Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM I
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Supongamos que quiero calcular la actitud de B respecto a A,
(t), sabiendo que B gira con respecto a
mediante la DCM C B A
A con una velocidad angular ωB B/A .
Por definición: d
dt
Suponiendo A fijo, entonces podemos imaginar que es B
quien se mueve en el tiempo, y por tanto podríamos escribir
B = B(t) y por tanto C B B(t)
A (t) = CA .
Usando este razonamiento,
C B(t)
. Por tanto:
C B A
(t + dt) = C B(t+dt)
A
dt C B A = C B A (t+dt)−C B A (t)
= C B(t+dt)
B(t)
A −→ B(t) −→ B(t + dt)
En el tiempo dt, el sistema de referencia B habrá girado
respecto a sí mismo un ángulo muy pequeño en cada eje; por
lo que hemos visto en la anterior transparencia, por tanto,
= Id − dθ B × B
, donde dθ es como antes se definió.
C B(t+dt)
B(t)
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM II
Siguiendo el razonamiento: d
A
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
dt C B A = C B A (t+dt)−C B A (t)
dt
C B(t+dt)
C B(t)
B A (t)−C B A (t)
dt = (Id−(dθB ) × )C B A (t)−C B A (t)
dt
La matriz (dθB ) ×
dθ B ×
dt
⎡
= ⎣
dt
se escribiría
0 − dθ3
dθ3
dt
dt
0
dθ2
dt
− dθ1
dt
0
⎤ ⎡
⎦ = ⎣
− dθ2
dt
dθ1
dt
=
= − (dθB ) ×
dt C B A (t)
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
donde ω B B/A = [ω1 ω2 ω3] T ya que dθ B representaba el
ángulo girado por B en un dt, y por definición de velocidad
angular. Se tiene entonces:
ω B ⎡
⎤
0 −ω3 ω2
×
B/A = ⎣ ω3 0 −ω1 ⎦ ,
−ω2 ω1 0
Por tanto: d
dt C B A = C
˙B
A = − ωB ×
B/A
⎤
⎦ ,
5 / 28
C B A . 6 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM III
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
¿Qué sucede si lo que conocemos es ωA B/A ? Tenemos que
estudiar como se transforman estos operadores ωB ×
B/A al
cambiar de sistema de referencia.
Obsérvese que si z = v × w, se tiene que en el sdr B,
zB = v B ×
w B . Por otro lado en el sdr A, se tendrá que
zA = v A ×
w A .
La primera expresión también se puede escribir:
zB = C B A zA = C B
A v A ×
w A = C B
A v A ×
C A
B w B , y puesto
que
esta expresión tiene que ser igual a la anterior:
v B ×
= C B
A v A ×
C A
B .
Sustituyendo esto en la ecuación cinemática: C
˙B
A =
− ωB ×
B/A C B A = −C B
A ωA ×
B/A C A B C B A = −C B
A ωA ×
B/A
Finalmente puesto que ωB/A = −ω
˙
A/B: C B A = C B
A ωA ×
A/B
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM IV
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Otra variación: trasponiendo ambos miembros de
˙
C B A
= −
ω B B/A
×
C B A
llegamos a ˙
C A B = C A B
ω B B/A
En general, la EDC es una ecuación diferencial matricial, que
habrá que resolver componente a componente: nueve
ecuaciones diferenciales acopladas.
El principal problema de resolver numéricamente esta ecuación
es garantizar que la matriz resultante de integrar sea
ortogonal. Obsérvese que en teoría la ecuación diferencial
respeta la ortogonalidad: I = (C B A )(C B A )T , derivando:
d
dt (C B A )
= − ω B B/A
= − ω B B/A
(C B A )T + C B d
A
dt (C B A )T
×
C B A (C B A )T + C B A C A B
× ×
+
ω B B/A
= 0
×
ω B ×
B/A
7 / 28
8 / 28