Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC de la Posición: caso elipsoidal
En el caso elipsoidal se tiene
˙φ =
˙λ =
˙h = −v D
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
vN RM + h
vE cφ(RN + h)
Donde RN y RM son respectivamente los radios locales de
curvatura normal (de un paralelo) y meridional (del
meridiano), que fueron definidos en el primer tema; dichos
radios dependen de la latitud en la que se encuentre el avión.
Y por tanto: ω g
g/e =
⎡
vE
RN+h
⎢
⎣ − vN
RM+h
− vE
⎤
⎥
⎦
tan φ
RN+h
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
EDC de la Posición con Azimuth de Deriva I
Trabajamos con tierra esférica. Si α = 0 entonces n = g y la
única ecuación que se mantiene es ˙h = −vD, mientras que el
resto de las ecuaciones cambian.
Si escribimos v n = [vx vy vD] T y ω n n/e = [ρx ρy ρz] T ,
siguiendo el mismo procedimiento de antes hallamos:
v n
= ωn ×
n/e r n + r˙n La ecuación matricial queda:
2
4 vx
vy
v D
3
2
5 = 4
0 −ρz ρy
ρz 0 −ρx
−ρy ρx 0
3 2
5 4
0
0
−Re − h
3
2
5 + 4
donde recordemos que ya calculamos ρx = ˙λcφcα − ˙φsα,
ρy = − ˙λcφsα − ˙φcα, ρz = − ˙λsφ + ˙α.
Se llega a:
vx
vy
=
=
v D = − ˙h
“ ”
˙λcφsα + ˙φcα (Re + h)
“ ”
˙λcφcα − ˙φsα (Re + h)
0
0
− ˙ h
3
5
25 / 28
26 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
EDC de la Posición con Azimuth de Deriva II
Despejando ˙φ y ˙λ:
˙φ =
˙λ =
˙h = −V D
vx cos α − vy sen α
Re + h
vx sen α + vy cos α
cos φ(Re + h)
Usando estas definiciones en ωn n/e
ω n n/e =
2
˙λcφcα −
4
˙ φsα
− ˙ λcφsα − ˙ 2
3
vy
6
Re +h
φcα 5 = 6
−
4
− ˙λsφ + ˙α
vx
3
7
Re +h
5
vx sen α+vy cos α
− tanφ + ˙α
cos φ(Re +h)
puede elegir como se quiera.
Se suele fijar por definición ˙α = ˙λsφ =
de donde: ωn n/e =
⎡ vy
Re+h
⎣ − vx
⎤
⎦
Re+h ,
0
se llega a:
, donde ˙α se
vx sen α+vy cos α
cos φ(Re+h) tanφ,
Obsérvese que ha desaparecido la singularidad en ω n n/e
costa de un grado de libertad adicional, α).
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
! (a
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
EDC de la Posición con Azimuth de Deriva III
Usando α se mantiene la singularidad a la hora de calcular λ,
pero al menos se puede seguir computando ωn n/e , que es
necesaria para poder calcular v n .
Interpretación física: Ésta definición de α equivale a tener una
plataforma a bordo, a la que se permite girar en las
direcciones x n y y n pero se le impide girar en z n . El ángulo
que forma una dirección fija de la plataforma con el N sería α.
Observación: puesto que la posición viene dada por los
ángulos (φ, λ, α), se puede tratar como una “actitud”, C n e .
En tal caso las ecuaciones cinemáticas de la posición podrían
darse como EDC de actitud, por ejemplo ˙
C n e = −
ω n n/e
×
C n e
27 / 28
o incluso tratarse como cuaterniones.
Así eliminamos totalmente la singularidad, y podemos
sobrevolar cualquier punto del planeta.
En cualquier caso habría que añadir la ecuación para la
altitud, ˙h = −vD. 28 / 28