Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites I
Por tanto tenemos las siguientes ecuaciones:
ρ1 − ctu = s 1 − u
ρ2 − ctu = s 2 − u
ρ3 − ctu = s 3 − u
ρ4 − ctu = s 4 − u
Es necesario un algoritmo para determinar tu y u.
Si definimos u = [xu yu zu] T y s i = [xi yi zi] T , obsérvese que
ρi = (xi − xu) 2 + (yi − yu) 2 + (zi − zu) 2 + ctu. Por tanto
ρi = fi(xu, yu, zu, tu).
Supongamos que conozco una estimación inicial de u y tu,
dada por û = [ˆxu ˆyu ˆzu] T y ˆtu. Definamos
δu = u − û = [δxu δyu δzu] T , δtu = tu − ˆtu y
ˆρi = s i − û + cˆtu.
Linealicemos ahora fi en torno a la estimación inicial.
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Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites II
Se tendrá que:
ρ i = f i (xu, yu, zu, tu) = f i (δxu + ˆxu, δyu + ˆyu, δzu + ˆzu, δtu + ˆtu)
= f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) + ∂f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
Se tiene que:
+ ∂fi (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
δtu
∂ˆtu
∂fi
∂ˆxu
∂ˆxu
δxu + ∂f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
∂ˆyu
δyu + ∂fi (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
δzu
∂ˆzu
(xi − ˆxu)
= −
(xi − ˆxu) 2 + (yi − ˆyu) 2 + (zi − ˆzu) 2
Puesto que todo es conocido en la expresión de arriba,
(xi −ˆxu)
definimos axi
= − ∂fi
∂ˆxu =
Similarmente se define ayi
Finalmente se tiene que ∂fi = c.
∂ˆtu
Por tanto la linealización queda:
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 .
+(zi −ˆzu) 2
= − ∂fi
∂ˆyu
ρi = ˆρi − axi δxu − ayi δyu − azi δzu + cδtu
y azi = − ∂fi
∂ˆzu .
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Cálculo de la posición con cuatro satélites III
Definamos ∆ρ = ˆρi − ρi = axi δxu + ayi δyu + azi δzu − cδtu.
Si definimos:
2
6
∆x = 6
4
δxu
δyu
δzu
−cδtu
3
2
7 6
7
5 , ∆ρ = 6
4
ˆρ1 − ρ1
ˆρ2 − ρ2
ˆρ3 − ρ3
ˆρ4 − ρ4
3 2
ax1 7 6 ax 7
5 , H = 6 2
4 ax3 ax4 ay1 ay2 ay3 ay4 az1 az2 az3 az4 3
1
1 7
1 5
1
Se tiene que ∆ρ = H∆x.
Por tanto para determinar ∆x simplemente ∆x = H −1 ∆ρ y
se obtienen los errores respecto a la estimación inicial.
Algoritmo iterativo: dada una estimación inicial û 0 , ˆt 0 u y las
medidas ρi:
1 Formar ˆρ 0 i , ∆ρ0 y H 0 .
2 Encontrar ∆x 0 = (H 0 ) −1 ∆ρ 0 .
3 Mejorar la estimación inicial usando ∆x 0 , obteniendo û 1 , ˆt 1 u.
4 Formar ˆρ 1 i , ∆ρ1 y H 1 .
5 Encontrar ∆x 1 = (H 1 ) −1 ∆ρ 1 .
6 Iterar hasta que ∆x n ≤ ɛ, una tolerancia predefinida.
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Algoritmo de mínimos cuadrados I
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El algoritmo anterior no es válido si se tienen más de cuatro
satélites, porque H no sería cuadrada. En general para n
satélites δρ es n × 1 y H es n × 4, mientras que δx es 4 × 1.
Si las medidas contienen error, se podría usar un modelo del
tipo ∆ρ = H∆x + ν, donde ν ∼ Nn(0, Σ) es un modelo del
error.
En ambos casos se resuelve el problema usando el algoritmo
de mínimos cuadrados, que resuelve un problema del tipo:
y = Az + b, donde:
y es de dimensión n y conocido (medidas).
z es de dimensión m ≤ n y es desconocido (datos a calcular).
A es conocido (medidas).
b son los errores (desconocidos): b ∼ Nm(0, Σ)
Se busca una solución ˆz de forma que Aˆz sea lo más parecido
posible a y en el sentido de los mínimos cuadrados.
Matemáticamente, se busca ˆz tal que la función de coste
J = (y − Aˆz) T (y − Aˆz) sea mínimo. 24 / 48