Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Sistema Geográfico de referencia Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Coordenadas geodéticas o geodésicas La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra También llamado ejes Tierra o ECEF (Earth Centered, Earth Fixed). Ligado a la Tierra, rota con ella. Util para referenciar posiciones en toda la Tierra. Coordenadas cartesianas: x ECEF = [x ECEF y ECEF z ECEF ] T . El plano Ox e y e contiene al Ecuador y el plano Ox e z e al Meridiano de Greenwich. La forma de la Tierra se asimila al elipsoide WGS84. La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Un punto queda determinado por su altitud h, latitud geodésica φ y longitud geodésica λ. Obsérvese que h mide la altitud sobre una perpendicular al suelo (vertical local) que no coincide en general con una línea que una el punto con el centro de la Tierra. Relación con las coordenadas cartesianas: x ECEF y ECEF z ECEF = = = h + h + h + ! re p cos φ cos λ = 1 − f (2 − f ) sen2 φ ! re p cos φ sen λ = 1 − f (2 − f ) sen2 φ re (1 − f ) 2 ! p sen φ = 1 − f (2 − f ) sen2 φ h + ! re h + p cos φ cos λ, 1 − e2 sen2 φ ! re h + p cos φ sen λ, 1 − e2 sen2 φ re (1 − e 2 ! ) p sen φ. 1 − e2 sen2 φ 13 / 67 14 / 67 Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Coordenadas geocéntricas La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra También se pueden emplear coordenadas esféricas tradicionales:Un punto P queda determinado por el radio r (medido desde el centro de la Tierra), la latitud geocéntrica φC y la longitud geocéntrica λC . Es evidente que λC = λ, al ser el elipsoide de revolución. No obstante, φ = φC . En la figura se ha elegido un meridiano β por el que se ha “cortado” el elipsoide. Usando la figura se pueden demostrar las fórmulas de la anterior transparencia. Relación con las coordenadas cartesianas: x ECEF y ECEF z ECEF q = r cos φC cos λC , r = (xECEF ) 2 + (y ECEF ) 2 + (zECEF ) 2 , = r cos φC sen λC , tan λC = y ECEF = r sen φC , tan φC = xECEF , z ECEF q (xECEF ) 2 +(yECEF . ) 2 Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Pasar de coordenadas cartesianas a geodésicas Dadas las coordenadas geodésicas, es inmediato obtener las coordenadas x ECEF . El procedimiento inverso ha de hacerse numéricamente. Únicamente se puede calcular con facilidad λ de tan λ = xECEF y ECEF . Para ello conviene definir la función N(φ) = escribir p = (x ECEF ) 2 + (y ECEF ) 2 . 1 Asumir h0 = 0. Entonces tan φ0 = zECEF p(1−e2 ) . 2 Iterar para i = 0, 1, . . .: a Calcular Ni = re . √ 1−e 2 sen 2 φi b Calcular hi+1 = p cos − Ni. φi c Calcular φi+1 de tan φi+1 = z ECEF “ p 1−e2 Ni Ni +hi+1 re √ y 1−e2 sen2 φ ”. Volver a (a). 3 Parar cuando el procedimiento iterativo converja. 15 / 67 16 / 67
Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Sistema de referencia local y radios de curvatura En la figura se ve un sistema de ejes definido localmente, llamado NED: North-East-Down. Coincide con el sistema definido por las coordenadas curvilineas φ, λ, h, de forma que N=e φ, E=e λ, D=e h. Dicho sistema es fundamental en navegación aérea, a veces se llama “navigation frame”. El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano (λ =cte) es Rmer = re(1−e 2 ) (1−e 2 sen 2 φ) 3/2 . El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo (φ =cte) es Rnormal cos φ , donde Rnormal = Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Modelos gravitatorios re √ . 1−e2 sen2 φ La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homogénea por capas esféricas (como una cebolla), la aceleración de la gravedad g sería igual a G = − µe r 3 r, donde r = x ECEF . En realidad, se tiene que G = G(r, λ, φ). Para estudiar G es más sencillo usar un potencial U G y utilizar coordenadas geocéntricas r, λC , φC . Por tanto G = ∇UG , es decir, en esféricas: G = ∂UG ∂r er + 1 r ∂U G ∂φC e φC Modelo esférico: U G = µe r . Modelo elipsoidal (J2): + 1 r cos λC ∂U G ∂λC e λC . UG = µe r 1 + J2 re 2 2 r (1 − 3 sen2 φC ) , donde J2 es un coeficiente. Modelo EGM96: hasta 360 términos realizando correciones por la forma de la Tierra y la distribución másica. 17 / 67 18 / 67 Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos La rotación de la Tierra La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra La Tierra rota con una velocidad ωe en torno al eje z e . Puesto que los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejes hay que añadir las fuerzas de inercia ficticias. Concretamente aparece una aceleración centrífuga, dada por acent = −ωe × (ωe × x ECEF ). x ECEF y ECEF T 0 . Se tiene que a cent = −ω 2 e Si escribimos Uω = ω2 e r 2 cos2 φC 2 , se tiene que acent = ∇Uω . Nótese que desde el punto de vista de un observador, la aceleración centrífuga es completamente indistinguible de la gravitatoria. El geopotencial Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos La geodesia a través de la Historia Modelos de Tierra Modelos gravitatorios de la Tierra Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleración centrífuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la “gravedad sentida” g. Se tiene por tanto g = G + a cent. A nivel de potenciales, U g = U G + U ω . La función U g se denomina geopotencial. Obsérvese que esta misma operación no se puede realizar con la otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad del sistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis. 19 / 67 20 / 67
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