Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Ruido blanco.
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Ruido blanco: Se define como ruido blanco un proceso ν(t)
que verifica:
E[ν(t)] = 0.
E[ν(t)ν(t) T ] = σ 2 Id.
R(t, τ) = E[ν(t)ν(τ) T ] = δ(t − τ)σ 2 Id, donde δ(x) vale 1 si
x = 0 y 0 en cualquier otro caso.
La última condición quiere decir que el valor del ruido blanco
en un instante es independiente de su valor en cualquier
instante anterior.
Ruido blanco gaussiano: Es un proceso que cumple las
condiciones anteriores, y además es gaussiano.
Un buen modelo para las fuentes de error (errores de medida,
errores gravitatorios) es δɛ(tk) = b + Dν, donde ν es ruido
blanco gaussiano. El valor de b dará la media del error (sesgo,
llamado bias en inglés).
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error.
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
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Si en las ecuaciones de propagación del error
δx(tk+1) = A(k)δx(tk) + δɛ(tk) sustituimos δɛ(tk) = b + Dν,
obtenemos el siguiente modelo de propagación del error:
δx(tk+1) = A(k)δx(tk) + b + Dν.
Observación: típicamente b también está sometido a un error
variable, de forma que b(tk+1) = b(tk) + Dbν b. Para
simplificar ignoramos esta variación.
Se realizan las siguientes hipótesis:
ν es ruido blanco gaussiano con varianza σ2 ν.
Inicialmente, δx(t0) ∼ Nn(m0 , Σ0). Si se conocieran
perfectamente, entonces Σ0 = 0.
Además se tiene la hipótesis de que δx(t0) y ν son
independientes.
Bajo estas condiciones, se tiene que δx(tk) es un proceso
gaussiano, es decir, δx(tk) ∼ Nn(mk, Σk), donde la media y la
covarianza verifican la siguiente evolución:
Propagación de la media: mk+1 = Amk + b.
Propagación de la covarianza: Σk+1 = AΣkAT + σ2 νDDT . 46 / 49
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error: ejemplo sencillo
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Supongamos que tuviéramos una ecuación de propagación del
error en una dimensión (por ejemplo la posición en el eje x)
dada simplemente por: δxk+1 = δxk + ν, donde:
La variable temporal k representa minutos, es decir, x6 es el
error en posición pasados 6 minutos.
ν es ruido blanco gaussiano de varianza σ 2 ν.
Inicialmente, δx(t0) = 0.
Además δx(tk) y ν son independientes.
Entonces aplicando las fórmulas anteriores,
δx(tk) ∼ N(mk, σk), donde la media y la varianza verifican:
Propagación de la media: mk+1 = amk. Como m0 = 0, se
tendrá mk = 0 para todo k.
Propagación de la varianza: σ2 k+1 = σ2 k + σ2 nu. Como σ2 0 = 0, se
tiene que σ2 k = kσ2 nu. Por tanto la varianza verifica σk = √ kσν.
Si por ejemplo x son metros y el ruido blanco tiene σν = 0,1
metros, entonces aunque inicialmente la posición se conoce
sin error, pasada una hora σ60 = √ 60 · 0,1 = 0,77, es decir un
intervalo 2-σ sería δx ∈ [−1,55, 1,55]. 47 / 49
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Modelos de Error
Medida del error en 2-D
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Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Para el caso 2-D (por ejemplo posición sobre un mapa) y si el
error está distribuido como X ∼ N2(0, Σ), las regiones de
confianza serían elipses:
Dado Σ podemos escribir Σ = Pdiag{σ1, σ2}P T donde P es
una matriz con autovectores y σi los autovalores. Los
autovectores dan la dirección de los ejes de la elipse y los
autovalores son proporcionales a su magnitud (cuyo valor
exacto dependerá del grado de confianza del intervalo).
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