Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. Cálculo de la posición con cuatro satélites I Por tanto tenemos las siguientes ecuaciones: ρ1 − ctu = s 1 − u ρ2 − ctu = s 2 − u ρ3 − ctu = s 3 − u ρ4 − ctu = s 4 − u Es necesario un algoritmo para determinar tu y u. Si definimos u = [xu yu zu] T y s i = [xi yi zi] T , obsérvese que ρi = (xi − xu) 2 + (yi − yu) 2 + (zi − zu) 2 + ctu. Por tanto ρi = fi(xu, yu, zu, tu). Supongamos que conozco una estimación inicial de u y tu, dada por û = [ˆxu ˆyu ˆzu] T y ˆtu. Definamos δu = u − û = [δxu δyu δzu] T , δtu = tu − ˆtu y ˆρi = s i − û + cˆtu. Linealicemos ahora fi en torno a la estimación inicial. Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. Cálculo de la posición con cuatro satélites II Se tendrá que: ρ i = f i (xu, yu, zu, tu) = f i (δxu + ˆxu, δyu + ˆyu, δzu + ˆzu, δtu + ˆtu) = f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) + ∂f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) Se tiene que: + ∂fi (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) δtu ∂ˆtu ∂fi ∂ˆxu ∂ˆxu δxu + ∂f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) ∂ˆyu δyu + ∂fi (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) δzu ∂ˆzu (xi − ˆxu) = − (xi − ˆxu) 2 + (yi − ˆyu) 2 + (zi − ˆzu) 2 Puesto que todo es conocido en la expresión de arriba, (xi −ˆxu) definimos axi = − ∂fi ∂ˆxu = Similarmente se define ayi Finalmente se tiene que ∂fi = c. ∂ˆtu Por tanto la linealización queda: √ (xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 . +(zi −ˆzu) 2 = − ∂fi ∂ˆyu ρi = ˆρi − axi δxu − ayi δyu − azi δzu + cδtu y azi = − ∂fi ∂ˆzu . 21 / 48 22 / 48 Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. Cálculo de la posición con cuatro satélites III Definamos ∆ρ = ˆρi − ρi = axi δxu + ayi δyu + azi δzu − cδtu. Si definimos: 2 6 ∆x = 6 4 δxu δyu δzu −cδtu 3 2 7 6 7 5 , ∆ρ = 6 4 ˆρ1 − ρ1 ˆρ2 − ρ2 ˆρ3 − ρ3 ˆρ4 − ρ4 3 2 ax1 7 6 ax 7 5 , H = 6 2 4 ax3 ax4 ay1 ay2 ay3 ay4 az1 az2 az3 az4 3 1 1 7 1 5 1 Se tiene que ∆ρ = H∆x. Por tanto para determinar ∆x simplemente ∆x = H −1 ∆ρ y se obtienen los errores respecto a la estimación inicial. Algoritmo iterativo: dada una estimación inicial û 0 , ˆt 0 u y las medidas ρi: 1 Formar ˆρ 0 i , ∆ρ0 y H 0 . 2 Encontrar ∆x 0 = (H 0 ) −1 ∆ρ 0 . 3 Mejorar la estimación inicial usando ∆x 0 , obteniendo û 1 , ˆt 1 u. 4 Formar ˆρ 1 i , ∆ρ1 y H 1 . 5 Encontrar ∆x 1 = (H 1 ) −1 ∆ρ 1 . 6 Iterar hasta que ∆x n ≤ ɛ, una tolerancia predefinida. Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos Algoritmo de mínimos cuadrados I GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. 23 / 48 El algoritmo anterior no es válido si se tienen más de cuatro satélites, porque H no sería cuadrada. En general para n satélites δρ es n × 1 y H es n × 4, mientras que δx es 4 × 1. Si las medidas contienen error, se podría usar un modelo del tipo ∆ρ = H∆x + ν, donde ν ∼ Nn(0, Σ) es un modelo del error. En ambos casos se resuelve el problema usando el algoritmo de mínimos cuadrados, que resuelve un problema del tipo: y = Az + b, donde: y es de dimensión n y conocido (medidas). z es de dimensión m ≤ n y es desconocido (datos a calcular). A es conocido (medidas). b son los errores (desconocidos): b ∼ Nm(0, Σ) Se busca una solución ˆz de forma que Aˆz sea lo más parecido posible a y en el sentido de los mínimos cuadrados. Matemáticamente, se busca ˆz tal que la función de coste J = (y − Aˆz) T (y − Aˆz) sea mínimo. 24 / 48
Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos Algoritmo de mínimos cuadrados II Se busca ∂J ∂ˆz = 0. GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. En primer lugar: J = y T y − 2y T Aˆz + ˆz T A T Aˆz Tomando la derivada: ∂J ∂ˆz = −2y T A + 2ˆz T A T A Igualándola a 0:y T A = ˆz T A T A Despejando ˆz: ˆz T = y T A(A T A) −1 ⇒ ˆz = (A T A) −1 A T y. Obsérvese que (A T A) −1 A T es la pseudoinversa y existe siempre que A tenga al menos m filas (medidas) independientes. Propiedades estadísticas de la solución: E[ˆz] = E[(A T A) −1 A T y] = (A T A) −1 A T E[y] = (A T A) −1 A T E[Az + b] = (A T A) −1 A T AE[z] = E[z] = z. Cov[ˆz] = Cov[(A T A) −1 A T y] = (A T A) −1 A T Cov[y]A(A T A) −1 = (A T A) −1 A T Cov[Az + b]A(A T A) −1 = (A T A) −1 “ T A ACov[z]A T ” + Σ A(A T A) −1 = (A T A) −1 A T ΣA(A T A) −1 Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. Algoritmo de mínimos cuadrados ponderados ¿Existe alguna mejora posible del algoritmo de mínimos cuadrados que disminuya la covarianza de la estimación? Se plantea ponderar las medidas en la función de coste con una matriz de pesos W , de forma que se dé más peso a las medidas más precisas y menos a las menos precisas. Por tanto: J = (y − Aˆz) T W (y − Aˆz) donde W ha de ser una matriz simétrica definida positiva. Procediendo como antes (se deja como ejercicio) se llega a ˆz = (A T WA) −1 A T W y. Propiedades estadísticas de la solución: E[ˆz] = z. Cov[ˆz] = (A T WA) −1 A T W ΣWA(A T WA) −1 Para minimizar la covarianza, tomar W = Σ −1 ; es simétrica y definida positiva. Llegamos a ˆz = (A T Σ −1 A) −1 A T Σ −1 y. La covarianza será: Cov[ˆz] = (A T Σ −1 A) −1 A T Σ −1 ΣΣ −1 A(A T Σ −1 A) −1 = (A T Σ −1 A) −1 A T Σ −1 A(A T Σ −1 A) −1 = (A T Σ −1 A) −1 . 25 / 48 26 / 48 Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos Errores en los observables GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. Podemos aplicar el algoritmo de los mínimos cuadrados ponderados a nuestro caso de n medidas de pseudodistancia, con ∆ρ = H∆x + ν, donde ν ∼ Nn(0, Σ) modela los errores en la pseudodistancia. ⎡ ⎤ ⎢ Es razonable suponer Σ = ⎢ ⎣ σ 2 1 σ 2 2 . .. σ 2 n ⎥ ⎦ , donde σi es la varianza del error de cada pseudodistancia. En primera aproximación se toma σ2 i = σ2 UERE , donde UERE=User Equivalent Range Error, una estimación cuyo valor típico es σUERE ∼ 7 − 1,5m (PPS-SPS), y proviene de las siguientes fuentes de error (sumadas con RSS): Segmento espacial: error reloj (1.1 m), cálculo órbita (0.8 m). Segmento usuario: Efectos atmosféricos, ruido del receptor y resolución, efectos multicamino: 7-1.4 m. (PPS-SPS) Factores DOP I Navegación por posicionamiento GNSS: Navegación por satélite GPS: Otros conceptos GPS: segmentos Cálculo de posición. Errores. Cálculo de velocidad. Por tanto en primera aproximación Σ = σ 2 UERE Idn y no es necesario usar mínimos cuadrados ponderados. La covarianza del resultado será: Cov[∆ˆx] = (H T H) −1 H T σ 2 UERE IdnH(H T H) −1 = σ 2 UERE (HT H) −1 . Definimos G = (H T H) −1 , llegamos a Cov[∆ˆx] = σ 2 UERE G. El significado físico de Cov[∆ˆx] viene dado por 2 Var[δx 6 Cov[∆ˆx] = 6 4 2 u ] Cov[δxuδyu] Cov[δxuδzu] Cov[δxuδtu] Cov[δxuδyu] Var[δyu] Cov[δyuδzu] Cov[δyuδtu] Cov[δxuδzu] Cov[δzuδyu] Var[δz 2 u ] Cov[δzuδtu] Cov[δxuδtu] Cov[δtuδyu] Cov[δtuδzu] Var[δt 2 u ] 3 2 G11 7 6 7 5 = σ2 6 UERE 4 Los valores interesantes son los de la diagonal: nos dicen la varianza en las diferences direcciones y el tiempo. Éstas varianzas son el producto de dos factores: σ2 UERE , que depende de la señal, y G, que depende sólo de H, que a su vez sólo ✞ depende de las derivadas de fi: es decir de la geometría. ☎ ERROR GPS=(FACTOR GEOMETRICO)× (ERROR SEÑAL) ✝ ✆ G22 G33 27 / 48 G44 3 7 5 28 / 48
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