Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El filtro de Kalman
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
El filtro de Kalman (KF) fue desarrollado por Rudolph E.
Kalman, un ingeniero húngaro nacionalizado estadounidense.
Presentó su filtro a la NASA en 1960; la NASA buscaba un
algoritmo de fusión de sensores para el programa espacial
Apollo.
Finalmente una versión del KF fue utilizada en las misiones
Apollo para integrar las diferentes medidas de los sensores del
vehículo espacial.
A día de hoy, el KF se emplea no sólo en navegación sino en
multitud de sistemas en los que se desea reconstruir una señal
que evoluciona en el tiempo, a partir de medidas con ruido,
por ejemplo en teléfonos móviles.
Realmente el KF sólo sirve para sistemas lineales. Puesto que
muchos sistemas reales son no lineales, se han desarrollado
extensiones no lineales, conocidas como Filtro Extendido de
Kalman (EKF); en Navegación se emplean éste tipo de filtros.
Nos limitaremos a entender el KF lineal y sus fundamentos. 9 / 26
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Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Procesos dinámicos discretos con medidas
PROCESO: Consideremos el siguiente modelo discreto de un
proceso: x(tk+1) = Akx(tk) + Bkɛ(tk), donde x es un proceso
gaussiano con dimensión nx, Ak es una matriz (que puede
cambiar en cada instante de tiempo tk) de dimensión nx × nx,
ɛ(tk) es ruido blanco gaussiano de dimensión nɛ y varianza Qk
(el ruido del proceso), y Bk es una matriz (que puede cambiar
en cada instante de tiempo tk) de dimensión nx × nɛ.
MEDIDA: En cada instante también consideramos que se
realiza una medida, representada por z, y definida de la
siguiente forma: z(tk+1) = Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1), donde z
es la medida, de dimensión nz, Hk es una matriz (que puede
cambiar en cada instante de tiempo tk) de dimensión nz × nx,
y ν(tk) es ruido blanco gaussiano de dimensión nν y varianza
Rk (el ruido de medida).
Además suponemos que ν(tk) y ɛ(tk) son independientes, y
que sabemos que la condición inicial de x es
x(t0) ∼ Nnx (ˆx0, P0). 10 / 26
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Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Ecuaciones del proceso y la medida
Resumiendo las ecuaciones:
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
x(tk+1) = Akx(tk) + Bkɛ(tk),
z(tk+1) = Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1),
E[ɛ(tk)] = E[ν(tk)] = 0,
E[ɛ(tk)ɛ T (tj)] = δkjQk,
E[ν(tk)ν T (tj)] = δkjRk,
E[ɛ(tk)ν T (tj)] = 0,
x(t0) ∼ Nnx (ˆx0, P0).
Definimos la estimación en tk de x(tk) como ˆx(tk).
Definimos la covarianza del error de estimación como
P(tk) = E[(x(tk) − ˆx(tk))(x(tk) − ˆx(tk)) T ].
El objetivo del filtro de Kalman es, empleando el
conocimiento de las ecuaciones arriba formuladas, y a partir
de las medidas z(tk), obtener la mejor estimación posible, es
decir, el valor de ˆx(tk) que minimiza P(tk).
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Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El filtro de Kalman I
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Si sólo tuviéramos el proceso, podemos calcular su media y
tomamos ˆx como dicha media; por tanto,
x(tk) ∼ Nnx (ˆx(tk), Pk), donde:
ˆx(tk+1) = Ak ˆx(tk),
Pk+1 = AkPkA T k + BkQkB T k .
La idea de Kalman es decir: la estimación arriba escrita es
válida antes de tomar la medida z(tk+1). Denotamos dicha
estimación “a priori” como ˆx − (tk+1) y su covarianza como
P −
k+1 .
Ahora, si la estimación fuera perfecta y la medida no tuviera
error, se tendría que z(tk+1) = Hk+1ˆx − (tk+1). Como no es
así, se actualiza la estimación (“a posteriori”) de forma
proporcional a la discrepancia:
ˆx + (tk+1) = ˆx − (tk+1) + Kk+1(z(tk+1) − Hk+1ˆx − (tk+1)).
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