Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para la DCM I DCM Ángulos de Euler Cuaterniones Supongamos que quiero calcular la actitud de B respecto a A, (t), sabiendo que B gira con respecto a mediante la DCM C B A A con una velocidad angular ωB B/A . Por definición: d dt Suponiendo A fijo, entonces podemos imaginar que es B quien se mueve en el tiempo, y por tanto podríamos escribir B = B(t) y por tanto C B B(t) A (t) = CA . Usando este razonamiento, C B(t) . Por tanto: C B A (t + dt) = C B(t+dt) A dt C B A = C B A (t+dt)−C B A (t) = C B(t+dt) B(t) A −→ B(t) −→ B(t + dt) En el tiempo dt, el sistema de referencia B habrá girado respecto a sí mismo un ángulo muy pequeño en cada eje; por lo que hemos visto en la anterior transparencia, por tanto, = Id − dθ B × B , donde dθ es como antes se definió. C B(t+dt) B(t) Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para la DCM II Siguiendo el razonamiento: d A DCM Ángulos de Euler Cuaterniones dt C B A = C B A (t+dt)−C B A (t) dt C B(t+dt) C B(t) B A (t)−C B A (t) dt = (Id−(dθB ) × )C B A (t)−C B A (t) dt La matriz (dθB ) × dθ B × dt ⎡ = ⎣ dt se escribiría 0 − dθ3 dθ3 dt dt 0 dθ2 dt − dθ1 dt 0 ⎤ ⎡ ⎦ = ⎣ − dθ2 dt dθ1 dt = = − (dθB ) × dt C B A (t) 0 −ω3 ω2 ω3 0 −ω1 −ω2 ω1 0 donde ω B B/A = [ω1 ω2 ω3] T ya que dθ B representaba el ángulo girado por B en un dt, y por definición de velocidad angular. Se tiene entonces: ω B ⎡ ⎤ 0 −ω3 ω2 × B/A = ⎣ ω3 0 −ω1 ⎦ , −ω2 ω1 0 Por tanto: d dt C B A = C ˙B A = − ωB × B/A ⎤ ⎦ , 5 / 28 C B A . 6 / 28 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para la DCM III DCM Ángulos de Euler Cuaterniones ¿Qué sucede si lo que conocemos es ωA B/A ? Tenemos que estudiar como se transforman estos operadores ωB × B/A al cambiar de sistema de referencia. Obsérvese que si z = v × w, se tiene que en el sdr B, zB = v B × w B . Por otro lado en el sdr A, se tendrá que zA = v A × w A . La primera expresión también se puede escribir: zB = C B A zA = C B A v A × w A = C B A v A × C A B w B , y puesto que esta expresión tiene que ser igual a la anterior: v B × = C B A v A × C A B . Sustituyendo esto en la ecuación cinemática: C ˙B A = − ωB × B/A C B A = −C B A ωA × B/A C A B C B A = −C B A ωA × B/A Finalmente puesto que ωB/A = −ω ˙ A/B: C B A = C B A ωA × A/B Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para la DCM IV DCM Ángulos de Euler Cuaterniones Otra variación: trasponiendo ambos miembros de ˙ C B A = − ω B B/A × C B A llegamos a ˙ C A B = C A B ω B B/A En general, la EDC es una ecuación diferencial matricial, que habrá que resolver componente a componente: nueve ecuaciones diferenciales acopladas. El principal problema de resolver numéricamente esta ecuación es garantizar que la matriz resultante de integrar sea ortogonal. Obsérvese que en teoría la ecuación diferencial respeta la ortogonalidad: I = (C B A )(C B A )T , derivando: d dt (C B A ) = − ω B B/A = − ω B B/A (C B A )T + C B d A dt (C B A )T × C B A (C B A )T + C B A C A B × × + ω B B/A = 0 × ω B × B/A 7 / 28 8 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación La ecuación de Coriolis DCM Ángulos de Euler Cuaterniones La EDC de la DCM nos permite demostrar la ecuación de Coriolis que luego será útil: d dt vA = d dt vB + ωB/A × v Si escribimos (mecanizamos) esta ecuación en el sistema de referencia B: C B A ˙ v A = ˙v B + ωB × B/A v B , donde el punto quiere decir derivada en el mismo sistema de referencia donde está escrito. En efecto: C B A ˙ v A = C B d A dt (C A B v B ) = ˙v B + C B A ˙ C A B B v = ˙v B + C B A C A B ω B B/A × = ˙v B + ω B B/A Esta ecuación será utilizada con mucha frecuencia en este tema. Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para los ángulos de Euler I DCM Ángulos de Euler Cuaterniones v B × Partimos de la definición de los ángulos de Euler: n ψ θ −→ S −→ z n y S S ′ ϕ −→ b ′ La velocidad angular tiene la propiedad de que ω b/n = ω b/S ′ + ω S ′ /S + ω S/n. Si mecanizamos esta ecuación en b: ω b b/n = ωb b/S ′ + ω b S ′ /S + ωb S/n Por otro lado está claro que: ω b b/S ′ = [ ˙ϕ 0 0] T , ω S′ S ′ /S = [0 ˙θ 0] T , ω S S/n = [0 0 ˙ψ] T . Luego: ωb b/n = ωb b/S ′ + C b S′ S ′ωS ′ /S + C b S ωS S/n y puesto que , podemos escribir: C b S = C b S′ S ′CS ω b b/n = ωb b/S ′ + C b S ′ω S′ S ′ /S + C b S x S ′C S′ S ωS S/n v B 9 / 28 10 / 28 Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para los ángulos de Euler II DCM Ángulos de Euler Cuaterniones Desarrollando esta ecuación: ω b b/n = ⎡ ⎤ ˙ϕ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ ⎤ 0 ⎣ 0 ⎦ + ⎣ 0 cϕ sϕ ⎦ ⎣ ˙θ ⎦ 0 ⎡ 1 0 0 −sϕ cϕ ⎤ ⎡ 0 cθ 0 0 ⎤ ⎡ −sθ 0 + ⎣ 0 cϕ sϕ ⎦ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎣ 0 = 0 −sϕ cϕ ⎡ ⎤ ⎡ ˙ϕ 0 ⎣ 0 ⎦ + ⎣ cϕ sθ 0 cθ ˙ψ 0 ˙ θ ⎤ ⎡ −sθ ˙ψ ⎦ + ⎣ sϕcθ −sϕ ˙θ ˙ ⎤ ψ ⎦ = ⎡ 1 ⎣ 0 0 cϕ cϕcθ ˙ψ ⎤ ⎡ ⎤ −sθ ˙ϕ sϕcθ ⎦ ⎣ ˙θ ⎦ 0 −sϕ cϕcθ ˙ψ Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud Ecuaciones Fundamentales de la Navegación EDC para los ángulos de Euler III DCM Ángulos de Euler Cuaterniones Obsérvese que lo que realmente se quiere es una expresión para las derivadas de los ángulos en función de ωb b/n = [ω1 ω2 ω3] T , y por tanto hay que invertir la matriz: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−1 ⎡ ω1 ⎤ ⎣ ˙ϕ ˙θ ˙ψ ⎦ = ⎣ = 1 cθ 1 0 −sθ 0 cϕ sϕcθ 0 −sϕ cϕcθ ⎡ ⎣ ⎦ ⎣ cθ sθsϕ sθcϕ 0 cϕcθ −sϕcθ 0 sϕ cϕ ω2 ω3 ⎤ ⎡ ⎦ ⎣ ⎦ ω1 ω2 ω3 ⎤ ⎦ ⎤ ⎦ 11 / 28 Obsérvese que se trata de 3 ecuaciones diferenciales no lineales, con multitud de funciones trigonométricas. Posee una singularidad para θ = ±90 o . En realidad los ángulos de Euler no están bien definidos para esta situación. Ésta singularidad es el motivo por el que no se suelen usar en sistemas de navegación inercial. 12 / 28
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