Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Círculo máximo entre dos puntos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Dados dos puntos PA = (φA, λA), PB = (φB, λB), se dice que
PA y PB son antipodales si φB = −φA y λB = 180 o + λA.
Si PA y PB NO son antipodales, existe un único círculo
máximo que contenga a ambos. La ortodrómica será el arco
más corto que los una.
Si PA y PB son antipodales, existen infinitos círculos máximos
que los unen; cualquier semicircunferencia de dichos círculos
máximos es una ortodrómica. ¿Por qué? ¿Cuál es por tanto la
distancia entre dos puntos antipodales (en millas náuticas)?
¿Son los meridianos ortodrómicas?
¿Son los paralelos ortodrómicas?
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Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Cálculo de la trayectoria ortodrómica. Rumbo
Recordemos que en una esfera,
r = Re [cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ].
Recordemos además los vectores que definen la base local en
coordenadas curvilíneas:
⎡
er = ⎣
cos φ cos λ
cos φ sen λ
sen φ
⎤
⎡
⎦ , eφ = ⎣
− sen φ cos λ
− sen φ sen λ
cos φ
⎤
⎡
⎦ , eλ = ⎣
− sen λ
cos λ
0
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Físicamente e r apunta hacia el cénit, e φ hacia el Norte y e λ
hacia el Este.
Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo
(también llamado azimut) en un punto de la curva como el
ángulo que forma el vector e φ con el vector tangente de dicha
curva e t, medido en el sentido de las agujas del reloj.
¿Qué significado físico tienen los rumbos 0 o , 90 o , 180 o y 270 o ?
En general el rumbo cambiará según el punto de la curva y el
sentido en que se recorra. 38 / 67
⎤
⎦ .
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Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo de la trayectoria ortodrómica
Escribamos los vectores de los puntos:
⎡
⎤
r A = Re ⎣
cos φA cos λA
cos φA sen λA
sen φA
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Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
⎡
⎦ , r B = Re ⎣
cos φB cos λB
cos φB sen λB
sen φB
Geométricamente, se puede ver que el arco que abarca la
ortodrómica es el ángulo α formado por los vectores.
Por tanto:
r A · r B = r Ar B cos α,
y se llega a:
cos α = sen φA sen φB + cos φA cos φB cos(λB − λA)
¿Cuál sería la ecuación implícita que verificarían todos los
puntos de la ortodrómica?
Una vez se tiene α, dA,B = αRe.
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Cálculo del rumbo en la ortodrómica I
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
¿Cómo calcular el rumbo del que habría que partir desde A
para recorrer la ortodrómica? Recordemos que el rumbo sería
el ángulo entre el vector e φ en A y la tangente e t en A.
En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano que
define la ortodrómica será:
n = r A × r B
Por otro lado, e t será perpendicular tanto a n como a e r en
A. Por tanto:
e t(A) = n × e r (A) = (r A × r B) × e r (A)
Usando la identidad: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, se llega
a:
e t(A) = −e r (A) × (r A × r B) = (e r (A) · r A)r B − (e r (A) · r B)r A
= Re (r B − cos αr A)
⎤
⎦ .
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