strong>de</strong>l trabajo se plantea que la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo común ti<strong>en</strong>e <strong>las</strong> mejores<br />
propieda<strong>de</strong>s para <strong>en</strong>granajes que trabajan con una variación <strong>de</strong> la distancia <strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros m<strong>en</strong>or que <strong>el</strong> 5 %, mi<strong>en</strong>tras que<br />
la epicicloi<strong>de</strong> alargada garantiza un mejor funcionami<strong>en</strong>to para <strong>en</strong>granajes que trabaj<strong>en</strong> con una variación <strong>en</strong>tre <strong>el</strong> 5 y <strong>el</strong><br />
10 %.<br />
Palabras claves: Engranajes, <strong>curvas</strong> planas.<br />
Abstract<br />
In this paper a study of the epicycloids and involute curves in their g<strong>en</strong>eral form is carried out with the purpose of using<br />
them both in the <strong>de</strong>sign of the working profile of the teeth of gears which operate with variation of distance betwe<strong>en</strong> operation<br />
c<strong>en</strong>ters. First from these g<strong>en</strong>eral forms new formu<strong>las</strong> were <strong>de</strong>v<strong>el</strong>oped to find some properties of these curves such as<br />
radius of curvature, etc. Besi<strong>de</strong>s it is <strong>de</strong>monstrated that the involute is a particular case of the epicycloid, <strong>de</strong>monstration<br />
that does not appear in the bibliography available. Finally a comparison is ma<strong>de</strong> taking in to account the kinematics properties<br />
of the gears formed by the differ<strong>en</strong>t curves. As conclusion it is stated that the common involute has the best properties<br />
for gears that operate with a variation of distance betwe<strong>en</strong> c<strong>en</strong>ters lower than 5%, while ext<strong>en</strong><strong>de</strong>d epicycloid provi<strong>de</strong>s a<br />
better performance for gears that operate with a variation of distance betwe<strong>en</strong> c<strong>en</strong>ters that rates from 5% to 10%.<br />
Key words: Gears, plane curves.<br />
1 Introducción<br />
Los di<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> <strong>las</strong> transmisiones que trabajan con distancia<br />
<strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros variable <strong>de</strong>b<strong>en</strong> ser mas largos que los<br />
<strong>de</strong> <strong>las</strong> transmisiones comunes (K<strong>en</strong>t W, 1996). En la biblio-<br />
Revista Ci<strong>en</strong>cia e Ing<strong>en</strong>iería. Vol. 25 No. 2. 2004<br />
grafía especializada consultada solam<strong>en</strong>te se tratan <strong>las</strong> <strong>curvas</strong><br />
epicicloidales y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s “comunes”, <strong>en</strong> cuyos casos<br />
<strong>el</strong> aum<strong>en</strong>to <strong>de</strong>l radio exterior está limitado por <strong>el</strong> espesor <strong>de</strong><br />
la punta <strong>de</strong>l di<strong>en</strong>te; y la disminución <strong>de</strong>l radio interior no<br />
repercute <strong>en</strong> la zona <strong>de</strong> trabajo, una vez que su valor es in-
108 Negrín y Franco.<br />
ferior al radio <strong>de</strong> la circunfer<strong>en</strong>cia básica. Sin embargo, este<br />
último aspecto cambia si se consi<strong>de</strong>ran <strong>las</strong> expresiones g<strong>en</strong>erales<br />
<strong>de</strong> estas <strong>curvas</strong> <strong>en</strong> su formulación “alargada”, lo<br />
cual no ha sido estudiado por los autores consultados. Esta<br />
formulación g<strong>en</strong>eral ti<strong>en</strong>e la v<strong>en</strong>taja <strong>de</strong> que incluye también<br />
la posibilidad <strong>de</strong> estudiar <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> “comunes” como se<br />
verá <strong>en</strong> <strong>el</strong> <strong>de</strong>sarrollo <strong>de</strong>l trabajo.<br />
Antes <strong>de</strong> pasar a analizar estas <strong>curvas</strong> como <strong>perfil</strong> <strong>de</strong><br />
los di<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> <strong>en</strong>granajes resulta necesario <strong>de</strong>terminar algunas<br />
<strong>de</strong> sus propieda<strong>de</strong>s como <strong>en</strong>tida<strong>de</strong>s geométricas. D<strong>en</strong>tro<br />
<strong>de</strong> estas propieda<strong>de</strong>s ti<strong>en</strong><strong>en</strong> vital importancia su forma<br />
geométrica, los radios <strong>de</strong> curvatura <strong>en</strong> los difer<strong>en</strong>tes puntos<br />
y los c<strong>en</strong>tros <strong>de</strong> los círculos osculadores.<br />
2 Curvas epicicloidales<br />
La ecuación g<strong>en</strong>eral <strong>de</strong> estas <strong>curvas</strong>, expresada <strong>en</strong> su<br />
forma paramétrica (Rektorys K, 1968), pue<strong>de</strong> escribirse <strong>de</strong><br />
la sigui<strong>en</strong>te forma (ver Fig.1.):<br />
( ) ( )<br />
( ) ( ) ⎟ ⎛ rO<br />
+ rg<br />
⎞<br />
x = r<br />
⎜ ⎟<br />
O + rg<br />
cosϕ<br />
− rg<br />
+ d cos ϕ<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ rg<br />
⎠<br />
(1)<br />
⎛ rO<br />
+ rg<br />
⎞<br />
y = r + ϕ − + ⎜<br />
O rg<br />
s<strong>en</strong> rg<br />
d s<strong>en</strong> ϕ<br />
⎜<br />
⎝ rg<br />
⎠<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
Y<br />
ro<br />
ro= Radio <strong>de</strong> circunfer<strong>en</strong>cia básica (directriz).<br />
rg= Radio <strong>de</strong> la circunfer<strong>en</strong>cia g<strong>en</strong>eratriz.<br />
ϕ = Angulo que forma la línea que une <strong>el</strong> c<strong>en</strong>tro<br />
<strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas con <strong>el</strong> punto <strong>en</strong> contacto <strong>de</strong><br />
<strong>las</strong> dos circunfer<strong>en</strong>cias respecto al eje<br />
horizontal (parámetro <strong>de</strong> la ecuación).<br />
d = Distancia <strong>de</strong>l punto que <strong>de</strong>scribe la curva,<br />
medida a partir <strong>de</strong>l bor<strong>de</strong> <strong>de</strong> la circunfer<strong>en</strong>-<br />
cia g<strong>en</strong>eratriz.<br />
d<br />
r<br />
g<br />
Fig 1. Curva epicicloidal.<br />
X<br />
Revista Ci<strong>en</strong>cia e Ing<strong>en</strong>iería. Vol. 25 No. 2. 2004<br />
At<strong>en</strong>di<strong>en</strong>do a los valores <strong>de</strong> “d” pue<strong>de</strong>n darse los sigui<strong>en</strong>tes<br />
casos:<br />
d = 0 ⇒ epicicloi<strong>de</strong> común.<br />
d > 0 ⇒ epicicloi<strong>de</strong> alargada (caso mostrado <strong>en</strong> Fig.1.)<br />
d < 0 ⇒ epicicloi<strong>de</strong> acortada.<br />
En [9] solam<strong>en</strong>te se <strong>en</strong>uncian <strong>las</strong> expresiones g<strong>en</strong>erales<br />
(1) y se c<strong>las</strong>ifican, pero no se <strong>de</strong>termina ninguno <strong>de</strong> los<br />
parámetros m<strong>en</strong>cionados anteriorm<strong>en</strong>te. En <strong>el</strong> resto <strong>de</strong> los<br />
textos consultados, incluy<strong>en</strong>do los <strong>de</strong> Geometría Analítico,<br />
no se hace m<strong>en</strong>ción siquiera a la exist<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> estas expresiones<br />
g<strong>en</strong>erales. No obstante, estos parámetros pue<strong>de</strong>n calcularse<br />
aplicando <strong>las</strong> ecuaciones <strong>de</strong>ducidas para cualquier<br />
curva plana.<br />
El radio <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong> una curva plana, dada <strong>en</strong><br />
ecuaciones paramétricas, se <strong>de</strong>termina por la sigui<strong>en</strong>te expresión<br />
(Lehmann C, 1974; Rektorys K, 1968; Rey J, 1966;<br />
Thomas G, 1968; Woods F, 1963):<br />
2<br />
2<br />
⎡⎛<br />
dx ⎞ ⎛ dy ⎞ ⎤<br />
⎢⎜<br />
⎟ + ⎜ ⎟ ⎥<br />
⎢⎣<br />
⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠ ⎥<br />
r =<br />
⎦<br />
2<br />
2<br />
⎛ dx ⎞ ⎛ d y ⎞ ⎛ d x ⎞ ⎛ dy ⎞<br />
⎜ ⎟ ⋅ ⎜<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟ ⋅ ⎜ ⎟<br />
2<br />
2<br />
⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
dx<br />
= −<br />
dϕ<br />
dy<br />
=<br />
dϕ<br />
.<br />
3<br />
2<br />
= Primera <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> <strong>las</strong> coor<strong>de</strong>nadas con<br />
respecto al parámetro <strong>de</strong> la ecuación.<br />
(2)<br />
= Segunda <strong>de</strong>rivada <strong>de</strong> <strong>las</strong> coor<strong>de</strong>nadas con<br />
respecto al parámetro <strong>de</strong> la ecuación.<br />
En <strong>el</strong> caso <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloidales (1), sería:<br />
( r + r )<br />
( r + r )<br />
O<br />
2<br />
d x<br />
= − 2<br />
dϕ<br />
O<br />
g<br />
g<br />
( r + r )<br />
O<br />
s<strong>en</strong>ϕ<br />
+<br />
cos ϕ −<br />
g<br />
cos ϕ +<br />
( r + d)(<br />
r + r )<br />
( r + d)(<br />
r + r )<br />
g<br />
g<br />
r<br />
r<br />
g<br />
g<br />
O<br />
O<br />
( r + d)(<br />
r + r )<br />
g<br />
( r + d)(<br />
r + r )<br />
g<br />
g<br />
⎛ rO<br />
+ rg<br />
⎞<br />
s<strong>en</strong>⎜<br />
ϕ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ rg<br />
⎠<br />
⎛ rO<br />
+ rg<br />
⎞<br />
cos⎜<br />
ϕ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ rg<br />
⎠<br />
2<br />
d y<br />
g O g ⎛ rO<br />
+ rg<br />
⎞<br />
= −(<br />
r + ) ϕ −<br />
⎜ ϕ⎟<br />
O rg<br />
s<strong>en</strong><br />
s<strong>en</strong><br />
2<br />
2<br />
dϕ<br />
r<br />
⎜ ⎟<br />
g ⎝ rg<br />
⎠<br />
Sustituy<strong>en</strong>do (3) y (4) <strong>en</strong> (2) y agrupando términos<br />
semejantes:<br />
r =<br />
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞<br />
⎜ ⎟,<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠<br />
2 2 ⎛ d<br />
x ⎞ ⎛ d y ⎞<br />
⎜<br />
⎟<br />
⎟,<br />
⎜<br />
⎟<br />
2 2<br />
⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠<br />
⎪<br />
⎧<br />
⎨<br />
⎪⎩<br />
2 ( r + r )<br />
O<br />
g<br />
2 ( r + r )<br />
O<br />
g<br />
⎡<br />
⋅ ⎢1<br />
+<br />
⎢⎣<br />
⎡<br />
⋅ ⎢1<br />
+<br />
⎢⎣<br />
2 ( r + d)<br />
O<br />
2<br />
g<br />
r<br />
2 ( r + d)<br />
( r + r ) ( r + d)(<br />
r + 2r<br />
)<br />
g<br />
g<br />
2<br />
rg<br />
O<br />
3<br />
g<br />
r<br />
g<br />
g<br />
2<br />
2<br />
⎛ rO<br />
+ rg<br />
⎞<br />
cos⎜<br />
ϕ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ rg<br />
⎠<br />
3<br />
2<br />
(3)<br />
(4)<br />
r ⎛ ⎞⎤⎪<br />
⎫<br />
g + d<br />
⎜<br />
rO<br />
− 2 ⋅ ⋅ cos ϕ⎟⎥⎬<br />
r ⎜ ⎟<br />
g ⎝ rg<br />
⎠⎥⎦<br />
⎪⎭<br />
(5)<br />
−<br />
g O<br />
2<br />
rg<br />
g ⎛ ⎞⎤<br />
⋅ ⎜<br />
rO<br />
cos ϕ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎥<br />
⎝ rg<br />
⎠⎥⎦
<strong>Estudio</strong> <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloi<strong>de</strong> y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> para formar <strong>el</strong> ... 109<br />
Las coor<strong>de</strong>nadas (m, n) <strong>de</strong>l c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong>l círculo osculador<br />
<strong>de</strong> una curva plana pue<strong>de</strong>n calcularse <strong>de</strong> la sigui<strong>en</strong>te<br />
forma (Lehmann C, 1974; Rektorys K, 1968; Rey J, 1966;<br />
Thomas G, 1968; Woods F, 1963):<br />
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
dy ⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
m = x −<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
dϕ<br />
⎛ dx ⎞⎛<br />
d y ⎞ ⎛ d x ⎞⎛<br />
dy ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
2<br />
2<br />
⎝ dϕ<br />
⎠⎝<br />
dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠⎝<br />
dϕ<br />
⎠<br />
⎛ dx ⎞ ⎛ dy ⎞<br />
⎜ ⎟ + ⎜ ⎟<br />
dx ⎝ dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
n = y −<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
dϕ<br />
⎛ dx ⎞⎛<br />
d y ⎞ ⎛ d x ⎞⎛<br />
dy ⎞<br />
⎜ ⎟<br />
⎜<br />
⎟ − ⎜<br />
⎟<br />
⎟⎜<br />
⎟<br />
2<br />
2<br />
⎝ dϕ<br />
⎠⎝<br />
dϕ<br />
⎠ ⎝ dϕ<br />
⎠⎝<br />
dϕ<br />
⎠<br />
2<br />
2<br />
Sustituy<strong>en</strong>do <strong>las</strong> ecuaciones (1), (3) y (4) <strong>en</strong> (6) y (7)<br />
respectivam<strong>en</strong>te se obti<strong>en</strong>e:<br />
m =<br />
n =<br />
A =<br />
⎛ A ⎞<br />
( r + r ) ⋅ ⎜1<br />
− ⎟ ⋅ cos ϕ − ( r + d)<br />
O<br />
g<br />
⎝<br />
B ⎠<br />
⎛ A ⎞<br />
( r + r ) ⋅ ⎜1<br />
− ⎟ ⋅ s<strong>en</strong>ϕ<br />
− ( r + d)<br />
O<br />
g<br />
⎝<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
( r + r )<br />
O<br />
g<br />
B ⎠<br />
2<br />
⎡<br />
⋅ ⎢1<br />
+<br />
⎢⎣<br />
g<br />
g<br />
( r + d )<br />
g<br />
r<br />
2<br />
g<br />
2<br />
⎡<br />
⋅ ⎢1<br />
−<br />
⎢⎣<br />
⎡<br />
⋅ ⎢1<br />
−<br />
⎢⎣<br />
2<br />
2<br />
( r + r )<br />
O<br />
⎤ ⎛ ⎞<br />
g ⋅ A rO<br />
+ rg<br />
⎥ ⋅ cos⎜<br />
ϕ⎟<br />
r ⋅ ⎥<br />
⎜ ⎟<br />
g B ⎦ ⎝ rg<br />
⎠<br />
( r + r )<br />
2 ( r + d)<br />
( r + r ) ( r + d)(<br />
r + 2r<br />
)<br />
O<br />
⎤ ⎛ ⎞<br />
g ⋅ A rO<br />
+ rg<br />
⎥ ⋅ s<strong>en</strong>⎜<br />
ϕ⎟<br />
r ⋅ ⎥<br />
⎜ ⎟<br />
g B ⎦ ⎝ rg<br />
⎠<br />
(6)<br />
(7)<br />
(8)<br />
(9)<br />
r<br />
⎤<br />
g + d ⎛ ⎞<br />
⎜<br />
rO<br />
− 2 ⋅ cos ϕ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎥<br />
(10)<br />
rg<br />
⎝ rg<br />
⎠⎥⎦<br />
⎡<br />
⎛ ⎞⎤<br />
2 g O g g O g<br />
( ) ⎢<br />
⎜<br />
rO<br />
B = r + ⋅ +<br />
−<br />
⋅ ϕ⎟<br />
O rg<br />
1<br />
cos ⎥ (11)<br />
3<br />
2<br />
⎢<br />
⎜ ⎟<br />
⎣<br />
rg<br />
rg<br />
⎝ rg<br />
⎠⎥⎦<br />
3 Curvas <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s <strong>de</strong> círculo<br />
Si <strong>el</strong> círculo rodante (circunfer<strong>en</strong>cia g<strong>en</strong>eratriz) se<br />
convierte <strong>en</strong> una recta, <strong>en</strong>tonces la curva epicicloidal da<br />
orig<strong>en</strong> a la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo. Esta afirmación, por simple<br />
inspección, parece lógica, pero <strong>en</strong> ninguno <strong>de</strong> los textos<br />
consultados se <strong>de</strong>muestra; m<strong>en</strong>os aún t<strong>en</strong>i<strong>en</strong>do <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta su<br />
formulación g<strong>en</strong>eral. Para que se t<strong>en</strong>ga una i<strong>de</strong>a más clara<br />
<strong>de</strong> la r<strong>el</strong>ación o par<strong>en</strong>tesco <strong>de</strong> estas <strong>curvas</strong>, a continuación<br />
se pres<strong>en</strong>tará esta <strong>de</strong>mostración.<br />
Para que la circunfer<strong>en</strong>cia g<strong>en</strong>eratriz se convierta <strong>en</strong><br />
una recta t<strong>en</strong>dría que ser su radio <strong>de</strong> longitud infinita, por lo<br />
que <strong>las</strong> ecuaciones <strong>de</strong> la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong>berán obt<strong>en</strong>erse aplicando<br />
este límite a la expresión g<strong>en</strong>eral <strong>de</strong> la epicicloi<strong>de</strong><br />
(1); esto es:<br />
⎡<br />
x = lim ⎢<br />
rg<br />
→ ∞⎢⎣<br />
( r + r ) ⋅ cos ϕ − ( r + d)<br />
O<br />
g<br />
g<br />
⎛ r ⎤<br />
O + rg<br />
⎞<br />
⋅ cos⎜<br />
ϕ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎥<br />
⎝ rg<br />
⎠⎥⎦<br />
Revista Ci<strong>en</strong>cia e Ing<strong>en</strong>iería. Vol. 25 No. 2. 2004<br />
A la ecuación <strong>de</strong> la coor<strong>de</strong>nada y se le aplica <strong>el</strong> mismo<br />
procedimi<strong>en</strong>to y como resultado se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>las</strong> ecuaciones:<br />
x =<br />
y =<br />
( r − d)<br />
cosϕ<br />
+ rO<br />
⋅ ϕ ⋅ s<strong>en</strong>ϕ<br />
( r − d)<br />
s<strong>en</strong>ϕ<br />
− r ⋅ ϕ ⋅ cosϕ<br />
O (12)<br />
O<br />
O<br />
Fig. 2. Curva <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo.<br />
Las ecuaciones (12) coinci<strong>de</strong>n con <strong>las</strong> planteadas por<br />
Rektorys (1968), como ecuaciones paramétricas g<strong>en</strong>erales<br />
<strong>de</strong> la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo, lo cual pue<strong>de</strong> verificarse con la<br />
ayuda <strong>de</strong> la Fig. 2. La <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo, <strong>de</strong> acuerdo con<br />
<strong>el</strong> valor <strong>de</strong> la distancia d, se c<strong>las</strong>ifica, al igual que la epicicloi<strong>de</strong>,<br />
<strong>en</strong>: común, alargada y acortada. La <strong>de</strong>mostración<br />
realizada permite afirmar que <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s <strong>de</strong> círculo<br />
son un caso especial <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloidales,<br />
cuando <strong>el</strong> radio g<strong>en</strong>eratriz toma valor infinito.<br />
La <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo, <strong>en</strong> su formulación g<strong>en</strong>eral,<br />
tampoco es tratada <strong>en</strong> la bibliografía referida, por lo que<br />
resulta necesario establecer <strong>las</strong> expresiones que <strong>de</strong>terminan<br />
su radio <strong>de</strong> curvatura y <strong>el</strong> c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong>l círculo osculador. Esto<br />
se hace <strong>de</strong> forma análoga a <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloidales, parti<strong>en</strong>do<br />
<strong>de</strong> (2), (6) y (7).<br />
Para la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> <strong>de</strong> círculo dada por (12), se obti<strong>en</strong>e:<br />
2 2 2 ( d + r ⋅ ϕ )<br />
O<br />
2<br />
rO<br />
⋅<br />
3<br />
2<br />
r = (13)<br />
2<br />
d + ϕ + d ⋅ r<br />
O<br />
[ r − d ⋅ ( 1 − A)<br />
] ⋅ cos ϕ + r ⋅ ϕ ⋅ ( 1 − A)<br />
⋅ ϕ<br />
m = O O<br />
s<strong>en</strong> (14)<br />
[ r − d ⋅ ( 1 − A)<br />
] ⋅ s<strong>en</strong>ϕ<br />
− r ⋅ ϕ ⋅ ( 1 − A)<br />
⋅ ϕ<br />
n = O O<br />
cos (15)<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
2 2 2<br />
d + rO<br />
⋅ϕ<br />
A = (16)<br />
2<br />
2<br />
d + r ⋅ϕ<br />
+ d ⋅ r<br />
2<br />
O<br />
O
110 Negrín y Franco.<br />
4 Comparación <strong>en</strong>tre <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloidales y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s<br />
<strong>de</strong> círculo<br />
A continuación se realiza una comparación <strong>en</strong>tre los<br />
difer<strong>en</strong>tes tipos <strong>de</strong> <strong>curvas</strong> analizadas anteriorm<strong>en</strong>te, <strong>de</strong> manera<br />
que pueda t<strong>en</strong>erse una i<strong>de</strong>a más clara <strong>de</strong> su posible<br />
empleo <strong>en</strong> los <strong>perfil</strong>es <strong>de</strong> los di<strong>en</strong>tes.<br />
Evoluta <strong>de</strong> la<br />
epicicloi<strong>de</strong> "alargada"<br />
Epicicloi<strong>de</strong> "alargada"<br />
Epicicloi<strong>de</strong> "común"<br />
Evoluta <strong>de</strong> la<br />
Epicicloi<strong>de</strong> "común"<br />
Fig.3. Comparación <strong>en</strong>tre <strong>las</strong> epicicloi<strong>de</strong>s.<br />
Evoluta <strong>de</strong> la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong><br />
"común" (ro)<br />
Evoluta <strong>de</strong> la<br />
<strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> "alargada"<br />
Evolv<strong>en</strong>te "común"<br />
Fig.4. Comparación <strong>en</strong>tre <strong>las</strong> <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s.<br />
Evolv<strong>en</strong>te<br />
"alargada"<br />
Revista Ci<strong>en</strong>cia e Ing<strong>en</strong>iería. Vol. 25 No. 2. 2004<br />
Epicicloi<strong>de</strong><br />
"común"<br />
Evolv<strong>en</strong>te<br />
"común"<br />
Fig.5. Comparación <strong>en</strong>tre la epicicloi<strong>de</strong> y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> comunes.<br />
Evolv<strong>en</strong>te<br />
"común"<br />
Epicicloi<strong>de</strong><br />
"alargada"<br />
Fig.6. Comparación <strong>en</strong>tre la epicicloi<strong>de</strong> “alargada” y la <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> “común”.<br />
A<strong>de</strong>más <strong>de</strong> la comparación <strong>de</strong>s<strong>de</strong> <strong>el</strong> punto <strong>de</strong> vista gráfico,<br />
también se compararon a partir <strong>de</strong> <strong>las</strong> propieda<strong>de</strong>s que<br />
le confier<strong>en</strong> a los <strong>en</strong>granajes formados por <strong>el</strong><strong>las</strong>.<br />
min 12.00<br />
%a 10.00<br />
8.00<br />
6.00<br />
4.00<br />
2.00<br />
0.00<br />
Perfil<br />
Epicicloidal<br />
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21<br />
Fig. 7. Variación <strong>de</strong> la distancia <strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros vs Z<br />
Perfil<br />
Evolv<strong>en</strong>te<br />
Z
<strong>Estudio</strong> <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> epicicloi<strong>de</strong> y <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> para formar <strong>el</strong> ... 111<br />
α<br />
25<br />
20<br />
15<br />
10<br />
5<br />
0<br />
1 3 5 7 9 11 13 1<br />
5<br />
Fig.8. Angulo <strong>de</strong> presión (α) vs punto <strong>de</strong> la línea <strong>de</strong> <strong>en</strong>granaje <strong>en</strong> <strong>el</strong> <strong>perfil</strong><br />
epicicloidal alargado.<br />
ω 2<br />
1.<br />
2<br />
1.<br />
0<br />
0.<br />
8<br />
0.<br />
6<br />
0.<br />
4<br />
0.<br />
2<br />
0.<br />
0<br />
Fig. 9. V<strong>el</strong>ocidad angular (ω2) vs punto <strong>de</strong> la línea <strong>de</strong> <strong>en</strong>granaje <strong>en</strong> <strong>el</strong> <strong>perfil</strong><br />
epiciloidal alargado.<br />
v 12 30<br />
20<br />
10<br />
0<br />
-10<br />
-20<br />
-30<br />
Fig. 10. V<strong>el</strong>ocidad <strong>de</strong> <strong>de</strong>slizami<strong>en</strong>to r<strong>el</strong>ativo (v12) vs punto <strong>de</strong> la línea <strong>de</strong><br />
<strong>en</strong>granaje.<br />
5 Conclusiones<br />
17 19 21 23 25<br />
Número <strong>de</strong>l punto<br />
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25<br />
Número <strong>de</strong>l punto<br />
Perfil<br />
epicicloidal<br />
Perfil<br />
<strong>evolv<strong>en</strong>te</strong><br />
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25<br />
Número <strong>de</strong>l punto<br />
• El estudio realizado permite afirmar que <strong>las</strong> <strong>curvas</strong> <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong>s<br />
<strong>de</strong> círculo pert<strong>en</strong>ec<strong>en</strong> a la familia <strong>de</strong> <strong>las</strong> <strong>curvas</strong><br />
epicicloidales, pues se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> a partir <strong>de</strong> éstas cuando <strong>el</strong><br />
radio g<strong>en</strong>eratriz alcanza valor infinito. A tal efecto se<br />
<strong>de</strong>sarrolló una <strong>de</strong>mostración matemática, que no aparece<br />
<strong>en</strong> la bibliografía consultada.<br />
Revista Ci<strong>en</strong>cia e Ing<strong>en</strong>iería. Vol. 25 No. 2. 2004<br />
• Las comparaciones realizadas <strong>en</strong>tre <strong>las</strong> difer<strong>en</strong>tes <strong>curvas</strong>,<br />
at<strong>en</strong>di<strong>en</strong>do a su forma geométrica, no permit<strong>en</strong> tomar una<br />
<strong>de</strong>cisión <strong>en</strong> cuanto a qué curva será mejor para <strong>el</strong> <strong>perfil</strong><br />
<strong>de</strong> trabajo <strong>en</strong> <strong>en</strong>granajes que operan con distancia <strong>en</strong>tre<br />
c<strong>en</strong>tros variable. Por un lado, unas permit<strong>en</strong> utilizar un<br />
mayor radio exterior y por otro lado, otras permit<strong>en</strong> prolongar<br />
la zona <strong>de</strong> trabajo <strong>de</strong> los di<strong>en</strong>tes por <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l radio<br />
básico.<br />
• Los <strong>perfil</strong>es <strong>de</strong> los di<strong>en</strong>tes formados por la curva <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong><br />
“común” pue<strong>de</strong>n ser empleados <strong>en</strong> <strong>en</strong>granajes que requieran<br />
una variación <strong>de</strong> la distancia <strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros igual o<br />
inferior al 5% <strong>de</strong> la distancia mínima aproximadam<strong>en</strong>te,<br />
para r<strong>el</strong>ación <strong>de</strong> transmisión igual a 1 o ligeram<strong>en</strong>te superior.<br />
En este rango es aconsejable su uso <strong>de</strong>bido a <strong>las</strong> v<strong>en</strong>tajas<br />
que pres<strong>en</strong>ta este <strong>perfil</strong>.<br />
• Los <strong>perfil</strong>es formados por la curva epicicloidal “alargada”<br />
permit<strong>en</strong> hasta un 10% <strong>de</strong> variación <strong>de</strong> la distancia <strong>en</strong>tre<br />
c<strong>en</strong>tros, sin provocar la pérdida <strong>de</strong>l contacto <strong>en</strong>tre <strong>las</strong><br />
ruedas (ε > 1) y sin introducir gran<strong>de</strong>s irregularida<strong>de</strong>s <strong>en</strong><br />
<strong>el</strong> funcionami<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la trasmisión. No obstante, su empleo<br />
se realizará cuando <strong>el</strong> <strong>perfil</strong> <strong>evolv<strong>en</strong>te</strong> común no<br />
permita alcanzar la variación <strong>de</strong> la distancia <strong>en</strong>tre c<strong>en</strong>tros<br />
necesaria y preferiblem<strong>en</strong>te <strong>en</strong> transmisiones que trabaj<strong>en</strong><br />
a bajas revoluciones para disminuir los efectos dinámicos.<br />
Refer<strong>en</strong>cias<br />
Baránov G, 1988, Curso <strong>de</strong> la teoría <strong>de</strong> mecanismos y máquinas,<br />
Editorial MIR, Moscú.<br />
Broesma I, 1975, Design of gears, Editorial Industrial Press<br />
Inc, New York.<br />
Buckingham E, 1971, Manual of gear <strong>de</strong>sign. Section two,<br />
Editorial Industrial Press Inc, New York.<br />
Frolov KB y Popov C, 1987, Teoría <strong>de</strong> mecanismos y máquinas,<br />
Editorial <strong>de</strong> la Escu<strong>el</strong>a Superior <strong>de</strong> Moscú.<br />
H<strong>en</strong>riot G, 1967, Manual práctico <strong>de</strong> <strong>en</strong>granajes, Marcombo<br />
S. A., Ediciones Técnicas, Barc<strong>el</strong>ona.<br />
K<strong>en</strong>t W, 1966, Mechanical <strong>en</strong>gineers´ handbook, Editorial<br />
revolucionaria, La Habana.<br />
Lehmann C, 1974, Geometría analítica, Instituto cubano <strong>de</strong>l<br />
libro, La Habana.<br />
Loyarte CF, 1980, Cinemática <strong>de</strong> los <strong>en</strong>granajes, Ediciones<br />
G. Gilí S. A., Bu<strong>en</strong>os Aires, Arg<strong>en</strong>tina.<br />
Rektorys K, 1968, Prehled uzite matematiky, SNTL, Praha.<br />
Rey J, 1966, Geometría analítica, Editorial revolucionaria,<br />
La Habana.<br />
Thomas G, 1968, Cálculo infinitesimal y geometría analítica,<br />
Editorial revolucionaria, La Habana.<br />
Woods F, 1963, Geometría analítica y cálculo infinitesimal,<br />
Editora Hispano Americana, México.