Cap´ıtulo 2 - McGraw-Hill

CONJUNTOS DE CONSUMO Y
Capítulo PREFERENCIAS 2
CAPÍTULO
2
2.1. Conjuntos de consumo y restricción presupuestaria
2.1.1. Generalidades
Un consumidor es un agente económico individual (un individuo en sentido estricto
o una familia) que toma decisiones de consumo, es decir, escoge cantidades de bienes
y servicios que demanda y cantidades de trabajo que oferta. Supondremos que hay un
número finito m de consumidores, que distinguiremos con el subíndice i = 1,2,... ,m.
El conjunto de elección del i-ésimo consumidor está constituido por un conjunto
Xi ⊂ R ℓ de consumos “posibles”. Un consumo posible (o un plan de consumo)
es un vector ℓ-dimensional del espacio de mercancías R ℓ y lo representamos por
xi = (xi1,xi2,...,xiℓ). El elemento xik de este vector describe la cantidad de la mercancía
k consumida por el i-ésimo consumidor. Cada plan de consumo especifica ciertas
cantidades de bienes y servicios consumibles, así como ciertas cantidades de factores
productivos que el consumidor puede ofertar (diversos tipos de trabajo).
El conjunto de todos los consumos posibles para el i-ésimo consumidor se denomina
conjunto de consumo. La forma más sencilla de modelizar estos conjuntos es
identificando los planes de consumo con vectores no-negativos, Xi = R ℓ +. Así pues, con
esta aproximación, un plan de consumo es posible para un consumidor si y sólo si está
constituido por cantidades no negativas.
Tomar los planes de consumo como vectores no-negativos facilita notablemente
la discusión del comportamiento del consumidor por tres razones: (1) Porque R ℓ + es
un conjunto con muy buenas propiedades operativas (en particular, es un conjunto no
vacío, cerrado, convexo y acotado inferiormente); (2) Porque todos los consumidores
tienen idénticos conjuntos de consumo, de modo que lo que les diferencia son sus formas
de valorar las distintas alternativas y su riqueza; y (3) Porque los problemas de
optimización con restricciones de no negatividad son tratables con procedimientos más
sencillos.

14 - Microeconomía
Observación:
La mayor parte de las propiedades que obtendremos no dependen de este supuesto particular,
sino que son válidas para todo subconjunto de R ℓ cerrado, convexo y acotado
inferiormente.
El problema económico del consumidor consiste en elegir algún plan de consumo
en el subconjunto de R ℓ + que determinen sus restricciones. El comportamiento racional
del consumidor consistirá en elegir aquel plan de consumo que resulte “el mejor de los alcanzables”.
Así pues, para describir adecuadamente el comportamiento del consumidor,
habremos de definir y modelizar tanto las restricciones a las que se enfrenta (restricción
presupuestaria) como su criterio de valoración (preferencias). Nos ocuparemos ahora
de la restricción presupuestaria y en la sección siguiente de las preferencias.
En una economía de mercado las restricciones que afectan a los consumidores
están asociadas a su capacidad de gasto, que viene determinada por los precios de
mercado y su riqueza. Cuando se trata además de una economía competitiva los precios
de mercado constituyen una variable externa puesto que ningún consumidor puede,
individualmente, afectar con sus decisiones a dichos precios. Ello equivale a suponer que
los consumidores toman los precios de mercado como un dato. Tanto en esta sección
como en el capítulo siguiente supondremos que esta capacidad de gasto viene descrita
por un número Mi, que podemos interpretar como una cantidad de ‘dinero’. 1 Diremos
que Mi ∈ R representa la riqueza del i-ésimo consumidor, i = 1,2,... ,m.
Representaremos los precios de las mercancías mediante un vector de R ℓ , p =
(p1,p2,...,pℓ), de modo que el coste de adquirir un vector de mercancías
vendrá dado por:
xi = (xi1,xi2,...,xiℓ)
px i =
ℓ
k=1
pkxik
Dado un vector de precios p ∈ R ℓ el i-ésimo consumidor podrá adquirir todas
aquellas cantidades de mercancías que no cuesten más que su riqueza Mi. Diremos así
que un plan de consumo xi es accesible para el i-ésimo consumidor a los precios p si
px i ≤ Mi. Se denomina conjunto presupuestario al conjunto
βi(p,Mi) = {xi ∈ R ℓ + / px i ≤ Mi}
que describe aquellos planes de consumo que el i-ésimo consumidor puede pagar, cuando
su riqueza es Mi y los precios de mercado vienen dados por el vector p. Suele
denominarse par precio-riqueza al vector (p,Mi) ∈ R ℓ+1 que define la restricción
presupuestaria. Al escribir el conjunto presupuestario como βi(p,Mi) estamos indicando
que este conjunto varía con los precios y la riqueza.
La correspondencia βi : Rℓ+1 → Rℓ + que asocia a cada par precio-riqueza el
conjunto de consumos que el i-ésimo consumidor puede pagar, se denomina correspondencia
presupuestaria. Es inmediato comprobar que el conjunto presupuestario
no cambia si multiplicamos precios y riqueza por cualquier número positivo, es decir,
βi(λp,λMi) = βi(p,Mi) para cualquier número λ > 0. La correspondencia presupuestaria
es pues homogénea de grado cero en precios y riqueza (una propiedad que se
1 Más adelante tomaremos Mi como el valor de los activos que posee el consumidor y por tanto será
una función de los precios de mercado y no una cuantía fija.

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Gráfico 2.1: La restricción presupuestaria
traslada a la función de demanda, como veremos). 2 Bajo el supuesto establecido sobre
los conjuntos de consumo, el conjunto βi(p,Mi) resulta cerrado y convexo (aunque
podría ser vacío).
El gráfico 2.1 ilustra la restricción presupuestaria para el caso ℓ = 2, es decir,
βi(p,Mi) = {xi ∈ R 2 + / p1xi1+p2xi2 ≤ Mi}. Si medimos el bien 2 en el eje de ordenadas,
la ecuación de la recta que delimita el conjunto presupuestario puede expresarse como:
xi2 = Mi
p2
− p1
p2 xi1. De aquí se deduce que la pendiente de la restricción presupuestaria
viene dada por los precios relativos (− p1
p2
presupuestario depende de la riqueza real ( Mi
p2
), mientras que la “posición” del conjunto
). Consecuentemente, cambios en los
precios relativos modifican la pendiente de la restricción presupuestaria, mientras que
cambios en Mi desplazan dicha restricción.
2.1.2. La oferta de trabajo
Una de las decisiones que el consumidor debe adoptar al escoger un plan de consumo
es cómo distribuir su tiempo disponible entre ocio y trabajo. Cuando la cantidad de
tiempo disponible está limitada, el tiempo que no se destina al trabajo se destina al
ocio, de modo que el consumo de ambas mercancías (demanda de ocio u oferta de
trabajo) puede describirse mediante una sola variable.
2 Pensemos que ésto es lo que ha ocurrido en aquellos países europeos que se han incorporado a la
moneda única: tanto los precios como el valor de los activos han pasado a estar denominados en euros
en lugar de en las tradicionales monedas nacionales.

16 - Microeconomía
Gráfico 2.2: Trabajo y ocio
Al representar los planes de consumo mediante vectores de R ℓ + es habitual dar a
todas las mercancías el tratamiento de ‘bienes’. 3 Para ello hemos de dar una interpretación
correcta a las mercancías que representan la oferta de trabajo de los consumidores.
La idea básica a este respecto es que la oferta de trabajo no aparece de forma explícita
en los planes de consumo. Lo que aparece es la demanda de ocio, de modo que la oferta
de trabajo resulta ser la diferencia entre el tiempo disponible y el tiempo de ocio
demandado.
Para ilustrar este punto, supongamos que únicamente hay dos mercancías, trigo
y ocio (o trigo y trabajo, si se prefiere) y que el consumidor dispone de una cantidad
de tiempo Ti, que describe la máxima cantidad de horas que el consumidor i puede
dedicar a trabajar (una cantidad que dependerá de aspectos tales como edad, salud,
capacitación, etc.). Un plan de consumo vendrá dado así por un vector xi = (xi1,xi2)
donde xi1 es la cantidad demandada de trigo y xi2 se interpreta como la cantidad
demandada de tiempo de ocio. Con ello estamos indicando que cuando el consumidor
elige este plan de consumo se propone trabajar una cantidad Ti−xi2 de horas. Si xi2 = 0
estamos diciendo que el consumidor destina todo su tiempo disponible a trabajar,
mientras que el caso xi2 = Ti corresponde a un plan de consumo en el que el consumidor
dedica todo su tiempo disponible al ocio y no trabaja. Valores de xi2 mayores que Ti
nos indican que el consumidor está demandando ‘una cantidad negativa de trabajo’,
es decir, está demandando trabajo de otros (servicios domésticos o clases particulares,
por ejemplo). El gráfico 2.2 describe esta situación 4 .
3 Ello se convierte en una exigencia cuando suponemos, como haremos en la sección siguiente, que las
preferencias son monótonas (es decir, que el consumidor está siempre dispuesto a consumir cantidades
mayores de todos los bienes).
4 Conviene advertir que estamos suponiendo implícitamente que solo existe un único tipo de trabajo.
Cuando hay dos o más tipos de trabajo el conjunto de consumo incorpora una restricción que describe
la relación de transformación entre los diferentes tipos de trabajo, dado el tiempo total disponible.
Restricciones de esta clase implican que el conjunto de consumo es un subconjunto estricto de R ℓ +.

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 17
Gráfico 2.3: Restricción presupuestaria y oferta de trabajo
Al describir los planes de consumo como vectores de Rℓ + el gasto del consumidor
incluye el pago de las cantidades de ocio consumidas y la riqueza incluye los ingresos
asociados a la capacidad de trabajo disponible. El ocio es así valorado según su coste
de oportunidad (es decir, según el precio del trabajo).
Para verlo consideremos el siguiente ejemplo con dos mercancías, trigo y ocio.
Supongamos como antes que el consumidor puede trabajar a lo sumo una cantidad de
Ti horas y sea p = (p1,p2) el vector de precios de mercado (donde p1 representa el
precio del trigo y p2 el salario). Un plan de consumo xi = (xi1,xi2) ∈ R 2 + representa
las cantidades xi1 de trigo y xi2 de ocio que el agente puede consumir. Si suponemos
que el trabajo es la única fuente de riqueza de este consumidor, para hacer el ejemplo
más sencillo, tendremos que Mi = p2Ti. Así pues Mi nos dice en este caso cuáles
son los ingresos que el consumidor obtendría si dedicara todo su tiempo a trabajar. Su
restricción presupuestaria vendrá dada por:
βi(p,Mi) = {xi ∈ R 2 + / px i ≤ p2Ti}
De aquí se deduce que p1xi1 + p2xi2 ≤ p2Ti, es decir, que p1xi1 ≤ p2(Ti − xi2),
donde (Ti−xi2) es precisamente la cantidad de trabajo ofertada y p2(Ti−xi2) representa
los ingresos derivados del trabajo. El gráfico 2.3 ilustra este ejemplo.
2.2. Preferencias
Una forma general de establecer un criterio de comparación entre alternativas consiste
en la introducción de algún tipo de ordenación sobre los planes de consumo. Aludiremos
a este criterio de comparación con el nombre genérico de preferencias. Para modelizar

18 - Microeconomía
el criterio de valoración de las opciones de consumo del i-ésimo consumidor supondremos
que éste tiene definida una relación de preferencias i sobre Rℓ + , donde i
es una relación binaria que puede leerse como “ser al menos tan preferido como”. Es
decir, dados dos elementos xi,x ′ i ∈ Rℓ +, la expresión xi i x ′ i significa que el i-ésimo
consumidor estima que el plan de consumo xi es al menos tan preferido como (mejor
o igual que) el plan de consumo x ′ i .
Con respecto a esta relación de preferencias vamos a considerar una serie de
propiedades (a veces denominados axiomas) que nos permitan una modelización operativa
de los consumidores. Dividiremos estas propiedades en tres grupos diferentes. El
primer grupo (completitud y transitividad) se refiere a propiedades de ordenación; su
cumplimiento garantiza que la relación i es un preorden completo. El segundo grupo
(continuidad y convexidad) introduce una estructura analítica precisa. Finalmente,
discutiremos diversas formulaciones de la idea de no-saciabilidad. Es importante darse
cuenta que las propiedades de orden son independientes de las hipótesis establecidas
sobre el conjunto de consumo (en particular no dependen de tomar Rℓ + como espacio
de referencia), mientras que las propiedades analíticas no lo son. 5
2.2.1. Propiedades de orden
Comencemos presentando las dos propiedades básicas de ordenación, que son aplicables
a un conjunto de elección cualquiera: completitud y transitividad. Estas propiedades
reflejan la idea de un agente que es capaz de valorar de forma coherente cualquier par
de alternativas. Formalmente:
completitud Para todo xi,x ′ i ∈ Rℓ + , se verifica xi i x ′ i , o bien x′ i i xi.
Transitividad Para todo xi,x ′ i ,x′′
i ∈ Rℓ +,
[xi i x ′ i ∧ x ′ i i x ′′
i ] ⇒ xi i x ′′
i
La completitud establece que la relación de preferencias es aplicable a cualquier
par de alternativas del conjunto de consumo. Es decir, descarta la posibilidad de que
existan opciones incomparables (no existen pares de alternativas frente a los cuales
el sujeto es incapaz de establecer la relación i). Obsérvese que esta propiedad, tal y
como está formulada, implica que la relación i es reflexiva (dado que podríamos tomar
x ′ i = xi).
La propiedad de transitividad postula la coherencia en el comportamiento del
agente y garantiza la ordenación sistemática de las alternativas. Cuando no se cumple
se pierde la lógica del criterio de ordenación y aparecen “ciclos” de preferencia que
pueden hacer imposible tomar decisiones en algún subconjunto de Rℓ + . Si tomamos, a
modo de ejemplo, el subconjunto {xi,x ′ i ,x′′ i } y resulta que xi es mejor o igual que x ′ i ,
x ′ i mejor o igual que x′′ i , y x′′ i mejor o igual que xi, nunca sabríamos con qué opción
quedarnos. No obstante hay contextos en los que resulta plausible que no se cumpla esta
propiedad, como ocurre cuando las opciones son imperfectamente distinguibles, o cuando
admitimos que el consumidor no es un agente individual sino que está constituido
por una familia que decide por un sistema de mayoría (véase el problema 2.7).
5 En realidad esta modelización es válida siempre que el conjunto de consumo sea un subconjunto
cerrado, convexo y acotado inferiormente de R ℓ .

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 19
Cuando la relación i cumple estas dos propiedades constituye un preorden completo,
que se denomina preorden de preferencias del i-ésimo consumidor. Dicho
preorden refleja la valoración del sujeto de las distintas opciones de consumo posibles.
Lo importante para la teoría es que las preferencias del sujeto puedan establecerse como
un preorden, sin entrar en el análisis de los motivos que le llevan a valorar las cosas de
una determinada forma.
A partir de la relación i podemos definir una nueva relación sobre los elementos
del conjunto de consumo. Se trata de la relación de indiferencia , que representamos
por el símbolo ∼i, y que se define como sigue: Dados xi,x ′ i ∈ Rℓ +,
xi ∼i x ′ i ⇐⇒ [xi i x ′ i ∧ x ′ i i xi]
que se lee como xi es indiferente a x ′ i , indicando que las opciones xi y x ′ i son igualmente
valoradas por el sujeto 6 Puede comprobarse fácilmente que, cuando i es completa y
transitiva, la relación de indiferencia es reflexiva, simétrica (es decir, xi ∼i x ′ i implica
que x ′ i ∼i xi), y transitiva; es decir, constituye una relación de equivalencia. Las clases
de equivalencia de Rℓ + por la relación de indiferencia las designaremos como Ii(x ′ i ) ⊂
, donde
R ℓ +
Ii(x ′ i) = {xi ∈ R ℓ + / xi ∼i x ′ i}
Los conjuntos Ii(x ′
i ) se conocen como clases de indiferencia. Una clase de indiferencia
contiene todas las opciones que resultan igualmente apreciadas (indiferentes)
a una dada x ′ i por el i-ésimo consumidor. Por ser una relación de equivalencia, las clases
de indiferencia constituyen una partición del conjunto de elección, de modo que se
verifica (véase problema 2.6):
(a) Ii(x ′ i ) = ∅ ∀ x′ i ∈ Rℓ +.
(b)
x ′
i∈Rℓ Ii(x
+
′ i ) = Rℓ +.
(c) Sean x ′ i ,x′′ i ∈ Rℓ + dos planes de consumo que no son indiferentes. Entonces,
Ii(x ′ i ) Ii(x ′′
i ) = ∅.
Cuando la capacidad de discriminación del consumidor no es absoluta, la transitividad
de la indiferencia tiene implicaciones difícilmente aceptables. Un ejemplo tradicional
es el siguiente: Supongamos que le pedimos a un individuo amante del café que
escoja entre dos tazas de café con azúcar. La única diferencia entre ambas es que una
tiene medio milígramo más de azúcar que la otra. Cabe esperar que el individuo sea
incapaz de distinguir entre ambas tazas de café y se declare indiferente. Si repetimos la
prueba, variando de medio en medio milígramo de azúcar resultará, por la transitividad
de la indiferencia, que le da lo mismo el café sin azúcar que con 20 cucharadas.
A partir de las relaciones i y ∼i podemos a su vez definir una nueva, la relación
de preferencia estricta, que simbolizaremos por ≻i, que se define como sigue: Dados
xi,x ′
i ∈ Rℓ + ,
xi ≻i x ′
i ⇐⇒ [xi i x ′
i ∧ (xi ≁i x ′
i)]
(donde (xi ≁i x ′
i ) indica que xi no es indiferente a x ′ i ). Diremos en este caso que xi es
preferido a x ′ i , o también que xi es estrictamente mejor que x ′ i .
6 Adviértase que los conceptos de “indiferente” e “incomparable” son distintos en términos lógicos.
En efecto, el primero nos dice que xi i x ′ i y que también x ′ i i xi, mientras que el segundo nos dice
que ni xi es mejor o igual que x ′ i, ni lo contrario..

20 - Microeconomía
La relación ≻i no es reflexiva ni simétrica. Es transitiva y verifica las propiedades
de asimetría (xi ≻i x ′ i implica que x′ i ⊁i xi) y de irreflexividad (xi ⊁i xi). Si aplicamos
la relación ≻i al conjunto cociente (R ℓ +/ ∼i) obtendremos una ordenación en sentido
estricto y completa de las clases de indiferencia. 7
2.2.2. Propiedades analíticas
Discutiremos a continuación las propiedades de continuidad y convexidad. Estas dos
propiedades juegan un papel fundamental en la formulación matemática del problema
de decisión del consumidor. Pero no se justifican únicamente por su utilidad formal;
también expresan dos ideas muy intuitivas acerca del modo en que los individuos valoran
sus opciones de consumo.
La propiedad de continuidad traduce la idea de que pequeños cambios en las
cantidades consumidas suponen pequeños cambios en nuestra satisfacción. Así, planes
de consumo muy parecidos serán valorados de forma similar.
La propiedad de convexidad está relacionada con un viejo principio de la psicología
experimental que establece que la repetición continuada de un estímulo disminuye
la intensidad de la respuesta. Por tanto la satisfacción de un individuo tiende a aumentar
con la variedad de los estímulos.
Veamos cómo se formalizan estas ideas.
Continuidad Para todo x o i ∈ Rℓ +, los conjuntos
son abiertos en R ℓ + .
Mi(x o i ) ≡ {xi ∈ R ℓ + / xi ≻i x o i }
Pi(x o i ) ≡ {xi ∈ R ℓ + / xo i ≻i xi}
El conjunto Mi(xo i ) describe las opciones de consumo que resultan mejores que
xo i ; análogamente, Pi(xo i ) es el conjunto de planes de consumo que son peores que xoi .
Por tanto, la idea intuitiva de continuidad de las preferencias puede expresarse como
sigue: Sean xi,x ′ i ∈ Rℓ + , tales que xi ≻i x ′ i ; entonces puntos que se encuentren “muy
. Más formalmente, la continuidad de las
cerca” de xi también resultarán preferidos a x ′ i
preferencias significa que dados dos planes de consumo xi,x ′ i ∈ Rℓ + tales que xi ≻i x ′ i ,
podemos encontrar una bola de centro xi y radio ε > 0, que denotamos por B(xi,ε), y
una bola de centro x ′ i y radio δ > 0, que denotamos por B(x′ i ,δ), tales que para todo
z en B(xi,ε) se verifica z ≻i x ′ i , y para todo s ∈ B(x′ i ,δ) se verifica xi ≻i s.
Podemos definir también los conjuntos
MIi(x o i) ≡ {xi ∈ R ℓ + / xi i x o i }
PIi(x o i) ≡ {xi ∈ R ℓ + / x o i i xi}
es decir, MIi(xo i ) es el conjunto de todas las opciones que resultan mejores o iguales
que xo i , y PIi(xo i ) es el conjunto de las opciones peores o iguales que xoi . Nótese que,
7 Recordemos que, dada una relación de equivalencia ∼ definida sobre un conjunto X, denominamos
conjunto cociente, y lo denotamos por (X/ ∼), al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia
definidas en X por la relación ∼ .

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 21
Gráfico 2.4: Preferencias lexicográficas
cuando i es una relación completa y continua, por complementariedad los conjuntos
MIi(x o i ), PIi(x o i ) son cerrados en Rℓ +.
Dejamos como ejercicio la comprobación de las propiedades de completitud, transitividad
y continuidad implican que:
a) MIi(x ◦ i ) PIi(x ◦ i ) = Ii(x ◦ i )
b) MIi(x ◦ i ) PIi(x ◦ i ) = Rℓ +
c) Las clases de indiferencia son conjuntos cerrados y conexos.
El ejemplo característico de una relación de preferencias completa y transitiva
pero que no verifica la propiedad de continuidad es el orden lexicográfico. Para el caso
R 2 + , podemos definir este orden como sigue: dados x = (x1,x2), z = (z1,z2) ∈ R 2 + ,
z ≻ x si
(i) z1 > x1, o bien
(ii) si z1 = x1, y además z2 > x2
El gráfico 2.4 representa el conjunto Mi(x) asociado a estas preferencias, para
un cierto x. Como puede apreciarse, Mi(x) no es abierto ni cerrado, de modo que el
axioma de continuidad no se verifica.
Desde un punto de vista más intuitivo podemos decir que la falta de continuidad
del orden lexicográfico se traduce en que dos alternativas casi idénticas pueden estar
muy lejos en la valoración del individuo. Como sucede en el diccionario con dos palabras
casi idénticas cuya primera letra es distinta (por ejemplo, bendición y rendición).
Observación:
Las propiedades de completitud, transitividad y continuidad no son, en realidad, independientes.
En el trabajo de Schmeidler (1971) se prueba que si una relación de preferencias
es transitiva y continua, también es completa.

22 - Microeconomía
Consideraremos ahora la condición de convexidad de las preferencias, que refleja
la idea de “gusto por la variedad”: las combinaciones intermedias de planes de consumo
alternativos resultan preferidas. Formalmente: 8
Convexidad estricta Para todo xi,x ′ i ∈ Rℓ + , y para todo λ ∈ (0,1),
xi i x ′ i =⇒ [λxi + (1 − λ)x ′ i] ≻i x ′ i
La convexidad estricta indica que si el consumo xi es preferido o indiferente al
x ′ i , entonces todo consumo intermedio (con ponderaciones positivas) resulta preferido
a x ′ i . Un caso particular pero ilustrativo, tomando Rℓ + = R2 +, es el siguiente: sean
xi = (0,xi2), x ′ i = (x′ i1 ,0) y supongamos que xi ∼i x ′ i . La convexidad estricta implica
que el consumo promedio 1
2x′ 1
i1 , 2xi2
resulta preferido a cualquiera de los planes de
consumo originales. Nótese que, como Rℓ + es un conjunto convexo, si xi,x ′ i son elementos
de Rℓ + los planes consumos de la forma λxi + (1 − λ)x ′ i también están en Rℓ +.
La convexidad estricta de las preferencias tiene tres implicaciones importantes:
(i) Para todo x ′ i ∈ Rℓ + , los conjuntos Mi(x ′ i ) de opciones mejores que x′ i y
MIi(x ′ i ) de opciones mejores o iguales que x′ i , son conjuntos convexos.
(ii) Las curvas de indiferencia no pueden ser “gruesas” (dicho más formalmente,
para todo x ′ i ∈ Rℓ + , intIi(x ′ i ) = ∅).
(iii) Las curvas de indiferencia no pueden contener tramos lineales. Es decir, si
xi,x ′′
i ∈ Ii(x ′ i ), entonces ningún elemento de la forma λxi + (1 − λ)x ′′
i , con λ ∈ (0,1),
puede estar en Ii(x ′ i ). Ello implica que que una curva de indiferencia sólo puede ser
tangente en un punto a la restricción presupuestaria.
El gráfico 2.5 ilustra unas preferencias en las que se cumplen las propiedades (i)
y (ii) pero no la (iii).
2.2.3. La propiedad de monotonía
El último requisito que introducimos se refiere a una idea intuitiva importante: en todo
problema económico los bienes de los que efectivamente va a disponer el consumidor resultan
escasos en relación a sus deseos y aspiraciones. Consecuentemente, el consumidor
preferirá siempre elegir en un conjunto de oportunidades lo más grande posible. Esta
idea puede precisarse de varias formas alternativas, con diversos grados de generalidad.
Nosotros adopataremos aquí la versión más sencilla, que corresponde al concepto de
“monotonía” dejando para una sección posterior y los problemas una discusión más
fina sobre ideas similares.
La noción de monotonía de las preferencias se refiere a un principio sencillo que
puede resumirse como “cuanto más, mejor”. Formalmente:
Monotonía Para todo xi,x ′ i ∈ Rℓ +, xi >> x ′ i implica xi ≻i xi.
8 Adoptamos aquí la versión más exigente de convexidad. Dejamos para la sección de problemas la
discusión de las implicaciones de versiones más generales de esta idea.

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 23
Gráfico 2.5: Preferencias no estrictamente convexas
La monotonía nos dice que el consumidor mejora si aumentamos las cantidades
consumidas de todas las mercancías. Ello no excluye la posibilidad de que el consumidor
sea indiferente con respecto al consumo de alguna mercancía concreta. 9
Desde un punto de vista geométrico la monotonía implica que las curvas de indiferencia
no pueden “cerrarse sobre sí mismas”. O, dicho de otro modo, la curva de
indiferencia que contiene a un cierto plan de consumo xi siempre estará por debajo
del ángulo recto que genera dicho punto por encima del mismo. Por tanto, las curvas
de indiferencia tendrán siempre pendiente negativa, serán “más abiertas que un ángulo
recto y estarán orientadas hacia el exterior (es decir, cuanto más nos alejemos del origen
en cualquier dirección prefijada encontraremos mejores clases de indiferencia).
2.2.4. Preferencias “regulares” y relación de sustitución
En lo que sigue supondremos sistemáticamente que las preferencias cumplen estas cinco
propiedades que hemos descrito hasta ahora: completitud, transitividad, continuidad,
convexidad estricta y monotonía. Diremos que las preferencias que cumplen estas cinco
propiedades son “preferencias regulares”.
Formalmente:
Definición 2.1: Decimos que las preferencias i del i-ésimo consumidor son preferencias
regulares si verifican las propiedades de completitud, transitividad, continuidad,
convexidad estricta y monotonía.
Las preferencias regulares describen un consumidor capaz de comparar sistemáticamente
todos los planes de consumo, que muestra un gusto por la variedad y
9 Discutimos en la sección de problemas otras definiciones alternativas de monotonía de las preferencias.

24 - Microeconomía
prefiere siempre consumir más que menos. Las curvas de indiferencia asociadas a este
tipo de preferencias son curvas continuas, con pendiente negativa y convexas desde el
origen, que describen combinaciones mejores cuanto más alejadas están del origen de
coordenadas (la opción xi = 0 es claramente la peor de todas).
Estas características de las curvas de indiferencia (en particular la pendiente
negativa) implican que, para mantenernos sobre una curva de indiferencia dada, el
aumento de la cantidad consumida de un bien debe ser compensado con la reducción
de la cantidad de algún otro. Para un par de bienes concreto esta relación describe
cómo el individuo sustituye unidades de un bien por otro para mantener el mismo
nivel de satisfacción. Suele hablarse de la “relación de sustitución” entre estos bienes.
Adviértase que: (1) Esta relación describe la valoración subjetiva del individuo, por
lo que será en general distinta entre los diferentes consumidores; (2) La relación de
sustitución depende del punto en el que estemos considerando la variación (es decir,
varía a lo largo de la curva de indiferencia); (3) Cuando las curvas de indiferencia son
“suaves” (diferenciables), entonces se puede medir com la pendiente de la curva en
cada punto; se habla entonces de relación marginal de sustitución. Para el caso de dos
mercancías, j = 1,2, la relación marginal de sustitución para el consumidor i en el
punto xi, es simplemente:
RMS1,2 = dxi1
(xi)
dxi2
donde representamos la mercancía 1 en ordenadas y la mercancía 2 en abcisas. El
argumento es válido para cualquier número de bienes, tomando como referencia dos
mercancías concretas j, k (lo que equivaldría a fijarnos en la proyección de la curva de
indiferencia en el plano (j,k), que describe las combinaciones de mercancías j, k que
proporcionan la misma satisfacción -fijado el nivel de consumo de las demás-).
2.3. *Algunas implicaciones
Terminamos este capítulo presentando algunas deducciones de las propiedades anteriores.
Se trata de resultados de interés limitado pero que proporcionan un campo de
entrenamiento en el que hacer operativas las propiedades estudiadas. Nos centraremos
en particular en algunas variantes de la noción de monotonía.
Una forma más general de plantear la noción de que el consumidor prefiere elegir
en conjuntos lo más grandes posible, presenta en la propiedad de monotonía, es la
idea de “no-saciabilidad”. Podemos expresar formalmente esta idea bajo alguna de las
siguientes formas, que van de mayor a menor grado de generalidad:
No-saciabilidad Una relación de preferencias i se dice no-saciable si para todo
xi ∈ R ℓ +
existe x′
i ∈ Rℓ +
tal que x′
i ≻i xi.
No-saciabilidad local Una relación de preferencias i se dice no-saciable lo-
calmente si para todo xi ∈ R ℓ + y para cualquier número α > 0, existe algún x ′
i en
B(xi,α) R ℓ + tal que x ′
i ≻i xi (donde B(xi,α) denota una bola de centro xi y radio
α).
El requisito de no-saciabilidad nos dice simplemente que dado cualquier plan de
consumo, siempre podemos encontrar algún otro mejor. El de no-saciabilidad local es
más preciso: nos dice que arbitrariamente cerca de cualquier plan de consumo existe
siempre un plan de consumo preferido. Claramente la no-saciabilidad local implica
la no-saciabilidad. Es fácil comprobar que ninguno de estos requisitos impide que el

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 25
consumidor pueda saciarse con respecto a algún bien concreto en R ℓ +; lo que no permite
es que pueda saciarse con respecto a todos los bienes simultáneamente.
Como se prueba en la siguiente proposición, cuando las preferencias son estrictamente
convexas, la no-saciabilidad implica que las preferencias sean no-saciables localmente:
Proposición 2.1: Sea i una relación de preferencias definida sobre R ℓ + . Si i verifica
los requisitos de convexidad estricta y no-saciabilidad entonces cumple el axioma de nosaciabilidad
local.
Demostración
Sea xi un punto arbitrario de R ℓ +. Queremos probar que para todo α > 0 existe algún
x ′ i ∈ B(xi,α) ∩ R ℓ + tal que x ′ i ≻i xi.
La no-saciabilidad nos permite asegurar que existirá un cierto xi ∈ R ℓ + tal que xi ≻i xi.
De la convexidad estricta de las preferencias se deduce que todos los puntos del segmento
que une xi con xi, excepto el xi, son mejores que xi. Es decir, λxi + (1 − λ)xi ≻i
xi, para todo λ ∈ (0,1). La convexidad de R ℓ + asegura que este segmento intersecta
necesariamente a todo conjunto de la forma B(xi,α) ∩ R ℓ +, con α > 0, lo que prueba el
resultado.
El siguiente resultado establece que si las preferencias son continuas y monótonas,
entonces todas las mercancías son “bienes”, en el sentido de que aumentar el consumo
de cualquiera de ellas sin disminuir las demás nunca empeora la situación. Formalmente:
Proposición 2.2: Sea i una relación de preferencias transitiva, completa, continua
y monótona, definida sobre R ℓ +. Entonces: xi > x ′ i =⇒ xi i x ′ i .
Demostración
Sea xi ∈ Rℓ + tal que xi >> xi. La monotonía de las preferencias implica que xi ≻i x ′ i
puesto que xi > x ′ i . Sea {xν i } una sucesión monótona decreciente que nos lleva de xi a
xi, con x ν i >> xi para todo ν. Por monotonía se cumple que x ν i ≻i x ′ i . En el límite, xi,
el axioma de continuidad implica que xi x ′ i .
Una consecuencia importante de este resultado es que, bajo los supuestos de continuidad
y monotonía, los precios que determinan la restricción presupuestaria podemos
tomarlos siempre como no-negativos (recordemos que los precios negativos correspondían
al coste unitario de eliminación de mercancías indeseables). Puesto que no hay
mercancías indeseables los precios negativos carecen de sentido.
Un concepto muy directamente relacionado con la idea de monotonía es el de
bien deseable. Para presentarlo comencemos definiendo e k ∈ R ℓ como aquel vector
cuyos componentes son todos cero excepto el k-ésimo que es igual a la unidad. Es decir,
e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,0,...,0), ..., e ℓ = (0,...,0,1).
Se dice que el bien k es deseable para el i-ésimo consumidor si, para todo xi ∈ R ℓ + y
para todo número γ > 0, xi + γe k ≻i xi.
En otros términos: un bien es deseable cuando el consumidor mejora al aumentar
la cantidad consumida del mismo, sin disminuir las cantidades consumidas de los
demás bienes. Es obvio que si todos los bienes son deseables entonces la relación de preferencias
es monótona. Aunque el recíproco no es cierto en general, sí que lo es cuando
combinamos la propiedad de monotonía con la convexidad estricta. Formalmente:

26 - Microeconomía
Proposición 2.3: Sea i una relación de preferencias transitiva, completa y continua.
Si i es estrictamente convexa y monótona, entonces todos los bienes son deseables.
Demostración
Sean xi,x ′ i ∈ Rℓ + tales que xi = x ′ i + γek , para algún γ > 0. Tenemos que probar
que xi ≻i x ′ i . Observemos primero que, aplicando el resultado anterior (Proposición
2.2) podemos concluir que x ′ i + γek i x ′ i . Por otro lado, la estricta convexidad de
i asegura que, para todo λ ∈ (0,1) tendremos: λxi + (1 − λ)x ′ i ≻i x ′ i , es decir,
λx ′ i + λγe k + (1 − λ)x ′ i = x′ i + λγek ≻i x ′ i
Puesto que λ < 1, xi > x ′ i + λγek . Aplicando nuevamente la Proposición 2 concluimos
que xi i x ′ i + λγek . Finalmente, por transitividad,
xi i x ′ i + λγek ≻i x ′ i =⇒ xi ≻i x ′ i
Hemos probado así que todos los bienes son deseables.
2.4. Problemas
Problema 2.1.- Supongamos que únicamente existen dos mercancías, trigo y
ocio y que el conjunto de consumo es un subconjunto de R2 + (no necesariamente igual a
R2 + ). Dibujar un conjunto de consumo en el que el consumidor necesita consumir unas
mínimas cantidades de trigo para subsistir, cantidades que pueden variar con el trabajo
desarrollado.
Problema 2.2.- Consideremos un consumidor cuya riqueza está constituída
únicamente por los ingresos derivados de su capacidad de trabajo. Hay dos mercancías,
trigo y ocio, y el consumidor puede trabajar un máximo de 12 horas. Tomando R2 +
como su conjunto de consumo, dibujar la restricción presupuestaria cuando el precio
del trigo es p1 = 1, y el salario es p2 = 1, para las primeras 8 horas de trabajo, y
p2 = 1,5 para las restantes (que podemos interpretar como “horas extra”).
Problema 2.3.- Consideremos nuevamente el consumidor del ejemplo anterior,
pero ahora el vector de precios es p = (1,1), con independencia del número de horas
trabajadas. Existe además un impuesto progresivo sobre la renta definido como sigue:
El consumidor debe pagar como impuestos un 20 % de sus ingresos brutos, si éstos son
menores o iguales a 8 unidades; cuando sus ingresos brutos superen esta cifra debe
pagar el 20 % de las primeras 8 unidades de renta, y el 30 % de las restantes.
Problema 2.4.- Consideremos nuevamente el caso ℓ = 2, pero supongamos
ahora que no hay trabajo (las dos mercancías son trigo y leche). Dibujar la restricción
presupuestaria de un consumidor cuando su riqueza es Mi = 10 y los precios de las
mercancías vienen dados por: p1 = 1; p2 = 2 si xi2 ∈ [0,3], p2 = 1,5 para xi2 > 3. ¿Es
plausible una situación de este tipo?
Problema 2.5.- Poner ejemplos de relaciones binarias que: (a) No sean reflexivas;
(b) No sean completas; (c) No sean transitivas; (d) No sean simétricas ni antisimétricas.
Problema 2.6.- Demostrar que una relación de equivalencia ∼ definida sobre
un conjunto A genera una partición de A.

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 27
Problema 2.7.- Supongamos que las preferencias de un colectivo (una familia,
una asociación, etc.) se establecen en base a principios democráticos, es decir, la opción
x se considera mejor que la x ′ si la mayoría de los miembros prefiere x a x ′ . Probar
mediante un ejemplo que si el conjunto de elección tiene más de dos opciones y el
colectivo más de dos miembros, las preferencias colectivas no verifican el axioma de
transitividad.
*Problema 2.8.- Se dice que una relación de preferencias es casi-transitiva,
si la relación de preferencia estricta ≻ es transitiva. Probar que una relación de preferencias
casi-transitiva que verifica los axiomas de completitud, continuidad y convexidad
estricta es transitiva.
**Problema 2.9.- Una relación de preferencias , definida sobre un conjunto
de alternativas X, se dice acíclica si, para todo subconjunto finito de elementos
x 1 ,x 2 ,...,x k ∈ X, se verifica que si x 1 ≻ x 2 ≻ ... ≻ x k entonces x 1 x k . Probar
que si X es un conjunto finito y una relación completa, entonces las dos condiciones
siguientes son equivalentes: (i) Todo subconjunto no vacío de X posee un elemento
maximal; (ii) La relación es acíclica.
Problema 2.10.- Una relación de preferencias i se dice débilmente convexa
si para todo xi, x ′ i ∈ Rℓ + y para todo λ ∈ [0,1] se cumple que: xi i x ′ i =⇒ λxi + (1 −
λ)x ′ i i x ′ i . Comprobar:
(i) Una relación de preferencias completa y transitiva es débilmente convexa si y
sólo si, para todo x ′ i ∈ Rℓ + , los conjuntos MIi(x ′ i ) son convexos.
(ii) Puede suceder que i sea débilmente convexa y que intIi(x ′ i ) = ∅.
Problema 2.11.- Una relación de preferencias i se dice convexa si para todo
xi, x ′ i ∈ Rℓ + y para todo λ ∈ (0,1) se cumple que: xi ≻i x ′ i =⇒ λxi + (1 − λ)x ′ i ≻i
x ′ i . Comprobar que si una relación de preferencias es convexa y no saciable, entonces
intIi(x ′ i ) = ∅, para todo x′ i ∈ Rℓ + .
*Problema 2.12.- Sea i una relación de preferencias completa, transitiva y continua.
Probar que, bajo estas condiciones, los requisitos de convexidad y no-saciabilidad
se cumplen si y sólo si se verifican los de convexidad débil y no-saciabilidad local.
Problema 2.13.- Se dice que una relación de preferencias es débilmente monótona
si xi > x ′ i implica xi i x ′ i . Probar que una relación de preferencias i completa,
transitiva y continua es débilmente monótona y localmente no-saciable si y sólo si es
monótona.
Problema 2.14.- Consideremos un consumidor que posee una relación de preferencias
tal que xi ∼i x ′ i para todo xi,x ′ i ∈ Rℓ + tales que xik = x ′ ik , para k = 1,2,...,t < ℓ
(es decir, el consumidor no ve afectado su bienestar por el consumo de los bienes
t + 1,t + 2,...,ℓ). ¿Cuántas de las propiedades que definen las preferencias regulares
incumple esta relación de preferencias?
Problema 2.15.- Probar que si i es una relación de preferencias transitiva,
completa y continua, entoces para todo x o i ∈ Rℓ + se verifica:
a) MIi(x o i ) PIi(x o i ) = Ii(x o i )
b) MIi(x o i ) PIi(x o i ) = Rℓ +
*c) Ii(xo i ) es un conjunto cerrado y conexo.

28 - Microeconomía
LECTURAS COMPLEMENTARIAS
Debreu (1959, Capít. 4) y Arrow & Hahn (1971, Capít. 4) son las referencias básicas
para la discusión desarrollada en este capítulo, donde el criterio de elección del consumidor
ha sido modelado en términos de un preorden de preferencias. Mas-Colell,
Whinston & Green (1995, Capíts. 1 y 2) analizan de forma asequible algunos temas
complementarios (funciones de elección, preferencia revelada). El capítulo 1 del libro
de Deaton y Muellbauer (1983) contiene una interesante discusión de las implicaciones
de la restricción presupuestaria competitiva.