Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia. Tiempos.

Geodesia
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Navegación Aérea
Tema 1: Geodesia. Cartografía. Sistemas de referencia.
Tiempos.
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
La geodesia a través de la Historia
Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Geodesia: Ciencia que se ocupa de la forma, medida y
representación de la Tierra y de su campo gravitatorio.
También estudia otros fenómenos, como por ejemplo el
movimiento de las placas tectónicas, la rotación de la Tierra,
el desplazamiento de los Polos o las mareas.
Forma de la Tierra: Se plantean modelos locales
(útiles para una cierta región, como por ejemplo o
un país) o globales.
Medida de la Tierra: A pequeña escala (topografía:
estudios geodésicos, triangulaciones geodésicas con
teodolitos), o a gran escala (radio de la Tierra,
aplanamiento, etc...).
Representación de la Tierra: En este aspecto,
íntimamente ligada a la cartografía.
Campo gravitatorio de la Tierra: en este aspecto se
denomina geodesia física (rotación, mareas,
densidad de las capas de la Tierra...). 2 / 67
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Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Modelos de Tierra en la Antigüedad
La geodesia a través de la Historia
Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
En tiempos antiguos (primeras civilizaciones), los
desplazamientos eran muy cortos y por tanto el efecto de la
curvatura muy poco apreciable.
Por tanto, típicamente se asumía un modelo de Tierra plana 1 .
No obstante ya había algunos efectos
apreciables para una mente observadora:
En un eclipse de Luna, la sombra de la
Tierra es circular (¿y si la Tierra fuera un
disco?).
Cuando un barco se adentra en el mar, lo
último que desaparece son las velas!
Los griegos fueron los primeros en proponer
otro modelo de Tierra diferente: una Tierra
esférica.
1 Aún existe quien así lo piensa, p.ej. los miembros de la Flat Earth Society.
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Modelos de Tierra en la Antigüedad
La geodesia a través de la Historia
Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Los griegos eligieron una esfera por coherencia con las
observaciones, pero sobre todo por motivos filosóficos: la
esfera es el sólido más perfecto.
Entre otros, argumentaron que la Tierra era una esfera
Pitágoras, Aristóteles, Platón o Arquímedes.
El primero en estimar la circunferencia de la
esfera terrestre fue Eratóstenes, alrededor
del año 240 A.C.
Eratóstenes de Cirene era un matemático,
poeta, atleta, geógrafo y astrónomo griego.
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También estimó la inclinación del eje de la
Tierra con respecto a la eclíptica (plano
donde orbita la Tierra en torno al Sol), y se
le atribuye estimar la distancia Tierra-Sol y
la invención del año bisiesto. 4 / 67

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Midiendo la circunferencia de la Tierra
La geodesia a través de la Historia
Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Eratóstenes usó trigonometría para medir el radio de la Tierra,
supuesta ésta esférica (el radio real es aproximadamente 6370
kilómetros).
En Asuán, durante el Solsticio de Verano, el Sol se encontraba
totalmente vertical. ¿Qué es el Solsticio de Verano y
qué implica que el Sol esté vertical?
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Modelo de Tierra esférico
El mismo día, en Alejandría, un obelisco
proyectaba una sombra de ángulo 7,12 o .
Eratóstenes sabía que la distancia entre
Alejandría y Asuán era de unos 5000
estadios.
En unidades modernas, 1 estadio = 157.5
metros.
Ejercicio: Reproducir el cálculo de
Eratóstenes. 5 / 67
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Posteriormente Ptolomeo (en el siglo II D.C.) estimó el
perímetro de la Tierra en 29000 kilómetros (realmente son
unos 40000 kilómetros). Dado el prestigio de Ptolomeo, ésta
estimación se mantuvo durante la Edad Media y Renacimiento
y fue la utilizada por Colón para planear su viaje a las Indias.
Si la Tierra es esférica, se pueden definir
latitud, longitud, meridianos y paralelos.
¿Cuál es la latitud y longitud de Sevilla?
¿qué longitud tiene un cierto arco dado
sobre un meridiano? ¿y sobre un paralelo?
Tomando el radio de la Tierra como 6366.7
kilómetros, ¿qué longitud cubre un minuto
de arco de meridiano? (1’=1/60 grados)
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Modelo de Tierra elipsoidal
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Cassini (Francia, s.XVIII) midió con precisión un arco de
meridiano y observó el siguiente fenómeno: tomando como
referencia París, 1 grado de arco medido hacia el Norte era
más largo que un grado de arco medido hacia el Sur.
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La geodesia en tiempos modernos
Para resolver la discrepancia, propuso un
modelo elipsoidal (de revolución) de la
Tierra, de forma que el radio en el Polo es
mayor que el radio en el Ecuador.
Huygens y Newton habían propuesto
décadas atrás el modelo opuesto, un
elipsoide de revolución con mayor radio en el
Ecuador que en el Polo.
El asunto se convertió en una cuestión de
orgullo nacional, Francia vs. Gran Bretaña.
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
La academia de Ciencias francesa mandó una expedición a
regiones polares para hacer medidas más precisas.
Las medidas dieron la razón a los ingleses.
Éste fue el primer avance importante en geodesia en casi 20
siglos.
En el siglo XIX, la geodesia aparece como
ciencia independiente gracias a las
contribuciones de Bessel, Gauss, etc...
En tiempos modernos, la geodesia ha
experimentado un nuevo auge gracias a la
exploración del espacio.
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Sistemas basados en satélites como GPS y
otros permiten determinar medidas
geodéticas con una precisión antes
inalcanzable. 8 / 67

Modelos de Tierra
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Dependiendo del objetivo que se pretende alcanzar, en
diferentes disciplinas se pueden emplear diferentes modelos de
Tierra.
En estudios simplificados y locales se puede usar Tierra plana
(p. ej. en Mecánica del Vuelo).
En el otro extremo está la superficie topográfica de la Tierra:
es la forma real de la Tierra, pero para poder usarla hacen
falta infinitos puntos: no es práctica en la mayor parte de los
casos.
Otra posibilidad es definir una superficie ideal, matemática, de
referencia, admitiendo que la Tierra “se parece” a pero no es
exactamente dicha superficie. Hay dos posibilidades:
Esfera: más simple pero menos precisa.
Elipsoide de revolución achatado en los polos.
Finalmente, el geoide es una superficie compleja que aproxima
bien la topográfica, definida en base al modelo geopotencial
(gravitatorio y de rotación terrestre). 9 / 67
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Elipsoides de referencia
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Puesto que la Tierra tiene una forma aproximadamente
elipsoidal, éste modelo tiene el mérito de ser lo
suficientemente simple como para ser manejable y lo
suficientemente preciso como para ser útil en la práctica.
Para definir un elipsoide son necesarios dos parámetros:
re = semieje ecuatorial (mayor) [a veces llamado a].
rp = semieje polar (menor) [a veces llamado b].
Típicamente no se emplea b, sino que se
utiliza el “factor de achatamiento” o de
aplanamiento (flattening): f = 1 − rp/re.
En tablas se suele dar más bien 1/f .
Otraalternativa a f es la excentricidad
e = 1 − r 2 p /r 2 e .
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Elipsoides de referencia
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Existen muchos elipsoides definidos, que aproximan mejor
diferentes zonas de la Tierra.
Es sencillo convertir coordenadas de un elipsoide a otro.
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Sistemas de referencia. Tiempos
Otros elipsoides de referencia
En la actualidad ha emergido un estándar
comúnmente aceptado en todo el mundo.
Se denomina Elipsoide Internacional de
Referencia WGS84.
Para el WGS84, re = 6378,137 kilómetros y
1/f = 298,257224.
El uso del WGS84 se debe a que es
empleado por los satélites GPS; todos los
receptores GPS trabajan con coordenadas
definidas por el elipsoide WGS84.
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Ejemplos de otros elipsoides de referencia:
En España hasta hace poco se usaba el ED50, basado en el
Internacional, pero ahora se usa el GRS80, que es equivalente
(por milímetros) al WGS84.
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Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Sistema Geográfico de referencia
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Coordenadas geodéticas o geodésicas
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
También llamado ejes Tierra o ECEF (Earth
Centered, Earth Fixed).
Ligado a la Tierra, rota con ella.
Util para referenciar posiciones en toda la
Tierra.
Coordenadas cartesianas:
x ECEF = [x ECEF y ECEF z ECEF ] T .
El plano Ox e y e contiene al Ecuador y el
plano Ox e z e al Meridiano de Greenwich.
La forma de la Tierra se asimila al elipsoide
WGS84.
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Un punto queda determinado por su
altitud h, latitud geodésica φ y longitud
geodésica λ.
Obsérvese que h mide la altitud sobre
una perpendicular al suelo (vertical
local) que no coincide en general con
una línea que una el punto con el
centro de la Tierra.
Relación con las coordenadas cartesianas:
x ECEF
y ECEF
z ECEF
=
=
=
h +
h +
h +
!
re
p cos φ cos λ =
1 − f (2 − f ) sen2 φ
!
re
p cos φ sen λ =
1 − f (2 − f ) sen2 φ
re (1 − f ) 2
!
p sen φ =
1 − f (2 − f ) sen2 φ
h +
!
re
h + p cos φ cos λ,
1 − e2 sen2 φ
!
re
h + p cos φ sen λ,
1 − e2 sen2 φ
re (1 − e 2 !
)
p sen φ.
1 − e2 sen2 φ
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Coordenadas geocéntricas
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
También se pueden emplear coordenadas
esféricas tradicionales:Un punto P queda
determinado por el radio r (medido desde el
centro de la Tierra), la latitud geocéntrica φC y
la longitud geocéntrica λC .
Es evidente que λC = λ, al ser el elipsoide de
revolución. No obstante, φ = φC .
En la figura se ha elegido un meridiano β por el
que se ha “cortado” el elipsoide.
Usando la figura se pueden demostrar las
fórmulas de la anterior transparencia.
Relación con las coordenadas cartesianas:
x ECEF
y ECEF
z ECEF
q
= r cos φC cos λC , r = (xECEF ) 2 + (y ECEF ) 2 + (zECEF ) 2 ,
= r cos φC sen λC , tan λC =
y ECEF
= r sen φC , tan φC =
xECEF ,
z ECEF
q
(xECEF ) 2 +(yECEF .
) 2
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Pasar de coordenadas cartesianas a geodésicas
Dadas las coordenadas geodésicas, es inmediato obtener las
coordenadas x ECEF .
El procedimiento inverso ha de hacerse numéricamente.
Únicamente se puede calcular con facilidad λ de
tan λ = xECEF
y ECEF .
Para ello conviene definir la función N(φ) =
escribir p = (x ECEF ) 2 + (y ECEF ) 2 .
1 Asumir h0 = 0. Entonces tan φ0 = zECEF
p(1−e2 ) .
2 Iterar para i = 0, 1, . . .:
a Calcular Ni =
re .
√ 1−e 2 sen 2 φi
b Calcular hi+1 = p
cos − Ni. φi
c Calcular φi+1 de tan φi+1 =
z ECEF
“
p 1−e2 Ni Ni +hi+1 re √ y
1−e2 sen2 φ
”. Volver a (a).
3 Parar cuando el procedimiento iterativo converja.
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Sistema de referencia local y radios de curvatura
En la figura se ve un sistema de ejes
definido localmente, llamado NED:
North-East-Down.
Coincide con el sistema definido por las
coordenadas curvilineas φ, λ, h, de
forma que N=e φ, E=e λ, D=e h.
Dicho sistema es fundamental en
navegación aérea, a veces se llama
“navigation frame”.
El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano
(λ =cte) es Rmer =
re(1−e 2 )
(1−e 2 sen 2 φ) 3/2 .
El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo
(φ =cte) es Rnormal
cos φ , donde Rnormal =
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Modelos gravitatorios
re √ .
1−e2 sen2 φ
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homogénea por capas
esféricas (como una cebolla), la aceleración de la gravedad g
sería igual a G = − µe
r 3 r, donde r = x ECEF .
En realidad, se tiene que G = G(r, λ, φ).
Para estudiar G es más sencillo usar un potencial U G y
utilizar coordenadas geocéntricas r, λC , φC .
Por tanto G = ∇UG , es decir, en esféricas:
G = ∂UG
∂r er + 1
r
∂U G
∂φC e φC
Modelo esférico: U G = µe
r .
Modelo elipsoidal (J2):
+ 1
r cos λC
∂U G
∂λC e λC .
UG = µe
r 1 + J2
re 2
2 r (1 − 3 sen2 φC ) , donde J2 es un
coeficiente.
Modelo EGM96: hasta 360 términos realizando correciones
por la forma de la Tierra y la distribución másica.
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La rotación de la Tierra
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
La Tierra rota con una velocidad ωe en torno al eje z e . Puesto
que los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejes
hay que añadir las fuerzas de inercia ficticias.
Concretamente aparece una aceleración centrífuga, dada por
acent = −ωe × (ωe × x ECEF ).
x ECEF y ECEF T
0 .
Se tiene que a cent = −ω 2 e
Si escribimos Uω = ω2 e r 2 cos2 φC
2 , se tiene que acent = ∇Uω .
Nótese que desde el punto de vista de un observador, la
aceleración centrífuga es completamente indistinguible de la
gravitatoria.
El geopotencial
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleración
centrífuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la
“gravedad sentida” g.
Se tiene por tanto g = G + a cent.
A nivel de potenciales, U g = U G + U ω .
La función U g se denomina geopotencial.
Obsérvese que esta misma operación no se puede realizar con
la otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad del
sistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis.
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El geoide
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
El geopotencial se utiliza para definir el geoide, una superficie
que aproxima la forma verdadera de la Tierra.
Se define el geoide como la superficie equipotencial (con
respecto al geopotencial U g ) que mejor aproxima (en el
sentido de mínimos cuadrados) el nivel medio del mar global.
Un geoide (exagerado).
El geoide
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Con los modelos gravitatorios antes
expuestos:
1 Si se considera la gravedad de una esfera y
se desprecia la rotación de la Tierra, se
tiene que el geoide es una esfera.
2 Si se considera la gravedad con el modelo
J2 (de un elipsoide) y con la rotación de la
Tierra, se obtiene el elipsoide WGS84.
3 Si se considera el modelo completo de
gravedad EGM96 se obitene el llamado
geoide EGM96.
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
En las figuras se puede ver la relación entre la superficie de la
Tierra (topográfica), el geoide, y el elipsoide.
Se define N como la undulación del geoide. Se tiene
N ≤ 100 m. En la figura de la izquierda aparece la altura
elipsoidal (como h) y la altura ortométrica o
elevación geoidal (como H).
La altura AGL hAGL es la distancia hasta la
superficie, y se define como la altitud menos
la altura elipsoidal.
Un modelo de terreno vendrá dado como
una función que da la altura elipsoidal
dependiendo de los valores de λ y φ. 22 / 67
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Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
Otros modelos gravitatorios de referencia
Para simplificar, en ocasiones se usan otros modelos más
simples de gravedad, p.ej. gravedad constante. No obstante, si
se quiere una gran precisión habrá que utilizar el modelo más
complejo disponible.
La mayor parte de los sistemas de navegación emplean
modelos simplificados, donde se define g como un escalar y
luego se escribe g n = [0 0 g], donde n es el sistema de
referencia NED (luego D es “hacia abajo”).
Nosotros usaremos g = µe
(re+h) 2 .
El WGS84 define un modelo simplificado con algunos
coeficientes (no lo usaremos).
Puesto que el modelo no es correcto, se debe incluir la
posibilidad de que tenga errores (anomalías gravitatorias):
g n = [ξg − ηg g], donde ξ y η son pequeños ángulos, que se
mantendrán constantes en pequeñas distancias.
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Geodesia
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Línea de plomada y deflexión vertical
La geodesia a través de la Historia
Modelos de Tierra
Modelos gravitatorios de la Tierra
La linea de plomada o vertical astronómica
es perpendicular al geoide, y es hacia donde
en la realidad se dirige g.
La linea perpendicular al elipsoide es hacia
donde se dirige g según el modelo de la
anterior transparencia.
La diferencia entre ambas es la llamada
“deflexión vertical”.
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Cartografía
Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Cartografía: es la disciplina que estudia la teoría y la
confección de mapas geográficos y cartas.
Para ello combina ciencia, técnica e incluso estética, partiendo
de la premisa de que se puede comunicar información
geográfica de forma efectiva modelando adecuadamente la
realidad física.
Los principales problemas que encuentra la
cartografía son:
Seleccionar los aspectos geográficos que se
muestran en una representación.
Eliminar la complejidad innecesaria o
irrelevante contenida en una representación.
Combinar los elementos representativos que
tiene una representación para comunicar de
forma efectiva la información deseada.
Plasmar la representación de la realidad
tridimensional sobre una superficie plana (el
mapa o carta): mediante proyecciones. 25 / 67
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Sistemas de referencia. Tiempos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Mapas/Cartas: representaciones en un plano y a tamaño
reducido de la superficie de la Tierra o una parte de ella.
Un mapa siempre introduce distorsiones (es decir, no es
completamente fiel a la realidad) debido a que la superficie
que se pretende representar tiene curvatura.
Ésto fue demostrado matemáticamente por Euler.
Para crear un mapa se emplea una proyección.
Concretamente, se proyecta el plano terráqueo sobre una
cierta superficie:
Un plano (proyección tipo azimutal).
Un cilindro (proyección cilíndrica).
Un cono.
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Proyecciones.
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Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Otras formas de clasificar una proyección podrían ser:
Por la orientación de la superficie respecto al Ecuador:
normales, trasversales u oblicuas.
Por la posición del globo terráqueo respecto a la superficie:
tangente (podría tener una línea sin deformación) o secante
(podría tener dos líneas sin deformación).
Más importante es el tipo de proyección; p.ej. para el caso
de un plano:
Gnomónica (la proyección pasa por el centro de la
Tierra).
Estereográfica (pasa por el punto antipodal).
Ortográfica (la proyección tiene una dirección fija).
Escenográfica (la proyección viene desde fuera del
globo terrestre).
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Propiedades de una proyección
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Las propiedades más importantes de una proyección son:
Conformidad. Una proyección es conforme si preserva los
ángulos (y por tanto los rumbos); además preserva las formas
a nivel local. Los meridianos y paralelos siguen siendo
perpendiculares. Muy útiles en navegación.
Conservación de áreas. Una proyección es equiareal si mantiene
la proporción entre áreas. Útiles sobre todo en aplicaciones
administrativas/políticas.
Equidistancia: una proyección NO puede mantener la
proporción correcta entre TODAS las distancias. No obstante
sí pueden existir algunas líneas con esta propiedad: líneas
automecoicas. Una carta que tenga “muchas” líneas
automecoicas se denomina equidistante.
Un mapa no puede ser conforme y equiareal (Euler); si lo
fuera, sería una representación perfecta del globo terrestre.
Siempre hay que renunciar al menos a una de las propiedades.
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Proyección de Mercator.
Muy utilizada en navegación marítima.
Inventada en el siglo XVI.
Cilíndrica, trasversal y conforme.
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Proyección cilíndrica equidistante.
Permite ver la Tierra completa.
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Ecuaciones matemáticas:
x = λ − λ0,
y = ln tan
.
π φ
4 + 2 φ
No acotada en y: se suele cortar a
altas latitudes.
Cuanto más cerca de los polos, más
se distorsiona el mapa (observar
como se amplía la distancia en
proyección entre paralelos
equidistantes en la realidad). 29 / 67
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Cilíndrica, trasversal, tangente, ortográfica.
Típicamente usada para representar trazas de satélites.
Ecuaciones matemáticas:
x = λ − λ0, y = φ.
Acotada en y. Por tanto, no
conforme.
Tampoco es equiareal.
Su sencillez la hace popular en
representaciones generadas por
ordenador.
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Proyección estereográfica.
Útil para estudiar las proximidades de
un punto, p.ej. el Polo.
Conforme.
Plana, normal, tangente, estereográfica.
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Sistemas de referencia. Tiempos
Proyección de Lambert.
Utilizada en navegación aérea.
Cónica, normal, secante
y estereográfica.
Las lineas rectas aproximan rutas
ortodrómicas (ver más adelante).
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Ecuaciones matemáticas:
x = cos φ sen(λ − λ0),
y = cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0).
No acotada: se suele cortar a
puntos cercanos al antipodal del
centro de la proyección.
Útil para estudiar las proximidades
de un punto.
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Ecuaciones matemáticas:
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x = ρ sen(n(λ − λ0)), y = ρ0 − ρ cos(n(λ − λ0)),
ln(cos φ donde: n =
1 sec φ2 )
ln(tan(π/4−φ2 /2) cot(π/4−φ1 /2)) ,
ρ = F cot n (π/4 + φ/2), ρ0 = F cot n (π/4 + φ0/2),
F = 1/n cos φ1 tan n (π/4 + φ1/2).
No acotada se suele reducir a una
zona de interés.
2 paralelos automecoicos (φ1, φ2).
Suelen ser locales y no globales.
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Proyección azimutal equidistante.
En el emblema de la ONU.
Azimutal, escenográfica,
tangente, normal.
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Trayectorias más usuales
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Ecuaciones matemáticas:
x = c cos φ sen(λ − λ0),
sen c
y = c
sen c [cos φ0 sen φ − sen φ0 cos φ cos(λ − λ0)], donde
cos c = sen φ0 sen φ − cos φ0 cos φ cos(λ − λ0).
Acotada: convierte el punto antipodal en
una circunferencia limítrofe.
Sólo libre de distorsión en torno al punto
central.
Todas las distancias medidas desde el
punto central son verdaderas (líneas
automecoicas).
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problema
de encontrar el camino más apropiado para ir de uno a otro.
En la realidad, esta elección del camino (que se plasma en el
plan de vuelo) está sujeta a numerosas restricciones. A día de
hoy, se vuela entre “waypoints”.
Además habría que tener en cuenta los vientos.
No obstante, en esta lección vamos a simplificar el problema y
vamos a suponer que en principio cualquier camino es volable.
Además supondremos que la Tierra es una esfera de radio Re.
Veremos dos posibilidades:
El camino más corto: trayectoria ortodrómica.
El camino más simple de volar: trayectoria loxodrómica.
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Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Trayectorias ortodrómicas. Círculos máximos
Una trayectoria ortodrómica entre dos puntos de la Tierra es
el camino más corto entre dichos puntos.
Podemos traducir el problema a términos matemáticos,
considerando un modelo de Tierra esférica.
Dados dos puntos PA y PB en la esfera, dados como (φA,λA)
y (φB,λB), de todas las curva sobre la esfera que unen dichos
puntos, ¿cuál es la de mínima distancia?
Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una línea recta.
En una superficie con curvatura, dicha curva se denomina
geodésica y en general no es una recta.
La geometría diferencial da unas ecuaciones para hallar la
geodésica en función de la primera forma diferencial, los
símbolos de Christoffel, etc...
Para el caso de la esfera, la solución es simple y sólo requiere
el uso de geometría elemental.
Círculos máximos
!
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Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
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En una esfera, un “círculo mayor” (gran
círculo, círculo máximo) viene dado por la
intersección de un plano que pasa por el
centro de la esfera con la esfera.
Las “rectas esféricas” (geodésicas) son
los círculos mayores. Obsérvese que
cualesquiera dos rectas esféricas cortan
siempre en dos puntos; por tanto, no
existen paralelas en geometría esférica.
El problema queda reducido a:
Dados dos puntos, determinar el círculo mayor que contiene a
ambos. ¿Es dicho círculo único?
Medir la distancia sobre dicho círculo: dará la distancia entre
los dos puntos.
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Círculo máximo entre dos puntos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Dados dos puntos PA = (φA, λA), PB = (φB, λB), se dice que
PA y PB son antipodales si φB = −φA y λB = 180 o + λA.
Si PA y PB NO son antipodales, existe un único círculo
máximo que contenga a ambos. La ortodrómica será el arco
más corto que los una.
Si PA y PB son antipodales, existen infinitos círculos máximos
que los unen; cualquier semicircunferencia de dichos círculos
máximos es una ortodrómica. ¿Por qué? ¿Cuál es por tanto la
distancia entre dos puntos antipodales (en millas náuticas)?
¿Son los meridianos ortodrómicas?
¿Son los paralelos ortodrómicas?
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Cálculo de la trayectoria ortodrómica. Rumbo
Recordemos que en una esfera,
r = Re [cos φ cos λ cos φ sen λ sen φ].
Recordemos además los vectores que definen la base local en
coordenadas curvilíneas:
⎡
er = ⎣
cos φ cos λ
cos φ sen λ
sen φ
⎤
⎡
⎦ , eφ = ⎣
− sen φ cos λ
− sen φ sen λ
cos φ
⎤
⎡
⎦ , eλ = ⎣
− sen λ
cos λ
0
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Físicamente e r apunta hacia el cénit, e φ hacia el Norte y e λ
hacia el Este.
Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo
(también llamado azimut) en un punto de la curva como el
ángulo que forma el vector e φ con el vector tangente de dicha
curva e t, medido en el sentido de las agujas del reloj.
¿Qué significado físico tienen los rumbos 0 o , 90 o , 180 o y 270 o ?
En general el rumbo cambiará según el punto de la curva y el
sentido en que se recorra. 38 / 67
⎤
⎦ .
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo de la trayectoria ortodrómica
Escribamos los vectores de los puntos:
⎡
⎤
r A = Re ⎣
cos φA cos λA
cos φA sen λA
sen φA
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
⎡
⎦ , r B = Re ⎣
cos φB cos λB
cos φB sen λB
sen φB
Geométricamente, se puede ver que el arco que abarca la
ortodrómica es el ángulo α formado por los vectores.
Por tanto:
r A · r B = r Ar B cos α,
y se llega a:
cos α = sen φA sen φB + cos φA cos φB cos(λB − λA)
¿Cuál sería la ecuación implícita que verificarían todos los
puntos de la ortodrómica?
Una vez se tiene α, dA,B = αRe.
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo del rumbo en la ortodrómica I
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
¿Cómo calcular el rumbo del que habría que partir desde A
para recorrer la ortodrómica? Recordemos que el rumbo sería
el ángulo entre el vector e φ en A y la tangente e t en A.
En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano que
define la ortodrómica será:
n = r A × r B
Por otro lado, e t será perpendicular tanto a n como a e r en
A. Por tanto:
e t(A) = n × e r (A) = (r A × r B) × e r (A)
Usando la identidad: a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c, se llega
a:
e t(A) = −e r (A) × (r A × r B) = (e r (A) · r A)r B − (e r (A) · r B)r A
= Re (r B − cos αr A)
⎤
⎦ .
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo del rumbo en la ortodrómica II
El módulo de dicho vector e t es:
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
et(A) =
=
Re (r B − cos αr A)
Re (r B − cos αr A) · (r B − cos αr
A)
= Re R2 e + cos2 αR2 e − 2R2 e cos2 α = R 2 e sen α
Por tanto el vector e t normalizado es:
e ∗ t (A) = e r (B) − cos αe r (A)
sen α
El rumbo χ(A) se encontrará de
cos χ(A) = e φ(A)·e ∗ t (A) = e φ(A) · e r (B) − cos αe φ(A) · e r (A)
sen α
Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo del rumbo en la ortodrómica III
Luego finalmente:
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
cos χ(A) = e φ(A) · e r (B)
sen α
Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a:
cos χ(A) = cos φA sen φB − cos φB sen φA cos(λB − λA)
sen α
¿Es el rumbo constante en todos los puntos de la
ortodrómica?
¿Cómo se resolvería el problema inverso? (Dado un punto
inicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar el
punto al que se llega siguiendo una ortodrómica).
¿Cuál es el rumbo en el caso antipodal?
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Trayectorias loxodrómicas
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
En la práctica, un piloto no puede volar una ruta ortodrómica
porque el rumbo de la trayectoria se modifica continuamente.
La trayectoria más fácil de volar es una que mantenga el
rumbo constante.
Una trayectoria loxodrómica entre dos puntos de la Tierra es
el camino más corto entre dichos puntos tal que el rumbo de
dicho camino es constante.
Por tanto, son fáciles de volar para un piloto humano.
Una trayectoria ortodrómica será más corta, pero no volable;
por tanto se puede aproximar por varios segmentos
loxodrómicos.
¿Son los meridianos loxodrómicas?
¿Son los paralelos loxodrómicas?
¿Son las loxodrómicas curvas cerradas?
Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo de la loxodrómica I
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado un
rumbo χ y un punto inicial, ¿qué curva se obtiene si se vuela
con dicho rumbo constante?
Supongamos que describimos la curva sobre la esfera con una
ecuación del tipo φ = φ(λ).
Ejercicio: probar que se llega a una ecuación diferencial
φ ′
cos φ
= 1
tan χ .
Integrando llegamos a la siguiente ecuación:
tan (π/4 − φA/2)
ln
=
tan (π/4 − φ/2)
λ − λA
tan χ
¿Cuál sería la distancia entre dos puntos de una loxodrómica?
Recordar:
λ
d = etdλ λA
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Se llega a: d = Re 1 + tan2 χ(φ − φA). 44 / 67

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Sistemas de referencia. Tiempos
Cálculo de la loxodrómica II
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Ya podemos resolver el problema directo: dados dos puntos A
y B, hallar la loxodrómica que los une y la distancia
loxodrómica que los separa.
En primer lugar hallar el rumbo de la ecuación:
tan (π/4 − φA/2)
ln
=
tan (π/4 − φB/2)
λB − λA
tan χ
En segundo lugar calcular la distancia de:
d = Re 1 + tan2 χ(φB − φA).
Tener cuidado con los casos especiales!!
En una proyección de Mercator las loxodrómicas son rectas.
Trayectorias ejemplo
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Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Proyecciones. Mapas y Cartas
Trayectorias ortodrómicas y loxodrómicas
Estudiemos las trayectorias entre Sevilla (λ = 5 o 59 ′ W,
φ = 37 o 24 ′ N) y las ciudades:
Madrid (λ = 4 o 1 ′ W, φ = 40 o 46 ′ N).
Nueva York (λ = 73 o 58 ′ W, φ = 40 o 47 ′ N).
Melbourne (λ = 144 o 58 ′ E, φ = 37 o 49 ′ S).
Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
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Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)
Madrid 410.0943 23.78 410.1023 24.38
NY 5716.03 296.26 5864.08 273.67
Melbourne 17427.04 100 17601.17 118.3
Si numéricamente se calculan los mismos casos sobre el
elipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados:
Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)
Madrid 410.64 23.86 410.65 24.47
NY 5742.7 296.26 5891.5 273.65
Melbourne 17469 99.86 17644 118.16
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Sistemas de referencia. Tiempos
Trayectorias ejemplo: Sevilla-Madrid
56.7*,8)0179-)(4
@83A60179-)(4
!&
!&("
!"
!"("
:9,6)963*/-
;6

Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Trayectorias ejemplo: Sevilla-Melbourne
56-7)+8(/079,(34
5,+)+8(/079,(34
?82@6/079,(34
&'!
&!!
'!
!
:6;6(962).,

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Sistemas de referencia. Tiempos
Sistema de Ejes Tierra (ECEF)
Sistemas de referencia
Tiempos
Ligado íntimamente a la Tierra, rota con ella.
Util para referenciar posiciones terrestres.
El plano Oxy contiene al Ecuador y el plano Oxz al Meridiano
de Greenwich.
La forma de la Tierra se asimila a un elipsoide de revolución
(Elipsoide Internacional WGS84) alrededor del eje Oz (de
rotación de la Tierra).
Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Sistema Topocéntrico
Sistemas de referencia
Tiempos
Ligado íntimamente a la Tierra,
con origen en el donde se
encuentre el observador (E).
Se usa para tomar medidas
desde Tierra.
El plano Exy es tangente al Elipsoide Internacional WGS84 en
la superficie, la dirección Ex apunta al Este, la dirección Ey al
Norte, y la Ez sigue la vertical local “hacia arriba” (cénit). La
dirección local “hacia abajo” se denomina nadir.
Las observaciones se componen de tres medidas: r o ρ
(distancia al objeto); A, azimut; y h, la altura o elevación
sobre el plano horizontal.
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Sistemas de referencia
Tiempos
Sistema de ejes horizonte local (LLS,NED)
42 APPLIED MATHEMATICS IN INTEGRATED NAVIGATION SYSTEMS
Fig. 3.1 ECEF coordinate frame with z axis along Earth's rotation axis.
Earth-Centered, Earth-Fixed Frame
The Earth-centered, Earth-fixed (ECEF) frame is fixed within the Earth and its
rotation, and it is centered at the Earth's center. Axis definitions in current use vary.
Shown in Figs. 3.1, 3.2, and 3.3 are illustrations of three possible ECEF frames.
In the first frame, shown in Fig. 3.1, the z axis is parallel to and aligned with the
direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane, the x axis locates the
Greenwich meridian and the y axis completes the right-hand system. In Fig. 3.2,
the y axis is parallel to the direction of the Earth's rotation. In the equatorial plane,
the z axis locates the siguiente Greenwich meridian transparencia).
and the x axis completes the righthand
system. In the third frame, Fig. 3.3, the x axis is parallel to the direction
of the Earth's rotation. The z axis locates the Greenwich meridian and the y axis
completes the right-hand system.
Earth-Centered Inertial Frame
In each of these figures, the corresponding Earth-centered inertial Geodesia (ECI) frame is
established by the direction of the Earth's rotation. This inertial frame is fixed to an
Sistemas de referencia
Cartografía
inertial reference. The further specification of the inertial reference is not necessary Tiempos
Sistemas de referencia. Tiempos
for the following developments; however, if, for example, navigation aids are based
on stellar updates, then the inertial reference would have to be specified.
Local Geodetic Frame
Also shown in Figs. 3.1,3.2, and 3.3 are local geodetic (geographic) frames that
are usually associated with the ECEF frame indicated.
Llamada en inglés LLS=Local Level
System o NED=North East Down.
También “ejes geodéticos o
geodésicos locales”.
Es un sistema local centrado en un
punto que puede o no estar en la
superficie de la Tierra.
Por tanto cambia al moverse el
punto.
Está definida respecto al elipsoide: la dirección Norte es eφ, la
dirección Este es eλ y la dirección abajo es −eh. Es el sistema de referencia fundamental usado en navegación,
aunque a veces es sustituido por el de azimut errante (ver
Sistema de referencia de azimut de deriva
Llamada en inglés “Wander
azimuth frame”.
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Se usa frecuentemente en
navegación en vez del sistema
de referencia horizonte local
debido a que, en las
proximidades de los polos, dicho
sistema está mal definido y
ocasiona problemas numéricos.
Se rota un ángulo α respecto a la dirección N/E. Dicho
ángulo y su variación se puede definir por el diseñador del
sistema de navegación.
Con α = ˙α = 0 recuperamos el sistema de ejes horizonte local.
Típicamente se define ˙α = ˙ λ sin φ.
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Sistemas de referencia
Tiempos
Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)
Llamada en inglés BFS=Body Fixed System.
Se utiliza para definir la actitud (orientación) de la aeronave,
respecto el sistema de ejes de navegación (NED o wander
azimuth). 57 / 67
Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Sistemas de referencia
Tiempos
Sistema de referencia ejes cuerpo (BFS)
Los ejes están definidos como en la
figura.
El centro del sistema de referencia,
en el centro de masas del avión.
El eje xb contenido en el plano de
simetría del avión, hacia el morro.
El ángulo rotado en torno a xb es ϕ
(alabeo o roll).
El eje zb contenido en el plano de simetría del avión, hacia
abajo. El ángulo rotado en torno a zb es ψ (guiñada o yaw).
El eje yb completa el triedro (dirección aproximada del ala
derecha). El ángulo rotado en torno a yb es θ (cabeceo o
pitch).
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Sistemas de referencia
Tiempos
Relación entre sistemas de referencia
Dado un sistema de referencia A y un sistema de referencia B,
para pasar de uno a otro habrá que tener en cuenta dos
hechos:
Cuando no coinciden los orígenes de A y B, habrá que realizar
una translación: r A = r B + r BA.
Cuando A y B están rotados entre sí, habrá que realizar una
rotación: r A = C A B r B , donde C A B será la matriz del cambio de
base entre A y B (ortogonal).
Además, a la hora de estudiar derivadas, hay que tener en
cuenta que la derivada tomada en dos sistema de referencia
distintos cambia si dichos sistemas rotan uno en relación al
otro con velocidad angular ω B/A. Lo estudiaremos más
adelante.
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Algunas definiciones de interés
Sistemas de referencia
Tiempos
Velocidad inercial: es la derivada de la posición, tomada en el
sistema de referencia inercial, es decir, v i = ˙r i .
Velocidad respecto a Tierra: es la derivada de la posición,
tomada en el sistema de referencia ejes Tierra, es decir,
v e = ˙r e .
Obsérvese que ambas definiciones no coinciden puesto que la
Tierra rota; además v e = C e
i v i porque las derivadas no están
tomadas en el mismo sistema de referencia. Más adelante
veremos como están relacionadas ambas cantidades.
Velocidad en los ejes de navegación: es la velocidad respecto a
Tierra v e tomada en el sistema de referencia de navegación,
es decir, v n = C n e v e . Obsérvese que v n = ˙r n = 0!
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Algunas definiciones de interés
Sistemas de referencia
Tiempos
Ésta velocidad v n es la velocidad “percibida” en el avión.
Cuando n es el sistema de referencia horizonte local, esta
velocidad se suele descomponer en:
Módulo: velocidad respecto a Tierra, a veces llamada Vg . Sería
la velocidad real del avión respecto al suelo.
Ángulo formado entre v n y el plano horizonte local: ángulo de
trayectoria γ (flight path angle).
Ángulo formado entre la proyección de v n en el plano horizonte
local y la dirección Norte: ángulo de rumbo χ (heading angle).
Hay que tener en cuenta que el ángulo de rumbo χ y el de
guiñada ψ pueden no coincidir, especialmente en presencia de
viento.
Geodesia
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Sistemas de referencia. Tiempos
Relación entre ECEF y ECI.
Sistemas de referencia
Tiempos
Para encontrar C e
i , hay que tener en cuenta que la Tierra gira
con velocidad angular ωi/e = [0 0 ωE ] T , es decir, ambos
sistemas de referencia estarán rotados una cantidad
θE = θE0 + ωE t. Luego:
Por tanto:
C e
i =
Donde c = cos y s = sen.
ECI θE
−→z i ECEF
⎡
⎣
cθE sθE 0
−sθE cθE 0
0 0 1
⎤
⎦
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Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Relación entre ECI y LLS.
Sistemas de referencia
Tiempos
Para encontrar C g e (donde g hace referencia al carácter
geodésico de LLS), hay que tener en cuenta la posición (λ, φ)
y realizar las siguientes operaciones:
Rotar λ grados en torno a z e .
Rotar −φ grados en torno al nuevo eje y.
El sistema resultante tiene x en la dirección −z y z en la
dirección x. Por tanto girar -90 grados adicionales.
Por tanto:
C S
e
=
2
4
ECEF λ −φ
−→ S −→
cλ sλ 0
−sλ cλ 0
0 0 1
2
C g
e = C g S′ S
S ′ CS Ce = 4
z e
3
5 C S′
S = 4
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
y S S ′ −90
−→
y S
2
′ LLS
cφ 0 sφ
0 1 0
−sφ 0 cφ
−sφcλ −sφsλ cφ
−sλ cλ 0
−cφcλ −cφsλ −sφ
3
5
3
Sistemas de referencia
Tiempos
Relación entre LLS y azimut errante (n).
5 C g
S ′ =
2
4
0 0 1
0 1 0
−1 0 0
Para encontrar C n g , hay que tener en cuenta que la rotación de
ángulo α en torno al eje z. Por tanto:
Por tanto:
C n g =
LLS α
−→ z WA
⎡
⎣
cα sα 0
−sα cα 0
0 0 1
⎤
⎦
3
5
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64 / 67

Fig. 2.3 Single rotation in three-axis coordinate frame.
Geodesia
Sistemas de referencia
A vector's components described in one frame can be described in Cartografía another frame
Tiempos
of arbitrary orientation with respect to the original Sistemas frame de referencia. by a transformation Tiempos matrix
composed of three sequential rotations (Euler angles) starting from the original
frame's axes. These rotations are illustrated in Fig. 2.4. In this figure, the primes
are used to represent Relación the corresponding entre transformed n yaxis. BFS The final y frame corresponds
to the triple primed x axes. Written in vector form, the transformation is
Para encontrar C b n hay que tener en cuenta los ángulos de
where the transformation DCM, c:, transforms the components of the r vector
from the x frame to the y frame. Euler (ψ, θ, ϕ).
Se llega a:
Fig. 2.4 Three rotations in three-axis coordinate frame.
2
C b
n = C b S′ S
S ′ CS Cn = 4
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Las operaciones son:
Rotar ψ grados en torno a z n .
Rotar θ grados en torno al nuevo eje y.
Rotar ϕ grados en torno al nuevo eje x.
n ψ θ
−→ S −→
z n
y S
S ′ ϕ
−→ BFS
′
x S
cθcψ −cϕsψ + sϕsθcψ sϕsψ + cϕsθcψ
cθsψ cϕcψ + sϕsθsψ −sϕcψ + cϕsθsψ
−sθ sϕcθ cϕcθ
Sistemas de referencia
Tiempos
Tiempos de interés en Navegación Aérea
Tiempo Universal Coordinado (UTC):
Medido por relojes atómicos a lo largo del mundo.
Cada cierto tiempo (a lo largo de años) se añaden o restan
segundos para compensar la pequeña irregularidad de la
rotación de la Tierra.
El huso horario se define como UTC±n. Además hay que tener
en cuenta el cambio de horario de verano. Por ejemplo, Sevilla
es UTC+1, y en verano UTC+2.
A efectos prácticos UTC coincide con el viejo GMT.
Tiempo GPS (GPST):
Sirve de referencia para las aplicaciones relacionadas con GPS.
Medido en los relojes atómicos a bordo de los Navstar.
No se añaden ni restan segundos: no coincide con UTC (difiere
en segundos).
3
5
65 / 67
66 / 67
Husos horarios
Geodesia
Cartografía
Sistemas de referencia. Tiempos
Sistemas de referencia
Tiempos
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Navegación Aérea
Tema 2: Conceptos Básicos de Navegación Aérea.
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Historia de la navegación: La estrella Polar
En tiempos antiguos, la navegación (fundamentalmente
marítima) se realizaba fundamentalmente de dos formas:
navegación visual: basada en puntos de referencia conocidos.
navegación astronómica: basada en la observación de
fenómenos celestes.
La estrella polar (Polaris) es un punto de referencia
fijo en el cielo del Hemisferio Norte; está casi
alineada con el eje de rotación de la Tierra. Se
localiza encontrando primero la constelación de la
Osa Mayor.
Por tanto, su elevación en el cielo sobre el horizonte
(hPOLARIS) es exactamente igual a la latitud (φ) del
observador: φ = hPOLARIS.
2 / 28
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Historia de la navegación: El Sol
De día o con el cielo nublado, no es posible determinar
hPOLARIS. Si es posible ver el Sol, entonces se puede usar la
elevación en el cielo del Sol, al mediodía: hSUN.
El mediodía local está determinado cuando el Sol alcanza su
máxima elevación en el cielo. En ese instante pasa por el
meridiano del observador.
Se debe conocer un dato llamado la declinación del
Sol, δSUN (es la “latitud geocéntrica del Sol”) . Esta
declinación depende del día del año y se puede
encontrar en tablas o calcularse.
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Entonces: φ = 90 o − hSUN + δSUN.
Historia de la navegación: El hemisferio Sur
En el hemisferio Sur, de noche, no se puede ver la estrella
Polaris, ni existe ninguna estrella alineada con el eje de
rotación de la Tierra hacia el Sur.
Se emplea una constelación (“la cruz”) cuyo “brazo
mayor” apunta en dirección al Polo Sur celeste.
A una distancia de 4.5 veces dicho brazo se
encuentra el Polo Sur celeste. Su elevación es −φ.
Otra alternativa es usar el “Puntero de la cruz”, dos
estrellas cercanas a la Cruz, como se muestra en la
figura.
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4 / 28

Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Historia de la navegación: Instrumentos
En todas las situaciones anteriores, es necesario medir la
elevación de un objeto celeste en el cielo.
Para ello se usaban diversos instrumentos astronómicos.
Astrolabio: media circunferencia (ant. siglo X).
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Cuadrante: un cuarto de circunferencia (siglo XII).
Sextante: un sexto de circunferencia, con mecanismo
más sofisticado (de forma que no sea necesario,
p.ej., mirar directamente al Sol) y mayor precisión
(siglo XVIII).
Historia de la navegación: Navegación a estima
Hallar la latitud mediante los métodos anteriormente descritos
no es suficiente para encontrar la posición sobre la Tierra.
No obstante, conocida una estimación de la posición inicial
(fix), del rumbo, y de la velocidad, y midiendo el tiempo, es
posible predecir la trayectoria.
En los barcos, para predecir la velocidad, se utilizaba
la llamada “corredera”: formada por un lastre
(barquilla), una carrete y un cordón marcado con
nudos, separados 15.43 metros (1 mn/120).
Lanzando la barquilla al agua y contando el número
de nudos en 30 segundos, se estima la velocidad.
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Conocida la velocidad y el rumbo, se puede estimar
(por ejemplo en una carta tipo Mercator) la
trayectoria recorrida por el barco, durante un tiempo
dado (medido por ejemplo con un reloj de arena),
siguiendo la ruta loxodrómica.
Problema: los errores (deriva) crecen con t. 6 / 28
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Historia de la navegación: El problema de la longitud I
Con los métodos anteriormente descritos se puede conseguir
una navegación “cruda” (de hecho se llegó a América), pero
no es posible localizar con precisión la situación de un barco
en medio de los océanos.
Para hacerlo es necesario hallar la longitud. La solución
teórica de este problema era ya conocida en el siglo XVI.
1 Observar una estrella de movimiento conocido o el
Sol al mediodía (mediante p.ej. un sextante).
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
2 Medir el tiempo de observación (mediante un
cronómetro).
3 Comparar con la posición de dicho cuerpo estelar en
un lugar conocido (obtenida de tablas de
efemérides).
4 Resolver el triángulo astronómico (usando
trigonometría elemental).
Historia de la navegación: El problema de la longitud II
Por ejemplo, si para un día dado se determina la hora t a la
que es el mediodía local, y se conoce la hora t0 en la que es
mediodía local, dicho día, en Greenwich: λ ≈ (t0 − t)15 o ,
donde los tiempos están medidos en horas y con el mismo
reloj.
El problema es tecnológico: ¿cómo medir el tiempo con
precisión a bordo de un barco que navega durante meses?
Los mejores cronómetros del siglo XVI tenían al
menos 10 minutos de error al día.
El problema fue tan importante que varios países
(España en 1598, Gran Bretaña en 1714)
convocaron concursos internacionales.
Finalmente John Harrison (1730) resolvió el
problema para Inglaterra inventando un reloj que
cometía un error de segundos al día.
7 / 28
Su mejor reloj viajó a Jamaica desde Inglaterra
cometiendo sólo 5 segundos de error en 1764. 8 / 28

Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Historia de la navegación: La era moderna
El nacimiento de la aeronáutica ha demandado una gran
mejora de los métodos de navegación, que ha de tener en
cuenta las 3 dimensiones.
En la primera mita del siglo XX nacen las radioayudas: ADF,
VOR, ILS...
En la segunda mitad del siglo XX:
Los avances en computación hacen posible la navegación
inercial.
La conquista del espacio hace posible la navegación por
satélite: Transit, GPS...
Últimos avances: sensores inerciales de bajo coste, GPS
diferencial, futuro sistema GALILEO...
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Tipos de navegación
Navegación. Sistemas de navegación.
Navegación: Conjunto de técnicas para desplazarse entre dos
puntos conocidos, origen y destino, siguiendo una cierta
trayectoria.
Sistemas de navegación: permiten obtener la posición,
velocidad, actitud y tiempo en cualquier instante. PVAT:
9 / 28
P: posición, dada como x e = [x e y e z e ] T , (λ, φ, h)...
V: velocidad, dada como V n g o (Vg , γ, χ)...
A: actitud, dada por los ángulos de Euler (ψ, θ, ϕ) u
otras representaciones.
T: tiempo (UTC).
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Errores de navegación.
Tipos de navegación
Un sistema de navegación no sólo tiene que proporcionar
como salida el dato actual de PVAT. Puesto que la estimación
del PVAT nunca es perfecta, también es necesario conocer
una estimación del error cometido.
Típicamente se visualiza para cada instante el error como una
región de incertidumbre (típicamente un elipsoide) en cuyo
centro se encuentra la estimación actual de la posición del
avión.
El error cometido en la dirección del movimiento se llama ATE
(along-track error).
El error cometido en la dirección perpendicular al movimiento
se llama CTE/XTE (cross-track error).
El error cometido en la dirección vertical se llama VE (vertical
error).
Uno de los objetivos de la navegación es minimizar la
incertidumbre en posición, es decir, minimizar el tamaño del
elipsoide de incertidumbre.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Tipos de Navegación
Tipos de navegación
Los sistemas de navegación se pueden dividir en dos grandes
familias:
Navegación autónoma: Aquella que emplea dispositivos
internos de la aeronave sin necesidad de emplear sistemas
externos. Por tanto no son vulnerables a fallos en
comunicaciones, ni dependen de la disponibilidad de otros
sistemas ajenos. Ello los hace muy deseables, especialmente en
aeronaves militares. Dos ejemplos son la antigua navegación a
estima y la navegación inercial (que no es sino un tipo
sofisticado de navegación a estima).
Navegación por posicionamiento: Emplea medidas externas
como referencia para localizar la posición. Por ejemplo,
navegación visual (basada en puntos de referencia visuales),
navegación astronómica (basada en la observación de cuerpos
celestes), navegación basada en radioayudas (basada en
señales de radio recibidas), navegación por satélite...
En realidad, ambos tipos de navegación son complementarios
y la tendencia moderna es a integrarlos.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Navegación integrada
Tipos de navegación
La navegación integrada es aquella que emplea la información
proporcionada por todos los diferentes sensores y sistemas de
navegación para obtener la mejor estimación PVAT posible.
La navegación autónoma (p.ej. inercial) proporciona una
estimación continua (alto ancho de banda), integrando las
ecuaciones del movimiento. Pero se degrada con el tiempo
(errores no acotados).
La navegación por posicionamiento proporciona una
estimación cada cierto tiempo (bajo ancho de banda), pero
con error acotado.
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
La actitud de la aeronave
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
La actitud de la aeronave es su orientación respecto al sistema
de referencia de navegación (típicamente el sdr horizonte local
o el de azimut errante).
En realidad, es suficiente conocer la orientación de un sistema
de referencia solidario a la aeronave (los ejes cuerpo).
Los ángulos de Euler cabeceo, guiñada y alabeo son la
representación clásica, pero no la única; existen otras
representaciones con diferentes ventajas e inconvenientes.
Estudiaremos cuatro representaciones diferentes:
Matriz de cosenos directores.
Ángulos de Euler.
Ángulo y eje de Euler.
Cuaterniones.
Nota: La posición (φ, λ) o (φ, λ, α) también se puede
considerar una “orientación” del sistema de referencia de
navegación respecto al ECEF.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Matriz de cosenos directores (DCM) I
Dado un sistema de referencia S (determinado por una base
de vectores unitarios (e x, e y , e z) y otro S’ (determinado por
una base de vectores unitarios (e x ′, e y ′, e z ′), la orientación de
S respecto a S’ está totalmente determinada por la matriz de
cambio de base C S′
S , que para un vector genérico v permite
cambiar de base: v S′
= C S′
S v S . Denotemos:
C S′
S =
2
4 c11 c12 c13
c21 c22 c23
c31 c32 c33
Obsérvese: eS′ x = C S′
S eS x = C S′
S [1 0 0]T = [c11 c21 c31] T .
Luego: ex ′ · ex = (eS′ x ′ )T eS′ x = [1 0 0][c11 c21 c31] T = c11.
Igualmente:
c21 = e y ′ · e x , c31 = e z ′ · e x
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
c12 = e x ′ · e y , c22 = e y ′ · e y , c32 = e z ′ · e y
c13 = e x ′ · e z , c23 = e y ′ · e z , c32 = e z ′ · e z
3
5
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Matriz de cosenos directores (DCM) II
Por tanto:
2
C S′
S = 4
e x ′ · e x e x ′ · e y e x ′ · e z
e y ′ · e x e y ′ · e y e y ′ · e z
e z ′ · e x e z ′ · e y e z ′ · e z
Obsérvese que razonando igualmente:
C S
S ′ =
2
6
4
e x ′ · e x e y ′ · e x e z ′ · e x
e x ′ · e y e y ′ · e y e z ′ · e y
e x ′ · e z e y ′ · e z e z ′ · e z
3
3
5
7
5 = (C S′
S )T
Y por tanto, puesto que C S S′
S ′ = (CS )−1 , obtenemos que
C S S′
S ′ es ortogonal, es decir: (CS )−1 = (C S′
S )T . También se
justifica el nombre “matriz de cosenos directores”.
Otra propiedad es det(C S S ′) = 1. Esto se debe a que
1 = det(Id) = det((C S S ′)(C S S ′)−1 ) = det((C S S ′)(C S S ′)T ) =
S det(CS ′) 2 S . Por tanto det(CS ′) = ±1. El signo +
corresponde a los sistemas de referencia que son triedros
“a derechas”.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Matriz de cosenos directores (DCM) III
Es una representación de la actitud con 9 parámetros. Estos
parámetros son dependientes entre sí, es decir, las entradas de
la matriz C no pueden ser cualesquiera (la matriz ha de ser
ortogonal y con determinante +1).
Supongamos que la actitud de S2 respecto a S1 viene dada
por C S2
S1 y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada por
C S3
S2 . La actitud de S3 respecto a S1 viene dada por
C S3
S1
= C S3
S2
C S2
S1
. Por tanto la “composición” de actitudes viene
dada por un simple producto matricial.
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Ángulos de Euler I
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
En general una actitud se puede describir mediante tres
rotaciones, en ejes no consecutivos.
Por ejemplo, la rotación clásica:
n ψ θ
−→ S −→
z n
Existen otras posibilidades:
z S
y S
S ′ ϕ
−→ BFS
′
n θ1 θ2
−→ S −→
xn y S S ′ θ2
Ω i
−→ BFS n −→ S −→
′ zn x S
xS S ′ ω
zS −→ BFS
′
Existen hasta 12 posibles secuencias de ángulos de Euler para
representar la actitud.
El número de parámetros de cada secuencia es siempre 3.
Se puede obtener la DCM a partir de los ángulos de Euler
mediante multiplicación de matricies de rotación elementales.
Por ejemplo: C b n (ψ, θ, ϕ) = C b S
′(ϕ)C S′
S (θ)C S n (ψ).
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Ángulos de Euler II
Como ya vimos, para el caso (ψ, θ, ϕ):
2
C b
n = 4
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
cθcψ cθsψ −sθ
−cϕsψ + sϕsθcψ cϕcψ + sϕsθsψ sϕcθ
sϕsψ + cϕsθcψ −sϕcψ + cϕsθsψ cϕcθ
Obsérvese que (180 o + ψ, 180 o − θ, 180 o + ϕ) es la misma
actitud que (ψ, θ, ϕ). Por ello se suelen limitar los
ángulos, típicamente θ ∈ [−90 o , 90 o ].
n ψ
−→ z n
θ
S −→ S
y S
′ ϕ
−→ BFS
xS ′
Para obtener los ángulos de la DCM:
1 θ = − arc sen c13.
2 Con cos ψ = c11/ cos θ, sen ψ = c12/ cos θ, obtener ψ.
3 Con sen ϕ = c23/ cos θ, cos ϕ = c33/ cos θ, obtener ϕ.
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Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Ángulos de Euler III
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Su mayor ventaja es su significado físico.
No obstante, hay que tener cuidado a la hora de componer
dos actitudes.
Supongamos que la actitud de S2 respecto a S1 viene dada
por (ψ1, θ1, ϕ1) y que la actitud de S3 respecto a S2 viene
dada por (ψ2, θ2, ϕ2). Denotemos como (ψ3, θ3, ϕ3) la actitud
de S3 respecto a S1. En general: ψ3 = ψ1 + ψ2, θ3 = θ1 + θ2,
ϕ3 = ϕ1 + ϕ2.
Para obtener (ψ3, θ3, ϕ3) hay que calcular los ángulos de Euler
a partir de C S3
S1
= C S2
S1 (ψ1, θ1, ϕ1)C S3
S2 (ψ2, θ2, ϕ2).
Por tanto es complicado operar con ángulos de Euler.
3
5
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Ángulo y eje de Euler I
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Teorema de Euler: “el movimiento más general posible de un
sólido con un punto fijo es una rotación alrededor de un único
eje”.
Nota: De momento consideramos la actitud en un instante de
tiempo concreto, es decir, no estudiamos cuando hay una
rotación que cambia con el tiempo.
Denominemos a un vector unitario en la dirección de dicho eje
(Eje de Euler) como e S/S ′ y a la magnitud de la rotación
( Ángulo de Euler) como θ.
Por tanto eS/S ′ = 1 y si escribimos eS′ S/S ′ = [ex ey ez] T , se
tiene que e2 x + e2 y + e2 z = 1.
Dado un vector v = [vx vy vz] T definimos el operador v ×
como:
2
v × = 4
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Ángulo y eje de Euler II
0 −vz vy
vz 0 −vx
−vy vx 0
3
5
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
El operador v × sirve para escribir fácilmente el producto
escalar v × w, para cualquier vector w, en un sistema de
referencia dado S: (v × w) S = v S ×
w S .
Por tanto la actitud con el ángulo y eje de Euler queda
representada con los parámetros (eS′ S/S ′, θ). ¿Cómo se puede
pasar de estos parámetros a la DCM y viceversa?
Se tiene que
C S′
S
S′
= cos θId + (1 − cos θ)eS′ S/S ′(e S/S ′) T − sen θ
Ésta es la llamada fórmula de Euler-Rodrigues.
Por otro lado, dada C S′
S , se tiene que:
cos θ =
e S′
S/S ′
×
=
S′ Tr(CS ) − 1
2
1
2 sen θ
(C S′
S )T − C S′
S
eS′ S/S ′
×
.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Ángulo y eje de Euler III
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Por tanto se representa la actitud con cuatro parámetros: tres
componentes de un vector unitario y un ángulo. Estos
parámetros tienen un claro significado físico.
Obsérvese que la actitud dada por (eS′ S/S ′, θ) y por
(−eS′ S/S ′, −θ) es exactamente la misma. Para evitar ésta
ambigüedad, se restringe θ al intervalo [0, 180o ].
La actitud inversa (la de S respecto a S ′ ) vendrá dada por
(eS S ′ /S , θ′ ). Obsérvese que eS S ′ /S = eS′
S/S ′ y θ ′ = −θ.
Finalmente si la actitud de S2 respecto a S1 viene dada por
(e S2
S1/S2 , θ1) y que la actitud de S3 respecto a S2 viene dada
por (e S3
S2/S3 , θ2), si denotamos como (e S3
S1/S3 , θ3) la actitud de
S3 respecto a S1, viene dada por:
cos θ3 = − cos θ1 cos θ2 + sen θ1 sen θ2(e S1 /S 2 · e S2 /S 3 )
e S 3
S 1 /S 3
=
1
sen θ3
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Cuaterniones
“
”
sen θ1 cos θ2e S1 /S + cos θ1 sen θ2e
2 S2 /S + sen θ1 sen θ2(e
3 S1 /S × e
2 S2 /S )
3
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Los cuaterniones son una creación de Hamilton (siglo XIX),
que los consideraba su mayor invento; pensó serían como el
“lenguaje universal” de la física. Pero fueron sustituidos
pronto por los vectores (Gibbs) y las matrices (Cayley).
Recordemos que un número complejo z es como un “vector
2-D”, que se puede escribir como z = x + iy. Los números
complejos de módulo unidad se pueden usar para representar
una rotación 2-D, ya que en el caso de que |z| = 1, se puede
escribir z = e iθ , y en tal caso representa una rotación 2-D de
ángulo θ.
Los cuaterniones son una extensión de los números complejos
a “4 dimensiones”. Escribimos un cuaternión q como:
q = q0 + iq1 + jq2 + kq3.
En ocasiones q0 se denomina la “parte escalar” de q y se
define q = [q1 q2 q3] T como la “parte vectorial” de q.
Algunos autores escriben q4 en vez de q0.
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Álgebra de cuaterniones I
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Para poder entender los cuaterniones es importante conocer
su álgebra, es decir, como se opera con cuaterniones.
Suma: la suma es componente a componente, es decir, dado
q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 y q ′ = q ′ 0 + iq′ 1 + jq′ 2 + kq′ 3 , se tiene
que q ′′ = q + q ′ = q ′′
viene dado por las
0
+ iq′′
1
+ jq′′
2
+ kq′′
3
fórmulas:
q ′′
0 = q0 + q ′ 0 , q′′ 1 = q1 + q ′ 1 , q′′ 2 = q2 + q ′ 2 , q′′ 3 = q3 + q ′ 3 .
Producto: el producto es componente a componente,
conociendo las siguientes reglas de multiplicación:
i · i = −1, i · j = k, i · k = −j, j · i = −k, j · j = −1, j · k = i,
k · i = j, k · j = −i, k · k = −1.
Se tiene la fórmula de Hamilton: i · j · k = −1.
Obsérvese que en general qq ′ = q ′ q: La multiplicación no es
conmutativa!
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Álgebra de cuaterniones II
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Forma matricial del producto: Es posible escribir el producto
q ′′ = q ′ q en forma matricial.
⎡
⎢
⎣
q ′′
0
q ′′
1
q ′′
2
q ′′
3
⎤
⎥
⎦ =
⎡
⎢
⎣
q ′ 0 −q′ 1 −q′ 2 −q′ 3
q ′ 1 q ′ 0 −q′ 3 q ′ 2
q ′ 2 q ′ 3 q ′ 0 −q′ 1
q ′ 3 −q′ 2 q ′ 1 q ′ 0
⎤ ⎡
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎦ ⎣
Forma “vectorial” del producto: q ′′
0 = q′ 0 q0 − q ′T q,
q ′′ = q0q ′ + q ′ 0 q + q′ × q.
Conjugado: Como para los números complejos, dado
q = q0 + iq1 + jq2 + kq3 se define el conjugado de q como
q ∗ = q0 − iq1 − jq2 − kq3.
Módulo: Se define el módulo de q = q0 + iq1 + jq2 + kq3
como |q| 2 = qq ∗ = q 2 0 + q2 1 + q2 2 + q2 3
División: Se define la división usando el conjugado:
q ′ /q = q ′ /q · q ∗ /q ∗ = (q ′ q ∗ )/|q| 2 .
q0
q1
q2
q3
⎤
⎥
⎦
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Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Representación de la actitud mediante cuaterniones I
Dada la actitud representada mediante el eje y ángulo de
Euler, e y θ, se “codifica” dicha actitud en forma de
cuaterniones mediante:
q0 = cos θ/2, q = sen θ/2e.
Obsérvese que si un cuaternión q representa una actitud,
entonces |q| = 1.
Recordemos el operador q × :
2
q × = 4
0 −q3 q2
q3 0 −q1
−q2 q1 0
Para pasar de la√DCM C a cuaterniones, se utilizan las
1+Tr(C)
fórmulas: q0 = y q 2
× = 1
T C − C .
4q0
Para pasar de cuaterniones a DCM se utiliza la fórmula de
Euler-Rodrigues para cuaterniones:
C = q2 0 − qT q Id + 2qqT − 2q0q × .
Introducción histórica
Navegación. Definición y tipos de navegación
La actitud de la aeronave. Formas de representación
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5
Matriz de cosenos directores
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Representación de la actitud mediante cuaterniones II
Fórmula de Euler-Rodrigues en forma matricial:
2
C(q) = 4
q 2 0 + q2 1 − q2 2 − q2 3 2(q1q2 + q0q3) 2(q1q3 − q0q2)
2(q1q2 − q0q3) q 2 0 − q2 1 + q2 2 − q2 3 2(q2q3 + q0q1)
2(q1q3 + q0q2) 2(q2q3 − q0q1) q 2 0 − q2 1 − q2 2 + q2 3
Los cuaterniones son una representación de la actitud que
requiere 4 parámetros, con la relación |q| = 1.
Tienen la desventaja de ser una representación
matemática sin sentido físico.
Para pasar de la DCM a cuaterniones y viceversa no es
necesario usar fórmulas trigonométricas.
Si qS ′ S representa la actitud de S’ respecto a S y qS ′′ S ′
representa la actitud de S” respecto a S’, entonces qS ′′ S,
la actitud de S” respecto a S, se calcula como
qS ′′ S = qS ′ S · qS ′′ S ′ (al revés que la DCM).
3
5
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Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Navegación Aérea
Tema 3: Ecuaciones de la navegación.
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Para el caso de la posición, las ecuaciones cinemáticas
relacionan el vector posición con el vector velocidad, mientras
que las ecuaciones dinámicas relacionan el vector velocidad
con el vector fuerza.
Para el caso de la actitud, las ecuaciones diferenciales
cinemáticas (EDC) relacionan la representación de la actitud
(DCM, ángulos de Euler, cuaterniones) con la velocidad
angular ω. Típicamente estas ecuaciones son no-lineales.
En el sistema de navegación inercial, los giróscopos nos darán
ω, y habrá que utilizar las EDC, es decir, integrar las
ecuaciones, para calcular la actitud.
Por tanto es importante conocer las diferentes EDC para las
diferentes representaciones, para ver cuál es la más ventajosa
desde un punto de vista computacional.
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Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
DCM para ángulos pequeños I
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Supongamos que tenemos dos sistemas de referencia A y B,
relacionados de la siguiente forma:
xA S1
dθ2 dθ3
−→ S2 −→
y S1 zS2 A dθ1
−→
donde suponemos que dθi son ángulos pequeños, de forma
que podemos aproximar cos dθi 1 y sen dθi dθi.
Si escribimos las matrices de rotación teniendo en cuenta la
aproximación anterior, obtenemos:
2
C S1 = 4
A
1 0 0
0 1 dθ1
0 −dθ1 1
3
2
5 , C S2 = 4
S1 1 0 −dθ2
0 1 0
dθ2 0 1
B
3
2
5 , C B
S = 4
2
1 dθ3 0
−dθ3 1 0
0 0 1
Si escribimos C B A = C B S2 S1 C C S2 S1 A y despreciamos todos los
productos dobles de ángulos, es decir, dθidθj 0,
obtenemos:
2
C B
A = 4
1 dθ3 −dθ2
−dθ3 1 dθ1
dθ2 −dθ1 1
3
2
5 = Id − 4
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
DCM para ángulos pequeños II
0 −dθ3 dθ2
dθ3 0 −dθ1
−dθ2 dθ1 0
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
En la anterior transparencia, se ha definido
dθ = [dθ1 dθ2 dθ3] T y la matriz
⎡
dθ × = ⎣
0 −dθ3 dθ2
dθ3 0 −dθ1
−dθ2 dθ1 0
3
5 = Id − dθ × ,
que es la matriz antisimétrica que se emplea para efectuar el
producto vectorial.
Obsérvese que bajo estas hipótesis (ángulos pequeños) no
importa el orden de las rotaciones y los ángulos se suman.
⎤
⎦ ,
3
5 .
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Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM I
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Supongamos que quiero calcular la actitud de B respecto a A,
(t), sabiendo que B gira con respecto a
mediante la DCM C B A
A con una velocidad angular ωB B/A .
Por definición: d
dt
Suponiendo A fijo, entonces podemos imaginar que es B
quien se mueve en el tiempo, y por tanto podríamos escribir
B = B(t) y por tanto C B B(t)
A (t) = CA .
Usando este razonamiento,
C B(t)
. Por tanto:
C B A
(t + dt) = C B(t+dt)
A
dt C B A = C B A (t+dt)−C B A (t)
= C B(t+dt)
B(t)
A −→ B(t) −→ B(t + dt)
En el tiempo dt, el sistema de referencia B habrá girado
respecto a sí mismo un ángulo muy pequeño en cada eje; por
lo que hemos visto en la anterior transparencia, por tanto,
= Id − dθ B × B
, donde dθ es como antes se definió.
C B(t+dt)
B(t)
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM II
Siguiendo el razonamiento: d
A
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
dt C B A = C B A (t+dt)−C B A (t)
dt
C B(t+dt)
C B(t)
B A (t)−C B A (t)
dt = (Id−(dθB ) × )C B A (t)−C B A (t)
dt
La matriz (dθB ) ×
dθ B ×
dt
⎡
= ⎣
dt
se escribiría
0 − dθ3
dθ3
dt
dt
0
dθ2
dt
− dθ1
dt
0
⎤ ⎡
⎦ = ⎣
− dθ2
dt
dθ1
dt
=
= − (dθB ) ×
dt C B A (t)
0 −ω3 ω2
ω3 0 −ω1
−ω2 ω1 0
donde ω B B/A = [ω1 ω2 ω3] T ya que dθ B representaba el
ángulo girado por B en un dt, y por definición de velocidad
angular. Se tiene entonces:
ω B ⎡
⎤
0 −ω3 ω2
×
B/A = ⎣ ω3 0 −ω1 ⎦ ,
−ω2 ω1 0
Por tanto: d
dt C B A = C
˙B
A = − ωB ×
B/A
⎤
⎦ ,
5 / 28
C B A . 6 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM III
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
¿Qué sucede si lo que conocemos es ωA B/A ? Tenemos que
estudiar como se transforman estos operadores ωB ×
B/A al
cambiar de sistema de referencia.
Obsérvese que si z = v × w, se tiene que en el sdr B,
zB = v B ×
w B . Por otro lado en el sdr A, se tendrá que
zA = v A ×
w A .
La primera expresión también se puede escribir:
zB = C B A zA = C B
A v A ×
w A = C B
A v A ×
C A
B w B , y puesto
que
esta expresión tiene que ser igual a la anterior:
v B ×
= C B
A v A ×
C A
B .
Sustituyendo esto en la ecuación cinemática: C
˙B
A =
− ωB ×
B/A C B A = −C B
A ωA ×
B/A C A B C B A = −C B
A ωA ×
B/A
Finalmente puesto que ωB/A = −ω
˙
A/B: C B A = C B
A ωA ×
A/B
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para la DCM IV
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Otra variación: trasponiendo ambos miembros de
˙
C B A
= −
ω B B/A
×
C B A
llegamos a ˙
C A B = C A B
ω B B/A
En general, la EDC es una ecuación diferencial matricial, que
habrá que resolver componente a componente: nueve
ecuaciones diferenciales acopladas.
El principal problema de resolver numéricamente esta ecuación
es garantizar que la matriz resultante de integrar sea
ortogonal. Obsérvese que en teoría la ecuación diferencial
respeta la ortogonalidad: I = (C B A )(C B A )T , derivando:
d
dt (C B A )
= − ω B B/A
= − ω B B/A
(C B A )T + C B d
A
dt (C B A )T
×
C B A (C B A )T + C B A C A B
× ×
+
ω B B/A
= 0
×
ω B ×
B/A
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8 / 28

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
La ecuación de Coriolis
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
La EDC de la DCM nos permite demostrar la ecuación de
Coriolis que luego será útil: d
dt vA
= d
dt vB
+ ωB/A × v
Si escribimos (mecanizamos) esta ecuación en el sistema de
referencia B: C B A ˙ v A = ˙v B
+ ωB ×
B/A v B , donde el punto
quiere decir derivada en el mismo sistema de referencia donde
está escrito.
En efecto:
C B A ˙ v A = C B d
A
dt (C A B v B )
= ˙v B + C B A ˙
C A B
B
v
= ˙v B + C B A C A B ω B B/A
×
= ˙v B +
ω B B/A
Esta ecuación será utilizada con mucha frecuencia en este
tema.
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para los ángulos de Euler I
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
v B
×
Partimos de la definición de los ángulos de Euler:
n ψ θ
−→ S −→
z n
y S
S ′ ϕ
−→ b
′
La velocidad angular tiene la propiedad de que
ω b/n = ω b/S ′ + ω S ′ /S + ω S/n.
Si mecanizamos esta ecuación en b:
ω b b/n = ωb b/S ′ + ω b S ′ /S + ωb S/n
Por otro lado está claro que:
ω b b/S ′ = [ ˙ϕ 0 0] T , ω S′
S ′ /S = [0 ˙θ 0] T , ω S S/n = [0 0 ˙ψ] T .
Luego: ωb b/n = ωb b/S ′ + C b S′
S ′ωS ′ /S + C b S ωS S/n y puesto que
, podemos escribir:
C b S = C b S′
S ′CS ω b b/n = ωb b/S ′ + C b S
′ω S′
S ′ /S + C b S
x S
′C S′
S ωS S/n
v B
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10 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para los ángulos de Euler II
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Desarrollando esta ecuación:
ω b b/n =
⎡ ⎤
˙ϕ
⎡
1 0 0
⎤ ⎡ ⎤
0
⎣ 0 ⎦ + ⎣ 0 cϕ sϕ ⎦ ⎣ ˙θ ⎦
0
⎡
1 0
0 −sϕ cϕ
⎤ ⎡
0 cθ 0
0
⎤ ⎡
−sθ 0
+ ⎣ 0 cϕ sϕ ⎦ ⎣ 0 1 0 ⎦ ⎣ 0
=
0 −sϕ cϕ
⎡ ⎤ ⎡
˙ϕ 0
⎣ 0 ⎦ + ⎣ cϕ
sθ 0 cθ ˙ψ
0
˙ θ
⎤ ⎡
−sθ ˙ψ
⎦ + ⎣ sϕcθ
−sϕ ˙θ
˙ ⎤
ψ ⎦
=
⎡
1
⎣ 0
0
cϕ
cϕcθ ˙ψ
⎤ ⎡ ⎤
−sθ ˙ϕ
sϕcθ ⎦ ⎣ ˙θ ⎦
0 −sϕ cϕcθ ˙ψ
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para los ángulos de Euler III
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Obsérvese que lo que realmente se quiere es una expresión
para las derivadas de los ángulos en función de
ωb b/n = [ω1 ω2 ω3] T , y por tanto hay que invertir la matriz:
⎡ ⎤ ⎡
⎤−1
⎡
ω1
⎤
⎣
˙ϕ
˙θ
˙ψ
⎦ =
⎣
= 1
cθ
1 0 −sθ
0 cϕ sϕcθ
0 −sϕ cϕcθ
⎡
⎣
⎦
⎣
cθ sθsϕ sθcϕ
0 cϕcθ −sϕcθ
0 sϕ cϕ
ω2
ω3
⎤ ⎡
⎦ ⎣
⎦
ω1
ω2
ω3
⎤
⎦
⎤
⎦
11 / 28
Obsérvese que se trata de 3 ecuaciones diferenciales no
lineales, con multitud de funciones trigonométricas.
Posee una singularidad para θ = ±90 o . En realidad los
ángulos de Euler no están bien definidos para esta situación.
Ésta singularidad es el motivo por el que no se suelen usar en
sistemas de navegación inercial. 12 / 28

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para el eje y ángulo de Euler
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
La representación en forma de eje y ángulo de Euler, (eb b/n , θ),
tiene las siguientes EDC:
Para el ángulo de Euler: ˙ θ = (e b b/n )T ω b b/n
Para el eje de Euler:
˙e b b/n
= 1
2
e b ×
b/n +
1
Id − e
tan θ/2
b b/n (eb
b/n
)T ω b b/n
Son cuatro ecuaciones diferenciales, no lineales.
Poseen una singularidad para θ = 0.
En la práctica no se utilizan directamente; las usamos para
hallar las EDC para los cuaterniones.
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para cuaterniones I
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Recordemos la definición de cuaterniones en función de ángulo
y eje de Euler:
q0 = cos θ/2, q = sen θ/2e b b/n .
Derivando en la ecuación de q0 y sustituyendo la EDC de θ,
obtenemos:
˙q0 = − 1
2 sen θ/2 ˙θ = − 1
Derivando en la ecuación de q:
2 sen θ/2(eb b/n )T ω b b/n
˙q = 1
2 cos θ/2eb b/n ˙θ + sen θ/2˙e b b/n
Sustituyendo las EDC de ángulo y eje de Euler:
= − 1
2 qT ω b b/n
13 / 28
˙q = 1
2 cos θ/2eb b/n (eb b/n )T ω b b/n
+ 1
sen θ/2 e
2 b × 1
b/n + Id − e
tan θ/2
b b/n (eb
b/n
)T ω b b/n
= 1 ×
q + q0Id
2
ω b b/n 14 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC para cuaterniones II
DCM
Ángulos de Euler
Cuaterniones
Podemos escribir esta ecuación en forma matricial:
⎡
q0
d ⎢ q1 ⎢
dt ⎣
⎤ ⎡
−q1
⎥
1 ⎢ q0
⎦ = ⎢
2 ⎣
−q2
−q3
−q3
q2
⎤
⎡
ωx ⎥ ⎣ ωy ⎦
⎤
⎦
q2
q3
donde ω b b/n = [ωx ωy ωz] T .
q3 q0 −q1
−q2 q1 q0
Son cuatro ecuaciones diferenciales, bilineales, sin
singularidades.
No es necesario realizar ningún tipo de operación
trigonométrica (senos o cosenos), todo son multiplicaciones
matriciales.
Por estas razones, la representación mediante cuaterniones es
la representación de actitud más usada.
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
ωz
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Las ecuaciones fundamentales de la navegación son las
ecuaciones del movimiento de la aeronave, expresada en ejes
de navegación.
Puesto que en navegación es necesario determinar 9 variables
(3 de posición, 3 de actitud, y 3 de velocidad), serán
necesarias 9 ecuaciones dadas como 3 conjuntos de 3
ecuaciones diferenciales.
El primer conjunto de ecuaciones es la EDC de la actitud, que
ya hemos visto.
Queda determinar el conjunto de ecuaciones que verifica la
posición y el conjunto de ecuaciones que verifica la velocidad.
La llamada “ecuación fundamental de la navegación” (FEN)
es la ecuación vectorial de la velocidad.
15 / 28
16 / 28

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Ecuación Fundamental de la Navegación I
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
La segunda ley de Newton aplicada al centro de masas del
avión y expresada en el sistema de referencia inercial es:
m d
dt v i = F = F i NG + mG i , donde se desprecia la variación
de masa del avión.
Hemos separado las fuerzas en gravitatorias (G) y no
gravitatorias (F NG ).
Es decir: d
dt v i = 1
m F i NG + G i .
La definición de v i es v i = d
dt r i .
Por otro lado, en el sistema de ejes Tierra, tenemos que
v e = d
dt r e .
Por tanto: v e = d
dt C e
i r i = C˙ e
Usando la EDC C˙ e
i = − ωe ×
e/i C e
i llegamos a:
v e
= − ωe ×
e/i C e
i r i + C e
i v i .
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
i r i + C e
i d
dt r i = C˙ e
i r i + C e
i v i .
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Ecuación Fundamental de la Navegación II
ω e e/i
17 / 28
Igualmente, asumiendo la rotación de la Tierra constante:
d
dt v e
= − ωe ×
˙
e/i C e
i r i
− ωe ×
e/i C e ˙
i r i + ˙ C e
i v i + C e ˙
i v i .
Por tanto:
d
dt v e
= ω e ×
e/i ω e ×
e/i C e
i r i
− ω e ×
e/i C e
i v i
− ω e ×
e/i C e
i v i
+C e ˙
i v i
= ω e ×
e/i ω e ×
e/i r e
− 2 ω e ×
e/i C e
i v i + C e ˙
i v i
Puesto que v e ×
= − C e
i r i + C e
i v i , se tiene que
C e
i v i = v e +
ω e e/i
×
r e . Por tanto:
d
dt v e =
ω e ×
e/i ω e ×
e/i r e
− 2 ω e ×
e/i v e + C e ˙
i v i
El primer término representa la aceleración centrífuga acent y
el segundo la de Coriolis, luego ae
cent = ωe ×
e/i ωe e/i
×
r e . 18 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Ecuación Fundamental de la Navegación III
Sustituyendo la Ley de Newton en la ecuación antes obtenida:
d
dt v e = a e
cent − 2 ω e ×
e/i v e + C e
1
i
m F i =
i
NG + G
a e
cent − 2 ω e ×
e/i v e + 1
e
+ G
m F e NG
Finalmente recordemos que la aceleración del geopotencial se
definía como g = G + acent, llegamos a:
d
dt v e
= −2 ω e ×
e/i v e + 1
m F e e
NG + g
Finalmente, en ejes navegación n y puesto que v n = C n e v e :
d
dt v n = ˙
= −
C n e v e + C n e
ω n n/e
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
d e
v
dt
×
C n e v e + C n e
−2 ω e ×
e/i v e + 1
m F e
e
NG + g
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Ecuación Fundamental de la Navegación IV
Es decir:
d
dt v n = −
Y puesto que v e = C e n v n :
ω n ×
n/e v n − 2C n
e ω e ×
e/i v e + 1
m F n NG
+ g n
d
dt v n =
− ω n ×
n/e v n − 2C n
e ω e ×
e/i C e n v n + 1
m F n n
NG + g
Recordemos que para el “operador producto vectorial”, se
cumple que C a
b zb ×
C b
a = (za ) × . Por tanto la FEN queda:
d
dt v n
= − ω n ×
n/e v n
− 2 ω n ×
e/i v n + 1
m F n n
NG + g
= − ω n n/e + 2ωn ×
e/i v n + 1
n
+ g
m F n NG
La FEN es una ecuación totalmente expresada
(“mecanizada”) en ejes n. v n es lo que se quiere estimar.
Observemos no obstante que son necesarios ω n n/e y ωn e/i .
19 / 28
20 / 28

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Velocidades angulares entre sistemas de referencias
Necesitamos obtener valores para ω n n/e y ωn e/i .
En primer lugar consideremos el caso simple de que α = 0,
por tanto g = n.
Recordemos las matrices de transformación:
C e
i =
2
4 cω E t sω E t 0
−sω E t cω E t 0
0 0 1
3
2
5 , C g
e = 4
Recordemos que ω e e/i = [0 0 ωE ] T .
Por tanto:
ω g
e/i = C g e ω e e/i =
⎡
⎣
−sφcλ −sφsλ cφ
−sλ cλ 0
−cφcλ −cφsλ −sφ
ωE cφ
0
−ωE sφ
Por otro lado siguiendo el procedimiento con el que se hallaron
las DCM para ángulos de Euler, llegamos a ω g
g/e =
⎡
˙λcφ
⎣ − ˙φ
− ˙ ⎤
⎦
λsφ
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
⎤
⎦
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Velocidades angulares entre sistemas de referencias con
ángulo de deriva
Si ahora α = 0, recordemos la matriz de transformación:
C n
g =
Por tanto: ω n e/i = C n g ω g
e/i =
2
4
cα sα 0
−sα cα 0
0 0 1
⎡
⎣
Igualmente ω n g/e = C n g ω g
g/e =
Finalmente
ω n n/e = ωn g/e + ωn n/g = ωn g/e +
3
5
⎤
ωE cφcα
−ωE cφsα ⎦
−ωE sφ
⎡
˙λcφcα −
⎣
˙ φsα
− ˙λcφsα − ˙φcα
− ˙λsφ
⎡
⎣
0
0
˙α
⎤
⎡
⎦ = ⎣
⎤
⎦
3
5
˙λcφcα − ˙φsα
− ˙λcφsα − ˙φcα
− ˙ λsφ + ˙α
⎤
⎦
21 / 28
22 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Posición I
Necesitamos obtener ecuaciones para λ, φ y h; también para
α, si se usa un ángulo de deriva.
En primer lugar para simplificar consideremos el caso más
simple posible: no hay ángulo de deriva (α = 0 luego n = g) y
la Tierra es esférica de radio Re.
En tal caso, se tiene: r˙e = v e . Expresado en ejes g:
r e = C e g r g . El valor de r g = [0 0 − (Re + h)] T .
Se tiene: v g = C g e v e = C g e ˙ r e = C g ˙ e C e g r g + C g e C e g ˙
−C g e
ω e e/g
×
C e g r g + ˙
r g =
ω g
g/e
×
r g + r˙g r g =
Por otro lado v g = [vx vy vz] T = [vN vE vD] T . La ecuación
matricial queda:
2
4 v N
v E
v D
3
2
5 = 4
0 ˙λsφ − ˙φ
− ˙ λsφ 0 − ˙ λcφ
˙φ ˙ λcφ 0
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC de la Posición II
Desarrollando:
Es decir:
3 2
5 4
0
0
−Re − h
3
2
5 + 4
0
0
− ˙ h
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
v N = ˙ φ(Re + h)
v E = ˙ λcφ(Re + h)
v D = − ˙ h
˙φ =
˙λ =
v N
Re + h
vE ˙h = −v D
cφ(Re + h)
Éstas ecuaciones me permiten obtener la posición conocida la
velocidad en todo instante. Obsérvese que son singulares en
φ = ±90 o .
Por ese motivo se introduce el azimuth de⎡deriva. Sustituyendo en ω g
g/e obtenemos: ωg
g/e =
⎢
⎣
3
5
vE
Re+h
− vN
Re+h
− vE tan φ
Re+h
⎤
⎥
⎦
23 / 28
24 / 28

Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
EDC de la Posición: caso elipsoidal
En el caso elipsoidal se tiene
˙φ =
˙λ =
˙h = −v D
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
vN RM + h
vE cφ(RN + h)
Donde RN y RM son respectivamente los radios locales de
curvatura normal (de un paralelo) y meridional (del
meridiano), que fueron definidos en el primer tema; dichos
radios dependen de la latitud en la que se encuentre el avión.
Y por tanto: ω g
g/e =
⎡
vE
RN+h
⎢
⎣ − vN
RM+h
− vE
⎤
⎥
⎦
tan φ
RN+h
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
EDC de la Posición con Azimuth de Deriva I
Trabajamos con tierra esférica. Si α = 0 entonces n = g y la
única ecuación que se mantiene es ˙h = −vD, mientras que el
resto de las ecuaciones cambian.
Si escribimos v n = [vx vy vD] T y ω n n/e = [ρx ρy ρz] T ,
siguiendo el mismo procedimiento de antes hallamos:
v n
= ωn ×
n/e r n + r˙n La ecuación matricial queda:
2
4 vx
vy
v D
3
2
5 = 4
0 −ρz ρy
ρz 0 −ρx
−ρy ρx 0
3 2
5 4
0
0
−Re − h
3
2
5 + 4
donde recordemos que ya calculamos ρx = ˙λcφcα − ˙φsα,
ρy = − ˙λcφsα − ˙φcα, ρz = − ˙λsφ + ˙α.
Se llega a:
vx
vy
=
=
v D = − ˙h
“ ”
˙λcφsα + ˙φcα (Re + h)
“ ”
˙λcφcα − ˙φsα (Re + h)
0
0
− ˙ h
3
5
25 / 28
26 / 28
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
EDC de la Posición con Azimuth de Deriva II
Despejando ˙φ y ˙λ:
˙φ =
˙λ =
˙h = −V D
vx cos α − vy sen α
Re + h
vx sen α + vy cos α
cos φ(Re + h)
Usando estas definiciones en ωn n/e
ω n n/e =
2
˙λcφcα −
4
˙ φsα
− ˙ λcφsα − ˙ 2
3
vy
6
Re +h
φcα 5 = 6
−
4
− ˙λsφ + ˙α
vx
3
7
Re +h
5
vx sen α+vy cos α
− tanφ + ˙α
cos φ(Re +h)
puede elegir como se quiera.
Se suele fijar por definición ˙α = ˙λsφ =
de donde: ωn n/e =
⎡ vy
Re+h
⎣ − vx
⎤
⎦
Re+h ,
0
se llega a:
, donde ˙α se
vx sen α+vy cos α
cos φ(Re+h) tanφ,
Obsérvese que ha desaparecido la singularidad en ω n n/e
costa de un grado de libertad adicional, α).
Ecuaciones Diferenciales Cinemáticas de la Actitud
Ecuaciones Fundamentales de la Navegación
! (a
Velocidad
Velocidades angulares entre sistemas de referencia
Posición
EDC de la Posición con Azimuth de Deriva III
Usando α se mantiene la singularidad a la hora de calcular λ,
pero al menos se puede seguir computando ωn n/e , que es
necesaria para poder calcular v n .
Interpretación física: Ésta definición de α equivale a tener una
plataforma a bordo, a la que se permite girar en las
direcciones x n y y n pero se le impide girar en z n . El ángulo
que forma una dirección fija de la plataforma con el N sería α.
Observación: puesto que la posición viene dada por los
ángulos (φ, λ, α), se puede tratar como una “actitud”, C n e .
En tal caso las ecuaciones cinemáticas de la posición podrían
darse como EDC de actitud, por ejemplo ˙
C n e = −
ω n n/e
×
C n e
27 / 28
o incluso tratarse como cuaterniones.
Así eliminamos totalmente la singularidad, y podemos
sobrevolar cualquier punto del planeta.
En cualquier caso habría que añadir la ecuación para la
altitud, ˙h = −vD. 28 / 28

Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Navegación Aérea
Tema 4: Sistema de navegación autónomo. Navegación inercial.
Errores.
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
La navegación autónoma es aquella que no depende de
medidas externas y por tanto no es susceptible a interferencias
(accidentales o provocadas) ni a manipulación o error externo.
El ejemplo más temprano es la navegación a estima que ya se
vio en la introducción histórica. En aviación se emplea la
navegación inercial.
El objeto de la navegación inercial es determinar la posición,
velocidad y actitud de la aeronave, con la mayor precisión
posible, a paritr de las medidas de la IMU (Inertial
Measurement Unit).
La IMU se compone de sensores inerciales: giróscopos y
acelerómetros.
Para la navegación inercial, además de la IMU, es necesaria
una estimación inicial (fix) de posición, velocidad y actitud.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Historia de la navegación inercial I
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Históricamente la navegación inercial no nace hasta el siglo
XX.
Sus antecedentes se encuentran en la navegación a estima (ya
estudiada) y en la invención de los primeros giróscopos.
Los giróscopos se inventaron en el siglo XIX; fue Leon Focault
quien les dio su nombre, popularizándolo gracias a un
experimento (fracasado) en el que los usó para tratar de
demostrar la rotación de la Tierra.
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Historia de la navegación inercial II
Un giróscopo mantiene su eje de rotación (en el
espacio inercial) frente a perturbaciones. Este efecto
se conoce como rigidez giroscópica.
Dichas perturbaciones generan un movimiento de
precesión y nutación, que se puede medir.
Por ejemplo, al forzar la rotación de un giróscopo en
un eje distinto a su eje de giro, se produce un efecto
que permite estimar la velocidad de rotación.
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
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Por tanto los giróscopos tienen un eje en torno
al cual giran permanentemente, otro eje en el
cual se detectan perturbaciones y otro eje en el
cual se miden dichas perturbaciones.
Las plataformas giroestabilizadas se basan en
este fenómeno, son plataformas insensibles a
perturbaciones que permiten diversas
aplicaciones, como por ejemplo emplear una
cámara de televisión en un helicóptero.
Otra aplicación del efecto es el girocompás o
brújula giroscópica, que permite encontrar el
Norte geográfico.
Modernamente, se emplean giróscopos no
mecánicos, más sofisticados que emplean
diversos efectos físicos.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Historia de la navegación inercial III
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Historia de la navegación inercial IV
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
En la II Guerra Mundial, se emplearon
giróscopos y acelerómetros por primera vez,
para guiar misiles V-2.
La invención de este sistema de guiado se debe
a un estadounidense, Robert Goddard.
Tras la guerra, hubo un rápido desarrollo. Los
primeros sistemas de navegación inercial
consistían en una triada de acelerómetros y
giróscopos montados en una plataforma, capaz
de rotar y orientarse con libertad.
Se diseña la plataforma de manera que siempre
mantenga su orientación respecto a un sistema
de referencia dado (g o n).
Por tanto medimos directamente an NG y C n b .
Estos sistemas a veces se llaman
semianalíticos.
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La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Éstos sistemas son funcionales en cualquier sitio de la
Tierra: tierra, aire, océanos, bajo el agua...
Con navegación inercial el submarino USS Nautilus
cruzó bajo el hielo y pasó por el polo Norte en 1958.
Sin embargo es muy costoso, contiene elementos mecánicos
que se desgastan, requiere una perfecta alineación inicial
(lenta), y presenta problemas de bloqueo de los gimbals
(gimbal lock) si se alinean los ejes de rotación.
El sistema inercial más sofisticado que se creó fue el
AIRS-Advanced Inertial Reference Sphere, que consiste en
una esfera hueca con un fluido donde flota otra esfera con
giróscopos y acelerómetros.
Mantiene (mediante inyección de chorros) siempre una referencia
inercial, con lo que se mide a i NG
(que se puede integrar
. Por esto se llama geométrico o analítico.
directamente) y C b
i
Su coste era enorme, pero se obtiene una gran precisión, con una
deriva de 105 grados por hora (1,15o por año). Se usó en misiles
balísticos y en bombarderos.
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Historia de la navegación inercial V
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
En 1956 se patenta la idea del INS “strapdown”, es decir, fijo
(fijado al cuerpo).
En éste caso los sensores inerciales miden las magnitudes en
ejes cuerpo, es decir, ωb b/i y ab NG . Éste tipo se sistema INS se
denomina “analítico” o de plataforma analítica, porque
realmente no existe una plataforma y todo se realiza mediante
cálculo numérico.
Requiere el uso de ordenadores de gran capacidad de cómputo
y de sensores precisos (por las vibraciones). Eso sólo fue
posible a partir de los 70.
Hoy en día es el único que se usa en la práctica.
Además, gracias a la navegación integrada (complementar el
INS con otros sistemas como el GPS) se pueden emplear
sensores de baja calidad, con lo que el coste se ha abaratado
enormemente.
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Modelos de Error
La IMU: sensores inerciales.
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Una IMU consta de giróscopos y acelerómetros. Estos
dispositivos han sido estudiados en otras asignaturas.
Un modelo típico de medida sería: ˆm = (1 + σ)m + b + ξ,
donde ˆm es la medida obtenida del valor real m, σ es el factor
de escala, b es el sesgo y ξ es ruido de medida. Estos valores
se pueden calibrar pero están sujetos a variaciones.
Las principales características de estos dispositivos son:
Ancho de banda: determina la frecuencia máxima de
aceleración o giro que son capaces de detectar. Se asimila a la
“velocidad” máxima con la que se toman medidas.
Rango de medición.
Supervivencia a choques.
Ruido (en unidades de medida por √ Hz). Mide ξ. Se puede
usar para calcular como se degrada la medida acumulada.
Inestabilidad del sesgo (en unidades de medida). Mide el ruido
aleatorio que entra en b.
Inestabilidad del factor de escala (en porcentaje). Mide el ruido
aleatorio que entra en χ.
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Acelerómetros.
Precisiones típicas de acelerómetros:
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Giróscopos
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Precisiones típicas de giróscopos (RLG=Ring Laser Gyro,
FOG=Fibre Optic Gyro, MEMS=Micro-Electro-Mechanical
Systems).
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Los acelerómetros y la gravedad I
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Un acelerómetro no puede medir g.
Principio de funcionamiento de un acelerómetro: medir el
desplazamiento de una masa testigo. Ejemplo con muelle:
Se cumple que m¨x = F − kx, donde k es la constante del
muelle y F la fuerza en la dirección del eje. Puesto que
F = ma, donde a es la aceleración en la dirección del eje, se
tiene que a = k/m · x + ¨x.
Suponiendo que a es aproximadamente constante, x tiende a
una posición de equilibrio que cumple a = k/m · x, y por
tanto a es proporcional a x.
Otros acelerómetros más sofisticados no requieren esperar a
que se llegue al estado de equilibrio, por ejemplo compensando
F con una fuerza contraria para que nunca se desplace x.
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Los acelerómetros y la gravedad II
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
¿Qué sucede si el eje está en la misma dirección de la
gravedad?
Supongamos que el objeto está en caída libre. Para aplicar la
Ley de Newton tenemos que estar en un sistema de referencia
inercial, pero puesto que el objeto está en caída libre, tenemos
que tener en cuenta que el sistema de referencia fijo en el
cuerpo es no inercial!
Por tanto: m(¨x − g) = F − kx. Por otro lado
F = m(aNG − g). Por tanto, en el equilibrio: aNG = k/m · x.
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Los acelerómetros y la gravedad III
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
¿Es cierto pues que un acelerómetro no puede medir la
gravedad?
Es cierto que un acelerómetro no puede medir g directamente.
En estado de caída libre en cualquier punto de la atmósfera (o
en la Luna) sentiría la misma aceleración: cero.
Sin embargo, en reposo sobre la superficie de la Tierra (por
ejemplo un acelerómetro sobre una mesa), existe una fuerza
de reacción R = −g, es decir, R = g (apunta “hacia arriba”).
Por tanto aNG = g y se tiene g = k/m · x. Es por tanto una
medida “indirecta” de la gravedad.
La definición correcta de acelerómetro es “un dispositivo que
mide desviaciones del estado de caída libre”.
Obsérvese que la aceleración debida al geopotencial
(añadiendo la rotación de la Tierra) tiene exactamente el
mismo carácter que la gravitatoria y por tanto no se puede
medir (directamente).
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Modelos de Error
Mecanización en ejes n I
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
En este tema supondremos, para simplificar, que n = g, y que
la Tierra es esférica.
Mecanizar las ecuaciones quiere decir escribirlas en el sistema
de referencia apropiado y de forma que se puedan calcular a
partir de las entradas.
Partimos de las ecuaciones fundamentales de la navegación:
Velocidad: d
dt v n
= − ωn n/e + 2ωn ×
e/i v n + an n
NG + g
Actitud: C˙ b
n = − ωb ×
b/n C b n
Posición:
˙φ =
˙λ =
v N
Re + h
vE ˙h = −v D
cφ(Re + h)
Donde sabemos además que: ω e e/i = [ωE cφ 0 − ωE sφ] T y
ω n n/e
= [ vE
Re+h
− vN
Re+h − vE tan φ
Re+h ]T .
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Mecanización en ejes n II
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
También disponemos de un modelo de gravedad:
g n [0 0 g(h)] T , donde g(h) = µe
(Re+h) 2 .
Además nuestra IMU nos proporcionará las medidas de los
. Obsérvese que éstas no son las
sensores inerciales: ab NG y ωb b/i
magnitudes que aparecen en las ecuaciones fundamentales de
la navegación: necesitamos an NG y ωb b/n .
Se tiene que an NG = C n b ab NG = (C b n ) T ab NG .
Y se tiene que
ωb b/n = ωb b/i − ωb e/i − ωb n/e = ωb b/i − C b
n ωn e/i + ωn
n/e .
Recordemos
que por tanto:
ωb ×
b/n = ωb ×
b/i − C b
n ωn e/i + ωn ×
n/e (C b n ) T
Por tanto las ecuaciones fundamentales de la navegación de
velocidad y actitud se modifican:
Velocidad: d
dt v n
= − ωn n/e + 2ωn ×
e/i v n + (C b n ) T ab n
NG + g
Actitud: C˙ b
n = − ωb ×
b/i C b n + C b
n ωn e/i + ωn ×
n/e
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Modelos de Error
Mecanización en ejes n III
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Ya disponemos pues de todo lo que necesitamos y podemos
esquematizarlo en el siguiente diagrama de bloques:
IMU
+
-. # /
+
# +() *
Calculo
velocidad
+
, %
Calculo
Actitud
# *
%
# 0
%
%('
# * "
%
# &
%
'()
Calculo
posicion
Modelo
gravitatorio
Calculo de
vel. angulares
" !"#"$ !
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Errores en navegación inercial.
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Mecanización en ejes e
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
En ocasiones, por motivos de integración INS-GPS, conviene
mecanizar las ecuaciones en los ejes e (en los que trabaja el
GPS).
Se llega a las siguientes ecuaciones para velocidad y posición:
Velocidad: d
dt v e
= −2 ωe ×
e/i v e + ae NG + g e =
−2 ωe ×
e/i v e + (C n e ) T (C b n ) T ab e
NG + g
Posición: d
dt r e = v e .
Habría que escribir C n e en función de r e y v e , escribir un
modelo de g e , y escribir la ecuación de la actitud, y se llegaría
a un esquema similar al anterior.
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Alineamiento inicial I
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Supongamos que tenemos el avión en reposo en un
aeropuerto, y es necesario inicializar el INS con un “fix”.
¿Cómo se haría?
Evidentemente, se tiene que φ, λ y h son las del aeropuerto, o
incluso con mayor precisión, las tomadas de un sistema GPS.
Puesto el avión está en reposo, v n = 0.
Queda encontrar el valor inicial de actitud, es decir,
C b n (t = 0). Para ello se usa la medida obtenida de giróscopos
y acelerómetros (en reposo).
De la ecuación fundamental de la navegación se tiene:
0 = − ωn n/e + 2ωn ×
e/i 0 + an NG + g n , luego an NG = −g n y
por tanto ab NG = C b n an NG = −C b n g n .
Por otro lado es claro que ωb b/n = ωb b/i − ωb e/i − ωb n/e y
evidentemente ωb b/n = 0 y ωb n/e = 0.
Por tanto:ωb b/i = ωb e/i = C b n ωn e/i .
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Alineamiento inicial II
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Tenemos por tanto dos ecuaciones: a b NG = −C b n g n y
ω b b/i = C b n ω n e/i . Llamando a las medidas x b 1 = ab NG y
x b 2 = ωb b/i
x n 2 = ωn e/i
, y denotando los modelos como y n
, se tiene que
x n 1 = C b n (0)y b
1 , x n 2 = C b n (0)y b
2
1 = −g n y
Tendríamos 6 medidas (las componentes de dos vectores) para
9 grados de libertad (las entradas de la matriz).
Es necesario pues “generar” una medida adicional
independiente.
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Modelos de Error
Alineamiento inicial III
La IMU: sensores inerciales
Mecanización en ejes n y en ejes e
Alineamiento inicial
Llamemos x 3 = x 1 × x 2. Obsérvese que este vector se puede
escribir como x b ×
1 x b
2 en el sistema de referencia b, donde X
es la matriz antisimétrica que representa el producto vectorial.
Por otro lado se tiene que x b
×
1 = C b
n (0) y n
×
C
1
n b (0). Por
tanto x b 3 = x b ×
1 x b
2 = C b n (0) y n
×
C
1
n b (0)C b n (0)y n
2 =
C b
n (0) y n
×
y
1
n
2 . Por tanto denotando y 3 = y 1 × y , se tiene
2
que x b 3 = C b n (0)y n
3 .
Escribiendo la matriz A como la matriz cuyas columnas son
x b 1 , x b 2 y x b 3 , y la matriz B como la matriz cuyas columnas son
y n,
y n
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y y n
1 2 3 , se tiene: A = C b n (0)B y por tanto C b n (0) = AB−1 .
No se han tenido en cuenta los errores de medida: C b n (0)
probablemente no saldría ortonormal (habría que emplear un
algoritmo más sofisticado que tuviera en cuenta los errores de
medida).
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Errores en navegación inercial.
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Si conociéramos con total precisión las condiciones iniciales, el
modelo de gravedad fuera perfecto, y los sensores inerciales no
cometieran errores de medida, entonces la navegación inercial
sería totalmente exacta.
No obstante, ésto no es así, y cada uno de los términos
mencionados contiene errores.
Errores en condiciones iniciales.
Errores en el modelo de gravedad δg n .
Errores en los sensores inerciales. Para simplificar los
agruparemos en un único valor: δa b NG , δωb b/i .
La navegación inercial realiza integración de ecuaciones
diferenciales, luego éstos errores se van acumulando.
Es importante tener un modelo del error para saber como
crece, para cuantificarlo, para aplicar medidas que permitan
disminuirlo (como integración con otros sensores), para
descubrir que sensores son más críticos (análisis de
sensibilidad), etc... 21 / 49
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Variables de error.
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
En general, para una variable cualquiera de navegación x, se
denota con ˆx el valor estimado con el INS.
Puesto que este valor no será exacto se define el error como
δx = x − ˆx.
Error en posición: las variables de posición son φ, λ y h. Las
variables estimadas serán ˆφ, ˆλ, ˆh. Definimos el error en
posición δp como δp = [δφ δλ δh] T = [φ − ˆφ λ − ˆλ h − ˆh] T .
Error en velocidad: igualmente se define δv n = v n − ˆv n , donde
ˆv n es la velocidad calculada por el INS.
Para la actitud, ¿cómo definir un error en la matriz de actitud
δC b n ?
Lo que se hace es suponer que el INS estima una actitud de
los ejes cuerpo b que denotaremos por ˆb.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Error de actitud.
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Por tanto, realmente Ĉ b n = C ˆb n , donde se tiene que:
n (ψ,θ,ϕ)
−→ b δφx
−→
xb S1
δφy δφz
−→ S2 −→
y S1 zS2 Por tanto Ĉ b n = C ˆ b n = C ˆ b b C b n .
Suponiendo que los errores δφ = [δφx δφy δφz] T son
pequeños, se vio que C ˆ b b = Id − δφ × , donde como siempre:
⎡
δφ × = ⎣
ˆb
0 −δφz δφy
δφz 0 δφx
−δφy δφx 0
Por tanto, se encuentra el error en la matriz de actitud como
δC b n = C b n −Ĉ b n = C b n −C ˆb b C b n = C b n −(Id−δφ × )C b n = δφ × C b n .
También
δC b n = δφ × C b n = δφ × C b ˆb C ˆ b n = δφ × (Id + δφ × )Ĉ b n δφ × Ĉ b n .
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Ecuaciones de propagación del error
⎤
⎦
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Se quiere estudiar como evoluciona el error del INS con el
tiempo. Para ello, es necesario encontrar el modelo de
propagación del error.
Éste modelo se encuentra directamente de las ecuaciones de
la navegación inercial, suponiendo que los errores son
pequeños, con lo que las ecuaciones se pueden linealizar.
Por ejemplo, supongamos que x es una variable que el INS
estima como ˆx. La ecuación que verifica x será ˙x = f (x). El
INS lo que hará será calcular ˆx a partir de ˙ˆx = f (ˆx). Por
tanto: δ ˙x = ˙x − ˙ˆx = f (x) − f (ˆx) = f (ˆx + δx) − f (ˆx).
Desarrollando esta expresión en serie de Taylor y quedándonos
el término constante y el lineal: f (ˆx + δx) f (ˆx) + ∂f
∂x |x=ˆxδx.
Por tanto llegamos a la siguiente expresión: δ ˙x = ∂f
∂x |x=ˆxδx,
que es aproximada y sólo sirve para δx pequeño.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en posición I
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Se tiene que las ecuaciones de la posición son:
˙φ =
˙λ =
Por tanto el INS calculará:
v N
Re + h
vE ˙h = −v D
˙ˆφ =
˙ˆλ =
cφ(Re + h)
ˆv N
Re + ˆ h
˙ˆh = −ˆv D
ˆv E
c ˆφ(Re + ˆh)
Aplicando la teoría antes desarrollada, por ejemplo, para h:
˙δh = ˙h − ˙ˆh = −vD + ˆvD = −δvD. Como la ecuación ya era
lineal no hubo que linealizar.
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en posición II
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Para la latitud: δ ˙φ = ˙φ − ˙ˆφ = vN ˆvN ˆvN+δvN ˆvN
Re+h − = −
Re+ˆh Re+ˆh+δh Re+ˆh .
Desarrollando en serie de Taylor y quedándonos hasta el
término lineal: ˆvN+δvN
Re+ ˆ h+δh
= ˆvN
Re+ ˆ h
Por tanto: δ ˙ φ = 1
Re+ˆh δvN − ˆvN δh.
(Re+ˆh) 2
Operando igualmente con la longitud:
δ ˙λ =
1 +
Re+ ˆ h δvN − ˆvN
(Re+ ˆ δh
h) 2
1
c ˆφ(Re+ˆh) δvE
ˆvE −
c ˆφ(Re+ˆh) 2 δh + ˆvE tan ˆφ
c ˆφ(Re+ˆh) δφ
Poniéndolo todo en una matriz:
δ ˙p = d
2
4
dt
δφ
2
3
0 0 −
6
δλ 5 6
= 6
δh
4
ˆv N
(Re + ˆ h) 2
1 0 0
Re +ˆh
ˆv E tan ˆφ
ˆv
c ˆφ(Re
0 − E
+ˆh)
c ˆφ(Re +ˆh) 2 2
3
6
7 6
7 6
0 1
c ˆφ(Re
0
7 6
+ˆh) 5 6
4
0 0 0 0 0 −1
δφ
δλ
δh
δv N
δv E
δv D
3
7
5
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en posición III
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
El resultado se puede escribir abreviadamente como
δ ˙p = Cppδp + Cpvδv n , donde:
Cpp =
Cpv =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
0 0 − ˆvN
(Re+ ˆ h) 2
ˆvE tan ˆ φ
c ˆ φ(Re+ ˆ h)
1
Re+ ˆ h
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Errores en velocidad angular
0
− 1 tan ˆ φ
Re+ ˆ h δvE − ˆvE tan ˆ φ
0 − ˆvE
c ˆ φ(Re+ ˆ h) 2
0 0 0
0 0
1
c ˆφ(Re+ˆh)
0
0 0 −1
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦ ,
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Para repetir el procedimiento con las ecuaciones de velocidad
y actitud necesitamos antes encontrar el error en ωn e/i y en
ωn n/e que denotaremos como δωn e/i y δωn n/e .
En primer lugar se tiene que:
ˆω n e/i =
⎡
ωE c
⎣
ˆ φ
0
−ωE s ˆ ⎤
⎦ → δω
φ
n e/i =
⎡
−ωE s
⎣
ˆ φ
0
−ωE c ˆ ⎤
⎦ δφ
φ
Por otro lado: ˆω n n/e =
⎡
ˆvE
⎢ Re+
⎢
⎣
ˆ h
− ˆvN
Re+ ˆ h
− ˆvE
⎤
⎥
⎦ , por tanto:
tan ˆφ
Re+ˆh
δωn n/e =
⎡
1
Re+
⎢
⎣
ˆ h δvE − ˆvE
(Re+ ˆ δh
h) 2
− 1
Re+ˆh δvN + ˆvN
⎤
⎥
δh ⎥
(Re+ˆh) 2 ⎦
δφ
(Re+ ˆ h) 2 δh − ˆvE(1+tan2 ˆ φ)
Re+ ˆ h
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en velocidad I
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Las ecuaciones de la velocidad que calcula el INS serán:
d
dt ˆv n
= − ˆω n n/e + 2ˆωn ×
e/i ˆv n + (Ĉ b n ) T â b n
NG + ˆg
Por tanto las ecuaciones del error serán:
d
dt δv n =
− δω n n/e + 2δωn ×
e/i ˆv n
− ˆω n n/e + 2ˆωn ×
e/i δv n
+(δC b n ) T â b NG + (Ĉ b n ) T δa b n
NG + δg
Recordemos que δC b n = δφ × Ĉ b n . Los otros términos los hemos
calculado, excepto δab NG (el error en los acelerómetros) y δg n
(el error en el modelo gravitatorio).
Puesto que
g n ⎡
0
⎣ 0
µe
(Re+h) 2
⎤
⎦ → δg n ⎡
0
⎢
= ⎣ 0
− 2µe
(Re+ˆh) 3
⎤
⎥
⎦ δh + δG n , donde
δG n son errores en el modelado gravitatorio.
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en velocidad II
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Por tanto podremos escribir, como en el caso de la posición,
δ ˙v n = Cvpδp + Cvvδv n + Cvφδφ + Caδa b NG + δG n .
Es una ecuación lineal en los errores, donde las matrices están
definidas en función de la estimación del INS, y con dos
términos forzantes: el error en los acelerómetros δab NG y el
error en el modelo gravitatorio δG n .
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en actitud I
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Finalmente, calculamos el error en actitud.
Recordemos que δC b n = δφ × Ĉ b n , por tanto se tiene que
δ ˙ C b n = δ ˙ φ × Ĉ b n + δφ × ˙
Ĉ b n = δ ˙φ × Ĉ b n − δφ ×
ˆω b ×
b/n Ĉ b
n .
Por otro lado ˙ Ĉ b
n = − ˆω b ×
b/n Ĉ b
n , y por tanto
δ ˙C b
n = − δωb ×
b/n Ĉ b
n − ˆω b ×
b/n δφ × C b n .
De donde llegamos a δ ˙ φ × Ĉ b n − δφ ×
ˆω b ×
b/n Ĉ b
n =
− δωb ×
b/n Ĉ b
n − ˆω b ×
b/n δφ × Ĉ b n , o lo que es lo mismo:
δ ˙φ ×
= −
ˆω b ×
b/n − ˆω b ×
b/n δφ × .
δωb ×
b/n + δφ ×
Usando la identidad a × (b × c) + c × (b × a) + b × (c × a) = 0
llegamos a a × (b × c) − b × (a × c) = (b × a) × c. Esto
implica que a × b × c − b × a × c = (b × a) × c, por lo que
a × b × − b × a × = (b × a) × .
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error en actitud II
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Es decir, finalmente: δφ ×
= − δωb ×
b/n + δφ × ˆω b ×
b/n . De
donde: δ ˙φ = −δωb b/n + δφ× ˆω b b/n .
Como por otro lado, ˆω b b/n = ˆωb b/i − Ĉ b
n ˆω n e/i + ˆωn
n/e , se
obtiene que
δωb b/n = δωb b/i − δC b
n ˆω n e/i + ˆωn
n/e − Ĉ b
n δωn e/i + δωn
n/e .
Por tanto finalmente la ecuación del error de actitud queda:
δ ˙φ = −δω b b/i + δφ× Ĉ b
n ˆω n e/i + ˆωn
n/e − Ĉ b
n δω n e/i + δωn
n/e
+δφ × ˆω b b/i − δφ× Ĉ b n
= −δω b b/i − Ĉ b n
ˆω n e/i + ˆωn n/e
δω n e/i − δωn
n/e + δφ × ˆω b b/i
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error del INS.
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Por tanto podremos escribir, como antes,
δ ˙φ = Cφpδp + Cφv δv n + Cφφδφ − δωb b/i .
Es una ecuación lineal en los errores, donde las matrices están
definidas en función de la estimación del INS, y con un
términos forzante: el error en los giróscopos δωb b/i .
Si ponemos todos los errores juntos, llegamos a:
d
dt
⎡
⎣
δp
δv n
δφ
⎤
⎡
⎦ = ⎣
Cpp Cpv 0
Cvp Cvv Cvφ
Cφp Cφv Cφφ
⎤ ⎡
⎦ ⎣
δp
δv n
δφ
⎡
⎤
⎡
⎦+ ⎣
Caδab NG
−δωb b/i
⎤
0
n
+ δG ⎦
δp
Además estarán las condiciones iniciales: ⎣ δv n ⎦ (t = 0).
δφ
Éste es el modelo de propagación del error del INS. Puesto
que el término forzante es desconocido (y se modela mediante
la estadística) es una ecuación diferencial estocástica.
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
⎤
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Ecuación del error en el canal vertical I
Si trabajamos sólo con el error en h y VD, y despreciamos
todos los términos excepto el gravitatorio, llegamos a la
siguiente ecuación:
δ ˙ h = −δVD
δ ˙VD −2
µe
δh.
(Re + ˆh) 3
Por otro lado podemos aproximar en el denominador
Re + ˆ h Re. Teniendo en cuenta que la aceleración de la
gravedad al nivel del mar g0 = µe
R 2 e
δ ˙h = −δVD
δ ˙ VD − 2g0
δh.
Re
, tendríamos las ecuaciones:
Escribiéndolo como una única ecuación para δh: δ ¨ h = 2g0
Re δh.
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Variables de error. Error en actitud
Modelo de propagación linealizado
El canal vertical
Ecuación del error en el canal vertical II
La solución de la ecuación diferencial es:
q
2g0
Re t + C2e −
q
2g0
δh = C1e
Re t , donde las constantes son función
de las condiciones iniciales de altura y velocidad vertical.
Éstas ecuaciones son inestables! El primer término crece hasta
el infinito.
Físicamente, lo que sucede es lo siguiente: si hay un error de
altitud, p.ej. el INS piensa que el avión está más alto de lo
que realmente está, el modelo de gravedad predice que la
gravedad es menor de lo que es, con lo que el INS predice que
el avión se eleva, es decir, el error inicial se amplifica!
Éste resultado se mantiene si no se desprecian los términos
que no se han considerado. Por tanto el canal vertical del INS
es inestable y no se puede usar por sí sólo; empleando otras
medidas (p.ej. barométricas) es posible compensar el canal
vertical y obtener una medida fiable de la altura.
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Fuentes de Error
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Hemos visto que las ecuaciones de propagación del error son
del tipo δ ˙x = A(ˆx)δx + δɛ, donde δx son las variables de
navegación (posición, velocidad, actitud) y los δɛ las fuentes
de error. Estas fuentes son:
Errores en el modelo de gravedad δg n .
Errores en los sensores inerciales δa b NG , δωb b/i .
Aparte está el error en las condiciones iniciales δx(t0).
Si discretizamos estas ecuaciones en el tiempo, podríamos
escribir un modelo algo más sencillo:
δx(tk+1) = A(tk)δx(tk) + δɛ(tk).
¿Cómo se modelan los errores? ¿Cómo se interpretan las
ecuaciones que contienen errores?
Para responder a estas preguntas es necesario recordar
algunos conceptos estadísticos.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Descripción estadística del error
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Consideremos por ejemplo el caso del error de medida de un
acelerómetro: ab NG = âbNG + δab NG , donde δab NG son errores de
medida.
Una componente de δa b NG , por ejemplo δax, puede tener el
siguiente aspecto:
Es imposible conocer el valor con exactitud.
Se observa que cambia con el tiempo.
Por tanto, se representan sus propiedades usando la
estadística.
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Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Variables aleatorias continuas unidimensionales
Sea una variable aleatoria X ∈ R continua.
Recordemos que la función de distribución F (x) es la
probabilidad de que X ≤ x, que se escribe como
F (x) = P(X ≤ x).
La función de distribución se calcula mediante la función de
densidad f (x): F (x) = x
−∞ f (y)dy.
Se define el operador esperanza matemática actuando sobre la
función g(x) como E[g(X )] = ∞
−∞ g(y)f (y)dy. Se trata de
un operador lineal, de forma que
E[α1g1(X ) + α2g2(X )] = α1E[g1(X )] + α2E[g2(X )]. Los dos
casos importantes son:
Media: m(X ) = E[X ] = ∞
yf (y)dy.
−∞
Varianza: V (X ) = E[(X − m(X )) 2 ] = E[X 2 ] − (E[X ]) 2 .
Desviación típica σ, la raíz cuadrada de la varianza,
σ = V (X ).
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Distribución normal o gaussiana I
f (x) = 1
σ √ 2π Exp
− (x−m)2
2σ 2
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Es la distribución más usada en estadística. Se escribe
X ∼ N(m, σ2 ) y su funciónde densidad es
.
Intervalos de confianza: si X ∼ N(m, σ 2 ):
Intervalo 1-σ: P(X ∈ [m − σ, m + σ]) = 68,3 %.
Intervalo 2-σ: P(X ∈ [m − 2σ, m + 2σ]) = 95,45 %.
Intervalo 3-σ: P(X ∈ [m − 3σ, m + 3σ]) = 99,74 %.
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Distribución normal o gaussiana II
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
El teorema central del límite dice que la suma de variables
aleatorias (con cualquier tipo de distribución) tiende en media
a la normal. Puesto que los errores a gran escala provienen de
la suma y acumulación de muchos errores a pequeña escala,
esto justifica el uso de la normal como modelo para errores.
Una propiedad importante de la normal es que la suma de
normales es de nuevo normal, es decir, si X ∼ N(mx, σ 2 x) e
Y ∼ N(my , σ 2 y ) y son independientes, entonces si Z = X + Y
se tiene que Z ∼ N(mx + my , σ 2 x + σ 2 y ).
Por tanto σz =
σ 2 x + σ 2 y , es decir, la desviación típica de la
suma de errores es la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de las desviaciones típicas de los errores.
Esta regla, conocida como Root-Sum-of-Squares (RSS) es
muy importante.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Variables aleatorias continuas multidimensionales
Sea una variable aleatoria X ∈ Rn continua multidimensional.
Cada componente de X sigue una distribución unidimensional.
Como en el caso unidimensional, se define una función de
distribución conjunta, que se calcula mediante la función de
densidad f (x).
Igualmente E[g(X )] =
Rn g(y)f (y)dy. Los dos casos
importantes son:
Media: m(X ) = E[X ] =
Rn yf (y)dy.
Matriz de covarianzas:
Cov(X ) = E[(X − m(X ))(X − m(X )) T ] = Σ. Es una matriz
simétrica y definida positiva. Los valores de la diagonal
representan la varianza de cada componente de X , mientras
que los valores fuera de la diagonal la correlación entre dos
componentes de X . Se tiene Σ = E[(X X T ] − m(X )m(X ) T .
Por ejemplo, para n = 3 y escribiendo X = [X , Y , Z]:
2
6
Σ = 4
σ 2 x E[(X − mx )(Y − my )] E[(X − mx )(Z − mz )]
E[(X − mx )(Y − my )] σ 2 y E[(Y − my )(Z − mz )]
E[(X − mx )(Z − mz )] E[(Y − my )(Z − mz )] σ 2 z
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Distribución normal multivariante I
3
7
5
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Se escribe X ∼ Nn(m, Σ) y su función de densidad es
1
f (x) =
Det(Σ)(2π) n/2 Exp − 1
2 (x − m)T Σ−1 (x − m) .
Los intervalos de confianza son ahora regiones de Rn ,
definidos por P(X ∈ Ω) = PΩ.
La forma de estas regiones de confianza es de elipsoides,
descritos por la ecuación (x − m) T Σ−1 (x − m) = d 2 , donde d
depende de PΩ. Cuanto mayores sean los valores de los
autovalores de Σ, mayor será el elipsoide. Las direcciones de
los ejes del elipsoide vendrán dados por los autovectores de Σ.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Distribución normal multivariante II
Si por ejemplo describimos el error en posición en ejes cuerpo,
δr b = [δx δy δz] T , como una normal multivariante con n = 3,
de media cero (centrada en el avión) y con matriz de
covarianzas:
2
6
Σ = 4
σ 2 x 0 0
0 σ 2 y 0
0 0 σ 2 z
Entonces σx representa la magnitud del error ATE
(along-track error), σy del error XTE (cross-track error) y σz
del error VE (vertical error) y podemos asimilar el movimiento
del avión al movimiento del elipsoide, que representa una
región de incertidumbre donde se puede encontrar el avión con
gran probabilidad.
Se verifica que si X ∼ Nn(m x, Σx) e Y ∼ Nn(m y , Σy ) y son
independientes, entonces si Z = X + Y resulta
Z ∼ Nn(m x + m y , Σx + Σy ).
Igualmente AX + b donde A y b son no-aleatorios verifica que
AX + b ∼ Nn(Am x + b, AΣxA T ).
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Procesos estocásticos.
3
7
5
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Un proceso estocástico o variable estocástica no es sino una
variable aleatoria X (t) que cambia con el tiempo. Los errores
de navegación serán este tipo de variables.
Por tanto la media y la covarianza también varían con el
tiempo: m(t), Σ(t).
Para un proceso, se define la autocorrelación como
R(t, τ) = E[X (t)X (τ) T ]. La autocorrelación permite conocer
hasta que punto la historia pasada de X influye en su valor
actual.
Proceso gaussiano: Un proceso gaussiano verifica
X (t) ∼ Nn(m(t), Σ(t)), es decir, se distribuye como una
normal multivariante cuya media y covarianza varían con el
tiempo.
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Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Ruido blanco.
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Ruido blanco: Se define como ruido blanco un proceso ν(t)
que verifica:
E[ν(t)] = 0.
E[ν(t)ν(t) T ] = σ 2 Id.
R(t, τ) = E[ν(t)ν(τ) T ] = δ(t − τ)σ 2 Id, donde δ(x) vale 1 si
x = 0 y 0 en cualquier otro caso.
La última condición quiere decir que el valor del ruido blanco
en un instante es independiente de su valor en cualquier
instante anterior.
Ruido blanco gaussiano: Es un proceso que cumple las
condiciones anteriores, y además es gaussiano.
Un buen modelo para las fuentes de error (errores de medida,
errores gravitatorios) es δɛ(tk) = b + Dν, donde ν es ruido
blanco gaussiano. El valor de b dará la media del error (sesgo,
llamado bias en inglés).
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error.
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
45 / 49
Si en las ecuaciones de propagación del error
δx(tk+1) = A(k)δx(tk) + δɛ(tk) sustituimos δɛ(tk) = b + Dν,
obtenemos el siguiente modelo de propagación del error:
δx(tk+1) = A(k)δx(tk) + b + Dν.
Observación: típicamente b también está sometido a un error
variable, de forma que b(tk+1) = b(tk) + Dbν b. Para
simplificar ignoramos esta variación.
Se realizan las siguientes hipótesis:
ν es ruido blanco gaussiano con varianza σ2 ν.
Inicialmente, δx(t0) ∼ Nn(m0 , Σ0). Si se conocieran
perfectamente, entonces Σ0 = 0.
Además se tiene la hipótesis de que δx(t0) y ν son
independientes.
Bajo estas condiciones, se tiene que δx(tk) es un proceso
gaussiano, es decir, δx(tk) ∼ Nn(mk, Σk), donde la media y la
covarianza verifican la siguiente evolución:
Propagación de la media: mk+1 = Amk + b.
Propagación de la covarianza: Σk+1 = AΣkAT + σ2 νDDT . 46 / 49
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Propagación del error: ejemplo sencillo
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Supongamos que tuviéramos una ecuación de propagación del
error en una dimensión (por ejemplo la posición en el eje x)
dada simplemente por: δxk+1 = δxk + ν, donde:
La variable temporal k representa minutos, es decir, x6 es el
error en posición pasados 6 minutos.
ν es ruido blanco gaussiano de varianza σ 2 ν.
Inicialmente, δx(t0) = 0.
Además δx(tk) y ν son independientes.
Entonces aplicando las fórmulas anteriores,
δx(tk) ∼ N(mk, σk), donde la media y la varianza verifican:
Propagación de la media: mk+1 = amk. Como m0 = 0, se
tendrá mk = 0 para todo k.
Propagación de la varianza: σ2 k+1 = σ2 k + σ2 nu. Como σ2 0 = 0, se
tiene que σ2 k = kσ2 nu. Por tanto la varianza verifica σk = √ kσν.
Si por ejemplo x son metros y el ruido blanco tiene σν = 0,1
metros, entonces aunque inicialmente la posición se conoce
sin error, pasada una hora σ60 = √ 60 · 0,1 = 0,77, es decir un
intervalo 2-σ sería δx ∈ [−1,55, 1,55]. 47 / 49
Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial.
Errores en navegación inercial.
Modelos de Error
Medida del error en 2-D
Breve recordatorio de estadística
Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Medidas del error.
Para el caso 2-D (por ejemplo posición sobre un mapa) y si el
error está distribuido como X ∼ N2(0, Σ), las regiones de
confianza serían elipses:
Dado Σ podemos escribir Σ = Pdiag{σ1, σ2}P T donde P es
una matriz con autovectores y σi los autovalores. Los
autovectores dan la dirección de los ejes de la elipse y los
autovalores son proporcionales a su magnitud (cuyo valor
exacto dependerá del grado de confianza del intervalo).
48 / 49

Sistema de navegación autónomo: Navegación inercial. Breve recordatorio de estadística
Errores en navegación inercial. Procesos estocásticos. Ruido blanco. Propagación.
Modelos de Error !"#$$%&'$(")*'+%&*+","!-"
Medidas del error.
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σx/3 ≤ σy ≤ 3σx, entonces 5/2(90/#)."#$"0'("9##25/)10("1T/."12("2(?:/2(5;""
CEP 0,59(σx + σy ).
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Otra medida comúnmenteOPK,"/."0'(".?:12("2##0"#$"0'("16(214("#$"0'(".?:12("(22#2."='/9'"/."5($/)(5"1."$#33#=.Q" usada (FAA) es el 2DRMS: círculo
"
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que contiene del 95 % al 98 % de los puntos. Se calcula
!",01)5125"(22#2."V!W"#$"(.0/710(5"9##25/)10(."VT8"AW"#$"(19'"-#/)0"C(/)4"-#./0/#)(5"
91)"C("-2(5/90(5"$2#7"0'("9#22(.-#)5/)4"612/1)9(."#)"0'("5/14#)13"#$"0'("
DRMS = σ 9#612/1)9("7102/T;""
2 x + σ2 y . Entonces el 2DRMS es el círculo de

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Navegación Aérea
Tema 5: Sistema de navegación por posicionamiento.
Navegación por satélite.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
Sistema de navegación por posicionamiento.
La navegación por posicionamiento consiste en averiguar la
localización geográfica con ayuda de señales o medidas
exteriores.
El ejemplo más temprano es la navegación astronómica que ya
se vio en la introducción histórica. Dicho tipo de navegación
aún se emplea, especialmente para vehículos espaciales y
misiles balísticos.
Actualmente la navegación por posicionamiento se realiza
mediante radioayudas (por ejemplo VOR/DME, DME/DME),
radar y/o sistemas de navegación por satélite (GNSS).
Además de la posición se puede encontrar la velocidad
estudiando el efecto Doppler en las señales. También puede
ser posible hallar la actitud.
Veremos en detalle la navegación DME/DME y GNSS, y su
impacto en la navegación aérea hoy en día.
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Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos.
DME I
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
Los sistemas de posicionamiento que vamos a estudiar se
basan en la recepción (y en el caso del DME, emisión) de
señales respecto a un punto de referencia cuya localización es
conocida (una estación, un satélite).
Estudiando el tiempo de transmisión de dichas señales, se
encuentra la distancia hasta el punto de referencia.
Con dicha distancia se puede construir un lugar geométrico de
puntos posibles donde puede hallarse la aeronave.
Dado el suficiente número de estaciones o satélites, se
podrá hallar la posición de la aeronave como la intersección de
dichos lugares geométricos.
La posición relativa de los puntos de referencia influirá en el
error (DOP: Dilution of Precision).
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
DME=Distance Measurement Equipment.
El sistema requiere un emisor/receptor en la
aeronave y un transponder en la estación en
tierra.
El sistema en la aeronave interroga al
transponder en tierra mediante una serie de
pares de pulsos. La estación responde con una
secuencia idéntica de pulsos con un cierto
retraso específico (50 microsegundos).
3 / 48
La distancia se calcula simplemente midiendo el
tiempo que tardan las señales en retornar tras
su emisión; a dicho tiempo se le resta 50
microsegundos y se divide por 2. Dividiendo el
resultado por la velocidad de la luz, se obtiene
una buena estimación de la distancia a la
estación en tierra. 4 / 48

DME II
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
La secuencia de pares de pulsos depende del equipo del avión,
por lo que un mismo equipo de tierra puede responder a
múltiples equipos en el aire (hasta 100–200 aeronaves).
La precisión típica de un DME está entre 185 m (0.1 nm) y
926 m. (0.5nm) 2 − σ. Se pueden obtener medidas casi
continuamente (10 medidas por segundo). También se obtiene
una estimación de la velocidad (proyectada en la dirección de
la estación) mediante el efecto Doppler.
Obsérvese que la medida de distancia D es 3-D. Para obtener
la distancia sobre el terreno, dG , si la altitud Alt es conocida:
D 2 = d 2 G + Alt2 .
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Navegación DME/DME
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
Consideremos el caso de dos DMEs. En principio existirá una
ambigüedad que se puede resolver conocidas medidas
anteriores o con una tercera estación.
Simplifiquemos y supongamos Tierra plana y las coordenadas
x, y que miden la posición de la aeronave; las coordenadas
x1, y1 y x2, y2 determinan la posición de las estaciones.
Se mide la distancia a la primera estación ρ1 y a la segunda
estación ρ2 (distancias sobre tierra).
Las ecuaciones que hay que resolver para hallar la posición
son:
(x − x1) 2 + (y − y1) 2 = ρ1, (x − x2) 2 + (y − y2) 2 = ρ2.
Éstas ecuaciones son sencillas de resolver. Pero si las
distancias contienen error, ¿cómo determinar el error final en
la estimación de posición?
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User location
In the presence of measurement errors, the range rings used to compute the
user’s location will be in error and result in error in the computed position. The con-
Navegación por posicionamiento
cept of dilution of precision is theGNSS: ideaNavegación that the position por satéliteerror
that results from mea-
GPS: Otros conceptos
surement errors depends on the user/foghorn relative geometry. Graphically, these
ideas are illustrated in Figure 7.5. Two geometries are indicated. In Figure 7.5(a),
Errores en navegación Foghorn 2DME/DME
Variation in range ring
due to range errors:
from foghorn 1
from foghorn 2
Foghorn 2
Variation in range ring due to
range errors:
from foghorn 1
from foghorn 2
RNAV
Variation in range ring due to
range errors:
from foghorn 1
from foghorn 2
User location
Foghorn 2
Foghorn 1
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
Shaded region: Locations
using data from Shaded within region: Locations using data
indicated error frombounds within indicated error bounds
User location
Figure 7.5 Relative geometry and dilution of precision: (a) geometry with low DOP, and (b)
geometry with high DOP.
(a)
User location
Los errores dependen de la posición relativa de las estaciones
Foghorn 1
DME con respecto al receptor.
Si la linea que une al receptor con uno de los DME forma 90
Foghorn 2
grados con la linea que une al receptor con el otro DME, la
Foghorn 1
situación es óptima, como se (b) ve en la figura de la izquierda.
Figure 7.5 Relative (a) geometry and dilution of precision: (a) geometry with low DOP, and (b)
Si dichas geometry lineas with high forman DOP. un ángulo pequeño (por ejemplo si el
receptor se encuentra aproximadamente entre las estaciones
DME) la situación Shaded region: es adversa, Locations using como data se muestra en la figura de
from within indicated error bounds
la derecha.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
RNAV=aRea NAVigation.
7 / 48
La navegación tradicional exige emplear
radioayudas (típicamente VOR) como
waypoints generando aerovías rígidas que
no permiten explotar el espacio aéreo.
Foghorn Los 1 sistemas de navegación actuales
(b) permiten saber la posición de la aeronave
con precisión, para cualquier ruta.
RNAV es un procedimiento de navegación que permite diseñar
una ruta arbitraria con waypoints virtuales, siempre que la
ruta de la aeronave se encuentre en una zona donde los
sistemas de navegación tengan la suficiente precisión.
Dicha precisión se puede especificar, de forma que una
determinada ruta o procedimiento RNAV sólo la pueden
realizar aviones con ciertas características y adecuadamente
equipados. Ésta especificación se denomina RNP. 8 / 48

RNAV/RNP
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
RNP=Required Navigation Performance.
Es un conjunto de estándares que especifican
los requisitos mínimos que una aeronave y su
sistema de navegación deben cumplir para
operar en un determinado espacio aéreo.
RNAV/RNP: permite diseñar rutas con menor
separación que la tradicionalmente empleada, y
por tanto una explotación eficiente del espacio
aéreo.
RNAV/RNP es el futuro del tráfico aéreo y requiere un amplio
conocimiento de los sistemas de navegación utilizados.
Ejemplificamos éstos conceptos para el caso DME-DME.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Navegación RNAV DME/DME
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
9 / 48
Los sistemas DME/DME están extendidos hoy
en día y permiten suficiente cobertura para
todas las operaciones en ruta en Europa.
Permiten cumplir los requisitos RNAV si bien se
reconoce que debería aumentar el número de
estaciones para mejorar la precisión.
Para poder realizar navegación DME/DME los
requisitos mínimos son 2 estaciones cumpliendo:
Distancia menor de 200 nm y mayor de 1nm.
Arco subtendido entre las dos estaciones
situado entre 30 grados y 150 grados.
Cuantas más estaciones estén disponibles,
mayor precisión se podrá conseguir. En
cualquier caso la precisión dependerá del
equipo.
10 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Diseño de un RNAV in Europe procedimiento - Procedure Design Master Class I
Estimated
Flight Path
SYSTEM ACCURACY
HORIZONTAL VIEW
Nominal Flight
Path
Estimated Position
True Aircraft Flight Path
FTT
Eliane Belin
ATT
XTT depends on FTT
True Aircraft Position
XTT
Nominal Aircraft
Position
EUROCONTROL
10
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
RNAV in Europe - Procedure Design Master Class
WAYPOINT TOLERANCE
Errores 2-D: ATT (along-track tolerance) y XTT (cross-track
tolerance).
Éstos son los errores que se requieren para diseñar
procedimientos RNAV. Se fija un corredor de seguridad en
torno a la trayectoria que respete estos errores máximos.
Aparte de los errores procedentes del DME, otros errores que
juegan un papel son (FTT=error técnico de vuelo) y el error
de cálculo (ST=system tolerance).
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Diseño de un procedimiento II
ATT
XTT
Eliane Belin
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
Aunque el error depende de la posición relativa de los DMEs y
el receptor, la norma editada por EUROCONTROL considera
el peor caso posible y evita complicar las fórmulas con la
geometría del problema.
Según la norma, hay que calcular:
d = 1,23 × √ Alt × 0,0125 + 0,25nm, con Alt en pies.
Se toma ST = 0,25nm, y el valor de FTT será:
En ruta: FTT = 2nm
Acercamiento inicial e intermedio: FTT = 1nm.
Despegue, acercamiento final FTT = 0,5nm.
Si sólo hay 2 DMEs multiplicar d por 1,29.
Los errores serán:
XTT = d 2 + FTT 2 + ST 2 , ATT = d 2 + ST 2
EUROCONTROL
11
11 / 48
12 / 48

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Diseño de un procedimiento III
Fundamentos básicos
Navegación DME-DME y el diseño de aerovías
12,000 2.70 2.51 5.05
Aparte se añaden pequeños ”buffers”para aumentar la
11,000 2.61 2.42 4.92
seguridad de los procedimientos.
Usando los valores de XTT y ATT se pueden diseñar
RNAV in Europe - Procedure Design Master Class
EUROCONTROL
procedimientos DESIGN OF PROTECTION RNAV.
AREAS
IAWP
SECONDARY AREA
PRIMARY AREA
Eliane Belin
IWP
19
Guidance Material for the Design of Terminal Procedures for DME/DME and GNSS Area Navigation
2.3.4 The procedure designer should choose the table based upon the worst case
navaid availability for the waypoint in question. In other words, how many DME
stations are within range and available for use at the lowest usable level at the
waypoint. The XTT, ATT and !AW values at that level, for the appropriate
phase of flight, should then be used for all containment area calculations
associated with that waypoint. The en-route values are provided for use on
arrival legs that are more than 25 NM from the IAWP.
Altitude En-route IAWP/IWP FAWP/MAWP/DWP
(ft)
XTT
(NM)
ATT
(NM)
!AW
(NM)
XTT
(NM)
ATT
(NM)
!AW
(NM)
15,000 For all altitudes 2.94 2.76 5.41
14,000 4.08 3.56 8.10 2.86 2.68 5.29
13,000 2.78 2.60 5.17
XTT
(NM)
ATT
(NM)
!AW
(NM)
10,000 2.53 2.32 4.79 2.37 2.32 4.06
9,000 2.43 2.22 4.65 2.27 2.22 3.91
8,000 2.34 2.11 4.50 2.17 2.11 3.75
7,000 2.23 2.00 4.35 2.06 2.00 3.59
6,000 2.13 1.88 4.19 1.94 1.88 3.41
5,000 2.01 1.74 4.01 1.81 1.74 3.22
4,000 1.88 1.60 3.83 1.67 1.60 3.01
3,000 1.75 1.43 3.62 1.52 1.43 2.77
2,000 1.59 1.24 3.38 1.33 1.24 2.50
1,000 1.40 0.98 3.10 1.10 0.98 2.15
500 0.95 0.81 1.92
Table 2 - XTT, ATT and Semi-width Values (in NM) for DME/DME RNAV (Only 2 DMEs available)
Altitude En-route IAWP/IWP FAWP/MAWP/DWP
(ft)
XTT
(NM)
ATT
(NM)
!AW
(NM)
XTT
(NM)
ATT
(NM)
!AW
(NM)
XTT
(NM)
ATT
(NM)
!AW
(NM)
15,000 For all altitudes 2.37 2.15 4.55
14,000 3.40 2.67 7.10 2.31 2.08 4.47
13,000 2.25 2.02 4.38
12,000 2.19 1.95 4.29
11,000 2.13 1.88 4.19
10,000 2.06 1.80 4.10 1.87 1.80 3.31
9,000 2.00 1.73 3.99 1.80 1.73 3.20
8,000 1.92 1.64 3.89 1.72 1.64 3.08
7,000 1.85 1.56 3.78 1.63 1.56 2.95
6,000 1.77 1.46 3.66 1.55 1.46 2.82
5,000 1.69 1.36 3.53 1.45 1.36 2.67
4,000 1.60 1.25 3.40 1.34 1.25 2.52
3,000 1.50 1.12 3.25 1.23 1.12 2.34
2,000 1.39 0.97 3.09 1.09 0.97 2.14
1,000 1.27 0.78 2.90 0.92 0.78 1.89
500 0.82 0.64 1.72
Table 3 - XTT, ATT and Semi-width Values (in NM) for DME/DME RNAV (More than 2 DMEs available)
Los cálculos anteriores se pueden encontrar tabulados.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Edition : 2.2 Released Issue Page 8
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Sistemas de posicionamiento satelitales: TRANSIT
13 / 48
En 1957, cuando se lanzó el Sputnik, se observó que
empleando el efecto Doppler a sus señales de radio se
podía estimar su velocidad relativa al observador.
A partir de la velocidad relativa se podía encontrar la
posición relativa, y suponiendo que el observador
conociera su posición perfectamente, por tanto se
encontraba la posición del Sputnik.
Se plantea la idea de invertir este cálculo: conocida la
posición del satélite, y utilizando señales de radio,
determinar la posición del observador.
Un primer sistema satelital es el sistema TRANSIT:
5 satélites en órbita polar baja y 5 repuestos.
Empleaba el efecto Doppler para obtener medidas 2-D
de la posición, con precisión de 200–400 m.
En servicio desde 1965 hasta 1991.
Actualización de posición cada 30 minutos
(φ = 80 o )–110 minutos (φ = 0 0 ).
14 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Sistemas de posicionamiento satelitales: GPS
En los años 60 agencias de EE.UU. (NASA,
DoD...) se interesan por desarrollar un sistema:
Global.
3-D.
De gran precisión.
Con operación continua.
Útil en plataformas de dinámica rápida.
En los años 70 nace el sistema GPS (Global Positioning
System) que satisface los criterios demandados y es pasivo:
permite infinitos usuarios.
El sistema en su concepción es de naturaleza militar.
1978: Se lanza el primer satélite.
Años 80: el sistema es operacional.
Años 90: modernización del sistema. El uso civil supera
ampliamente al militar.
2000: Se desconecta la S.A. (Selective Availability).
Otros sistemas: Glonass (Rusia), Beidou y Compass(China),
Galileo (UE, 2010?).
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmento espacial
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Constelación de 24 satélites (nominal)
distribuidos en 6 planos orbitales, con 4
satélites por plano. Órbitas circulares.
15 / 48
La constelación se ubica en órbita media,
con una altitud aproximada de 20200
kilómetros sobre la Tierra.
Satélites NAVSTAR, fabricados por Rockwell
International. Pesan 860 kg.
Cada satélite lleva a bordo un reloj atómico
sincronizado con el tiempo GPS.
Cada satélite emite continuamente un mensaje en dos
frecuencias: L1(1575.42 Mhz), L2(1227.6MHz).
El mensaje tiene 2 partes: C/A code (coarse/adquisition) y P
code (precision). Contienen una secuencia que permite estimar
el tiempo de recepción e información sobre la localización del
16 / 48
satélite (efemérides).

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmento de control
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmento de usuario
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Segmento de control: red que monitoriza el
estado de los satélites.
Actualiza con observaciones la posición real
de los satélites (efemérides).
Sincroniza los relojes atómicos.
Controlado por el ejército. La estación de
control maestra está en Colorado (Schriever
AFB).
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Dispositivo que emplea un usuario de GPS para obtener su
posición a partir de las señales recibidas. Para ello
implementa un algoritmo de estimación de posición.
Requiere: receptor de radio, reloj de cuarzo.
17 / 48
Contiene un propagador de órbitas: calcula la posición de los
satélites a partir de las efemérides.
El GPS fue concebido con uso dual, civil o militar.
La señal militar está encriptada, y permite mayor precisión
(PPS=Precise Positioning System). La señal civil tenía ruido
añadido para hacerla menos precisa (SPS=Standard
Positioning System). Ésta adición de ruido se denominaba
S.A.=Selective Availability, pero se desactivó en 2000,
incrementando la precisión SPS.
Las precisiones mínimas SPS son del orden de 13m. 2drms
horizontal, 22m 2-σ vertical, 0.2m/s 2-σ en velocidad y 40ns
2-σ en tiempo.
18 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Observables. Pseudodistancia.
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Las medidas del receptor GPS se denominan observables.
A partir de las señales enviadas por un satélite, es posible
determinar el tiempo t0 en el que se enviaron. Comparando
con el tiempo t1 de recepción, el primer observable que se
obtiene es la diferencia de tiempos ∆t = t1 − t0.
Llamando r a la distancia receptor-satélite, r = r = c∆t,
donde c es la velocidad de la luz. Definamos ρ = c∆t.
Si el reloj del receptor (un reloj de cuarzo) estuviera
sincronizado perfectamente con el tiempo GPS (dado por los
relojes atómicos a bordo de los satélites), entonces ρ sería una
medida exacta de la distancia.
Pero un reloj de cuarzo tiene errores; treceptor = tGPS + tu,
donde tu es el sesgo del reloj. Errores muy pequeños
corresponden con grandes distancias ya que c es muy elevado.
Ya que ρ no es una medida exacta de la distancia se denomina
pseudodistancia.
19 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Cálculo de la posición.
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Llamemos s a la posición del satélite y u a la posición del
usuario. En aplicaciones GPS se suele trabajar en el sistema de
referencia ECI o a veces ECEF.
Se tiene entonces que r = s − u. Luego r = ρ − ctu = s − u.
En el mensaje de navegación está codificada la efemérides del
satélite con gran precisión, lo que permite calcular s con gran
exactitud.
Por tanto para cada satélite i que sea visible en un instante
dado tendremos una ecuación del tipo ρi − ctu = s i − u
(una esfera).
¿Cuántos satélites serán necesarios para hallar u?
La intersección de dos esferas es una circunferencia.
La intersección de tres esferas son dos puntos.
Además tu es desconocido: son necesarios al menos cuatro
satélites.
20 / 48

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites I
Por tanto tenemos las siguientes ecuaciones:
ρ1 − ctu = s 1 − u
ρ2 − ctu = s 2 − u
ρ3 − ctu = s 3 − u
ρ4 − ctu = s 4 − u
Es necesario un algoritmo para determinar tu y u.
Si definimos u = [xu yu zu] T y s i = [xi yi zi] T , obsérvese que
ρi = (xi − xu) 2 + (yi − yu) 2 + (zi − zu) 2 + ctu. Por tanto
ρi = fi(xu, yu, zu, tu).
Supongamos que conozco una estimación inicial de u y tu,
dada por û = [ˆxu ˆyu ˆzu] T y ˆtu. Definamos
δu = u − û = [δxu δyu δzu] T , δtu = tu − ˆtu y
ˆρi = s i − û + cˆtu.
Linealicemos ahora fi en torno a la estimación inicial.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites II
Se tendrá que:
ρ i = f i (xu, yu, zu, tu) = f i (δxu + ˆxu, δyu + ˆyu, δzu + ˆzu, δtu + ˆtu)
= f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu) + ∂f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
Se tiene que:
+ ∂fi (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
δtu
∂ˆtu
∂fi
∂ˆxu
∂ˆxu
δxu + ∂f i (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
∂ˆyu
δyu + ∂fi (ˆxu, ˆyu, ˆzu, ˆtu)
δzu
∂ˆzu
(xi − ˆxu)
= −
(xi − ˆxu) 2 + (yi − ˆyu) 2 + (zi − ˆzu) 2
Puesto que todo es conocido en la expresión de arriba,
(xi −ˆxu)
definimos axi
= − ∂fi
∂ˆxu =
Similarmente se define ayi
Finalmente se tiene que ∂fi = c.
∂ˆtu
Por tanto la linealización queda:
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 .
+(zi −ˆzu) 2
= − ∂fi
∂ˆyu
ρi = ˆρi − axi δxu − ayi δyu − azi δzu + cδtu
y azi = − ∂fi
∂ˆzu .
21 / 48
22 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Cálculo de la posición con cuatro satélites III
Definamos ∆ρ = ˆρi − ρi = axi δxu + ayi δyu + azi δzu − cδtu.
Si definimos:
2
6
∆x = 6
4
δxu
δyu
δzu
−cδtu
3
2
7 6
7
5 , ∆ρ = 6
4
ˆρ1 − ρ1
ˆρ2 − ρ2
ˆρ3 − ρ3
ˆρ4 − ρ4
3 2
ax1 7 6 ax 7
5 , H = 6 2
4 ax3 ax4 ay1 ay2 ay3 ay4 az1 az2 az3 az4 3
1
1 7
1 5
1
Se tiene que ∆ρ = H∆x.
Por tanto para determinar ∆x simplemente ∆x = H −1 ∆ρ y
se obtienen los errores respecto a la estimación inicial.
Algoritmo iterativo: dada una estimación inicial û 0 , ˆt 0 u y las
medidas ρi:
1 Formar ˆρ 0 i , ∆ρ0 y H 0 .
2 Encontrar ∆x 0 = (H 0 ) −1 ∆ρ 0 .
3 Mejorar la estimación inicial usando ∆x 0 , obteniendo û 1 , ˆt 1 u.
4 Formar ˆρ 1 i , ∆ρ1 y H 1 .
5 Encontrar ∆x 1 = (H 1 ) −1 ∆ρ 1 .
6 Iterar hasta que ∆x n ≤ ɛ, una tolerancia predefinida.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Algoritmo de mínimos cuadrados I
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
23 / 48
El algoritmo anterior no es válido si se tienen más de cuatro
satélites, porque H no sería cuadrada. En general para n
satélites δρ es n × 1 y H es n × 4, mientras que δx es 4 × 1.
Si las medidas contienen error, se podría usar un modelo del
tipo ∆ρ = H∆x + ν, donde ν ∼ Nn(0, Σ) es un modelo del
error.
En ambos casos se resuelve el problema usando el algoritmo
de mínimos cuadrados, que resuelve un problema del tipo:
y = Az + b, donde:
y es de dimensión n y conocido (medidas).
z es de dimensión m ≤ n y es desconocido (datos a calcular).
A es conocido (medidas).
b son los errores (desconocidos): b ∼ Nm(0, Σ)
Se busca una solución ˆz de forma que Aˆz sea lo más parecido
posible a y en el sentido de los mínimos cuadrados.
Matemáticamente, se busca ˆz tal que la función de coste
J = (y − Aˆz) T (y − Aˆz) sea mínimo. 24 / 48

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Algoritmo de mínimos cuadrados II
Se busca ∂J
∂ˆz
= 0.
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
En primer lugar: J = y T y − 2y T Aˆz + ˆz T A T Aˆz
Tomando la derivada: ∂J
∂ˆz = −2y T A + 2ˆz T A T A
Igualándola a 0:y T A = ˆz T A T A
Despejando ˆz: ˆz T = y T A(A T A) −1 ⇒ ˆz = (A T A) −1 A T y.
Obsérvese que (A T A) −1 A T es la pseudoinversa y existe
siempre que A tenga al menos m filas (medidas)
independientes.
Propiedades estadísticas de la solución:
E[ˆz] = E[(A T A) −1 A T y] = (A T A) −1 A T E[y] = (A T A) −1 A T E[Az + b] =
(A T A) −1 A T AE[z] = E[z] = z.
Cov[ˆz] = Cov[(A T A) −1 A T y] = (A T A) −1 A T Cov[y]A(A T A) −1 = (A T A) −1 A T Cov[Az +
b]A(A T A) −1 = (A T A) −1 “
T
A ACov[z]A T ”
+ Σ A(A T A) −1 = (A T A) −1 A T ΣA(A T A) −1
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Algoritmo de mínimos cuadrados ponderados
¿Existe alguna mejora posible del algoritmo de mínimos
cuadrados que disminuya la covarianza de la estimación?
Se plantea ponderar las medidas en la función de coste con
una matriz de pesos W , de forma que se dé más peso a las
medidas más precisas y menos a las menos precisas. Por
tanto: J = (y − Aˆz) T W (y − Aˆz) donde W ha de ser una
matriz simétrica definida positiva.
Procediendo como antes (se deja como ejercicio) se llega a
ˆz = (A T WA) −1 A T W y.
Propiedades estadísticas de la solución:
E[ˆz] = z.
Cov[ˆz] = (A T WA) −1 A T W ΣWA(A T WA) −1
Para minimizar la covarianza, tomar W = Σ −1 ; es simétrica y
definida positiva. Llegamos a ˆz = (A T Σ −1 A) −1 A T Σ −1 y.
La covarianza será:
Cov[ˆz] = (A T Σ −1 A) −1 A T Σ −1 ΣΣ −1 A(A T Σ −1 A) −1 =
(A T Σ −1 A) −1 A T Σ −1 A(A T Σ −1 A) −1 = (A T Σ −1 A) −1 .
25 / 48
26 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Errores en los observables
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Podemos aplicar el algoritmo de los mínimos cuadrados
ponderados a nuestro caso de n medidas de pseudodistancia,
con ∆ρ = H∆x + ν, donde ν ∼ Nn(0, Σ) modela los errores
en la pseudodistancia.
⎡
⎤
⎢
Es razonable suponer Σ = ⎢
⎣
σ 2 1
σ 2 2
. ..
σ 2 n
⎥
⎦ , donde σi es
la varianza del error de cada pseudodistancia.
En primera aproximación se toma σ2 i = σ2 UERE , donde
UERE=User Equivalent Range Error, una estimación cuyo
valor típico es σUERE ∼ 7 − 1,5m (PPS-SPS), y proviene de
las siguientes fuentes de error (sumadas con RSS):
Segmento espacial: error reloj (1.1 m), cálculo órbita (0.8 m).
Segmento usuario: Efectos atmosféricos, ruido del receptor y
resolución, efectos multicamino: 7-1.4 m. (PPS-SPS)
Factores DOP I
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Por tanto en primera aproximación Σ = σ 2 UERE Idn y no es
necesario usar mínimos cuadrados ponderados. La covarianza
del resultado será: Cov[∆ˆx] =
(H T H) −1 H T σ 2 UERE IdnH(H T H) −1 = σ 2 UERE (HT H) −1 .
Definimos G = (H T H) −1 , llegamos a Cov[∆ˆx] = σ 2 UERE G.
El significado físico de Cov[∆ˆx] viene dado por
2
Var[δx
6
Cov[∆ˆx] = 6
4
2 u ] Cov[δxuδyu] Cov[δxuδzu] Cov[δxuδtu]
Cov[δxuδyu] Var[δyu] Cov[δyuδzu] Cov[δyuδtu]
Cov[δxuδzu] Cov[δzuδyu] Var[δz 2 u ] Cov[δzuδtu]
Cov[δxuδtu] Cov[δtuδyu] Cov[δtuδzu] Var[δt 2 u ]
3 2
G11
7 6
7
5 = σ2 6
UERE 4
Los valores interesantes son los de la diagonal: nos dicen la
varianza en las diferences direcciones y el tiempo.
Éstas varianzas son el producto de dos factores: σ2 UERE , que
depende de la señal, y G, que depende sólo de H, que a su vez
sólo ✞ depende de las derivadas de fi: es decir de la geometría. ☎
ERROR GPS=(FACTOR GEOMETRICO)× (ERROR SEÑAL)
✝
✆
G22
G33
27 / 48
G44
3
7
5
28 / 48

Factores DOP II
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Éstos valores en la diagonal de G se combinan para formar los
llamados factores DOP, que nos dicen cuánto afecta la
geometría a la solución del error. Los valores típicamente
usados son:
GDOP-Geometric Dilution of Precision.
GDOP = √ G11 + G22 + G33 + G44.
PDOP-Position Dilution of Precision.
PDOP = √ G11 + G22 + G33.
TDOP-Time Dilution of Precision. TDOP = √ G44.
HDOP-Horizontal Dilution of Precision. GDOP = √ G11 + G22.
VDOP-Vertical Dilution of Precision. VDOP = √ G33.
Usando los factores DOP podemos hallar rápidamente una
estimación de la precisión de nuestro GPS:
Factores DOP III
σz = VDOP × σUERE
σt = TDOP × σUERE
Precisión horizontal 2 − DRMS = 2HDOP × σUERE
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
La elevación/azimut óptimo de los satélites es:
29 / 48
¿Cómo influye la geometría en G?
Intuitivamente, parece bastante claro
que si las medidas se obtienen de
satélites muy próximos, los resultados
no serán buenos.
Estudiamos para el caso de 4 satélites
la configuración que minimiza el
GDOP, con los satélites visibles en el
horizonte (elevación mínima 5 grados).
Satélite 1 2 3 4
h 5 o 5 o 5 o 90 o
Az 0 o 120 o 240 o 0 o
Nota: Al azimut de 1-3 se le puede añadir cualquier valor
constante, siempre que se añada a todos. 30 / 48
Factores DOP IV
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Dicha configuración óptima es un tetraedro, con el usuario
situado aproximadamente en el centro de una de las caras, y
el vértice opuesto a dicha cara justo sobre el usuario.
Para esta configuración se tiene:
2
6
H = 6
4
0 0,996 0,087 1
0,863 −0,498 0,087 1
−0,863 −0,498 0,087 1
0 0 1 1
3
2
7
5 → G = (HT H) −1 6
= 6
4
0,672 0 0 0
0 0,672 0 0
0 0 1,6 −0,505
0 0 −0,505 0,409
Los factores DOP son: GDOP = 1,83, PDOP = 1,72,
TDOP = 0,64, HDOP = 1,16, VDOP = 1,26.
Tomando σUERE = 7m (SPS):
Error vertical: 17.64 metros 2-σ.
Precisión horizontal 16.24 metros 2-DRMS.
Precisión en tiempo 2-σ:2 × TDOP × σUERE /c = 30 ns
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Cálculo de la velocidad
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Una sistema de navegación enfocado a navegación aérea no
sólo debe ser capaz de hallar la posición, sino también la
velocidad (y la actitud).
Un sistema GPS se puede actualizar aproximadamente desde 1
(receptores básicos baratos) hasta unas 20 veces por segundo
(receptores con gran capacidad de cálculo, muy caros). Como
primera idea para calcular v podríamos usar simplemente la
posición en dos medidas consecutivas: v = u(t+∆t)−u(t)
∆t .
No obstante si v es elevado (lo que siempre sucede en
aeronaves), incluso para un alto ancho de banda, la anterior
fórmula es poco precisa e introduce errores.
Los receptores GPS modernos encuentran la velocidad
mediante otro observable: la frecuencia de la portadora. Ésta
frecuencia se modifica por el efecto Doppler, debido a que
entre el usuario y el satélite existe una velocidad relativa.
3
7
5
31 / 48
32 / 48

Efecto Doppler
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Ecuación del efecto Doppler: fR = fT
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
1 − v r · a
c
fR es la frecuencia recibida.
fT es la frecuencia transmitida (conocida).
, donde:
v r = ˙s − ˙u es la velocidad relativa satélite-usuario.
a = s−u
s−u es el vector unitario en la dirección satélite-usuario.
Si ya hemos obtenido la posición siguiendo los métodos
anteriormente descritos se puede considerar a conocido.
Por tanto la diferencia de fase ∆f vendrá dada por:
v r · a
∆f = fT − fR = −fT .
c
Por otro lado el observable no es directamente ∆f , porque el
reloj del segmento de usuario no tiene la suficiente precisión e
introduce errores de medida de frecuencia de la siguiente
forma: fM = fR − fM ˙ tu, donde fM es la frecuencia medida.
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Deriva del reloj de usuario
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Para entender la ecuación fM = fR − fM ˙
tu, imaginemos que el
usuario mide una señal dada por y = sin(a · τ), donde τ es el
tiempo del receptor.
El receptor del usuario deduce que tiene una señal de a
Hercios. Por tanto fM = a.
Pero si τ = t, donde t es el tiempo GPS, se introduce un
error. Este error es τ = t + tu, donde tu es la deriva del reloj
del usuario. Imaginemos que tu c1 + c2t. Luego ˙
tu = c2.
Entonces realmente y = sin(at + ac1 + ac2t), lo que es una
señal de a + ac2 Hercios (ac1 es un desfase y no influye en la
frecuencia de la señal). Luego fR es igual a a + ac2.
En efecto, se verifica: a = a + ac2 − ac2.
33 / 48
Aunque ˙
tu puede ser muy pequeño, tiene un efecto muy
significativo en el resultado real, ya que estará multiplicado
por c. Por tanto una deriva de 1 microsegundo por segundo
(10 −6 ) daría errores del orden de 300 m/s! 34 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Algoritmo de cálculo de velocidad I
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Por tanto tenemos las dos ecuaciones: fT − fR = −fT
fM = fR − fM ˙
tu.
Eliminando fR, se llega a:
c fT − fM
fT
= −v r · a − c fM
Puesto que v r = ˙s − ˙u, escribimos:
c fT − fM
fT
Llamemos d = c fT −fM
fT
˙
tu
fT
+ ˙s · a = ˙u · a − c fM
˙
tu
fT
+ ˙s · a; es un vector conocido en
v r · a
c
función de los datos, la medida de fase de la portadora, el
cálculo orbital, y la estimación anterior de la posición.
Para cada satélite (un mínimo como ya vimos de 4) se
tendrá una ecuación: d i = ˙u · ai − c fM i
tu ˙
fT i
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Algoritmo de cálculo de velocidad II
GPS: segmentos
Cálculo de posición. Errores.
Cálculo de velocidad.
Obsérvese que las componentes de ai a partir de una posición
anteriormente estimada û son:
axi =
(xi −ˆxu)
ayi =
azi =
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 ,
+(zi −ˆzu) 2
(yi −ˆyu)
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 ,
+(zi −ˆzu) 2
(zi −ˆzu)
√
(xi −ˆxu) 2 +(yi −ˆyu) 2 .
+(zi −ˆzu) 2
Estos valores ya se habían calculado anteriormente en la
estimación de posición! Luego son conocidos. Llegamos a:
d i = axi ˙ux + ayi ˙uy + azi ˙uz − c fM i
tu ˙
fT i
Aproximamos fM i 1. Por tanto llegamos a la ecuación
fT i
d = Hg, donde H es la matriz que se usó para estimar la
posición, d es un vector con las medidas y datos, y
g = [ ˙ux ˙uy ˙uz − c ˙tu] T que hay que calcular.
Resolvemos el problema por mínimos cuadrados como antes.
y
35 / 48
36 / 48

Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Disponibilidad, integridad y continuidad.
Disponibilidad I
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
En la tabla se resumen la mayor
parte de los sistemas de
navegación en uso.
Como se puede ver, el GPS es el
que consigue mayor precisión.
No obstante, la precisión no es
el único parámetro por el que se
debe elegir un sistema de
navegación.
Otros conceptos de gran
importancia son integridad,
continuidad y disponibilidad.
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Se define disponibilidad (availability) de un sistema de
navegación como el porcentaje del tiempo que dicho sistema
es “utilizable”, dentro de su área especificada de cobertura.
Utilizable se refiere a que el sistema cumple unos requisitos
mínimos (p.ej. en precisión) previamente especificados. Una
definición típica de utilizable es que el usuario obtenga un
PDOP ≤ 6.
En el caso del GPS, el área de cobertura es toda la superficie
de la Tierra, pero también hay que considerar el llamado
“ángulo de máscara”: el ángulo de elevación en el horizonte a
partir del cual los satélites se consideran visibles para el
receptor GPS.
En un entorno urbano o con accidentes geográficos dicho
ángulo tendrá que considerarse mayor que en un entorno sin
accidentes (p.ej. el mar).
37 / 48
38 / 48
Disponibilidad II
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
336 Performance of Stand-Alone GPS
Availability (%)
Availability (%)
99.999
99.99
99.9
99
90
70
50
30
10
1
7.5 Deg. mask angle
5.0 Deg. mask angle
2.5 Deg. mask angle
0.0 Deg. mask angle
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
HDOP
Figure 7.8 Cumulative distribution of HDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
Disponibilidad, 10 integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
1 Cálculo de la actitud
99.999
99.99
The threshold for the maximum acceptable DOP value is dependent on the
desired accuracy level. The availability of GPS, therefore, will depend on the strin-
Los 99.9 datos mostrados son para la constelación nominal y para
gency of the accuracy requirement. For this analysis, availability of GPS is chosen to
99
be defined as PDOP ≤ 6, which is commonly used as a service availability threshold
distintos ángulos de máscara. in the GPS performance standards [17].
90
Los 7.5 Deg. mask angle
70 datos son a nivel global y en intervalos de 5 minutos.
5.0 Deg. mask angle
50
2.5 Deg. mask angle
30
0.0 Deg. mask angle
10
es del 100 %. Para 7.5 grados se encuentra una disponibilidad
1
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PDOP
Figure 7.9 disponibilidad Cumulative distribution of PDOP with 7.5º, con 5º, 2.5º, and dicho 0º mask angles. ángulo de máscara es de 10 minutos,
y suceden para latitudes extremas (mayores de ±60 The threshold for the maximum acceptable DOP value is dependent on the
desired accuracy level. The availability of GPS, therefore, will depend on the stringency
of the accuracy requirement. For this analysis, availability of GPS is chosen to
be defined as PDOP ≤ 6, which is commonly used as a service availability threshold
in the GPS performance standards [17].
o ). 39 / 48
Navegación por posicionamiento Disponibilidad, integridad, continuidad
GNSS: Navegación por satélite Sistemas de aumento: GPS diferencial
GPS: Otros conceptos Cálculo de la actitud
Availability (%)
Availability (%)
90
70
50
30
99.999
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
99.99
99.9
99
90
70
50
30
10
1
HDOP
7.5 Deg. mask angle
5.0 Deg. mask angle
2.5 Deg. mask angle
0.0 Deg. mask angle
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PDOP
7.5 Deg. mask angle
5.0 Deg. mask angle
2.5 Deg. mask angle
0.0 Deg. mask angle
Figure 7.8 Cumulative distribution of HDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
Figure 7.9 Cumulative distribution of PDOP with 7.5º, 5º, 2.5º, and 0º mask angles.
Para ángulos de máscara de 0, 2.5 y 5 grados la disponibilidad
del 99.98 %. La duración máxima de los periodos de no
Disponibilidad III
7.4 GPS Availability 341
7.4 GPS Availability 339
Availability (%)
99.999
99.99
99.9
99
90
70
50
30
10
1
24 Satellites
23 Satellites
22 Satellites
21 Satellites
0.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
PDOP
Figure 7.12 Cumulative distribution of PDOP with 5º mask angle cases of 24, 23, 22, and 21
satellites.
−150 −120 −90 −60 −30 0 30 60 90 120 150
• Date of prediction: The date for which the prediction is to be performed. The
Sólo el 72 % del tiempo la constelación GPS almanac can be used nominal
to accurately predict for approximately 7 days in
90
90 the future.
• Mask angle: The elevation angle above the horizon at which satellites are con-
está 60 disponible (por errores o60 reparaciones).
sidered visible by the GPS receiver.
• Terrain mask: The azimuth and elevation of terrain (buildings, mountains,
and so on) that may block the satellite signal can be entered into the program
30
30
Típicamente fallan 1, 2 o 3 satélites; to ensure an accurate el prediction. 98 % del tiempo
0
habrá al menos 21 satélites.
0
• Satellite outages: If any satellites are currently out of service, their status will
be reflected in the almanac data. However, if satellites are scheduled for maintenance
for a prediction date in the future, the software allows the user to
mark those satellites unusable. This data can be obtained from the USCG
−30
−30 NAVCEN Web site.
• Maximum DOP: As discussed previously, in order to determine availability, a
−60
−60 maximum DOP threshold must be set (e.g., PDOP = 6). If the DOP exceeds
that value, the software will declare GPS to be unavailable. Other applications
may use criteria other than DOP as the availability threshold. This will be dis-
−90
−90 cussed further in Section 7.3 for aviation applications.
−150 −120 −90 −60 −30 0 30 60 90 120 150
Once these parameters have been input into the software, the prediction can be
son respectivamente 100 %, 99.969 performed. A prediction %, was 99.903 performed for Boston % (42.35ºN, y 71.08ºW) 99.197 on Decem- %.
1- to 5-minute outages
6- to 10-minute outages
11- to 15-minute outages
rences of these during the day. The majority of the outages are 10 minutes or less.
This constellation provides an availability of 99.903%.
90
60
30
0
−30
−60
−90
−150 −120 −90 −60 −30 0 30 60 90 120 150
−150 −120 −90 −60 −30 0 30 60 90 120 150
1- to 5-minute outages
6- to 10-minute outages
11- to 20-minute outages
21- to 30-minute outages
90
60
30
0
−30
−60
−90
31- to 40-minute outages
41- to 65-minute outages
Figure 7.15 Availability of the GPS constellation with a 5º mask angle with three satellites
removed from the constellation.
En la figura de la izquierda se muestra el PDOP para 24,23,22
y 21 satélites con ángulo de máscara 5 %. Las disponibilidades
Las Figure 7.13 zonas Availability of the sin GPS constellation disponibilidad with a 5º mask angle with one satellite removed se muestran en la derecha para el
from the constellation.
caso de 21 satélites.
40 / 48

Disponibilidad IV
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
344 Performance of Stand-Alone GPS
SV
1
2
4
5
6
7
9
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
GPS
available
Satellite visibility and GPS availability forecast
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time of day (hours UTC)
Figure 7.18 Satellite visibility/availability over a 24-hour period.
GPS
available
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time of day (hours UTC)
Location
12/23/94Z
42.35N
71.08W
0.00km
7 deg 3D
PDOP 6.0
No. visible
Dilution of
precision
plied by the total system. Integrity includes the ability of a system to provide valid
and timely warnings to the user, known as alerts, when the system must not be used
for the intended operation.
GPS
GPS
31 Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas GPS de aumento: GPS diferencial
available
Cálculo de la actitud
Satellite visibility and GPS availability forecast
plied by the total system. Integrity includes the ability of a system to provide valid
Location
SV
and timely warnings to the user, known as alerts, when the system must not be used
12/23/94Z
1
2 constelación nominal o quitando 42.35N for satélites, the intended operation. con distintos
4
71.08W
5
6
0.00km
7
7 deg 3D
9 ángulos de máscara, etc...
12
PDOP 6.0
14
15
16
No. visible
17Por
ejemplo la figura muestra un análisis local para Boston.
18
19
20
21
22Con
tres satélites menos hay dos cortes al día.
23
24
25
Dilution of
26
27Para
realizar este tipo de análisis precision es útil software de análisis
28
29
31
Figure 7.19 Satellite visibility/availability over a 24-hour period with satellites 16, 25, and 26
removed from the constellation.
Continuidad
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time of day (hours UTC)
Figure 7.18 Satellite visibility/availability over a 24-hour period.
SV
1
2
4
5
6
7
9
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
31
GPS
available
Satellite visibility and GPS availability forecast
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Time of day (hours UTC)
Dilution of
precision
GPS
Location
12/23/94Z
42.35N
71.08W
0.00km
7 deg 3D
PDOP 6.0
No. visible
Dilution of
precision
Figure 7.19 Satellite visibility/availability over a 24-hour period with satellites 16, 25, and 26
removed from the constellation.
También se pueden realizar análisis locales, con toda la
orbital, como por ejemplo STK (que se usará en las prácticas). 41 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Se define continuidad (continuity) de un sistema de
navegación respecto a una misión u operación, como la
probabilidad de que dicho sistema sea “utilizable” de forma
continua por toda la duración de dicha misión u operación.
Utilizable se define respecto a los requisitos mínimos
requeridos por la operación o misión, puede venir dado en
términos de PDOP u otros términos.
La continuidad depende mucho de la misión u operación, pero
en cualquier caso está claramente relacionada con fallos no
planificados de satélites. La probabilidad estimada de que un
satélite deje de emitir de forma no planificada, es del
0.0001 %.
GPS
42 / 48
Integridad
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Se define integridad (integrity) de un sistema de navegación
como la capacidad de dicho sistema para advertir que el
sistema no debe ser utilizado (debido a que no está operativo
o contiene errores). Por tanto da una medida de la confianza
que se puede tener en el sistema.
El sistema GPS no proporciona, por sí mismo, ningún
mecanismo de integridad. Pueden suceder errores críticos (a
veces denominados “aberraciones”) que degraden el sistema.
Por ejemplo:
Efectos de la radiación en el espacio: pueden afectar a los
relojes o a la electrónica de los satélites, provocando señales
anómalas.
Fallos en los satélites.
Error humano, de software o de hardware en el segmento de
control.
Son errores raros que ocurren pocas veces al año, pero no son
admisibles para aplicaciones de navegación aérea. 43 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Técnicas de mejora de integridad
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Puesto que la integridad es crítica para muchas aplicaciones,
como por ejemplo aviación, se han implementando diversos
mecanismos para proporcionar integridad al GPS.
Las técnicas de GSP diferencial (que veremos a continuación)
pueden proporcionar integridad.
Una técnica muy utilizada es la RAIM (Receiver Autonomous
Integrity Monitoring):
Es un algoritmo incorporado al receptor.
Requiere al menos cinco satélites visibles: detecta la
inconsistencia de la solución y avisa que el GPS no debe ser
utilizado.
Para ello emplea técnicas estadísticas de estimación.
Si tiene al menos seis satélites visibles, es capaz de ignorar el
satélite y seguir proporcionando datos de navegación fiables.
Obsérvese que puesto que RAIM requiere 5 o 6 satélites, la
disponibilidad y continuidad con RAIM será menor en general. 44 / 48

GPS diferencial
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Para mejorar la precisión del GPS (o la integridad) se emplean
las técnicas de GPS diferencial (DGPS).
La idea básica es usar una o más estaciones (pseudollites),
cuya posición se conoce con gran precisión, equipadas con un
receptor GPS y en comunicación con el usuario
(GBAS=Ground-Based Augmentation Systems).
También se pueden emplear satélites extra que proporcionen
medidas adicionales (SBAS=Space-Based Augmentation
Systems). Por ejemplo, la red europea EGNOS.
Los sistemas DGPS se clasifican como:
Absolutos (ECEF) o relativos (posiciones relativas a la
estación).
Por zona geográfica de cobertura:
Locales (10-100 km)
Regionales (menos de 1000 km)
Wide-area (más de 1000 km)
Basados en pseudodistancias o en fases (en fases son más
8.2 Spatial and Time Correlation Characteristics of GPS Errors 381
extremely important, since they directly influence the performance achievable for
any type of DGPS system. The underlying algorithms and performance of code- and
carrier-based DGPS systems are presented in Sections 8.3 and 8.4, respectively.
Some important DGPS message standards are introduced in Section 8.5. The final
section, Section 8.6, details a number of operational and planned DGPS systems.
8.2 Spatial and Time Correlation Characteristics of GPS Errors
Many of the GPS error sources discussed in Chapter 7 are highly correlated over
space and time. All DGPS systems exploit these correlations to improve overall system
performance. For instance, in a simple local-area DGPS system with a single reference
station (see Figure 8.1), the errors in the reference station’s pseudorange and
carrier-phase measurements for visible satellites are expected to be very similar to
those experienced by a nearby user. If the reference station estimates the errors by
leveraging its known surveyed position and provides this information in the form of
corrections to the user, it is expected that the user’s position accuracy will be
precisos, pueden conseguir precisión de mm.)
improved as a result. This section quantifies the correlation of GPS errors between
receivers separated over some distance (often referred to as the baseline, which may
be interpreted as a vector) and over time. Time correlations (i.e., how rapidly the
errors change with time), are also of interest, Navegación becausepor in general posicionamiento
DGPS systems can- Disponibilidad, integridad, continuidad
not instantaneously provide data to the end GNSS: user—even Navegación with a high-speed por satélite radio link Sistemas de aumento: GPS diferencial
there is some finite delay associated with the generation, GPS: Otros transmission, conceptos reception, Cálculo de la actitud
and application of the data.
GPS diferencial: principios básicos de funcionamiento I
8.2.1 Satellite Clock Errors
Satellite clock errors are one of the simplest GPS errors to correct. This is because a
satellite clock error causes the same effect on pseudorange and carrier-phase measurements,
regardless of the location of the user. For instance, if the satellite clock
User
Figure 8.1 Local-area DGPS concept.
Satellite
Reference
station
45 / 48
Ejemplifiquemos el funcionamiento del
DGPS con un caso simple: GBAS,
absoluto, local, basado en distancias y
con una sola estación.
Recordemos que el usuario debe
encontrar su posición u resolviendo el
sistema de 4 o más ecuaciones
ρi − ctu = s i − u + νu, donde νu
son los errores de las señales recibidas
por el usuario.
Supongamos ahora que se tiene una estación (pseudollite) de
posición m = [xm ym zm] T ; su distancia al satélite i es:
R m i = s i − m = (xi − xm) 2 + (yi − ym) 2 + (zi − zm) 2 .
Si tiene un error de reloj tm, las medidas de pseudodistancia
en la estación serán: ρ m i − ctm = s i − m + νm
46 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
GPS diferencial: principios básicos de funcionamiento II
La posición de la estación es fija y conocida .
Por tanto conocemos la cantidad
∆ρm i = Rm i − ρm i = −ctm − νm.
al receptor, y el receptor calcula
La estación envía ∆ρ m i
(ρi)corr = ρi + ∆ρ m i = s i − u + c(tu − tm) + (νu − νm).
Si definimos tum como el error del reloj del receptor respecto
al reloj de la estación, tum = tu − tm observamos que
(ρi)corr = s i − u + ctum + (νu − νm).
Por otro lado, ν ′ = νu − νm ≪ νu, porque νu y νm serán muy
parecidos. Luego hemos conseguido reducir mucho el error.
El nuevo tiempo que calculemos será con respecto a la
estación. Pero la estación puede calcular su error respecto al
satélite e incluirla en su mensaje de radio, de forma que
tu = tum + tm. Luego recuperamos el tiempo GPS.
Se consigue
σUERE ≈ 0,3m + (1 − 6 cm) × (dEST −RECEP en km). 47 / 48
Navegación por posicionamiento
GNSS: Navegación por satélite
GPS: Otros conceptos
Cálculo de la actitud mediante GPS
Disponibilidad, integridad, continuidad
Sistemas de aumento: GPS diferencial
Cálculo de la actitud
Con DGPS de precisión (basado en fases) se obtiene la
actitud. Se sitúan n antenas receptoras en puntos separados de
la aeronave y un único receptor. Se calculan las diferencias de
posición entre antenas, asumiendo que los errores se cancelan.
A cada una de estas diferencias las llamamos r i. Por ejemplo
si hay 3 antenas habrá 3 medidas. Si hay 4 antenas habrá 6
medidas. En general serán n!/(2 × (n − 2)!) medidas.
Evidentemente r b i es conocido. Lo que se mide es r e i .
Suponiendo la posición conocida, calculamos r n i = C n e r e i .
Queremos calcular C b n de las ecuaciones r b i = C b n r n i .
Formemos las matrices Rb = [r b 1r b 2 . . . r b n] y Rn = [r n 1r n 2 . . . r n n].
Se tendrá que Rb = C b n Rn . Si las medidas fueran tres, se
podría hacer C b n = Rb (Rn ) −1 , pero conviene mejor
Rn = (C b n ) T Rb , luego C b n = (Rn (Rb ) −1 ) T . En general se
usará una solución de mínimos cuadrados para más medidas.
El mínimo de medidas necesarias son 3; por tanto el mínimo
48 / 48
de antenas necesario será de 3.

Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Navegación Aérea
Tema 6: Sistemas de navegación integrados. El filtro de
Kalman.
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Fusión de sensores.
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
Una aeronave actual dispone de una gran diversidad de
sensores y sistemas de navegación, que pueden obtener total o
parcialmente las variables de navegación PVAT.
Por ejemplo hemos visto el INS, que a partir de las medidas
de la IMU, el modelo de Tierra y gravedad, y una estimación
inicial, nos da posición, velocidad y actitud en todo momento.
También hemos visto el GPS, que igualmente es capaz de
darnos todos éstos datos, o al menos (si no disponemos de
múltiples antenas), la posición y la velocidad.
Puede haber otros sistemas (DME-DME, etc...)
Cada sistema dará una estimación diferente, sujeta a error.
La idea de fusión de sensores y de los sistemas de navegación
integrados, consiste en obtener una única estimación PVAT a
partir de todas las anteriores, tal que el error sea el menor
posible.
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Ejemplo: el canal vertical.
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
Se vio en el tema 4 que el canal vertical del INS es inestable.
Una forma de estabilizar el canal es usar la medida de altitud
obtenida de medidas barométricas, hB. Se denomina
“estimador baro-inercial de la altitud”.
Recordemos que las ecuaciones del canal vertical venían dadas
por:
˙ˆh = − ˆVD,
˙ˆVD = ˆρz +
µe
,
(Re + ˆh) 2
donde ˆρz es la componente z de −(ˆω n n/e + 2ˆωn e/i )× ˆv n + â n NG .
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Estimador baro-inercial de la altitud I
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
Se modifica el canal vertical del INS de la siguiente forma,
usando hB:
˙ˆh = − ˆVD − C1(ˆh − hB),
µe
˙ˆVD = ˆρz +
(Re + ˆ h) 2 + C2( ˆ h − hB) + C3
t
donde C1, C2 y C3 son ganancias a determinar.
Calculando como en el tema 4 el error de altitud y
despreciando el error en el término ρz, obtenemos:
δ ˙h = −δVD + C1(ˆh − hB),
δ ˙VD ≈ − 2g0
δh − C2(ˆh − hB) − C3
Re
t
0
0
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( ˆ h(τ) − hB(τ))dτ,
(ˆh(τ) − hB(τ))dτ,
y obsérvese que ˆh − hB = ˆh − h + h − hB = −(δh − δhB),
donde δhB es el error de estimación barométrico, que
suponemos aproximadamente constante.
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Estimador baro-inercial de la altitud II
Por tanto:
δ ˙h = −δVD − C1(δh − δhB),
δ ˙VD ≈ − 2g0
δh + C2(δh − δhB) + C3
Re
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
t
0
(δh − δhB)dτ,
y tomando derivada en la primera ecuación y sustituyendo la
segunda, obtenemos:
δ¨ h = 2g0
δh − C2(δh − δhB) − C3
Re
t
0
(δh − δhB)dτ − C1δ ˙ h.
Tomando otra derivada y reescribiendo la ecuación:
δ ...
h + C1δ¨h + (C2 − 2g0
)δ ˙h + C3δh = C3δhB.
Re
Los autovalores de esta ecuación vienen dados por las raíces
)s + C3.
del polinomio s 3 + C1s 2 + (C2 − 2g0
Re
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Estimador baro-inercial de la altitud III
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
Típicamente se eligen lo valores de C1, C2 y C3 para que los
autovalores tengan parte real negativa (es decir, la ecuación
de δh sea estable). Una elección clásica es fijar un autovalor al
valor −λ y los otros dos a los valores −λ + jλ y −λ − jλ.
El polinomio característico sería entonces:
(s + λ)(s + λ − jλ)(s + λ + jλ)
= (s + λ)(s 2 + 2λs + 2λ 2 )
= s 3 + 3λs 2 + 4λ 2 s + 2λ 3
Sustituyendo en el polinomio en función de los coeficientes
estos valores, se llega a: C1 = 3λ, C2 = 4λ 2 + 2g
Re , C3 = 2λ 3 .
Un valor típico elegido de λ es λ = 0,01.
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El caso INS-GPS
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
El sistema de navegación INS y el GPS son particularmente
complementarios.
El INS:
Da una estimación continua en el tiempo.
Su error crece con el tiempo.
Posee un elevado ancho de banda (KHz).
El GPS:
Proporciona una medida de alta precisión pero discreta en el
tiempo.
El error está acotado.
Posee un bajo ancho de banda (Hz).
Una primera solución sería resetear el INS cada vez que se
obtenga una medida GPS. Pero la medida GPS tampoco es
exacta.
Por tanto hay que intentar, de algún modo, combinar el INS y
el GPS para minimizar el error final.
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Tight Integration y Loose Integration
Fusión de sensores. Ejemplo: el canal vertical.
INS-GPS
Existen dos formas de llevar a cabo la integración:
Loose Integration:
Éste tipo de integración permite tomar dos sistemas separados,
un INS y un GPS, y a partir de las salidas de ambos, obtener
una estimación común.
Es la forma más simple de integrar GPS e INS.
No requiere modificar las estimaciones internas de ambos
sistemas.
Tight Integration:
Éste tipo de integración emplea las señales de entrada al INS y
GPS, es decir, las medidas de giróscopos y acelerómetros y los
observables GPS, y los integra directamente.
Es más complejo de desarrollar.
No se emplean los algoritmos que hemos visto de GPS e INS,
sino un único algoritmo que integra los dos sistemas a la vez.
Se obtienen estimaciones más precisas que en la tipo loose.
En ambos casos, la herramienta clave para desarrollar la
integración es el Filtro de Kalman y sus extensiones (Filtro
Extendido de Kalman).
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El filtro de Kalman
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
El filtro de Kalman (KF) fue desarrollado por Rudolph E.
Kalman, un ingeniero húngaro nacionalizado estadounidense.
Presentó su filtro a la NASA en 1960; la NASA buscaba un
algoritmo de fusión de sensores para el programa espacial
Apollo.
Finalmente una versión del KF fue utilizada en las misiones
Apollo para integrar las diferentes medidas de los sensores del
vehículo espacial.
A día de hoy, el KF se emplea no sólo en navegación sino en
multitud de sistemas en los que se desea reconstruir una señal
que evoluciona en el tiempo, a partir de medidas con ruido,
por ejemplo en teléfonos móviles.
Realmente el KF sólo sirve para sistemas lineales. Puesto que
muchos sistemas reales son no lineales, se han desarrollado
extensiones no lineales, conocidas como Filtro Extendido de
Kalman (EKF); en Navegación se emplean éste tipo de filtros.
Nos limitaremos a entender el KF lineal y sus fundamentos. 9 / 26
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Procesos dinámicos discretos con medidas
PROCESO: Consideremos el siguiente modelo discreto de un
proceso: x(tk+1) = Akx(tk) + Bkɛ(tk), donde x es un proceso
gaussiano con dimensión nx, Ak es una matriz (que puede
cambiar en cada instante de tiempo tk) de dimensión nx × nx,
ɛ(tk) es ruido blanco gaussiano de dimensión nɛ y varianza Qk
(el ruido del proceso), y Bk es una matriz (que puede cambiar
en cada instante de tiempo tk) de dimensión nx × nɛ.
MEDIDA: En cada instante también consideramos que se
realiza una medida, representada por z, y definida de la
siguiente forma: z(tk+1) = Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1), donde z
es la medida, de dimensión nz, Hk es una matriz (que puede
cambiar en cada instante de tiempo tk) de dimensión nz × nx,
y ν(tk) es ruido blanco gaussiano de dimensión nν y varianza
Rk (el ruido de medida).
Además suponemos que ν(tk) y ɛ(tk) son independientes, y
que sabemos que la condición inicial de x es
x(t0) ∼ Nnx (ˆx0, P0). 10 / 26
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Ecuaciones del proceso y la medida
Resumiendo las ecuaciones:
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
x(tk+1) = Akx(tk) + Bkɛ(tk),
z(tk+1) = Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1),
E[ɛ(tk)] = E[ν(tk)] = 0,
E[ɛ(tk)ɛ T (tj)] = δkjQk,
E[ν(tk)ν T (tj)] = δkjRk,
E[ɛ(tk)ν T (tj)] = 0,
x(t0) ∼ Nnx (ˆx0, P0).
Definimos la estimación en tk de x(tk) como ˆx(tk).
Definimos la covarianza del error de estimación como
P(tk) = E[(x(tk) − ˆx(tk))(x(tk) − ˆx(tk)) T ].
El objetivo del filtro de Kalman es, empleando el
conocimiento de las ecuaciones arriba formuladas, y a partir
de las medidas z(tk), obtener la mejor estimación posible, es
decir, el valor de ˆx(tk) que minimiza P(tk).
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El filtro de Kalman I
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Si sólo tuviéramos el proceso, podemos calcular su media y
tomamos ˆx como dicha media; por tanto,
x(tk) ∼ Nnx (ˆx(tk), Pk), donde:
ˆx(tk+1) = Ak ˆx(tk),
Pk+1 = AkPkA T k + BkQkB T k .
La idea de Kalman es decir: la estimación arriba escrita es
válida antes de tomar la medida z(tk+1). Denotamos dicha
estimación “a priori” como ˆx − (tk+1) y su covarianza como
P −
k+1 .
Ahora, si la estimación fuera perfecta y la medida no tuviera
error, se tendría que z(tk+1) = Hk+1ˆx − (tk+1). Como no es
así, se actualiza la estimación (“a posteriori”) de forma
proporcional a la discrepancia:
ˆx + (tk+1) = ˆx − (tk+1) + Kk+1(z(tk+1) − Hk+1ˆx − (tk+1)).
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El filtro de Kalman II
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
En la ecuación
ˆx + (tk+1) = ˆx − (tk+1) + Kk+1(z(tk+1) − Hk+1ˆx − (tk+1)) lo
único que no conocemos es Kk+1, que es la ganancia de
Kalman. Ésta se determina para garantizar que la covarianza
, sea la menor posible.
de ˆx + (tk+1), P +
k+1
Calculemos P +
k+1 :
P +
k+1 = E[(x(tk+1) − ˆx + (tk+1))(x(tk+1) − ˆx + (tk+1)) T ], y
sustituyendo la ecuación de ˆx + (tk+1):
P + k+1
" „
= E x(tk+1 ) − ˆx + « „
(tk+1 ) x(tk+1 ) − ˆx + « #
T
(tk+1 )
»„
= E x(tk+1 ) − ˆx − (tk+1 ) − Kk+1 (z(tk+1 ) − Hk+1 ˆx − «
(tk+1 )
„
× x(tk+1 ) − ˆx − (tk+1 ) − Kk+1 (z(tk+1 ) − Hk+1 ˆx − « #
T
(tk+1 ))
Sustituyendo ahora z(tk+1) = Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1):
P +
k+1 =
h“
E x(tk+1) − ˆx − (tk+1) − Kk+1(Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1) − Hk+1ˆx − ”
(tk+1) “
× x(tk+1) − ˆx − (tk+1) − Kk+1(Hk+1x(tk+1) + ν(tk+1) − Hk+1ˆx − ” –
T
(tk+1)) Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El filtro de Kalman III
Simplificando, obtenemos:
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
P +
k+1 =
h“
E (I − Kk+1Hk+1)(x(tk+1) − ˆx − ”
) − Kk+1ν(tk+1) “
× (I − Kk+1Hk+1)(x(tk+1) − ˆx − ” –
T
) − Kk+1ν(tk+1) = (I − K k+1H k+1)P −
k+1 (I − K k+1H k+1) T + K k+1R k+1K T
k+1
Es necesario encontrar el valor de Kk+1 que minimiza la
anterior expresión. Usando cálculo matricial, se encuentra que
Kk+1 = P −
k+1HT
k+1
Hk+1P −
k+1HT −1 k+1 + Rk+1
Sustituyendo ésta expresión se llega a que:
P +
−
k+1 = (I − Kk+1Hk+1)Pk+1 . Ésta es la covarianza mínima.
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Algoritmo del filtro de Kalman
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
El algoritmo queda como sigue:
1 En el instante de tiempo tk+1, suponemos que tenemos la
anterior estimación que incluyó también la última medida:
ˆx + (tk) y su covarianza P + tk. Para k = 0 tomamos
ˆx + (t0) = ˆx 0 y P + 0
= P0.
2 Fase de propagación; usamos la ecuación del sistema dinámico
para calcular la estimación a priori:
ˆx − (tk+1) = Ak ˆx + (tk),
P −
k+1
= AkP +
k AT k + BkQkB T k .
3 Preparándonos para la medida, calculamos la ganacia de
Kalman: Kk+1 = P −
k+1HT
k+1
Hk+1P −
k+1HT −1. k+1 + Rk+1
4 Tomamos la medida y calculamos la estimación a posteriori:
ˆx + (tk+1) = ˆx − (tk+1) + Kk+1(z(tk+1) − Hk+1ˆx − (tk+1)),
P +
k+1
= (I − Kk+1Hk+1)P −
k+1 .
5 Iteramos para los siguientes valores de k.
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Sobre las medidas
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Observación: es posible que no se realice una medida cada tk,
sino que en ciertos instantes se hagan medidas, y en otros no
se haga ninguna medida.
Por ejemplo podemos tener un sensor con bajo ancho de
banda (como el GPS) mientras que nuestro tiempo de
muestreo ∆t representa una elevada frecuencia.
Una forma de solucionarlo es tomar Hk = 0, luego Kk = 0 en
los instantes tk en los que no se realizan medidas. Por tanto
no es necesario realizar ninguna actualización y
ˆx + (tk) = ˆx − (tk), P + (tk) = P − (tk).
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El caso INS-GPS
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
En el caso INS-GPS no podemos aplicar el Filtro de Kalman
directamente porque los sistemas y medidas son no lineales.
Lo que se hace es aplicar la solución al error de navegación.
Recordemos que derivamos para el INS una ecuación de la
forma: δx(tk+1) = Akδx(tk) + Bkɛ(tk), donde el vector δx(tk)
contiene los errores de posición, velocidad y actitud en tk y
ɛ(tk) son las fuentes de error.
Por otro lado en el tema del GPS obtuvimos ecuaciones de la
forma: ∆ρ(tk+1) = Hk+1∆x(tk+1) + ν(tk+1), donde ∆x(tk+1)
eran errores de posición (y velocidad, si también estimamos
velocidad) respecto a una estimación inicial y ∆ρ(tk+1) las
diferencias entre los observables medidos y los estimados.
Por tanto usando la medida del INS como estimación para el
GPS, ya tenemos los errores linealizados escritos de una forma
adecuada para implementar el filtro de Kalman!
El error estimado se suma a la posición estimada por el INS,
para conseguir la mejor estimación final posible. 17 / 26
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
El caso INS-GPS
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Esquema de la integración INS-GPS (loose):
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman I
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Para entender mejor el filtro de Kalman consideremos un
sistema sencillo. Imaginemos un vehículo que sólo se puede
mover en una dirección, con un acelerómetro de un ancho de
banda de 100Hz que mide la aceleración en dicha dirección, y
con un sensor con un ancho de banda de 1Hz que estima la
posición en dicha dirección.
El modelo del sistema será:¨x = a. Llamando v a la velocidad:
d
dt
» x
v
El modelo del error será:
d
dt
» δx
δv
– »
0 1
=
0 0
– »
0 1
=
0 0
– » x
v
– » δx
δv
– »
0
+
a
– »
0
+
1
–
–
δa
Pasando a tiempo discreto y teniendo en cuenta que
x(tk+1)−x(tk)
x(t) ≈ :
d
dt
∆t
» δx(tk+1)
δv(t k+1)
– »
1 ∆t
=
0 1
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
– » δx(tk )
δv(t k )
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman II
– »
+
0
∆t
–
δa(t k )
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Por otro lado el modelo de medida será: z = x + ν, luego el
modelo de error será: δz = δx + ν.
Escribiéndolo todo:
» δx(tk+1)
δv(t k+1)
–
=
» 1 ∆t
0 1
– » δx(tk )
δv(t k )
δz(t k+1) = δx(t k+1) + ν(t k+1)
– »
+
0
∆t
–
δa(t k+1)
Además las medidas sólo se hacen con una frecuencia de 1Hz
(cada segundo), mientras que la frecuencia del acelerómetro
es 100 Hz con lo que deberíamos tomar ∆t = 0,01.
Supongamos además que la precisión de los instrumentos es:
σ 2 δa = 0,1, σ2 ν = 0,01, y que se verifican las hipótesis del KF
(ruidos blancos gaussianos, independientes, etc...).
En la nomenclatura que hemos usado para el KF, tendremos:
»
1 0,01
Ak =
0 1
– »
, Bk =
0
0,01
–
j ˆ ˜
1 0 , tk = n
, Qk = 0,1, Rk = 0,01, Hk =
0, tk = n.
donde n es cualquier entero (para modelar que se toman
medidas cada segundo, pero no en fracciones de segundo).
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman III
Por tanto las ecuaciones del filtro de Kalman dirán, para cada
instante de tiempo tk+1:
» δˆx − (tk+1)
δˆv − (t k+1)
–
P −
k+1
=
=
» – » +
1 0,01 δˆx (tk )
0 1 δˆv + –
(tk )
» –
1 0,01
P
0 1
+
»
1 0
k 0,01 1
– »
+ 0,1
0
0,01
– ˆ 0 0,01 ˜
Si tk+1 = n, es decir, tiene un valor entero, significa que ha
habido medida. Entonces, calcular la ganancia de Kalman:
Kk+1 = P −
»
1
k+1 0
– „ ˆ 0 1 ˜ P −
k+1
» 0
1
– « −1
+ 0,01 .
Tomamos la medida y calculamos la estimación a posteriori:
» δˆx + (tk+1)
δˆv + (t k+1)
–
=
» −
δˆx (tk+1)
δˆv − (tk+1) P +
k+1 =
ˆ
(I − Kk+1 1 0
˜ −
)P
k+1 .
–
+ Kk+1(δz(tk+1) − ˆ 1 0 ˜ » δˆx − (tk+1) δˆv − (tk+1) donde δz(tk+1) = z(tk+1) − Hk+1(ˆx(tk+1) + δˆx − (tk+1)).
Si no hubo medida, entonces simplemente:
» δˆx + (tk+1)
δˆv + (t k+1)
–
=
» δˆx − (tk+1)
δˆv − (t k+1)
–
, P +
k+1 = P−
k+1 .
Actualizamos ˆx(tk+1) = ˆx(tk+1) + δˆx + (tk+1). Iteramos para
los siguientes valores de k.
Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman: simulación I
Simulación de la posición (exacta) y medidas:
('!
(!!
"'!
"!!
&'!
&!!
'!
+,-./.,0
123.34-
–
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22 / 26
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman: simulación II
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Usando las medidas para estimar la posición, el resultado es
bueno porque el sensor es preciso y el movimiento en x es
lento.
Si intentamos estimar la velocidad con la fórmula
v(tk) = x(tk)−x(tk−1)
se obtiene ) una estimación muy mala:
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234/45.
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637-0/454
6*3.)/2545*43*234/45.
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman: simulación III
Comportamiento de la estimación y del error sin filtro de
Kalman:
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0,(-12.-+/)30)*+,-.-+/
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0,(-12.-+/)30)405+.-323
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*
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman: simulación IV
Comportamiento de la estimación y del error con filtro de
Kalman:
#!!
'!!
"!!
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$
#
"
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*+,-.-+/
0,(-12.-+/)30)*+,-.-+/)4567
809+.-323
0,(-12.-+/)30)809+.-323)4567
!" )
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Sistemas de navegación integrados
Filtrado óptimo de sistemas lineales: el filtro de Kalman.
Deducción del filtro de Kalman. Ecuaciones.
Ejemplo de un filtro de Kalman
Ejemplo 1-D del filtro de Kalman: simulación V
Comparación de errores con y sin filtro de Kalman:
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,--.-)/,)9,:.32/;/)5124)678
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