Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Efecto Doppler
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Ecuación del efecto Doppler: fR = fT
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
1 − v r · a
c
fR es la frecuencia recibida.
fT es la frecuencia transmitida (conocida).
, donde:
v r = ˙s − ˙u es la velocidad relativa satélite-usuario.
a = s−u
s−u es el vector unitario en la dirección satélite-usuario.
Si ya hemos obtenido la posición siguiendo los métodos
anteriormente descritos se puede considerar a conocido.
Por tanto la diferencia de fase ∆f vendrá dada por:
v r · a
∆f = fT − fR = −fT .
c
Por otro lado el observable no es directamente ∆f , porque el
reloj del segmento de usuario no tiene la suficiente precisión e
introduce errores de medida de frecuencia de la siguiente
forma: fM = fR − fM ˙ tu, donde fM es la frecuencia medida.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Deriva del reloj de usuario
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Para entender la ecuación fM = fR − fM ˙
tu, imaginemos que el
usuario mide una señal dada por y = sin(a · τ), donde τ es el
tiempo del receptor.
El receptor del usuario deduce que tiene una señal de a
Hercios. Por tanto fM = a.
Pero si τ = t, donde t es el tiempo GPS, se introduce un
error. Este error es τ = t + tu, donde tu es la deriva del reloj
del usuario. Imaginemos que tu c1 + c2t. Luego ˙
tu = c2.
Entonces realmente y = sin(at + ac1 + ac2t), lo que es una
señal de a + ac2 Hercios (ac1 es un desfase y no influye en la
frecuencia de la señal). Luego fR es igual a a + ac2.
En efecto, se verifica: a = a + ac2 − ac2.
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Aunque ˙
tu puede ser muy pequeño, tiene un efecto muy
significativo en el resultado real, ya que estará multiplicado
por c. Por tanto una deriva de 1 microsegundo por segundo
(10 −6 ) daría errores del orden de 300 m/s! 34 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Algoritmo de cálculo de velocidad I
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Por tanto tenemos las dos ecuaciones: fT − fR = −fT
fM = fR − fM ˙
tu.
Eliminando fR, se llega a:
c fT − fM
fT
= −v r · a − c fM
Puesto que v r = ˙s − ˙u, escribimos:
c fT − fM
fT
Llamemos d = c fT −fM
fT
˙
tu
fT
+ ˙s · a = ˙u · a − c fM
˙
tu
fT
+ ˙s · a; es un vector conocido en
v r · a
c
función de los datos, la medida de fase de la portadora, el
cálculo orbital, y la estimación anterior de la posición.
Para cada satélite (un mínimo como ya vimos de 4) se
tendrá una ecuación: d i = ˙u · ai − c fM i
tu ˙
fT i
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Algoritmo de cálculo de velocidad II
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Obsérvese que las componentes de ai a partir de una posición
anteriormente estimada û son:
axi =
(xi −ˆxu)
ayi =
azi =
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 ,
+(zi −ˆzu) 2
(yi −ˆyu)
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 ,
+(zi −ˆzu) 2
(zi −ˆzu)
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 .
+(zi −ˆzu) 2
Estos valores ya se habían calculado anteriormente en la
estimación de posición! Luego son conocidos. Llegamos a:
d i = axi ˙ux + ayi ˙uy + azi ˙uz − c fM i
tu ˙
fT i
Aproximamos fM i 1. Por tanto llegamos a la ecuación
fT i
d = Hg, donde H es la matriz que se usó para estimar la
posición, d es un vector con las medidas y datos, y
g = [ ˙ux ˙uy ˙uz − c ˙tu] T que hay que calcular.
Resolvemos el problema por mínimos cuadrados como antes.
y
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