Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en posición I Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Se tiene que las ecuaciones de la posición son: ˙φ = ˙λ = Por tanto el INS calculará: v N Re + h vE ˙h = −v D ˙ˆφ = ˙ˆλ = cφ(Re + h) ˆv N Re + ˆ h ˙ˆh = −ˆv D ˆv E c ˆφ(Re + ˆh) Aplicando la teoría antes desarrollada, por ejemplo, para h: ˙δh = ˙h − ˙ˆh = −vD + ˆvD = −δvD. Como la ecuación ya era lineal no hubo que linealizar. Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en posición II Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Para la latitud: δ ˙φ = ˙φ − ˙ˆφ = vN ˆvN ˆvN+δvN ˆvN Re+h − = − Re+ˆh Re+ˆh+δh Re+ˆh . Desarrollando en serie de Taylor y quedándonos hasta el término lineal: ˆvN+δvN Re+ ˆ h+δh = ˆvN Re+ ˆ h Por tanto: δ ˙ φ = 1 Re+ˆh δvN − ˆvN δh. (Re+ˆh) 2 Operando igualmente con la longitud: δ ˙λ = 1 + Re+ ˆ h δvN − ˆvN (Re+ ˆ δh h) 2 1 c ˆφ(Re+ˆh) δvE ˆvE − c ˆφ(Re+ˆh) 2 δh + ˆvE tan ˆφ c ˆφ(Re+ˆh) δφ Poniéndolo todo en una matriz: δ ˙p = d 2 4 dt δφ 2 3 0 0 − 6 δλ 5 6 = 6 δh 4 ˆv N (Re + ˆ h) 2 1 0 0 Re +ˆh ˆv E tan ˆφ ˆv c ˆφ(Re 0 − E +ˆh) c ˆφ(Re +ˆh) 2 2 3 6 7 6 7 6 0 1 c ˆφ(Re 0 7 6 +ˆh) 5 6 4 0 0 0 0 0 −1 δφ δλ δh δv N δv E δv D 3 7 5 25 / 49 26 / 49 Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en posición III Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical El resultado se puede escribir abreviadamente como δ ˙p = Cppδp + Cpvδv n , donde: Cpp = Cpv = ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 − ˆvN (Re+ ˆ h) 2 ˆvE tan ˆ φ c ˆ φ(Re+ ˆ h) 1 Re+ ˆ h Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Errores en velocidad angular 0 − 1 tan ˆ φ Re+ ˆ h δvE − ˆvE tan ˆ φ 0 − ˆvE c ˆ φ(Re+ ˆ h) 2 0 0 0 0 0 1 c ˆφ(Re+ˆh) 0 0 0 −1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎥ ⎦ , Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Para repetir el procedimiento con las ecuaciones de velocidad y actitud necesitamos antes encontrar el error en ωn e/i y en ωn n/e que denotaremos como δωn e/i y δωn n/e . En primer lugar se tiene que: ˆω n e/i = ⎡ ωE c ⎣ ˆ φ 0 −ωE s ˆ ⎤ ⎦ → δω φ n e/i = ⎡ −ωE s ⎣ ˆ φ 0 −ωE c ˆ ⎤ ⎦ δφ φ Por otro lado: ˆω n n/e = ⎡ ˆvE ⎢ Re+ ⎢ ⎣ ˆ h − ˆvN Re+ ˆ h − ˆvE ⎤ ⎥ ⎦ , por tanto: tan ˆφ Re+ˆh δωn n/e = ⎡ 1 Re+ ⎢ ⎣ ˆ h δvE − ˆvE (Re+ ˆ δh h) 2 − 1 Re+ˆh δvN + ˆvN ⎤ ⎥ δh ⎥ (Re+ˆh) 2 ⎦ δφ (Re+ ˆ h) 2 δh − ˆvE(1+tan2 ˆ φ) Re+ ˆ h 27 / 49 28 / 49
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en velocidad I Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Las ecuaciones de la velocidad que calcula el INS serán: d dt ˆv n = − ˆω n n/e + 2ˆωn × e/i ˆv n + (Ĉ b n ) T â b n NG + ˆg Por tanto las ecuaciones del error serán: d dt δv n = − δω n n/e + 2δωn × e/i ˆv n − ˆω n n/e + 2ˆωn × e/i δv n +(δC b n ) T â b NG + (Ĉ b n ) T δa b n NG + δg Recordemos que δC b n = δφ × Ĉ b n . Los otros términos los hemos calculado, excepto δab NG (el error en los acelerómetros) y δg n (el error en el modelo gravitatorio). Puesto que g n ⎡ 0 ⎣ 0 µe (Re+h) 2 ⎤ ⎦ → δg n ⎡ 0 ⎢ = ⎣ 0 − 2µe (Re+ˆh) 3 ⎤ ⎥ ⎦ δh + δG n , donde δG n son errores en el modelado gravitatorio. Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en velocidad II Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Por tanto podremos escribir, como en el caso de la posición, δ ˙v n = Cvpδp + Cvvδv n + Cvφδφ + Caδa b NG + δG n . Es una ecuación lineal en los errores, donde las matrices están definidas en función de la estimación del INS, y con dos términos forzantes: el error en los acelerómetros δab NG y el error en el modelo gravitatorio δG n . 29 / 49 30 / 49 Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en actitud I Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Finalmente, calculamos el error en actitud. Recordemos que δC b n = δφ × Ĉ b n , por tanto se tiene que δ ˙ C b n = δ ˙ φ × Ĉ b n + δφ × ˙ Ĉ b n = δ ˙φ × Ĉ b n − δφ × ˆω b × b/n Ĉ b n . Por otro lado ˙ Ĉ b n = − ˆω b × b/n Ĉ b n , y por tanto δ ˙C b n = − δωb × b/n Ĉ b n − ˆω b × b/n δφ × C b n . De donde llegamos a δ ˙ φ × Ĉ b n − δφ × ˆω b × b/n Ĉ b n = − δωb × b/n Ĉ b n − ˆω b × b/n δφ × Ĉ b n , o lo que es lo mismo: δ ˙φ × = − ˆω b × b/n − ˆω b × b/n δφ × . δωb × b/n + δφ × Usando la identidad a × (b × c) + c × (b × a) + b × (c × a) = 0 llegamos a a × (b × c) − b × (a × c) = (b × a) × c. Esto implica que a × b × c − b × a × c = (b × a) × c, por lo que a × b × − b × a × = (b × a) × . Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Propagación del error en actitud II Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Es decir, finalmente: δφ × = − δωb × b/n + δφ × ˆω b × b/n . De donde: δ ˙φ = −δωb b/n + δφ× ˆω b b/n . Como por otro lado, ˆω b b/n = ˆωb b/i − Ĉ b n ˆω n e/i + ˆωn n/e , se obtiene que δωb b/n = δωb b/i − δC b n ˆω n e/i + ˆωn n/e − Ĉ b n δωn e/i + δωn n/e . Por tanto finalmente la ecuación del error de actitud queda: δ ˙φ = −δω b b/i + δφ× Ĉ b n ˆω n e/i + ˆωn n/e − Ĉ b n δω n e/i + δωn n/e +δφ × ˆω b b/i − δφ× Ĉ b n = −δω b b/i − Ĉ b n ˆω n e/i + ˆωn n/e δω n e/i − δωn n/e + δφ × ˆω b b/i 31 / 49 32 / 49
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