Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El caso INS-GPS
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
En el caso INS-GPS no podemos aplicar el Filtro de Kalman
directamente porque los sistemas y medidas son no lineales.
Lo que se hace es aplicar la solución al error de navegación.
Recordemos que derivamos para el INS una ecuación de la
forma: δx(tk+1) = Akδx(tk) + Bkɛ(tk), donde el vector δx(tk)
contiene los errores de posición, velocidad y actitud en tk y
ɛ(tk) son las fuentes de error.
Por otro lado en el tema del GPS obtuvimos ecuaciones de la
forma: ∆ρ(tk+1) = Hk+1∆x(tk+1) + ν(tk+1), donde ∆x(tk+1)
eran errores de posición (y velocidad, si también estimamos
velocidad) respecto a una estimación inicial y ∆ρ(tk+1) las
diferencias entre los observables medidos y los estimados.
Por tanto usando la medida del INS como estimación para el
GPS, ya tenemos los errores linealizados escritos de una forma
adecuada para implementar el filtro de Kalman!
El error estimado se suma a la posición estimada por el INS,
para conseguir la mejor estimación final posible. 17 / 26
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El caso INS-GPS
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Esquema de la integración INS-GPS (loose):
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman I
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Para entender mejor el filtro de Kalman consideremos un
sistema sencillo. Imaginemos un vehículo que sólo se puede
mover en una dirección, con un acelerómetro de un ancho de
banda de 100Hz que mide la aceleración en dicha dirección, y
con un sensor con un ancho de banda de 1Hz que estima la
posición en dicha dirección.
El modelo del sistema será:¨x = a. Llamando v a la velocidad:
d
dt
» x
v
El modelo del error será:
d
dt
» δx
δv
– »
0 1
=
0 0
– »
0 1
=
0 0
– » x
v
– » δx
δv
– »
0
+
a
– »
0
+
1
–
–
δa
Pasando a tiempo discreto y teniendo en cuenta que
x(tk+1)−x(tk)
x(t) ≈ :
d
dt
∆t
» δx(tk+1)
δv(t k+1)
– »
1 ∆t
=
0 1
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
– » δx(tk )
δv(t k )
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman II
– »
+
0
∆t
–
δa(t k )
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Por otro lado el modelo de medida será: z = x + ν, luego el
modelo de error será: δz = δx + ν.
Escribiéndolo todo:
» δx(tk+1)
δv(t k+1)
–
=
» 1 ∆t
0 1
– » δx(tk )
δv(t k )
δz(t k+1) = δx(t k+1) + ν(t k+1)
– »
+
0
∆t
–
δa(t k+1)
Además las medidas sólo se hacen con una frecuencia de 1Hz
(cada segundo), mientras que la frecuencia del acelerómetro
es 100 Hz con lo que deberíamos tomar ∆t = 0,01.
Supongamos además que la precisión de los instrumentos es:
σ 2 δa = 0,1, σ2 ν = 0,01, y que se verifican las hipótesis del KF
(ruidos blancos gaussianos, independientes, etc...).
En la nomenclatura que hemos usado para el KF, tendremos:
»
1 0,01
Ak =
0 1
– »
, Bk =
0
0,01
–
j ˆ ˜
1 0 , tk = n
, Qk = 0,1, Rk = 0,01, Hk =
0, tk = n.
donde n es cualquier entero (para modelar que se toman
medidas cada segundo, pero no en fracciones de segundo).
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