Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Mecanización en ejes e La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial En ocasiones, por motivos de integración INS-GPS, conviene mecanizar las ecuaciones en los ejes e (en los que trabaja el GPS). Se llega a las siguientes ecuaciones para velocidad y posición: Velocidad: d dt v e = −2 ωe × e/i v e + ae NG + g e = −2 ωe × e/i v e + (C n e ) T (C b n ) T ab e NG + g Posición: d dt r e = v e . Habría que escribir C n e en función de r e y v e , escribir un modelo de g e , y escribir la ecuación de la actitud, y se llegaría a un esquema similar al anterior. Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Alineamiento inicial I La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Supongamos que tenemos el avión en reposo en un aeropuerto, y es necesario inicializar el INS con un “fix”. ¿Cómo se haría? Evidentemente, se tiene que φ, λ y h son las del aeropuerto, o incluso con mayor precisión, las tomadas de un sistema GPS. Puesto el avión está en reposo, v n = 0. Queda encontrar el valor inicial de actitud, es decir, C b n (t = 0). Para ello se usa la medida obtenida de giróscopos y acelerómetros (en reposo). De la ecuación fundamental de la navegación se tiene: 0 = − ωn n/e + 2ωn × e/i 0 + an NG + g n , luego an NG = −g n y por tanto ab NG = C b n an NG = −C b n g n . Por otro lado es claro que ωb b/n = ωb b/i − ωb e/i − ωb n/e y evidentemente ωb b/n = 0 y ωb n/e = 0. Por tanto:ωb b/i = ωb e/i = C b n ωn e/i . 17 / 49 18 / 49 Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Alineamiento inicial II La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Tenemos por tanto dos ecuaciones: a b NG = −C b n g n y ω b b/i = C b n ω n e/i . Llamando a las medidas x b 1 = ab NG y x b 2 = ωb b/i x n 2 = ωn e/i , y denotando los modelos como y n , se tiene que x n 1 = C b n (0)y b 1 , x n 2 = C b n (0)y b 2 1 = −g n y Tendríamos 6 medidas (las componentes de dos vectores) para 9 grados de libertad (las entradas de la matriz). Es necesario pues “generar” una medida adicional independiente. Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Alineamiento inicial III La IMU: sensores inerciales Mecanización en ejes n y en ejes e Alineamiento inicial Llamemos x 3 = x 1 × x 2. Obsérvese que este vector se puede escribir como x b × 1 x b 2 en el sistema de referencia b, donde X es la matriz antisimétrica que representa el producto vectorial. Por otro lado se tiene que x b × 1 = C b n (0) y n × C 1 n b (0). Por tanto x b 3 = x b × 1 x b 2 = C b n (0) y n × C 1 n b (0)C b n (0)y n 2 = C b n (0) y n × y 1 n 2 . Por tanto denotando y 3 = y 1 × y , se tiene 2 que x b 3 = C b n (0)y n 3 . Escribiendo la matriz A como la matriz cuyas columnas son x b 1 , x b 2 y x b 3 , y la matriz B como la matriz cuyas columnas son y n, y n 19 / 49 y y n 1 2 3 , se tiene: A = C b n (0)B y por tanto C b n (0) = AB−1 . No se han tenido en cuenta los errores de medida: C b n (0) probablemente no saldría ortonormal (habría que emplear un algoritmo más sofisticado que tuviera en cuenta los errores de medida). 20 / 49
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Errores en navegación inercial. Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Si conociéramos con total precisión las condiciones iniciales, el modelo de gravedad fuera perfecto, y los sensores inerciales no cometieran errores de medida, entonces la navegación inercial sería totalmente exacta. No obstante, ésto no es así, y cada uno de los términos mencionados contiene errores. Errores en condiciones iniciales. Errores en el modelo de gravedad δg n . Errores en los sensores inerciales. Para simplificar los agruparemos en un único valor: δa b NG , δωb b/i . La navegación inercial realiza integración de ecuaciones diferenciales, luego éstos errores se van acumulando. Es importante tener un modelo del error para saber como crece, para cuantificarlo, para aplicar medidas que permitan disminuirlo (como integración con otros sensores), para descubrir que sensores son más críticos (análisis de sensibilidad), etc... 21 / 49 Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Variables de error. Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical En general, para una variable cualquiera de navegación x, se denota con ˆx el valor estimado con el INS. Puesto que este valor no será exacto se define el error como δx = x − ˆx. Error en posición: las variables de posición son φ, λ y h. Las variables estimadas serán ˆφ, ˆλ, ˆh. Definimos el error en posición δp como δp = [δφ δλ δh] T = [φ − ˆφ λ − ˆλ h − ˆh] T . Error en velocidad: igualmente se define δv n = v n − ˆv n , donde ˆv n es la velocidad calculada por el INS. Para la actitud, ¿cómo definir un error en la matriz de actitud δC b n ? Lo que se hace es suponer que el INS estima una actitud de los ejes cuerpo b que denotaremos por ˆb. 22 / 49 Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Error de actitud. Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Por tanto, realmente Ĉ b n = C ˆb n , donde se tiene que: n (ψ,θ,ϕ) −→ b δφx −→ xb S1 δφy δφz −→ S2 −→ y S1 zS2 Por tanto Ĉ b n = C ˆ b n = C ˆ b b C b n . Suponiendo que los errores δφ = [δφx δφy δφz] T son pequeños, se vio que C ˆ b b = Id − δφ × , donde como siempre: ⎡ δφ × = ⎣ ˆb 0 −δφz δφy δφz 0 δφx −δφy δφx 0 Por tanto, se encuentra el error en la matriz de actitud como δC b n = C b n −Ĉ b n = C b n −C ˆb b C b n = C b n −(Id−δφ × )C b n = δφ × C b n . También δC b n = δφ × C b n = δφ × C b ˆb C ˆ b n = δφ × (Id + δφ × )Ĉ b n δφ × Ĉ b n . Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Errores en navegación inercial. Modelos de Error Ecuaciones de propagación del error ⎤ ⎦ Variables de error. Error en actitud Modelo de propagación linealizado El canal vertical Se quiere estudiar como evoluciona el error del INS con el tiempo. Para ello, es necesario encontrar el modelo de propagación del error. Éste modelo se encuentra directamente de las ecuaciones de la navegación inercial, suponiendo que los errores son pequeños, con lo que las ecuaciones se pueden linealizar. Por ejemplo, supongamos que x es una variable que el INS estima como ˆx. La ecuación que verifica x será ˙x = f (x). El INS lo que hará será calcular ˆx a partir de ˙ˆx = f (ˆx). Por tanto: δ ˙x = ˙x − ˙ˆx = f (x) − f (ˆx) = f (ˆx + δx) − f (ˆx). Desarrollando esta expresión en serie de Taylor y quedándonos el término constante y el lineal: f (ˆx + δx) f (ˆx) + ∂f ∂x |x=ˆxδx. Por tanto llegamos a la siguiente expresión: δ ˙x = ∂f ∂x |x=ˆxδx, que es aproximada y sólo sirve para δx pequeño. 23 / 49 24 / 49
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