Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Navegación integrada
Tipos de navegación
La navegación integrada es aquella que emplea la información
proporcionada por todos los diferentes sensores y sistemas de
navegación para obtener la mejor estimación PVAT posible.
La navegación autónoma (p.ej. inercial) proporciona una
estimación continua (alto ancho de banda), integrando las
ecuaciones del movimiento. Pero se degrada con el tiempo
(errores no acotados).
La navegación por posicionamiento proporciona una
estimación cada cierto tiempo (bajo ancho de banda), pero
con error acotado.
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
La actitud de la aeronave
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
La actitud de la aeronave es su orientación respecto al sistema
de referencia de navegación (típicamente el sdr horizonte local
o el de azimut errante).
En realidad, es suficiente conocer la orientación de un sistema
de referencia solidario a la aeronave (los ejes cuerpo).
Los ángulos de Euler cabeceo, guiñada y alabeo son la
representación clásica, pero no la única; existen otras
representaciones con diferentes ventajas e inconvenientes.
Estudiaremos cuatro representaciones diferentes:
Matriz de cosenos directores.
Ángulos de Euler.
Ángulo y eje de Euler.
Cuaterniones.
Nota: La posición (φ, λ) o (φ, λ, α) también se puede
considerar una “orientación” del sistema de referencia de
navegación respecto al ECEF.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Matriz de cosenos directores (DCM) I
Dado un sistema de referencia S (determinado por una base
de vectores unitarios (e x, e y , e z) y otro S’ (determinado por
una base de vectores unitarios (e x ′, e y ′, e z ′), la orientación de
S respecto a S’ está totalmente determinada por la matriz de
cambio de base C S′
S , que para un vector genérico v permite
cambiar de base: v S′
= C S′
S v S . Denotemos:
C S′
S =
2
4 c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
Obsérvese: eS′ x = C S′
S eS x = C S′
S [1 0 0]T = [c11 c21 c31] T .
Luego: ex ′ · ex = (eS′ x ′ )T eS′ x = [1 0 0][c11 c21 c31] T = c11.
Igualmente:
c21 = e y ′ · e x , c31 = e z ′ · e x
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Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
c12 = e x ′ · e y , c22 = e y ′ · e y , c32 = e z ′ · e y
c13 = e x ′ · e z , c23 = e y ′ · e z , c32 = e z ′ · e z
3
5
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Matriz de cosenos directores (DCM) II
Por tanto:
2
C S′
S = 4
e x ′ · e x e x ′ · e y e x ′ · e z
e y ′ · e x e y ′ · e y e y ′ · e z
e z ′ · e x e z ′ · e y e z ′ · e z
Obsérvese que razonando igualmente:
C S
S ′ =
2
6
4
e x ′ · e x e y ′ · e x e z ′ · e x
e x ′ · e y e y ′ · e y e z ′ · e y
e x ′ · e z e y ′ · e z e z ′ · e z
3
3
5
7
5 = (C S′
S )T
Y por tanto, puesto que C S S′
S ′ = (CS )−1 , obtenemos que
C S S′
S ′ es ortogonal, es decir: (CS )−1 = (C S′
S )T . También se
justifica el nombre “matriz de cosenos directores”.
Otra propiedad es det(C S S ′) = 1. Esto se debe a que
1 = det(Id) = det((C S S ′)(C S S ′)−1 ) = det((C S S ′)(C S S ′)T ) =
S det(CS ′) 2 S . Por tanto det(CS ′) = ±1. El signo +
corresponde a los sistemas de referencia que son triedros
“a derechas”.
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