Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

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Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Círculo máximo entre dos puntos Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Dados dos puntos PA = (φA, λA), PB = (φB, λB), se dice que PA y PB son antipodales si φB = −φA y λB = 180 o + λA. Si PA y PB NO son antipodales, existe un único círculo máximo que contenga a ambos. La ortodrómica será el arco más corto que los una. Si PA y PB son antipodales, existen infinitos círculos máximos que los unen; cualquier semicircunferencia de dichos círculos máximos es una ortodrómica. ¿Por qué? ¿Cuál es por tanto la distancia entre dos puntos antipodales (en millas náuticas)? ¿Son los meridianos ortodrómicas? ¿Son los paralelos ortodrómicas? Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas Cálculo de la trayectoria ortodrómica. Rumbo Recordemos que en una esfera, r = Re [cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ]. Recordemos además los vectores que definen la base local en coordenadas curvilíneas: ⎡ er = ⎣ cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ ⎤ ⎡ ⎦ , eφ = ⎣ − sen φ cos λ − sen φ sen λ cos φ ⎤ ⎡ ⎦ , eλ = ⎣ − sen λ cos λ 0 37 / 67 Físicamente e r apunta hacia el cénit, e φ hacia el Norte y e λ hacia el Este. Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo (también llamado azimut) en un punto de la curva como el ángulo que forma el vector e φ con el vector tangente de dicha curva e t, medido en el sentido de las agujas del reloj. ¿Qué significado físico tienen los rumbos 0 o , 90 o , 180 o y 270 o ? En general el rumbo cambiará según el punto de la curva y el sentido en que se recorra. 38 / 67 ⎤ ⎦ . Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Cálculo de la trayectoria ortodrómica Escribamos los vectores de los puntos: ⎡ ⎤ r A = Re ⎣ cos φA cos λA cos φA sen λA sen φA Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas ⎡ ⎦ , r B = Re ⎣ cos φB cos λB cos φB sen λB sen φB Geométricamente, se puede ver que el arco que abarca la ortodrómica es el ángulo α formado por los vectores. Por tanto: r A · r B = r Ar B cos α, y se llega a: cos α = sen φA sen φB + cos φA cos φB cos(λB − λA) ¿Cuál sería la ecuación implícita que verificarían todos los puntos de la ortodrómica? Una vez se tiene α, dA,B = αRe. Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Cálculo del rumbo en la ortodrómica I Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas ¿Cómo calcular el rumbo del que habría que partir desde A para recorrer la ortodrómica? Recordemos que el rumbo sería el ángulo entre el vector e φ en A y la tangente e t en A. En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano que define la ortodrómica será: n = r A × r B Por otro lado, e t será perpendicular tanto a n como a e r en A. Por tanto: e t(A) = n × e r (A) = (r A × r B) × e r (A) Usando la identidad: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, se llega a: e t(A) = −e r (A) × (r A × r B) = (e r (A) · r A)r B − (e r (A) · r B)r A = Re (r B − cos αr A) ⎤ ⎦ . 39 / 67 40 / 67
Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Cálculo del rumbo en la ortodrómica II El módulo de dicho vector e t es: Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas et(A) = = Re (r B − cos αr A) Re (r B − cos αr A) · (r B − cos αr A) = Re R2 e + cos2 αR2 e − 2R2 e cos2 α = R 2 e sen α Por tanto el vector e t normalizado es: e ∗ t (A) = e r (B) − cos αe r (A) sen α El rumbo χ(A) se encontrará de cos χ(A) = e φ(A)·e ∗ t (A) = e φ(A) · e r (B) − cos αe φ(A) · e r (A) sen α Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Cálculo del rumbo en la ortodrómica III Luego finalmente: Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas cos χ(A) = e φ(A) · e r (B) sen α Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a: cos χ(A) = cos φA sen φB − cos φB sen φA cos(λB − λA) sen α ¿Es el rumbo constante en todos los puntos de la ortodrómica? ¿Cómo se resolvería el problema inverso? (Dado un punto inicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar el punto al que se llega siguiendo una ortodrómica). ¿Cuál es el rumbo en el caso antipodal? 41 / 67 42 / 67 Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Trayectorias loxodrómicas Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas En la práctica, un piloto no puede volar una ruta ortodrómica porque el rumbo de la trayectoria se modifica continuamente. La trayectoria más fácil de volar es una que mantenga el rumbo constante. Una trayectoria loxodrómica entre dos puntos de la Tierra es el camino más corto entre dichos puntos tal que el rumbo de dicho camino es constante. Por tanto, son fáciles de volar para un piloto humano. Una trayectoria ortodrómica será más corta, pero no volable; por tanto se puede aproximar por varios segmentos loxodrómicos. ¿Son los meridianos loxodrómicas? ¿Son los paralelos loxodrómicas? ¿Son las loxodrómicas curvas cerradas? Geodesia Cartografía Sistemas de referencia. Tiempos Cálculo de la loxodrómica I Proyecciones. Mapas y Cartas Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado un rumbo χ y un punto inicial, ¿qué curva se obtiene si se vuela con dicho rumbo constante? Supongamos que describimos la curva sobre la esfera con una ecuación del tipo φ = φ(λ). Ejercicio: probar que se llega a una ecuación diferencial φ ′ cos φ = 1 tan χ . Integrando llegamos a la siguiente ecuación: tan (π/4 − φA/2) ln = tan (π/4 − φ/2) λ − λA tan χ ¿Cuál sería la distancia entre dos puntos de una loxodrómica? Recordar: λ d = etdλ λA 43 / 67 Se llega a: d = Re 1 + tan2 χ(φ − φA). 44 / 67
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