Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.
Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos. Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.
Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyección de Mercator. Muy utilizada en navegación marítima. Inventada en el siglo XVI. Cilíndrica, trasversal y conforme. Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyección cilíndrica equidistante. Permite ver la Tierra completa. Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Ecuaciones matemáticas: x = λ − λ0, y = ln tan . π φ 4 + 2 φ No acotada en y: se suele cortar a altas latitudes. Cuanto más cerca de los polos, más se distorsiona el mapa (observar como se amplía la distancia en proyección entre paralelos equidistantes en la realidad). 29 / 67 Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Cilíndrica, trasversal, tangente, ortográfica. Típicamente usada para representar trazas de satélites. Ecuaciones matemáticas: x = λ − λ0, y = φ. Acotada en y. Por tanto, no conforme. Tampoco es equiareal. Su sencillez la hace popular en representaciones generadas por ordenador. 30 / 67 Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyección estereográfica. Útil para estudiar las proximidades de un punto, p.ej. el Polo. Conforme. Plana, normal, tangente, estereográfica. Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyección de Lambert. Utilizada en navegación aérea. Cónica, normal, secante y estereográfica. Las lineas rectas aproximan rutas ortodrómicas (ver más adelante). Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Ecuaciones matemáticas: x = cos φ sen(λ − λ0), y = cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0). No acotada: se suele cortar a puntos cercanos al antipodal del centro de la proyección. Útil para estudiar las proximidades de un punto. Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Ecuaciones matemáticas: 31 / 67 x = ρ sen(n(λ − λ0)), y = ρ0 − ρ cos(n(λ − λ0)), ln(cos φ donde: n = 1 sec φ2 ) ln(tan(π/4−φ2 /2) cot(π/4−φ1 /2)) , ρ = F cot n (π/4 + φ/2), ρ0 = F cot n (π/4 + φ0/2), F = 1/n cos φ1 tan n (π/4 + φ1/2). No acotada se suele reducir a una zona de interés. 2 paralelos automecoicos (φ1, φ2). Suelen ser locales y no globales. 32 / 67
Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyección azimutal equidistante. En el emblema de la ONU. Azimutal, escenográfica, tangente, normal. Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Trayectorias más usuales Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Ecuaciones matemáticas: x = c cos φ sen(λ − λ0), sen c y = c sen c [cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0)], donde cos c = sen φ0 sen φ − cos φ0 cos φ cos(λ − λ0). Acotada: convierte el punto antipodal en una circunferencia limítrofe. Sólo libre de distorsión en torno al punto central. Todas las distancias medidas desde el punto central son verdaderas (líneas automecoicas). Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problema de encontrar el camino más apropiado para ir de uno a otro. En la realidad, esta elección del camino (que se plasma en el plan de vuelo) está sujeta a numerosas restricciones. A día de hoy, se vuela entre “waypoints”. Además habría que tener en cuenta los vientos. No obstante, en esta lección vamos a simplificar el problema y vamos a suponer que en principio cualquier camino es volable. Además supondremos que la Tierra es una esfera de radio Re. Veremos dos posibilidades: El camino más corto: trayectoria ortodrómica. El camino más simple de volar: trayectoria loxodrómica. 33 / 67 34 / 67 Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Trayectorias ortodrómicas. Círculos máximos Una trayectoria ortodrómica entre dos puntos de la Tierra es el camino más corto entre dichos puntos. Podemos traducir el problema a términos matemáticos, considerando un modelo de Tierra esférica. Dados dos puntos PA y PB en la esfera, dados como (φA,λA) y (φB,λB), de todas las curva sobre la esfera que unen dichos puntos, ¿cuál es la de mínima distancia? Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una línea recta. En una superficie con curvatura, dicha curva se denomina geodésica y en general no es una recta. La geometría diferencial da unas ecuaciones para hallar la geodésica en función de la primera forma diferencial, los símbolos de Christoffel, etc... Para el caso de la esfera, la solución es simple y sólo requiere el uso de geometría elemental. Círculos máximos ! Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas 35 / 67 En una esfera, un “círculo mayor” (gran círculo, círculo máximo) viene dado por la intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera con la esfera. Las “rectas esféricas” (geodésicas) son los círculos mayores. Obsérvese que cualesquiera dos rectas esféricas cortan siempre en dos puntos; por tanto, no existen paralelas en geometría esférica. El problema queda reducido a: Dados dos puntos, determinar el círculo mayor que contiene a ambos. ¿Es dicho círculo único? Medir la distancia sobre dicho círculo: dará la distancia entre los dos puntos. 36 / 67
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<strong>Geo<strong>de</strong>sia</strong><br />
<strong>Cartografía</strong><br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>de</strong> <strong>referencia</strong>. <strong>Tiempos</strong><br />
Proyección <strong>de</strong> Mercator.<br />
Muy utilizada en navegación marítima.<br />
Inventada en el siglo XVI.<br />
Cilíndrica, trasversal y conforme.<br />
<strong>Geo<strong>de</strong>sia</strong><br />
<strong>Cartografía</strong><br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>de</strong> <strong>referencia</strong>. <strong>Tiempos</strong><br />
Proyección cilíndrica equidistante.<br />
Permite ver la Tierra completa.<br />
Proyecciones. Mapas y Cartas<br />
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas<br />
Ecuaciones matemáticas:<br />
x = λ − λ0, <br />
y = ln tan<br />
.<br />
<br />
π φ<br />
4 + 2 φ<br />
No acotada en y: se suele cortar a<br />
altas latitu<strong>de</strong>s.<br />
Cuanto más cerca <strong>de</strong> los polos, más<br />
se distorsiona el mapa (observar<br />
como se amplía la distancia en<br />
proyección entre paralelos<br />
equidistantes en la realidad). 29 / 67<br />
Proyecciones. Mapas y Cartas<br />
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas<br />
Cilíndrica, trasversal, tangente, ortográfica.<br />
Típicamente usada para representar trazas <strong>de</strong> satélites.<br />
Ecuaciones matemáticas:<br />
x = λ − λ0, y = φ.<br />
Acotada en y. Por tanto, no<br />
conforme.<br />
Tampoco es equiareal.<br />
Su sencillez la hace popular en<br />
representaciones generadas por<br />
or<strong>de</strong>nador.<br />
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<strong>Geo<strong>de</strong>sia</strong><br />
<strong>Cartografía</strong><br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>de</strong> <strong>referencia</strong>. <strong>Tiempos</strong><br />
Proyección estereográfica.<br />
Útil para estudiar las proximida<strong>de</strong>s <strong>de</strong><br />
un punto, p.ej. el Polo.<br />
Conforme.<br />
Plana, normal, tangente, estereográfica.<br />
<strong>Geo<strong>de</strong>sia</strong><br />
<strong>Cartografía</strong><br />
<strong>Sistemas</strong> <strong>de</strong> <strong>referencia</strong>. <strong>Tiempos</strong><br />
Proyección <strong>de</strong> Lambert.<br />
Utilizada en navegación aérea.<br />
Cónica, normal, secante<br />
y estereográfica.<br />
Las lineas rectas aproximan rutas<br />
ortodrómicas (ver más a<strong>de</strong>lante).<br />
Proyecciones. Mapas y Cartas<br />
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas<br />
Ecuaciones matemáticas:<br />
x = cos φ sen(λ − λ0),<br />
y = cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0).<br />
No acotada: se suele cortar a<br />
puntos cercanos al antipodal <strong>de</strong>l<br />
centro <strong>de</strong> la proyección.<br />
Útil para estudiar las proximida<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong> un punto.<br />
Proyecciones. Mapas y Cartas<br />
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas<br />
Ecuaciones matemáticas:<br />
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x = ρ sen(n(λ − λ0)), y = ρ0 − ρ cos(n(λ − λ0)),<br />
ln(cos φ don<strong>de</strong>: n =<br />
1 sec φ2 )<br />
ln(tan(π/4−φ2 /2) cot(π/4−φ1 /2)) ,<br />
ρ = F cot n (π/4 + φ/2), ρ0 = F cot n (π/4 + φ0/2),<br />
F = 1/n cos φ1 tan n (π/4 + φ1/2).<br />
No acotada se suele reducir a una<br />
zona <strong>de</strong> interés.<br />
2 paralelos automecoicos (φ1, φ2).<br />
Suelen ser locales y no globales.<br />
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