I. - TRIGONOMETRÍA

senα = c
a
cosα = b
a
I. - TRIGONOMETRÍA
senα
tanα
= =
cosα
c
b
FÓRMULAS BÁSICAS
1 a
cosecα
= =
senα
c
1 a
secα
= =
cosα
b
1 b
cotanα
= =
tanα
c
sen
2
α + cos
2
α =1 tanα × cotanα
=1
1
2 1
+ tan α = = sec
2
α
cos
2
α
a
α
b
2 1
2
1 + cotan α = 2 = cosec α
sen α
LINEAS TRIGONOMÉTRICAS
cotg cotg cotg cotg
cos
sen
tan
sen
cos
tan
cos cos
Primer Cuadrante Segundo Cuadrante Tercer Cuadrante Cuarto Cuadrante
REDUCCION AL 1 er
CUADRANTE
Ángulos suplementarios:
Su suma vale π radianes (180°)
sen (π − α) = sen α
cos (π − α) = − cos α
tan (π − α) = − tan α
Ángulos que se diferencian
π radianes:
sen (π + α) = − sen α
cos (π + α) = − cos α
tan (π + α) = tan α
sen
tan
sen
c
tan
Ángulos complementarios:
Su suma vale π/2 radianes (90°)
sen (π/2 − α) = cos α
cos (π/2 − α) = sen α
tan (π/2 − α) = ctg α
Ángulos que difieren
en π/2 radianes:
sen (π/2 + α) = cos α
cos (π/2 + α) = − sen α
tan (π/2 + α) = − ctg α
Ángulos opuestos:
sen (− α) = − sen(α)
cos (− α) = cos α
tan (− α) = − tan α
DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION
DE OTRA
En función del seno:
1
2
cosecα
=
cosα = 1 −sen
α
senα
secα
=
1
2
1 − sen α
1
secα
=
cosα
tanα
=
ctgα
=
tanα
=
2
1 − sen α
senα
En función del coseno:
2
senα = 1 −cos
α
2
1−
cos α
cosα
En función de la
tangente:
1
ctgα
=
tanα
cosecα
=
2
1+
tan α
tanα
cosecα
=
ctgα
=
cosα
=
senα
2
1 − sen α
1
2
1 − cos α
cosα
2
1 − cos α
1
2
1+
tan α
2
secα = 1 + tan α
senα
=
tanα
2
1 + tan α
En función de la tangente del ángulo mitad
(Usadas para integrar)
2tan ( α / 2)
2 tanα
senα
= 2
sen 2α
= 2
1+ tan ( α / 2)
1 + tan α
tan ( α / )
cosα
=
tan ( α / )
−
2
1 2
2
1+ 2
2tan ( α / 2)
tanα
= 2
1−tan ( α / 2)
tan α
cos2α
=
tan α
−
2
1
2
1 +
2
2 tan α
tan 2α
= 2
1 − tan α
tan
( α β )
ctg
senα
=
cosα
=
tanα
=
En función del coseno del ángulo doble:
1−
1+
cos2α
2
cos2α
2
1−
cos2α
1+
cos2α
(Usadas para integrar)
α 1−
cosα
sen =
2 2
α 1 + cosα
cos =
2 2
α 1 − cosα
tan =
2 1 + cosα
RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
( )
sen α ± β = senα cos β ± cosα sen β
( )
tanα ± tan β
± =
1 m tanα tan β
ctgα ctg β m 1
± =
ctgα ± ctg β
( α β )
cos α ± β = cosα cos β m senα sen β
1
senα + sen β tan
=
2
senα − sen β 1
tan
2
( α + β )
( α − β )
cossα + cos β α + β α − β
=− cotan
cosα − cos β 2 2
TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA
(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)
α + β α − β
senα + sen β = 2 sen cos
2 2
α + β α − β
cosα + cos β = 2 cos cos
2 2
sen ( α + β )
tanα + tan β =
cosα cos β
sen ( α + β )
tanα − tan β =
cosα cos β
sen ( α + β )
ctgα + ctg β =
senα sen β
sen ( β − α )
ctgα − ctg β =
senα sen β
SUMAS a PRODUCTOS
α + β α − β
senα − sen β = 2 cos sen
2 2
α + β α − β
cosα − cos β = −2sen
sen
2 2
PRODUCTOS a SUMAS
1
senα sen β = cos α − β − cos α + β
2
[ ( ) ( ) ]
1
senα cos β = sen α + β + sen α − β
2
[ ( ) ( ) ]
1
cosα cos β = cos α + β + cos α − β
2
[ ( ) ( ) ]

FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO
Ángulo doble Ángulo triple
3
sen 2α= 2senα
cosα
sen3α = 3senα − 4sen
α
2 2
3
cos2α = cos α − sen α cos3α = 4cos α − 3cosα
2 tanα
tan 2α
= 2
1 − tan α
3tanα
tan 3α
= 2
1−3tan α
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
2 π
arcsen x = arccos 1 − x = − arccos x
2
2 π
arccos x = arcsen 1 − x = − arcsen x
2
x π
arctan x = arcsen = − arctg x
2
1 + x 2
( 1
2
1
2 )
( 1
2
1
2 )
arcsen x + arcsen y = arcsen x − y + y − x
arcsen x − arcsen y = arcsen x − y − y − x
[ ( 1
2)( 1
2)
]
[ ( 1
2)( 1
2)
]
arccosx + arccos y = arccos xy − − x − y
arccosx − arccos y= arccos xy+ − x − y
x + y
arctan x + arctan y =
1 − xy
x − y
arctan x − arctan y =
1 + xy
FÓRMULAS DE BRIGGS
Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones
análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las
fórmulas que dan
las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas
fó mulas ya se han tratado anteriormente.
( )( )
sen A
2 =
B
c
a
p −b p − c
A C
bc
b
sen B
2 =
sen C
2 =
cos A
2 =
( p −a)( p −c)
ac
( p −b)( p − a)
ab
( − )
p p c
bc
cos B
2 =
cos C
2 =
( − )
p p b
ac
( − )
p p c
ab
a + b+ c
p =
2
c
A
b
B
R
TEOREMAS IMPORTANTES:
Teorema de los senos:
a
C
a + c −b
cosB =
2ac
2 2 2
a b c
= = = 2 R
sen A sen B senC
Teorema de los cosenos:
b + c − a
cos A= 2bc
2 2 2
a + b − c
cosC =
2ab
Teorema de las tangentes
A+ B
a + b sen A+ sen B
tan
=
=
2
a − b sen A − sen B A − B
tan
2
2 2 2
AREA DEL TRIÁNGULO
1 1 1
S = absenC = cbsen A= acsen B
2 2 2
(Fórmula de Herón)
S = p ( p − a)( p −b)( p − c)
c
B
abc p
S = pr = =
4R2R A
r
a + b+ c
p =
2
AREA DE UN CUADRILÁTERO
AC BD
S = senα
2
II.- FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Shα =
Chα =
e e
2
A
B
FÓRMULAS BÁSICAS
α α
− −
e e
2
α α
+ −
Shα + Chα
= e
α
b
α
a
C
D
C
R
Shα
e − e
Thα
= =
Chα
e + e
α −α
α −α
Chα − Shα
= −
e
α
2 2
Ch α − Sh
α = 1
FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA
( α + β ) = α β + β α ( )
( α + β ) = α β + β S α ( )
Sh Sh Ch Sh Ch
Ch Ch Ch Sh h
Th
Thα + Th β
+ =
1 + Thα Th β
( α β )
Sh α − β = Shα Ch β − Sh β Chα
Ch α − β = Chα Ch β − Shα Sh β
Th
Thα − Th β
− =
1 − Thα Th β
( α β )
FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD
2 2
Sh 2α= 2Shα
Chα
Ch 2α
= Sh α + Ch α
2Shα Chα
Th 2α
= 2 2
Sh α + Ch α
α 1
Sh Ch
2 2
α
2
1
2
= ( α − 1)
Ch = ( Chα
+ 1)
α Chα
− 1
Th =
2 Chα
+ 1
TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS
1
Shα Sh β =
2 [ Ch ( α + β ) − Ch ( α − β ) ]
1
Chα Ch β =
2
Ch α + β + Ch α − β
( )
[ ( ) ( ) ]
1
Shα Ch β = [ Sh ( α + β ) + Sh ( α − β ) ]
2
n
Chα ± Shα = Ch nα ± Sh n α
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
ArgSh x = ln x +
2
x +
ArgCh x = ln x +
2
x −1
1 1 + x
ArgTh x = ln
2 1 − x
( 1 )
( )
2
ArgSh x = ArgCh x + 1 = ArgTh
1 x + 1
2
ArgCth x = ln
ArgCh x = ArgSh x − 1 = ArgTh
2 x − 1
x
x
1
ArgTh x = ArgSh = ArgCh = ArgCth
2 2
1−x1−xx x
x
x
2
2
x
+ 1
− 1
RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS
x x
sen x = ( e − e ) − 1 i i x x
cos x = ( e + e )
2i
− 1 i i
2
ix
Sh ix= isenx
sen ix= iShx
e = cosx + isen
x
− ix
Ch ix = cosx
cos ix = Ch x
e = cos x − i sen x
Th ix= i tan x tan ix= i Th x arcsen ix= iArgShx
( )
( )
sen x + iy = sen xChy + i cosxShy arccos ix=− iArgChx
cos x + iy = cosxChy −i
sen xShy 1 1 + x
arctan ix = i ArgTh x = i ln
2 1
− x