Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para el eje y ángulo de Euler
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
La representación en forma de eje y ángulo de Euler, (eb b/n , θ),
tiene las siguientes EDC:
Para el ángulo de Euler: ˙ θ = (e b b/n )T ω b b/n
Para el eje de Euler:
˙e b b/n
= 1
2
e b ×
b/n +
1
Id − e
tan θ/2
b b/n (eb
b/n
)T ω b b/n
Son cuatro ecuaciones diferenciales, no lineales.
Poseen una singularidad para θ = 0.
En la práctica no se utilizan directamente; las usamos para
hallar las EDC para los cuaterniones.
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para cuaterniones I
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Recordemos la definición de cuaterniones en función de ángulo
y eje de Euler:
q0 = cos θ/2, q = sen θ/2e b b/n .
Derivando en la ecuación de q0 y sustituyendo la EDC de θ,
obtenemos:
˙q0 = − 1
2 sen θ/2 ˙θ = − 1
Derivando en la ecuación de q:
2 sen θ/2(eb b/n )T ω b b/n
˙q = 1
2 cos θ/2eb b/n ˙θ + sen θ/2˙e b b/n
Sustituyendo las EDC de ángulo y eje de Euler:
= − 1
2 qT ω b b/n
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˙q = 1
2 cos θ/2eb b/n (eb b/n )T ω b b/n
+ 1
sen θ/2 e
2 b × 1
b/n + Id − e
tan θ/2
b b/n (eb
b/n
)T ω b b/n
= 1 ×
q + q0Id
2
ω b b/n 14 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para cuaterniones II
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Podemos escribir esta ecuación en forma matricial:
⎡
q0
d ⎢ q1 ⎢
dt ⎣
⎤ ⎡
−q1
⎥
1 ⎢ q0
⎦ = ⎢
2 ⎣
−q2
−q3
−q3
q2
⎤
⎡
ωx ⎥ ⎣ ωy ⎦
⎤
⎦
q2
q3
donde ω b b/n = [ωx ωy ωz] T .
q3 q0 −q1
−q2 q1 q0
Son cuatro ecuaciones diferenciales, bilineales, sin
singularidades.
No es necesario realizar ningún tipo de operación
trigonométrica (senos o cosenos), todo son multiplicaciones
matriciales.
Por estas razones, la representación mediante cuaterniones es
la representación de actitud más usada.
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
ωz
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Las ecuaciones fundamentales de la navegación son las
ecuaciones del movimiento de la aeronave, expresada en ejes
de navegación.
Puesto que en navegación es necesario determinar 9 variables
(3 de posición, 3 de actitud, y 3 de velocidad), serán
necesarias 9 ecuaciones dadas como 3 conjuntos de 3
ecuaciones diferenciales.
El primer conjunto de ecuaciones es la EDC de la actitud, que
ya hemos visto.
Queda determinar el conjunto de ecuaciones que verifica la
posición y el conjunto de ecuaciones que verifica la velocidad.
La llamada “ecuación fundamental de la navegación” (FEN)
es la ecuación vectorial de la velocidad.
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