06 Curvas Técnicas - kpus

CURVAS TÉCNICAS
Curvas cíclicas. Cicloide. Epicicloide.
Hipocicloide. Pericicloide.
Envolvente de la circunferencia
Objetivos y orientaciones metodológicas
TEMA.
Para el estudio de estas curvas se hará ver al alumno que todas ellas son la trayectoria que describe un punto
de una línea que rueda sin resbalar sobre otra. En cada caso se le indicarán la línea fija (base) y la línea móvil
(ruleta), así como el ¡punto generador de la curva. Igualmente se le indicará la forma tan sencilla de obtener
puntos de las diversas cíclicas. Al menos se le citarán las aplicaciones de estas curvas en mecánica.
La actividad se centrará en dibujar alguna de estas curvas con instrumentos. El desarrollo puede llevarse a
efecto durante dos clases.
Aplicación de las curvas cíclicas al trazado del perfil de los dientes de un engranaje.
DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato 67

1. Curvas cíclicas
Se llaman curvas cíclicas aquellas que se obtienen
por el movimiento de un punto de una circunferencia
o de una recta que rueda sin resbalar sobre
otra circunferencia o sobre otra recta.
La circunferencia móvil o la recta móvil se llama "ruleta"
y la línea sobre la que se mueven se llama "base".
Las curvas CÍclicas tienen gran importancia en dibujo
industrial y en mecánica, sobre todo en el trazado de
engranajes. Todas ellas se pueden trazar, como cualquier
curva, por medio de arcos de circunferencia determinando
un número suficiente de centros de curvatura, pero lo
más práctico es determinar una serie de puntos de ellas,
unirlos a lápiz a mano alzada y después pasar a tinta
con la plantilla de curvas. De esta forma se han dibujado
las curvas que se estudian a continuación.
2. La cicloide (Fig. 1)
Se llama "cicloide normal" a la curva que describe
un punto P de una circunferencia ruleta que rueda
sin resbalar sobre una recta base.
Para su trazado, se rectifica la ruleta de centro ° y
radio O-P sobre la base; se tiene así el segmentoP-P¡2;
este segmento y la ruleta se dividen en un número igual
de partes iguales, doce en la figura; por los puntos 1',
2', 3'" de la base (que son puntos de tangencia
instantáneos, llamados centros instantáneos de
curvatura de la cicloide), se trazan perpendiculares a
68 DIBUJO TÉCNICO" - Bachillerato
Fig. 1.
ella, con lo que se obtienen 01' 02' °3
", en la recta de
centros, que es la paralela por °a la base.
Para obtener puntos se opera así: la circunferencia de
centro O¡ y radio 0¡-1' y la paralela por 1 a la base se
cortan en el punto P, de la cicloide normal. De la misma
forma, la circunferencia de centro en 02 y la paralela por
2 se cortan en P 2 ; así se obtienen P 3 ' P 4 ' P s "" P¡2 y al
unirlos se obtiene una arcada de la cicloide normal.
• Cicloide acortada. A partir de la cicloide normal se
obtiene la cicloide acortada, cuyo punto generador es
R, interior a la ruleta y solidariamente unido a ella. En
todas las posiciones se conserva constante la
distancia 0- R.
Se lleva el segmento O-R sobre el radio O¡-P¡ a partir
de O¡ y se tieneR¡; llevandoO-R sobre 02-P2 se obtiene
R 2 y así sucesivamente se obtienenR 3 , R 4 ···, R¡2' puntos
de la cicloide acortada.
• Cicloide alargada. A partir de la cicloide normal se
obtiene la cicloide alargada, cuyo punto generador es
0, exterior a la ruleta y solidariamente unido a ella. En
todas las posiciones se conserva constante la
distancia O-o.
Se lleva O-O sobre los radios O¡-P¡, 02-P2' etc., a partir
de los centros O¡, 02' etc., y se obtienen los puntos O¡,
02' °3
" Si la ruleta sigue rodando, se forma otra
arcada de cicloide alargada y se produce un lazo, cuya
mitad está dibujada en la figura.
Las tangentes en puntos cualesquíeraic, P 7 y 0 7 de las tres
curvas son perpendiculares a las rectasfc- 7', P7-7' Y°7-7',
que son las respectivas normales en los citados puntos.
ACORTADA

3. La epicicloide (Fig. 2)
Si imaginariamente se curva la Fig. 1 de forma que
la base se transforme en una circunferencia, se obtiene
la Fig. 2. Según esto, las construcciones son similares.
La epicicloide es la curva que describe un punto
P de una circunferencia ruleta que rueda sin
resbalar sobre otra circunferencia que hace de base
y exteriormente a ella.
La base es la circunferencia de centro O' y radio O'-P
y la ruleta exterior es otra circunferencia tangente a ella
enP, de centro O"y radio O"-P
Se divide la ruleta en un número de partes iguales,
doce en la figura; se llevan estas partes sobre la base,
para lo cual se calcula el ángulo central de n grados que
abarca la longitud 2nO"-Pde la ruleta, curvificada sobre
la base; este ángulo de n? se calcula por medio de una
regla de tres:
ACORTADA
NORMAL
BASE
O'
Fig. 2.
360° -- 2nO'-P
nO 2nO"-P
O" P r
c::> nO = 3600 - - 360°-
O'-P R
El ángulo central de ri? se divide también en doce
partes y se opera luego como en la cicloide. La
circunferencia de centro 0 1 y radio 0 1 -1' y la
circunferencia concéntrica con la base que pasa por 1
se cortan enP 1 · Así se obtienen P z ' P 3 ···, P 6 . En la figura
están dibujadas dos medias arcadas de la curva.
La epicicloide acortada y la epicicloide alargada
se engendran por el movimiento de los puntos R yO,
respectivamente, ligados solidariamente a la ruleta. La
obtención de los puntos de estas curvas es la misma
que para la cicloide.
En la figura se trazan las tangentes t, t' Y t" a las
curvas en los puntos P; 05 y R5·
RULETA
6'
ALARGADA
DIBUJO TÉCNICO 11- Bachillerato 69

4. La hipocicloide (Fig. 3)
Esta curva está engendrada por el punto P de la
circunferencia "ruleta" de centro °que rueda sin resbalar
interiormente sobre la circunferencia base de centro 0'.
Para la obtención de puntos de esta curva se divide la
ruleta en partes iguales, doce en la figura; se obtiene el
ánguloP-0'-P 12 de la base, cuyo arco tenga una longitud
igual a la longitud de la ruleta; esto se consigue como en
la curva anterior
nO= 360 0 -
siendo r y R los radios de la ruleta y de la base,
respectivamente.
Se divide el arcoP-P en doce partes iguales, puntos
12
1',2',3', etc., y se unen conO'; estos radios cortan en 01'
°2,°3 ,etc., a la circunferencia de centro O'y radio 0'-0,
que son los centros
ruleta.
de las sucesivas posiciones de la
{
NORMAL
ALARGADA
ACORTADA
RULETA
70 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato
r
R
Fig. 3.
Se trazan la ruleta de posición en°1Yla circunferencia
de centro O' y que pase por 1; ambas se cortan en el
puntoP1 de la hipocicloide normal; igualmente, la ruleta
de centro 02y la circunferencia concéntrica con la base
que pase por 2 se cortan enPz; así se obtienen los puntos
P 3 , P 4 ···, P 12 ·
Para la hipocicloide alargada se elige el punto
generador R, exterior y solidariamente unido a la ruleta;
se une 01 conP 1 y se lleva a partir deP 1 el segmentoP-R,
con lo que se obtíene P.: igualmente, uníendo O, conP 2 y
llevando a partir de P, el segmentoP-R, se obtiene R, así
se obtienen los puntos x; R 4 ···, R 12
Para la hipocicloide acortada se elige el punto
generador O, interior y solidariamente unido a la ruleta;
en la recta 01-P1 se toma 01- 01 = O-O Yse obtiene 01; en
la recta 02-P2 se lleva O 2-0 2 = O-O y se obtiene O 2 ;
igualmente se obtienen los demás puntos de la curva.

5. La pericicloide. Normal, alargada y
acortada. Tangente y normal en un
punto de cada una de ellas (Fig.4)
La circunferencia base es la de centro O y la ruleta
es la de centro O'. Los puntos generadores sonP ° yR
l' 1 1
de la normal, alargada y acortada, respectivamente. Para
obtener un punto de la normal, por ejemplo elP 4 , se trazan
la posición de la ruleta con centro 0 4 y radio hasta 4 y la
circunferencia de centro Oque pasa por 4', punto correspondiente
de las divisiones de la ruleta en su posición
inicial.
RULETA
05
Fig. 4.
En la figura se ha curvificado la base sobre la ruleta
de forma que el arco 1-2 de la base tiene la misma
longitud que el arco 1-2' de la ruleta.
Para los puntos de la acortada y de la alargada,
se lleva, por ejemplo, para el punto P 4 ' sobre la recta
04P4' la distancia PIR¡ para la acortada y obtenemos R4
y p¡O¡ para la alargada y obtenemos 04' La normal en
P 4 es la recta4-P 4 ; eti R¿ es la recta4-R 4 , y en Q4' la recta
4-04 Las tangentes en estos puntos son perpendiculares
a las respectivas normales.
DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato 71

•
6. Envolvente de una circunferencia
(Fig. 5)
Esta curva se define como el lugar geométrico de las
posiciones que va ocupando un punto de una recta que,
siendo tangente a una circunferencia, camina sin resbalar
sobre ella. El punto generador es el punto T; la
circunferencia base es la de centro O y la ruleta es la
recta t tangente en el punto T.
Para su trazado se divide la circunferencia en una
serie de partes iguales, cuantas más, mejor, y se trazan
las tangentes en los puntos obtenidos. Haciendo centro
en los puntos de intersección de cada dos tangentes
consecutivas y con radio hasta el punto anterior obtenido,
se traza un arco de la curva. El segmento T-16 sobre la
tangente en T, resulta ser la longitud de la circunferencia
base.
Esta curva se emplea para el trazado del perfil de los
dientes de las ruedas dentadas (método de envolvente).
7. La envolvente de la circunferencia
como pericicloide (Fig. 6)
La envolvente de la circunferencia se puede construir
también como una pericicloide. Así, en la Fig. 6, se
divide la circunferencia base en un número de partes
iguales, se rectifica ésta sobre la ruletas y se divide esta
rectificación en el mismo número de partes iguales Un
punto, por ejemplo elP4' se obtiene trazando la tangente
a la base en 4 hasta que corte al arco de centro e y radio
hasta la división 4 de la ruleta. Los demás puntos se
obtienen de la misma forma.
72 DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato
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Fig. 6.
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Fig. 5.
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