Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para el eje y ángulo de Euler DCM Ángulos de Euler Cuaterniones La representación en forma de eje y ángulo de Euler, (eb b/n , θ), tiene las siguientes EDC: Para el ángulo de Euler: ˙ θ = (e b b/n )T ω b b/n Para el eje de Euler: ˙e b b/n = 1 2 e b × b/n + 1 Id − e tan θ/2 b b/n (eb b/n )T ω b b/n Son cuatro ecuaciones diferenciales, no lineales. Poseen una singularidad para θ = 0. En la práctica no se utilizan directamente; las usamos para hallar las EDC para los cuaterniones. Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para cuaterniones I DCM Ángulos de Euler Cuaterniones Recordemos la definición de cuaterniones en función de ángulo y eje de Euler: q0 = cos θ/2, q = sen θ/2e b b/n . Derivando en la ecuación de q0 y sustituyendo la EDC de θ, obtenemos: ˙q0 = − 1 2 sen θ/2 ˙θ = − 1 Derivando en la ecuación de q: 2 sen θ/2(eb b/n )T ω b b/n ˙q = 1 2 cos θ/2eb b/n ˙θ + sen θ/2˙e b b/n Sustituyendo las EDC de ángulo y eje de Euler: = − 1 2 qT ω b b/n 13 / 28 ˙q = 1 2 cos θ/2eb b/n (eb b/n )T ω b b/n + 1 sen θ/2 e 2 b × 1 b/n + Id − e tan θ/2 b b/n (eb b/n )T ω b b/n = 1 × q + q0Id 2 ω b b/n 14 / 28 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para cuaterniones II DCM Ángulos de Euler Cuaterniones Podemos escribir esta ecuación en forma matricial: ⎡ q0 d ⎢ q1 ⎢ dt ⎣ ⎤ ⎡ −q1 ⎥ 1 ⎢ q0 ⎦ = ⎢ 2 ⎣ −q2 −q3 −q3 q2 ⎤ ⎡ ωx ⎥ ⎣ ωy ⎦ ⎤ ⎦ q2 q3 donde ω b b/n = [ωx ωy ωz] T . q3 q0 −q1 −q2 q1 q0 Son cuatro ecuaciones diferenciales, bilineales, sin singularidades. No es necesario realizar ningún tipo de operación trigonométrica (senos o cosenos), todo son multiplicaciones matriciales. Por estas razones, la representación mediante cuaterniones es la representación de actitud más usada. Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación ωz Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Las ecuaciones fundamentales de la navegación son las ecuaciones del movimiento de la aeronave, expresada en ejes de navegación. Puesto que en navegación es necesario determinar 9 variables (3 de posición, 3 de actitud, y 3 de velocidad), serán necesarias 9 ecuaciones dadas como 3 conjuntos de 3 ecuaciones diferenciales. El primer conjunto de ecuaciones es la EDC de la actitud, que ya hemos visto. Queda determinar el conjunto de ecuaciones que verifica la posición y el conjunto de ecuaciones que verifica la velocidad. La llamada “ecuación fundamental de la navegación” (FEN) es la ecuación vectorial de la velocidad. 15 / 28 16 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Ecuación Fundamental de la Navegación I Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición La segunda ley de Newton aplicada al centro de masas del avión y expresada en el sistema de referencia inercial es: m d dt v i = F = F i NG + mG i , donde se desprecia la variación de masa del avión. Hemos separado las fuerzas en gravitatorias (G) y no gravitatorias (F NG ). Es decir: d dt v i = 1 m F i NG + G i . La definición de v i es v i = d dt r i . Por otro lado, en el sistema de ejes Tierra, tenemos que v e = d dt r e . Por tanto: v e = d dt C e i r i = C˙ e Usando la EDC C˙ e i = − ωe × e/i C e i llegamos a: v e = − ωe × e/i C e i r i + C e i v i . Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación i r i + C e i d dt r i = C˙ e i r i + C e i v i . Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Ecuación Fundamental de la Navegación II ω e e/i 17 / 28 Igualmente, asumiendo la rotación de la Tierra constante: d dt v e = − ωe × ˙ e/i C e i r i − ωe × e/i C e ˙ i r i + ˙ C e i v i + C e ˙ i v i . Por tanto: d dt v e = ω e × e/i ω e × e/i C e i r i − ω e × e/i C e i v i − ω e × e/i C e i v i +C e ˙ i v i = ω e × e/i ω e × e/i r e − 2 ω e × e/i C e i v i + C e ˙ i v i Puesto que v e × = − C e i r i + C e i v i , se tiene que C e i v i = v e + ω e e/i × r e . Por tanto: d dt v e = ω e × e/i ω e × e/i r e − 2 ω e × e/i v e + C e ˙ i v i El primer término representa la aceleración centrífuga acent y el segundo la de Coriolis, luego ae cent = ωe × e/i ωe e/i × r e . 18 / 28 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Ecuación Fundamental de la Navegación III Sustituyendo la Ley de Newton en la ecuación antes obtenida: d dt v e = a e cent − 2 ω e × e/i v e + C e 1 i m F i = i NG + G a e cent − 2 ω e × e/i v e + 1 e + G m F e NG Finalmente recordemos que la aceleración del geopotencial se definía como g = G + acent, llegamos a: d dt v e = −2 ω e × e/i v e + 1 m F e e NG + g Finalmente, en ejes navegación n y puesto que v n = C n e v e : d dt v n = ˙ = − C n e v e + C n e ω n n/e Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación d e v dt × C n e v e + C n e −2 ω e × e/i v e + 1 m F e e NG + g Velocidad Velocidades angulares entre sistemas de referencia Posición Ecuación Fundamental de la Navegación IV Es decir: d dt v n = − Y puesto que v e = C e n v n : ω n × n/e v n − 2C n e ω e × e/i v e + 1 m F n NG + g n d dt v n = − ω n × n/e v n − 2C n e ω e × e/i C e n v n + 1 m F n n NG + g Recordemos que para el “operador producto vectorial”, se cumple que C a b zb × C b a = (za ) × . Por tanto la FEN queda: d dt v n = − ω n × n/e v n − 2 ω n × e/i v n + 1 m F n n NG + g = − ω n n/e + 2ωn × e/i v n + 1 n + g m F n NG La FEN es una ecuación totalmente expresada (“mecanizada”) en ejes n. v n es lo que se quiere estimar. Observemos no obstante que son necesarios ω n n/e y ωn e/i . 19 / 28 20 / 28
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