Funciones trigonométricas y coordenadas polares. 2.1 Razones ...

Geometra Analítica I; Grupo 4047.
Guía para el segundo examen parcial
Ejercicios extraídos del capítulo 2 del libro:
Ramirez-Galarza, A. I.; Geometría Analítica: Una introducción a la geometría; México: Las Prensas de Ciencias; 2011.
Funciones trigonométricas y coordenadas polares.
2.1 Razones trigonométricas y algunas relaciones.
1. ¿Cuántos grados hay en un radián?.¿Cuántos radianes hay en un grado?
2. Obtenga las fórmulas para el seno y coseno de la suma de dos ángulos.
3. Utilice las fórmulas (2.3) − (2.5) para obtener las fórmulas correspondientes a las razones trigonométricas de
un ángulo que mida el doble de un ángulo x: cos 2x, sen 2x, tan 2x. 1
4. Obtenga la fórmula para el seno y coseno de un ángulo que mida la mitad de otro ángulo.
5. Utilice las fórmulas (2,3) − (2,5) para obtener, a partir de los valores en las tabla 2.1,
los siguientes:
ángulo sen cos tan csc sec cot
√
◦ 1 30 2
3
45◦ 1 √
√ 2
2
60◦ √
3
Figura 1. Tabla 2.1: Cálculo de razones trigonométricas de algunos ángulos.
cos 75 ◦ ; sen 75 ◦ ; cos 75 ◦ ; sen 15 ◦ .
6. Complete la tabla 2.1.
7. Para π
2 < α + β < π defina sen(α + β) = sen(δ), cos(α + β) = − cos(δ) y demuestre la validez de la fórmula
(2.3) y (2.4) utilizando la Figura 2.
B
D
A
γ
δ
β
O
Figura 2. sen(α + β) = sen(δ) y cos(α + β) = − cos(δ)
2.2 Resolución de triángulos.
8. Demuestre que con sólo dos datos hay siempre un número infinito de triángulos. (Sugerencia: considere todos
los casos posibles.)
9. Demuestre la afirmación 1 y dé un método de construcción del triángulo.
10. Demuestre la afirmación 2 y dé un método de construcción de triángulo.
11. Demuestre la afirmación 4 y dé un método de construcción de triángulo.
12. Dé algunos ejemplos de problemas prácticos en cuya solución se resuelva un triángulo.
13. Dé un ejemplo de problemas prácticos en cuya solución se resuelve un triángulo, como la determinación de la
altura de un edificio conocido el ángulo de elevación desde un punto distance c unidades de su base.
14. Construya una figura que permita demostrar el Teorema de Pitágoras.
15. Construya una figura que permita demostrar el Teorema de Tales.
16. Demuestre la Desigualdad del triángulo.
1 Las fórmulas referidas son:
(2.3) cos (α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β).
(2.4) sen (α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β).
(2.5) tan (α + β) = tan(α)+tan(β)
1−tan(α) tan(β) .
1
α
E
C
α

2.3 Funciones e identidades trigonométricas.
17. Haga una tabla donde figuren los signos de las distintas funciones trigonométricas según el cuadrante donde
se ubique el ángulo.
18. Determine el dominio de las funciones sen x, csc x , cot x.
19. Determine el periodo de las funciones sec x, csc x , cot x.
20. Determine el periodo de la función cos(x + π/4), trace la gráfica correspondiente y compárela con la de la
función coseno.
21. Determine el dominio, la imagen y el periodo de las funciones siguientes:
a ) 2 tan x,
b ) tan 2x,
c ) tan(x/2),
d ) 3 sec x,
e ) csc 3x,
f ) cot(x/3)
22. Use la función tangente para dar una biyección entre un intervalo y R
2.4 Funciones trigonométricas inversas.
23. Restrinja aproximadamente los dominios de casa una de las funciones trigonométricas.
24. Trace la gráfica de las funciones arc cos, arc csc, arc sec, arc cot. (Sugerencia: Note que la relación inversa de
una relación R de Ra Rse obtiene al reflejar R sobre la “recta identidad”.)
2.5 Coordenadas Polares.
25. Dibuje en la misma gráfica las curvas coordenadas correspondientes a las condiciones siguientes:
a ) r = 1 , r = 2, r = 3, r = 4
b ) θ = π/6, θ = π/4, θ = π/3
c ) θ = −π/4, θ = −π/2, θ = −5π/6
26. Determine las coordenadas cartesianas de los puntos cuyas coordenadas polares aparecen a continuación:
P (1, π/3), Q(2, 2π/3), R(3, π), S(2, 3π/4)
27. Determine las coordenadas polares de los puntos cuyas coordenadas cartesianas aparecen a continuación
(considere ángulos entre 0 (incluido) y 2π(excluido)):
P (1, 1), Q(−1, 2), R(1, −2), S(0, −2)
28. Obtenga la ecuación en coordenadas cartesianas de cada una de las ecuaciones polares siguientes, y llévela a
una forma en que pueda identificarla.
a ) r = 5
b ) r = 4/ cos(θ − 30 ◦ )
c ) r = |2 cos θ|(Sugerencia: la unión de los lugares geométricos de dos ecuaciones, correspondiente al
producto de las ecuaciones.)
d ) r = 4/(2 + cos θ)
2.6 Curvas en coordenadas polares. En los primeros seis ejercicios, el lector deberá proceder a elaborar primero
una tabla (recuerde que el intervalo de variación del ángulo puede reducirse si se hace el análisis de la función) y
luego deberá marcar los puntos correspondientes a los valores de la tabla para, finalmente, trazar una curva suave
que los contenga.
29. Una lemniscata es una curva cuya ecuación tiene la forma
r 2 = a 2 cos 2θ
30. Una cardioide es una curva (una para cada elección de a) con la ecuación
31. Un caracol de Pascal es una curva con ecuación
r = a(1 + cos θ)
r = b + a cos θ
donde cada elección de a y de b da lugar a una curva distinta y cuando a = b se obtiene una cardioide.
32. Una espiral de Arquímedes tiene por ecuación
33. Una espiral logarítmica es una curva de ecuación
r = aθ
r = ce −mθ
donde la función exponencial e x está compuesta con la función x = −mθ, y cada elección de c y m da lugar
a una espiral distinta.
2

34. Una espiral hiperbólica es una curva de ecuación
rθ = c,
35. Un óvalo de Cassini es una curva que satisface la ecuación
r 4 + a 4 − 2a 2 r 2 cos 2θ = b 4
La figura consta de dos trozos separados si b ≤ a y es una lemniscata si b = a. ¿Puede demostrarlo?.
2.7. Curvas paramétricas.
36. Obtenga las ecuaciones paramétricas de una hipocicloide , curva descrita por un punto de una circunferencia
que rueda sin resbalar dentro de otra circunferencia fija. (Sugerencia: Relacione las ángulos de θ y ϕ en la
Figura 3 mediante el arco que abarcan en la circunferencia respectiva, como se hizo en el caso de epicicloide.)
R
Y
O
θ
Cθ
Figura 3. Hipocicloide
37. Determine cuál relación entre los radios de las circunferencias, la fija y la rodante, determina que la curva se
cierre para algún valor de θ o no, tanto para la epicicloide como para la hipocicloide.
38. Demuestre que la curva de ecuación r = cos kθ tiene k pétalos si k es impar y 2k pétalos si k es par.
Coordenadas esféricas y cilíndricas.
39. Dibuje un sistema coordenado esférico y ubique en él los puntos cuyas coordenadas esféricas le proporcionamos
a continuación.
P (1, π/2, π/4), Q(1, 1, 1), R(2, (4/3)π, (2/3)π)
40. Obtenga las coordenadas cartesianas de los puntos del Ejercicio 1.
41. Ilustre en gráficas separadas las regiones del espacio que satisfacen las condiciones siguientes en un sistema
coordenado esférico.
a) A = {(r, θ, φ) | 1 ≤ r ≤ 2}, d) A ∩ B,
b) B = {(r, θ, φ) | π/6 ≤ θ ≤ π/3}, e) A ∩ C,
c) C = {(r, θ, φ) | π/4 ≤ φ ≤ 3π/4}, f) B ∩ C.
42. Dibuje un sistema coordenado cilíndrico y ubique en él los puntos cuyas coordenadas cilíndricas le proporcionamos
a continuación.
S(1, π/2, −2), T (1, 1, 1), U(2, (4/3)π, −1)
43. Obtenga las coordenadas cartesianas de los puntos del ejercicio anterior.
44. Ilustre en gráficas separadas las regiones del espacio que satisfacen las condiciones siguientes en un sistema
coordenado cilíndrico.
a ) D = {(r, θ, z) | 1 ≤ r ≤ 2}
b ) E = {(r, θ, z) | π/6 ≤ θ ≤ π/3}
c ) F = {(r, θ, z) | π/4 ≤ z ≤ 3π/4}
d ) D ∩ E
e ) D ∩ F
f ) F ∩ E
3
¥ ¤
¡
£ ¢
r
ϕ
P0
Pθ
X

Addendum.
45. Demuestre geométricamente la identidad trigonométrica tan (α + β) = tan(α)+tan(β)
1−tan(α)·tan(β .
1
β
α
E
O D
Figura 4. Demostración de la identidad de tan (α + β) = tan(α)+tan(β)
1−tan(α)·tan(β
(Sugerencia: Considere el triángulo rectángulo △ODE donde tan(α + β) = DE
OD ; luego en el triángulo
rectángulo △OGC calcule 1
OD ; después utilizando que los triángulos △OGC y △DEF son semejantes obtenga
que OC = EF
DE .)
46. Demuestre los datos de las tres últimas columnas de la siguiente tabla
α
◦ 75
radianes
5π
12
sen(α)
√ √
2
4 3 + 1
cos(α)
√ √
2
4 3 − 1
tan(α)
√
2 + 3
México D.F.; Facultad de Ciencias; Universidad Nacional Autónoma de México; Septiembre 2012
Prof. Ernesto Mayorga Saucedo
E-mail address: ernestoms@ciencias.unam.mx
blog : http://emsaucedo.wordpress.com/
Aydte. Adriana León Montes
E-mail address: adriana290689@gmail.com
Aydte. Olivia Isaura López Gónzalez
E-mail address: oli 28 01@hotmail.com
4
α
A
B
G
1
C
F