Hoja de problemas para el cap´ıtulo 2

Matemática Discreta - Ing. Informática de Sistemas y Gestión - Curso 2008/2009
Hoja de problemas para el capítulo 2
1. Razona cuales de las afirmaciones que siguen son verdaderas:
(a) 1 ∈ {1} (b) {1} ⊆ {1} (c) {1} ∈ {1}
(d) {1} ⊆ {{1}} (e) {1} ∈ {{1}} (f) ∅ ⊆ ∅
(g) ∅ ⊆ {1} (h) ∅ ∈ {1} (i) {∅} = ∅
2. Sean a, b objetos cualesquiera. Razona que si a ∈ {{b}}, entonces b ∈ a.
3. Construye dos conjuntos A, B tales que A ∈ B y A ⊆ B.
4. Sean A, B, X tres conjuntos tales que A ∩ X = B ∩ X y A ∪ X = B ∪ X. Demuestra que A = B.
5. Dados cuatro conjuntos A, B, C, D, demuestra:
(a) C = ∅ y (A × C) ⊆ (B × C) ⇒ A ⊆ B.
(b) C = ∅ y (C × A) ⊆ (C × B) ⇒ A ⊆ B.
(c) (A × B) \ (C × D) = ((A \ C) × B) ∪ (A × (B \ D)).
6. Dados los conjuntos A = {1, {2}}, B = {1, 2, {1, 2}}, enumera cada uno de los conjuntos siguientes:
(a) A ∪ B (b) A ∩ B (c) A \ B (d) B \ A (e) P(A) (f) B ∩ P(A) (g) A × B (h) (A × B) ∩ (B × A)
7. Enumera los conjuntos: P(∅), P(P(∅)), P(P(P(∅))), P(P(P(P(∅)))).
8. Para cada k ∈ N definimos el conjunto Ak = {{m ∈ N | m < n} | n ≤ k}. Definimos además el conjunto
B = {{m ∈ N | m < n} | n ∈ N}.
a) Enumera A0, A1 y A2 .
b) Demuestra que Ak ⊂ B, para todo k ∈ N.
c) Demuestra que ∅ ∈ Ak, para todo k ∈ N.
9. Sea C una familia no vacía de conjuntos. Demuestra:
a) Para todo A ∈ C : A ⊆ C.
b) Si B es un conjunto tal que A ⊆ B se verifica para todo A ∈ C, entonces C ⊆ B.
c) Para todo A ∈ C : C ⊆ A.
d) Si B es un conjunto tal que B ⊆ A se verifica para todo A ∈ C, entonces B ⊆ C.
10. Para cada k ∈ N, sean Ak = {n ∈ N | n ≤ k} y Bk = {n ∈ N | n > k}. Determina:
(a) {Ak | k ∈ N} (b) {Ak | k ∈ N} (c) {Bk | k ∈ N} (d) {Bk | k ∈ N}
11. Usa las leyes de Boole para demostrar las igualdades que siguen:
(a) \(A ∪ (B ∩ C)) = (\C ∪ \B) ∩ \A (b) \(\(A ∪ B) ∩ C) = (\C ∪ B) ∪ A (c) (\A ∪ B) ∩ A = A ∩ B
(d) \(\A ∪ B) ∪ B = A ∪ B (e) \(\A ∪ B) ∪ A = A
12. Estudia las siguientes igualdades entre conjuntos. Demuestra las que sean válidas, y construye un contraejemplo
para las que no lo sean.
(a) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B (b) A \ (B ∩ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)
(c) A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C) (d) A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
(e) A \ (B ∪ C) = (A \ B) \ C (f) (A \ B) \ C = (A \ C) \ (B \ C)
(g) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B (h)(A ∩ B) \ C = A ∩ (B \ C) = (A \ C) ∩ B
13. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B se define como A ⊕ B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Demuestra que esta operación es conmutativa y asociativa; es decir, que las igualdades A ⊕ B = B ⊕ A y
A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C son siempre válidas.

14. Estudia si la diferencia simétrica cumple o no las propiedades que siguen. En cada caso, da una demostración
o un contraejemplo.
(a) A ⊕ (B ∩ C) = (A ⊕ B) ∩ (A ⊕ C) (b) A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C)
(c) A ⊕ (A ⊕ A) = A (d) A ⊆ B ⇒ (A ⊕ C) ⊆ (B ⊕ C)
15. Considera el conjunto A = {a, b, c} y las relaciones binarias sobre A definidas como: R = {(a, b), (b, c), (c, a)}
y S = {(a, c), (b, a)}.
(a) Calcula R ◦ S, S ◦ R, R ◦ R y S ◦ S.
(b) Comprueba que R ◦ (S ◦ R) = (R ◦ S) ◦ R y que (R ◦ S) −1 = S −1 ◦ R −1 .
16. Dada una relación binaria R sobre un conjunto A, las potencias de R se definen recursivamente como:
R 0 = id, R n+1 = R n ◦ R, para n ≥ 0. Dada la relación S = {(a, c), (b, a)}, calcula: S 0 , S 1 , S 2 , S 3 ,
{S n | n ≥ 0}
17. Dada una relación binaria R sobre un conjunto A, las potencias de R se definen recursivamente como:
R 0 = idA; R n+1 = R n ◦ R, para n ≥ 0. A partir de estas potencias se definen: R ∗ = ∪{R n | n ≥ 0};
R + = ∪{R n | n > 0}.
a) Demuestra que R ⊆ R ∗ y que R ∗ es reflexiva y transitiva.
b) Demuestra que si R ⊆ S ⊆ A × A y S es reflexiva y transitiva, entonces R ∗ ⊆ S.
c) Demuestra que R ⊆ R + y que R + es transitiva.
d) Demuestra que si R ⊆ S ⊆ A × A y S es transitiva, entonces R + ⊆ S.
Debido a las propiedades anteriores, la relación R ∗ se llama cierre reflexivo-transitivo de R, mierntras que
la relación R + se llama cierre transitivo de R.
18. Considera la función f : Z → Z definida por f(x) = −x.
(a) Indica el dominio y rango. (b) Razona si es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva.
(c) Indica si tiene inversa, y de ser así calcula la función inversa (y demuestra que lo es).
19. Sean f, g, h : R → R definidas por f(x) = x + 1, g(x) = 2x, h(x) = x 2 . Calcula definiciones explícitas de
las funciones compuestas g ◦ f, h ◦ f, f ◦ g, h ◦ g, f ◦ h y g ◦ h.
20. Demuestra que las dos funciones que se definen a continuación son biyecciones:
a) f : N → N donde f(n) =
n + 1
n - 1
si n es par
si n es impar
b) g : Z → Z donde g(n) = (−1) | n | ∗ n
21. Sea X un conjunto fijado. Para cada subconjunto A ⊆ X, la función característica de A se define como
la función χA : X → {0, 1} definida por:
χA(x) =
0 si x /∈ A
1 si x ∈ A
Para X = {a, b, c}, determina todos los subconjuntos de X y sus funciones características.
22. Sea X un conjunto dado. Diremos que una aplicación M : X → N es un multiconjunto formado por
elementos de X, donde cada x ∈ X tiene en M la multiplicidad M(x).
a) Usando la idea de función característica, discute en qué sentido puede decirse que los subconjuntos
de X son un caso particular de multiconjunto.
b) Para X = {a, b, c}, construye todos los multiconjuntos de elementos de X, con la restricción de que
la multiplicidad de cada elemento sea menor o igual que 2.
c) Discute posibles definiciones de las operaciones de unión, intersección y diferencia entre multiconjuntos
de elementos de X, explicando en qué intuiciones te basas.

23. Todas las relaciones que siguen se suponen definidas sobre el conjunto N + =def N \ {0}. Estudia en cada
caso qué propiedades cumple la relación, considerando reflexividad, simetría y transitividad.
a) xRy ⇐⇒def x | y.
b) xRy ⇐⇒def x | y, x = y.
c) xRy ⇐⇒def x = y.
d) xRy ⇐⇒def al simplificar x/y e y/x, resultan dos fracciones con numeradores y denominadores
impares.
e) xRy ⇐⇒def x < y 2 .
f ) xRy ⇐⇒def existe un n ∈ N tal que 2 n < x < 2 n+1 , 2 n < y < 2 n+1 .
g) xRy ⇐⇒def y − x + 2 es un número primo.
h) xRy ⇐⇒def | y − x | +2 es un número primo.
24. Explica por qué las siguientes relaciones binarias, definidas sobre el conjunto de los seres humanos, no son
de equivalencia. Identifica cuáles de las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva verifican.
a) xRy ⇐⇒def x e y tienen un progenitor común.
b) xRy ⇐⇒def x e y se conocen.
c) xRy ⇐⇒def x e y hablan un mismo lenguaje.
25. Enumera el conjunto formado por todas las relaciones binarias sobre el conjunto {0, 1}. Determina cuáles
son reflexivas, cuáles son simétricas y cuáles son transitivas.
26. Sean un conjunto M y un subconjunto fijo P ⊆ M. Demuestra que la relación ∼ ⊆ P(M) × P(M)
definida por A ∼ B ⇐⇒def A B ⊆ P es de equivalencia. (Nota: es la operación de diferencia
simétrica).
27. Demuestra que la relación R ⊆ (N × N) × (N × N) definida por (a, b)R(c, d) ⇐⇒def a + d = b + c es
de equivalencia. Identifica las clases de equivalencia, describe el conjunto cociente, y define sobre él las
operaciones + y ∗, de tal modo que la clase [(a, b)] se comporte como el número entero (a − b).
28. Demuestra que la relación S ⊆ (Z × N + ) × (Z × N + ) definida por (a, b)S(c, d) ⇐⇒def a ∗ d = b ∗ c es
de equivalencia. Identifica las clases de equivalencia, describe el conjunto cociente, y define sobre él las
operaciones + y ∗, de modo que la clase [(a, b)] se comporte como el número racional (a/b).
29. Sea A = {a, b, c} un alfabeto y sea A ∗ el conjunto de todas las palabras que se pueden escribir con letras
de A. Definimos la función l : A ∗ → N tal que l(x) es la longitud o tamaño de x. La palabra vacía la
escribimos ɛ.
(a) ¿La función l es inyectiva, biyectiva, suprayectiva?
(b) Calcula el conjunto l −1 (3) ¿cuántos elementos tiene?
(c) Demuestra que para todo n ∈ N el conjunto l −1 (n) es finito.
(d) Demuestra que para todo n, m ∈ N, n = m, l −1 (n) ∩ l −1 (m) = ∅.
(e) Demuestra que A = l −1 (0) ∪ l −1 (1) ∪ l −1 (2) ∪ . . . .
30. Sea A = {a, b} un alfabeto y sea A ∗ el conjunto de todas las palabras que se pueden escribir con letras de
A. Definimos la función l : A ∗ → N como en el apartado anterior, además de una nueva función f : A ∗ → N
que a cada palabra x le hace corresponder el número de veces que aparece el símbolo a en x.
(a) Usando las funciones l y f define una función g : A ∗ → N que a cada palabra x le haga corresponder
el número de veces que aparece el símbolo b en x.
(b) Razona si f, g son inyectivas, biyectivas o suprayectivas.
(c) Calcula los conjuntos f −1 (3), g −1 (3).
(d) Los conjuntos f −1 (n), g −1 (m) con n, m ∈ N ¿ son siempre finitos?

31. Sea A = {x|x ∈ Z, x = 5k, ∈ Z}, B = {x|x ∈ Z, x = 3k, ∈ Z} Demuestra que A ∼c B
32. a) Sea x ∈ N. Prueba que N \ {x} es infinito numerable.
b) Extiende el argumento anterior a conjuntos finitos: prueba que para cualquier S ⊆ N, S finito, se
tiene que N \ S es infinito numerable.
33. Prueba que Z ∼c N y que Z × Z ∼c N
34. Demuestra que si A ∼c B y A ∩ B = ∅, entonces A ∪ B ∼c A × {0, 1}.