Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Velocidades angulares entre sistemas de referencias Necesitamos obtener valores para ω n n/e y ωn e/i . En primer lugar consideremos el caso simple de que α = 0, por tanto g = n. Recordemos las matrices de transformación: C e i = 2 4 cω E t sω E t 0 −sω E t cω E t 0 0 0 1 3 2 5 , C g e = 4 Recordemos que ω e e/i = [0 0 ωE ] T . Por tanto: ω g e/i = C g e ω e e/i = ⎡ ⎣ −sφcλ −sφsλ cφ −sλ cλ 0 −cφcλ −cφsλ −sφ ωE cφ 0 −ωE sφ Por otro lado siguiendo el procedimiento con el que se hallaron las DCM para ángulos de Euler, llegamos a ω g g/e = ⎡ ˙λcφ ⎣ − ˙φ − ˙ ⎤ ⎦ λsφ Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación ⎤ ⎦ Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Velocidades angulares entre sistemas de referencias con ángulo de deriva Si ahora α = 0, recordemos la matriz de transformación: C n g = Por tanto: ω n e/i = C n g ω g e/i = 2 4 cα sα 0 −sα cα 0 0 0 1 ⎡ ⎣ Igualmente ω n g/e = C n g ω g g/e = Finalmente ω n n/e = ωn g/e + ωn n/g = ωn g/e + 3 5 ⎤ ωE cφcα −ωE cφsα ⎦ −ωE sφ ⎡ ˙λcφcα − ⎣ ˙ φsα − ˙λcφsα − ˙φcα − ˙λsφ ⎡ ⎣ 0 0 ˙α ⎤ ⎡ ⎦ = ⎣ ⎤ ⎦ 3 5 ˙λcφcα − ˙φsα − ˙λcφsα − ˙φcα − ˙ λsφ + ˙α ⎤ ⎦ 21 / 28 22 / 28 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Posición I Necesitamos obtener ecuaciones para λ, φ y h; también para α, si se usa un ángulo de deriva. En primer lugar para simplificar consideremos el caso más simple posible: no hay ángulo de deriva (α = 0 luego n = g) y la Tierra es esférica de radio Re. En tal caso, se tiene: r˙e = v e . Expresado en ejes g: r e = C e g r g . El valor de r g = [0 0 − (Re + h)] T . Se tiene: v g = C g e v e = C g e ˙ r e = C g ˙ e C e g r g + C g e C e g ˙ −C g e ω e e/g × C e g r g + ˙ r g = ω g g/e × r g + r˙g r g = Por otro lado v g = [vx vy vz] T = [vN vE vD] T . La ecuación matricial queda: 2 4 v N v E v D 3 2 5 = 4 0 ˙λsφ − ˙φ − ˙ λsφ 0 − ˙ λcφ ˙φ ˙ λcφ 0 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC de la Posición II Desarrollando: Es decir: 3 2 5 4 0 0 −Re − h 3 2 5 + 4 0 0 − ˙ h Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición v N = ˙ φ(Re + h) v E = ˙ λcφ(Re + h) v D = − ˙ h ˙φ = ˙λ = v N Re + h vE ˙h = −v D cφ(Re + h) Éstas ecuaciones me permiten obtener la posición conocida la velocidad en todo instante. Obsérvese que son singulares en φ = ±90 o . Por ese motivo se introduce el azimuth de⎡deriva. Sustituyendo en ω g g/e obtenemos: ωg g/e = ⎢ ⎣ 3 5 vE Re+h − vN Re+h − vE tan φ Re+h ⎤ ⎥ ⎦ 23 / 28 24 / 28

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC de la Posición: caso elipsoidal En el caso elipsoidal se tiene ˙φ = ˙λ = ˙h = −v D Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición vN RM + h vE cφ(RN + h) Donde RN y RM son respectivamente los radios locales de curvatura normal (de un paralelo) y meridional (del meridiano), que fueron definidos en el primer tema; dichos radios dependen de la latitud en la que se encuentre el avión. Y por tanto: ω g g/e = ⎡ vE RN+h ⎢ ⎣ − vN RM+h − vE ⎤ ⎥ ⎦ tan φ RN+h Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición EDC de la Posición con Azimuth de Deriva I Trabajamos con tierra esférica. Si α = 0 entonces n = g y la única ecuación que se mantiene es ˙h = −vD, mientras que el resto de las ecuaciones cambian. Si escribimos v n = [vx vy vD] T y ω n n/e = [ρx ρy ρz] T , siguiendo el mismo procedimiento de antes hallamos: v n = ωn × n/e r n + r˙n La ecuación matricial queda: 2 4 vx vy v D 3 2 5 = 4 0 −ρz ρy ρz 0 −ρx −ρy ρx 0 3 2 5 4 0 0 −Re − h 3 2 5 + 4 donde recordemos que ya calculamos ρx = ˙λcφcα − ˙φsα, ρy = − ˙λcφsα − ˙φcα, ρz = − ˙λsφ + ˙α. Se llega a: vx vy = = v D = − ˙h “ ” ˙λcφsα + ˙φcα (Re + h) “ ” ˙λcφcα − ˙φsα (Re + h) 0 0 − ˙ h 3 5 25 / 28 26 / 28 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición EDC de la Posición con Azimuth de Deriva II Despejando ˙φ y ˙λ: ˙φ = ˙λ = ˙h = −V D vx cos α − vy sen α Re + h vx sen α + vy cos α cos φ(Re + h) Usando estas definiciones en ωn n/e ω n n/e = 2 ˙λcφcα − 4 ˙ φsα − ˙ λcφsα − ˙ 2 3 vy 6 Re +h φcα 5 = 6 − 4 − ˙λsφ + ˙α vx 3 7 Re +h 5 vx sen α+vy cos α − tanφ + ˙α cos φ(Re +h) puede elegir como se quiera. Se suele fijar por definición ˙α = ˙λsφ = de donde: ωn n/e = ⎡ vy Re+h ⎣ − vx ⎤ ⎦ Re+h , 0 se llega a: , donde ˙α se vx sen α+vy cos α cos φ(Re+h) tanφ, Obsérvese que ha desaparecido la singularidad en ω n n/e costa de un grado de libertad adicional, α). Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación ! (a Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición EDC de la Posición con Azimuth de Deriva III Usando α se mantiene la singularidad a la hora de calcular λ, pero al menos se puede seguir computando ωn n/e , que es necesaria para poder calcular v n . Interpretación física: Ésta definición de α equivale a tener una plataforma a bordo, a la que se permite girar en las direcciones x n y y n pero se le impide girar en z n . El ángulo que forma una dirección fija de la plataforma con el N sería α. Observación: puesto que la posición viene dada por los ángulos (φ, λ, α), se puede tratar como una “actitud”, C n e . En tal caso las ecuaciones cinemáticas de la posición podrían darse como EDC de actitud, por ejemplo ˙ C n e = − ω n n/e × C n e 27 / 28 o incluso tratarse como cuaterniones. Así eliminamos totalmente la singularidad, y podemos sobrevolar cualquier punto del planeta. En cualquier caso habría que añadir la ecuación para la altitud, ˙h = −vD. 28 / 28

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sistema

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