Losas en 2 Direcciones método de los coeficientes
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DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
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10. ANÁLISIS Y DISEÑO DE LOSAS EN DOS DIRECCIONES<br />
10.1 Introducción<br />
En las edificaciones <strong>de</strong> hormigón armado las <strong>los</strong>as son aquel<strong>los</strong> elem<strong>en</strong>tos estructurales<br />
planos que permit<strong>en</strong> <strong>en</strong> primer lugar suministrar superficies <strong>de</strong> apoyo a las cargas<br />
verticales sean estas vivas o muertas y <strong>en</strong> segundo termino actuar como elem<strong>en</strong>to <strong>de</strong><br />
amarre ( diafragma ) al sistema <strong>de</strong> columnas y muros que es <strong>en</strong> <strong>de</strong>finitiva el que soporta<br />
la estructura, figura 10.1.<br />
Cargas<br />
Losa<br />
Figura 10.1 Repres<strong>en</strong>tación esquemática <strong>de</strong> las <strong>los</strong>as <strong>de</strong> edificios<br />
La <strong>los</strong>a pue<strong>de</strong> apoyarse directam<strong>en</strong>te sobre columnas o <strong>de</strong>scansar sobre muros<br />
cargueros, vigas <strong>de</strong> hormigón o <strong>de</strong> acero g<strong>en</strong>erando así difer<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> condiciones <strong>de</strong><br />
apoyo que indican formas especiales <strong>de</strong> trabajo estructural. Por ejemplo si la <strong>los</strong>a se<br />
apoya <strong>en</strong> todo su perímetro sobre vigas cargueras rígidas o sobre muros se ti<strong>en</strong>e el<br />
sistema <strong>de</strong> “ <strong>Losas</strong> perimetralm<strong>en</strong>te apoyadas ” el cual pue<strong>de</strong> trabajar <strong>en</strong> una o dos<br />
direcciones <strong>de</strong> acuerdo a la relación <strong>de</strong> sus lados, figura 10.2.b. Si la <strong>los</strong>a se apoya <strong>en</strong><br />
solo dos vigas o muros cargueros se ti<strong>en</strong>e la “ <strong>los</strong>a <strong>en</strong> una dirección ”, figura 10.2.a. Si<br />
finalm<strong>en</strong>te se apoya directam<strong>en</strong>te sobre las columnas se g<strong>en</strong>eran dos tipos <strong>de</strong> superficies<br />
únicas <strong>en</strong> el hormigón armado: “ la <strong>los</strong>a plana y la placa plana “, figura 10.3.<br />
Igualm<strong>en</strong>te una <strong>los</strong>a pue<strong>de</strong> ser completam<strong>en</strong>te sólida o cont<strong>en</strong>er cavida<strong>de</strong>s vacías, <strong>en</strong> el<br />
primer caso <strong>de</strong> ti<strong>en</strong>e la “ Losa maciza “ y <strong>en</strong> el segundo “ la <strong>los</strong>a aligerada “. La <strong>los</strong>a<br />
aligerada es la mas utilizada <strong>en</strong> <strong>los</strong> edificios porque al permitir disminuir el peso propio<br />
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Viga 1<br />
Direcc. <strong>los</strong>a<br />
hs<br />
Viga 2<br />
Luz <strong>los</strong>a<br />
a) <strong>los</strong>a <strong>en</strong> una dirección<br />
Figura 10.2 Sistemas <strong>de</strong> <strong>los</strong>a <strong>en</strong> una y dos direcciones<br />
Figura 10.3 Sistemas <strong>de</strong> placa plana y <strong>los</strong>a plana<br />
Direcc. <strong>los</strong>a<br />
Luz <strong>los</strong>a<br />
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hs<br />
b) <strong>los</strong>a <strong>en</strong> dos direcciones apoyada sobre vigas<br />
o muros cargueros<br />
Placa Plana Losa plana<br />
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<strong>de</strong> las edificaciones se disminuye el costo. La <strong>los</strong>a maciza es utilizada <strong>en</strong> <strong>los</strong> tableros <strong>de</strong><br />
pu<strong>en</strong>tes por su alta capacidad estructural, figura 10.4.<br />
Figura 10.4 Sección <strong>de</strong> <strong>los</strong>a maciza y aligerada <strong>de</strong> hormigón armado<br />
Adicionalm<strong>en</strong>te a <strong>los</strong> tipos <strong>de</strong> <strong>los</strong>as indicados, exist<strong>en</strong> otras que se apoyan <strong>en</strong> toda su<br />
superficie como <strong>los</strong> pisos <strong>de</strong> edificios, pavim<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> vías, pisos <strong>de</strong> bo<strong>de</strong>gas y<br />
parquea<strong>de</strong>ros que requier<strong>en</strong> un tratami<strong>en</strong>to difer<strong>en</strong>te a las anteriorm<strong>en</strong>te m<strong>en</strong>cionadas.<br />
El refuerzo <strong>en</strong> las <strong>los</strong>as se coloca <strong>en</strong> forma conv<strong>en</strong>cional <strong>en</strong> dirección paralela a las<br />
superficies planas superior e inferior, sin embargo <strong>en</strong> el caso <strong>de</strong> <strong>los</strong>as <strong>de</strong> pu<strong>en</strong>tes, se<br />
pued<strong>en</strong> utilizar acero doblado a 45° que permite resistir t<strong>en</strong>siones por flexión positivas y<br />
negativas sin interrumpir longitudinalm<strong>en</strong>te el refuerzo. Se pue<strong>de</strong> utilizar también<br />
mallas electrosoldadas como refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong>as y acero <strong>de</strong> alta resist<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> forma <strong>de</strong><br />
cables para <strong>los</strong>as post<strong>en</strong>sadas.<br />
10.2 Análisis y diseño <strong>de</strong> <strong>los</strong>as perimetralm<strong>en</strong>te apoyadas<br />
10.2.1 Comportami<strong>en</strong>to estructural<br />
a) sección <strong>de</strong> <strong>los</strong>a maciza<br />
Aligerante Aligerante<br />
bw<br />
a) sección <strong>de</strong> <strong>los</strong>a aligerada<br />
Refuerzo M ( - )<br />
Refuerzo M ( + )<br />
Las <strong>los</strong>as <strong>en</strong> una dirección se <strong>de</strong>forman bajo carga sigui<strong>en</strong>do una superficie cilíndrica<br />
similar a la indicada <strong>en</strong> la figura 10.5. En este s<strong>en</strong>tido la acción estructural es<br />
principalm<strong>en</strong>te <strong>en</strong> una dirección, es <strong>de</strong>cir normal a <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> apoyo <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. Sin<br />
embargo este no es el caso g<strong>en</strong>eral y muchas veces las <strong>los</strong>as ti<strong>en</strong><strong>en</strong> dim<strong>en</strong>siones y están<br />
apoyadas <strong>de</strong> tal forma que se pres<strong>en</strong>ta una acción bidireccional es <strong>de</strong>cir la superficie<br />
<strong>de</strong>formada ya no es cilíndrica sino <strong>en</strong> forma <strong>de</strong> domo esférico y cualquier punto <strong>de</strong> la<br />
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hf<br />
hs<br />
hs<br />
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<strong>los</strong>a esta sometido a dos tipos <strong>de</strong> curvaturas indicando que exist<strong>en</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> las dos<br />
direcciones ortogonales. Para resistir estos mom<strong>en</strong>tos la <strong>los</strong>a se <strong>de</strong>be reforzar <strong>en</strong> ambas<br />
direcciones con capas <strong>de</strong> acero cuyas cuantías asegur<strong>en</strong> una a<strong>de</strong>cuada capacidad <strong>de</strong><br />
carga cuando se someta a las difer<strong>en</strong>tes solicitaciones externas.<br />
Accion unidirecc.<br />
Luz <strong>los</strong>a<br />
Accion bidirecc.<br />
Figura 10.5 Accion estructural <strong>en</strong> una y <strong>en</strong> dos direcciones <strong>en</strong> <strong>los</strong>as<br />
El tipo mas simple <strong>de</strong> <strong>los</strong>a con acción estructural <strong>en</strong> las dos direcciones esta<br />
repres<strong>en</strong>tado <strong>en</strong> la figura 10.2.b. En este caso la <strong>los</strong>a indicada se apoya <strong>en</strong> vigas<br />
perimetrales cargueras que van <strong>en</strong> <strong>los</strong> cuatro bor<strong>de</strong>s y se caracterizan porque son muy<br />
rígidas y trabajan monolíticam<strong>en</strong>te con la <strong>los</strong>a transfiri<strong>en</strong>do flexión, torsión y cortante.<br />
La rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> las vigas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> garantiza que bajo la acción <strong>de</strong> las cargas estas no<br />
sufr<strong>en</strong> <strong>de</strong>formaciones apreciables. Esta hipótesis no se cumple si la <strong>los</strong>a no lleva vigas<br />
o estas se colocan con espesor <strong>de</strong>lgado ( se recomi<strong>en</strong>da que la viga perimetral t<strong>en</strong>ga al<br />
m<strong>en</strong>os un espesor igual a tres veces el espesor <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a).<br />
Si se asum<strong>en</strong> las consi<strong>de</strong>raciones anteriores se pue<strong>de</strong> visualizar la <strong>los</strong>a como un<br />
conjunto <strong>de</strong> franjas imaginarias <strong>de</strong> ancho “ bx : franjas paralelas al eje Y ” y “ by :<br />
franjas paralelas al eje X “ que recorr<strong>en</strong> la <strong>los</strong>a <strong>en</strong> las dos direcciones y se interceptan<br />
<strong>en</strong> <strong>de</strong>terminados puntos, figura 10.6. Al aplicar una carga uniformem<strong>en</strong>te distribuida<br />
cualquiera “ q “ sobre la <strong>los</strong>a es evid<strong>en</strong>te que cierta fracción <strong>de</strong> esta se transmite <strong>en</strong> una<br />
dirección mi<strong>en</strong>tras que otra parte se transmite <strong>en</strong> la dirección perp<strong>en</strong>ticular <strong>de</strong> acuerdo a<br />
las características dim<strong>en</strong>siónales <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. Si se <strong>de</strong>fine ahora que la <strong>los</strong>a es rectangular<br />
con “ la “ si<strong>en</strong>do la luz corta y “ lb “ la luz larga y se consi<strong>de</strong>ran solo las dos franjas<br />
c<strong>en</strong>trales se ti<strong>en</strong>e el sigui<strong>en</strong>te resultado: “ la <strong>de</strong>flexión <strong>en</strong> el punto c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a<br />
don<strong>de</strong> se interceptan las dos franjas imaginarias <strong>de</strong>be ser la misma por compatibilidad<br />
<strong>de</strong> <strong>de</strong>formaciones “. Para <strong>de</strong>mostrar este <strong>en</strong>unciado se asumirá una <strong>los</strong>a simplem<strong>en</strong>te<br />
apoyada perimetralm<strong>en</strong>te =><br />
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Figura 10.6 Disposicion <strong>de</strong> franjas <strong>en</strong> una <strong>los</strong>a <strong>en</strong> dos direcciones<br />
Las <strong>de</strong>flexiones <strong>de</strong> ambas franjas se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>de</strong> la resist<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> materiales:<br />
5.<br />
qa. la<br />
max . a<br />
384.<br />
E.<br />
I<br />
= ∆ y<br />
En la igualdad =><br />
4<br />
∆<br />
max . a<br />
= ∆<br />
max . b<br />
5.<br />
qb. lb<br />
384.<br />
E.<br />
I<br />
=<br />
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∆<br />
max . b<br />
4<br />
a<br />
⇒ q a.<br />
l = qb.<br />
lb<br />
4<br />
q a lb<br />
= ( 10.1 )<br />
4<br />
qb<br />
la<br />
Se <strong>de</strong>muestra para este caso <strong>en</strong> particular que la relación <strong>de</strong> las cargas <strong>en</strong> dirección corta<br />
y larga es inversam<strong>en</strong>te proporcional a la relación <strong>de</strong> las luces elevadas a la cuarta<br />
pot<strong>en</strong>cia. En otras palabras la proporción <strong>de</strong> carga que toma la dirección corta es mucho<br />
mayor que la que toma la dirección larga. Por ejemplo si se ti<strong>en</strong>e una <strong>los</strong>a con la = 4.0 m<br />
y lb = 5.0 m y se aplica una carga <strong>de</strong> q = 15 kN / m2 la proporción es la sigui<strong>en</strong>te:<br />
q<br />
q<br />
a<br />
b<br />
5<br />
=<br />
4<br />
4<br />
4<br />
=<br />
2.<br />
44<br />
la<br />
q = qa<br />
+ qb<br />
= 15<br />
Franjas <strong>en</strong> dirección Y ( larga)<br />
qa = 10. 6kN<br />
/ m<br />
2<br />
4<br />
4<br />
qb = 4. 4kN<br />
/ m<br />
Es <strong>de</strong>cir la luz corta se lleva aprox. dos veces y media mas carga que la luz larga o lo<br />
que es lo mismo: la luz corta se lleva el 70% <strong>de</strong> la carga.<br />
En realidad este resultado es aproximado ya que el comportami<strong>en</strong>to bajo carga es<br />
mucho mas complejo que lo ilustrado, sin embargo nos sirve para mostrar algunas<br />
lb<br />
Franjas <strong>en</strong> dirección X ( Corta)<br />
la : luz <strong>en</strong> dirección corta<br />
lb : luz <strong>en</strong> dirección larga<br />
2<br />
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t<strong>en</strong>d<strong>en</strong>cias <strong>en</strong> el comportami<strong>en</strong>to estructural <strong>de</strong> las <strong>los</strong>as. La figura 10.6 muestra<br />
también que paralelas a las franjas c<strong>en</strong>trales van franjas cercanas a <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s que no<br />
solo se <strong>de</strong>flectan sino que sufr<strong>en</strong> distorsiones a torsión por el efecto <strong>de</strong> las vigas <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong>. Estas <strong>de</strong>formaciones por torsión lo que hace es modificar la capacidad resist<strong>en</strong>te<br />
<strong>de</strong> la <strong>los</strong>a g<strong>en</strong>erando un efecto <strong>de</strong> confinami<strong>en</strong>to lateral que le permite soportar mas<br />
carga <strong>de</strong> la que realm<strong>en</strong>te un análisis elástico pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar. Esta es la razón por la<br />
cual <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos medidos <strong>en</strong> <strong>los</strong>as bajo carga son muy pequeños comparados con <strong>los</strong><br />
que se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>de</strong> un análisis estructural elástico consi<strong>de</strong>rando franjas paralelas no<br />
conectadas transversalm<strong>en</strong>te y sometidas a “ qa “ y “ qb “. Por ejemplo para una <strong>los</strong>a<br />
cuadrada “ la = lb = l “ simplem<strong>en</strong>te apoyada se cumple: “ qa = qb = q / 2. Si solo se<br />
pres<strong>en</strong>tara flexión el mom<strong>en</strong>to máximo <strong>en</strong> cada franja seria:<br />
2 2<br />
( q / 2)<br />
l q.<br />
l<br />
2<br />
+<br />
M max = = = 0.<br />
0625ql<br />
8 16<br />
( 10.2 )<br />
La teoría exacta <strong>de</strong> la flexión <strong>de</strong> placas elásticas muestra que realm<strong>en</strong>te el mom<strong>en</strong>to<br />
máximo <strong>en</strong> esta <strong>los</strong>a es:<br />
M =<br />
+<br />
max<br />
0. 048ql<br />
2<br />
( 10.3 )<br />
Esto significa una disminución <strong>en</strong> el mom<strong>en</strong>to <strong>de</strong> aprox. un 25% <strong>de</strong>bido a la pres<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos torsores no consi<strong>de</strong>rados <strong>en</strong> la ecuación 10.2. Los mayores mom<strong>en</strong>tos<br />
se pres<strong>en</strong>tan cuando la curvatura es mas pronunciada f<strong>en</strong>óm<strong>en</strong>o que se inicia <strong>en</strong> la franja<br />
c<strong>en</strong>tral corta <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. Si se supone ahora que la carga se aum<strong>en</strong>ta hasta sobret<strong>en</strong>sionar<br />
la sección mas critica <strong>de</strong> esta franja <strong>de</strong> tal forma que el acero <strong>en</strong>tre <strong>en</strong> flu<strong>en</strong>cia se<br />
produce inmediatam<strong>en</strong>te su falla, pero si se consi<strong>de</strong>ra unida lateralm<strong>en</strong>te a las otras<br />
franjas la falla no se manifiesta y por lo tanto se <strong>de</strong>muestra como <strong>de</strong> esta forma la franja<br />
esta <strong>en</strong> capacidad <strong>de</strong> soportar una carga adicional a la que ella <strong>en</strong> forma aislada esta <strong>en</strong><br />
capacidad <strong>de</strong> resistir. Esta redistribución <strong>de</strong> t<strong>en</strong>siones g<strong>en</strong>eralm<strong>en</strong>te se pres<strong>en</strong>ta <strong>en</strong> el<br />
rango inelástico y continuara hasta lograr que todo el refuerzo bidireccional <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a<br />
<strong>en</strong>tre <strong>en</strong> flu<strong>en</strong>cia mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong> el cual se pres<strong>en</strong>ta la falla. Por estas razones, confirmadas<br />
también por numerosos <strong>en</strong>sayos, se <strong>de</strong>muestra que <strong>en</strong> el diseño <strong>de</strong> las <strong>los</strong>as no se<br />
requiere utilizar el máximo mom<strong>en</strong>to elástico <strong>de</strong> diseño <strong>de</strong> la ecuación 10.3 <strong>en</strong> cada una<br />
<strong>de</strong> las dos direcciones sino un valor promedio m<strong>en</strong>or que <strong>en</strong> muchos casos se acerca a<br />
un 75% <strong>de</strong>l valor dado por la teoría elástica:<br />
M =<br />
+<br />
max<br />
0. 036ql<br />
2<br />
( 10.4 )<br />
Los mayores mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> las <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones se pres<strong>en</strong>tan <strong>en</strong> la mitad <strong>de</strong><br />
ambas franjas mi<strong>en</strong>tras que la variación <strong>de</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> cada franja se da <strong>en</strong> s<strong>en</strong>tido<br />
perp<strong>en</strong>ticular a su dirección como lo indica la figura 10.7. El diagrama <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong><br />
cada una <strong>de</strong> las dos direcciones es valido únicam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> las franjas c<strong>en</strong>trales porque <strong>en</strong><br />
las extremas el mom<strong>en</strong>to disminuye como se indica <strong>en</strong> la figura 10.7. Estas variaciones<br />
<strong>en</strong> el mom<strong>en</strong>to máximo se <strong>de</strong>b<strong>en</strong> realizar <strong>en</strong> forma mas o m<strong>en</strong>os realista para que<br />
reflej<strong>en</strong> mas certeram<strong>en</strong>te el comportami<strong>en</strong>to bajo carga <strong>de</strong> estas estructuras. Los<br />
mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> las franjas c<strong>en</strong>trales <strong>de</strong>b<strong>en</strong> ser mayores que <strong>los</strong> <strong>de</strong> las franjas extremas es<br />
<strong>de</strong>cir <strong>de</strong> las franjas cercanas a <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a.<br />
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Franj.Extr.corta<br />
Franj.Med.corta<br />
Franj.Extr.corta<br />
Franjas<br />
extr. larga<br />
Ma max<br />
Figura 10.7 Definición <strong>de</strong> franjas y mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones<br />
Un análisis mas riguroso <strong>de</strong> la ecuación 10.1 indica que solo aquellas <strong>los</strong>as con relación<br />
luz larga a luz corta “ lb / la “ m<strong>en</strong>or que 2.0 requier<strong>en</strong> diseñarse como <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos<br />
direcciones ya que para relaciones mayores o iguales a 2.0 la contribución <strong>de</strong> la luz<br />
larga es <strong>de</strong> solo 1 / 16 parte <strong>de</strong> la dirección corta por lo que su comportami<strong>en</strong>to es<br />
prácticam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> una dirección ( corta). En consecu<strong>en</strong>cia aquellas <strong>los</strong>as perimetralm<strong>en</strong>te<br />
apoyadas con relación “ lb / la < 2.0 “ o también “ 0.5 ≤ la / lb < 1.0 “ son las únicas que<br />
<strong>de</strong>b<strong>en</strong> ser tratadas como <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones. En este caso se pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar<br />
como primera aproximación <strong>de</strong> diseño que el espesor <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a sea mayor o igual al<br />
0.55% <strong>de</strong>l perímetro <strong>de</strong>l panel respetivo:<br />
hs ≥ ( perímetro panel ) / 180<br />
Mb max<br />
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la<br />
Franjas Med.<br />
larga<br />
Franjas<br />
extr. larga<br />
Franjas cortas<br />
Franjas largas<br />
lb<br />
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DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
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10.2.2 Análisis estructural por el <strong>método</strong> <strong>de</strong> <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong>l ACI<br />
Si se utilizan <strong>los</strong> principios anteriores para <strong>de</strong>terminar por teoría <strong>de</strong> elasticidad <strong>los</strong><br />
mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> <strong>los</strong>as bidireccionales es evid<strong>en</strong>te la inm<strong>en</strong>sa cantidad <strong>de</strong> cálcu<strong>los</strong> que se<br />
<strong>de</strong>b<strong>en</strong> realizar para cada una <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong> carga y apoyos <strong>en</strong> un <strong>de</strong>terminado<br />
proyecto estructural. Aun con la ayuda <strong>de</strong> computadores esto realm<strong>en</strong>te no es practico ni<br />
se mejoran <strong>los</strong> resultados <strong>de</strong> <strong>los</strong> diseños obt<strong>en</strong>idos. Es por esta razón que la ing<strong>en</strong>iería<br />
ha adoptado <strong>método</strong>s mas simplificados para <strong>de</strong>terminar las reacciones y <strong>los</strong> esfuerzos<br />
<strong>en</strong> este tipo <strong>de</strong> <strong>los</strong>as. Según el código ACI-318 todos <strong>los</strong> sistemas <strong>de</strong> <strong>los</strong>a <strong>en</strong> dos<br />
direcciones ilustrados <strong>en</strong> las figuras 10.2 y 10.3 pued<strong>en</strong> ser diseñados por<br />
procedimi<strong>en</strong>tos mas elaborados como el <strong>método</strong> directo o el <strong>de</strong>l pórtico equival<strong>en</strong>te; sin<br />
embargo se reconoce que <strong>en</strong> aquel<strong>los</strong> casos don<strong>de</strong> se cumpl<strong>en</strong> las particularida<strong>de</strong>s e<br />
hipótesis requeridas se pued<strong>en</strong> aplicar algoritmos mas s<strong>en</strong>cil<strong>los</strong> que, reduci<strong>en</strong>do<br />
notablem<strong>en</strong>te la cantidad <strong>de</strong> operaciones <strong>de</strong> calculo, <strong>en</strong>tregan resultados satisfactorios.<br />
El “ <strong>método</strong> <strong>de</strong> <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong>l ACI “ fue originalm<strong>en</strong>te propuesto por H<strong>en</strong>ry<br />
Marcus <strong>en</strong> 1929 y ampliam<strong>en</strong>te difundido <strong>en</strong> Europa. En América fue pres<strong>en</strong>tado por<br />
Paul Rogers <strong>en</strong> 1944. Este ha sido usado por <strong>los</strong> ing<strong>en</strong>ieros calculistas Americanos <strong>en</strong><br />
forma amplia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> su pres<strong>en</strong>tación oficial <strong>en</strong> el código ACI 318-63 cuando se<br />
requier<strong>en</strong> diseñar o revisar <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones apoyadas rígidam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> sus bor<strong>de</strong>s<br />
por vigas o muros que suministr<strong>en</strong> una gran rigi<strong>de</strong>z perimetral. A pesar <strong>de</strong> que <strong>en</strong><br />
ediciones posteriores el ACI no hizo refer<strong>en</strong>cia directa a este <strong>método</strong> ( solo m<strong>en</strong>ciona el<br />
<strong>método</strong> directo y el <strong>de</strong>l pórtico equival<strong>en</strong>te) si recomi<strong>en</strong>da <strong>en</strong> g<strong>en</strong>eral que “ Una <strong>los</strong>a <strong>de</strong><br />
pue<strong>de</strong> diseñarse por cualquier procedimi<strong>en</strong>to que satisfaga las ecuaciones <strong>de</strong> equilibrio<br />
y compatibilidad si se <strong>de</strong>muestra que la resist<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> diseño <strong>en</strong> cada sección <strong>de</strong> la<br />
estructura es al m<strong>en</strong>os igual a la resist<strong>en</strong>cia requerida por las cargas y se satisfac<strong>en</strong> <strong>los</strong><br />
requisitos <strong>de</strong> servicio y funcionabilidad exigidos “.<br />
El <strong>método</strong> utiliza las tablas <strong>de</strong> coefici<strong>en</strong>tes 10.1, 10.2, 10.3 y 10.4 <strong>en</strong> don<strong>de</strong> se pres<strong>en</strong>ta<br />
la variedad mas practica <strong>de</strong> cargas y condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Los valores <strong>de</strong> las tablas se<br />
basan <strong>en</strong> <strong>los</strong> cálcu<strong>los</strong> elásticos anteriorm<strong>en</strong>te indicados y ti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>en</strong> cu<strong>en</strong>ta la reducción<br />
<strong>de</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos por efecto <strong>de</strong> la redistribución inelástica <strong>de</strong> t<strong>en</strong>siones. En consecu<strong>en</strong>cia<br />
el mom<strong>en</strong>to <strong>de</strong> diseño para cada dirección es m<strong>en</strong>or que el máximo obt<strong>en</strong>ido por<br />
elasticidad para esa misma dirección. Los mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> las dos direcciones se<br />
<strong>de</strong>terminan con la expresión 10.5 <strong>en</strong> don<strong>de</strong> “ Ma y Mb “ son <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> dirección<br />
corta y larga respectivam<strong>en</strong>te, “ Ca y Cb “ son <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to para la<br />
dirección corta y larga, “ q “ la carga uniformem<strong>en</strong>te distribuida <strong>en</strong> la <strong>los</strong>a, “ la y lb “ son<br />
las luces <strong>en</strong> dirección corta y larga.<br />
M<br />
M<br />
a<br />
b<br />
= C . q.<br />
l<br />
a<br />
= C . q.<br />
l<br />
b<br />
2<br />
a<br />
2<br />
b<br />
( 10.5 )<br />
El <strong>método</strong> recomi<strong>en</strong>da que cada recuadro <strong>de</strong> <strong>los</strong>a ( otro termino muy utilizado para<br />
<strong>de</strong>finir una región interna <strong>de</strong> <strong>los</strong>a bor<strong>de</strong>ada por vigas perimetrales es “ panel “ ) sea<br />
dividido <strong>en</strong> tres zonas para cada una <strong>de</strong> las dos direcciones <strong>de</strong> diseño, una c<strong>en</strong>tral o<br />
media la cual ti<strong>en</strong>e un ancho igual a la mitad <strong>de</strong> la luz y dos zonas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> o <strong>de</strong><br />
columnas con anchos cada una iguales a la cuarta parte <strong>de</strong> la luz respectiva.<br />
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Tabla 10.1 Coefici<strong>en</strong>tes para mom<strong>en</strong>tos negativos<br />
Un bor<strong>de</strong> sombreado indica que existe continuidad o la <strong>los</strong>a esta empotrada <strong>en</strong> el apoyo. Un bor<strong>de</strong><br />
sin sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a.<br />
Ma( - )<br />
Mb( - )<br />
la<br />
Mb( - )<br />
Ma( - )<br />
Figura 10.8 Mom<strong>en</strong>tos negativos <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
lb<br />
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Tabla 10.2 Coefici<strong>en</strong>tes para mom<strong>en</strong>tos positivos por carga muerta<br />
Un bor<strong>de</strong> sombreado indica que existe continuidad o la <strong>los</strong>a esta empotrada <strong>en</strong> el apoyo. Un bor<strong>de</strong><br />
sin sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a.<br />
la<br />
Mb ( + ) carga muerta<br />
Figura 10.9 Mom<strong>en</strong>tos positivos por carga muerta <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
lb<br />
Ma ( + ) carga muerta<br />
178
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Tabla 10.3 Coefici<strong>en</strong>tes para mom<strong>en</strong>to positivo por carga viva<br />
Un bor<strong>de</strong> sombreado indica que existe continuidad o la <strong>los</strong>a esta empotrada <strong>en</strong> el apoyo. Un bor<strong>de</strong> sin<br />
sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a.<br />
la<br />
Mb ( + ) carga viva<br />
Figura 10.10 Mom<strong>en</strong>tos positivos por carga muerta <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
lb<br />
Ma ( + ) carga viva<br />
179
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Tabla 10.4 Proporción <strong>de</strong> la carga “ q “ <strong>en</strong> cada dirección <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a y que<br />
se usa para calcular la cortante y las reacciones <strong>en</strong> <strong>los</strong> apoyos<br />
Un bor<strong>de</strong> sombreado indica que existe continuidad o la <strong>los</strong>a esta empotrada <strong>en</strong> el apoyo. Un bor<strong>de</strong> sin<br />
sombra indica que el apoyo no ofrece ninguna restricción al giro torsional <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a.<br />
Ra<br />
Rb<br />
Figura 10.11 Reacciones y cortantes <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
la<br />
lb<br />
180
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Ejemplo 10.1 Determinar <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos positivos <strong>en</strong> la región media <strong>de</strong> una <strong>los</strong>a con<br />
dim<strong>en</strong>siones la = 3.0 m y lb = 5.0 m sobre la que actúa una carga muerta <strong>de</strong> qm = 5 kN /<br />
m 2 y una viva <strong>de</strong> “ qv = 10 kN / m 2 “. Los bor<strong>de</strong>s son discontinuos y están conectados a<br />
vigas rígidas perimetrales.<br />
Solución: <strong>de</strong> la tabla 10.2 y 10.3 se obti<strong>en</strong>e para “ la / lb = 3.0 / 5.0 = 0.60 “ y <strong>de</strong>l primer<br />
caso <strong>de</strong> apoyo se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>los</strong> sigui<strong>en</strong>tes coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to positivo:<br />
Para carga muerta: Ca = 0.081 y un Cb = 0.010<br />
Para carga viva: Ca = 0.081 y un Cb = 0.010<br />
En la luz corta se ti<strong>en</strong>e:<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M a<br />
( muerta)<br />
= 0.<br />
081×<br />
5×<br />
3.<br />
0<br />
( viva)<br />
= 0.<br />
081×<br />
10×<br />
3.<br />
0<br />
3.<br />
6kN.<br />
m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2 =<br />
2 =<br />
7.<br />
3kN.<br />
m / m<br />
+<br />
El mom<strong>en</strong>to total <strong>en</strong> dirección corta es: M a = 3 . 6 + 7.<br />
3 = 10.<br />
9kN.<br />
m / m es <strong>de</strong>cir por cada<br />
franja <strong>de</strong> un metro <strong>de</strong> ancha actúa <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> la luz un mom<strong>en</strong>to <strong>de</strong> 10.9 kN.m / m.<br />
En la luz larga se ti<strong>en</strong>e:<br />
+<br />
M b<br />
+<br />
M b<br />
( muerta)<br />
= 0.<br />
010×<br />
5×<br />
5.<br />
0<br />
( viva)<br />
= 0.<br />
010×<br />
10×<br />
5.<br />
0<br />
2 =<br />
2 =<br />
1.<br />
2kN.<br />
m / m<br />
2.<br />
5kN.<br />
m / m<br />
+<br />
El mom<strong>en</strong>to total <strong>en</strong> dirección larga es: M a = 1 . 2 + 2.<br />
5 = 3.<br />
7kN.<br />
m / m es <strong>de</strong>cir por cada<br />
franja <strong>de</strong> un metro <strong>de</strong> ancha actúa <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> la luz un mom<strong>en</strong>to <strong>de</strong> 3.7 kN.m / m.<br />
Ma = 10.9 kN.m / m Mb = 3.7 kN.m / m<br />
Figura 10.12 Mom<strong>en</strong>tos máximos positivos <strong>en</strong> las dos franjas medias <strong>de</strong>l ejemplo 10.1.<br />
181
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Como se discutió <strong>en</strong> 10.2.1 y se mostró <strong>en</strong> la figura 10.7 <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> ambas<br />
direcciones son mayores <strong>en</strong> la región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a mi<strong>en</strong>tras que <strong>en</strong> las franjas <strong>de</strong><br />
bor<strong>de</strong> se disminuy<strong>en</strong> consi<strong>de</strong>rablem<strong>en</strong>te sus magnitu<strong>de</strong>s. En consecu<strong>en</strong>cia se propone<br />
que por seguridad y facilidad <strong>de</strong> calculo toda la franja media se diseñe para el máximo<br />
mom<strong>en</strong>to obt<strong>en</strong>ido <strong>de</strong>l análisis y las franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> se diseñ<strong>en</strong> para la tercera parte <strong>de</strong>l<br />
máximo mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong> la mitad <strong>de</strong> la luz como se explica <strong>en</strong> la figura 10.13.<br />
la<br />
lb<br />
lb / 2<br />
Ma<br />
Figura 10.13 Mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franjas c<strong>en</strong>trales y <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> <strong>en</strong> <strong>los</strong>as bidireccionales<br />
La discusión anterior se ha realizado para un solo recuadro o panel <strong>de</strong> <strong>los</strong>a y <strong>en</strong><br />
condiciones <strong>de</strong> simplem<strong>en</strong>te apoyado <strong>en</strong> sus bor<strong>de</strong>s. En la practica esta no es la<br />
situación típica y por lo g<strong>en</strong>eral el sistema <strong>de</strong> piso esta compuesto por varios paneles<br />
que ti<strong>en</strong><strong>en</strong> condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> difer<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> acuerdo a su ubicación geométrica figura<br />
10.14. Por ejemplo <strong>los</strong> paneles 6 y 9 son continuos <strong>en</strong> sus cuatro lados por lo tanto<br />
ilustran el caso 2 <strong>de</strong> las tablas 10.1 a 10.4. Los paneles 2, 3, 5, 7 y 10 son continuos <strong>en</strong><br />
tres lados e ilustran <strong>los</strong> casos 8 y 9. Los paneles 1, 8,11 y 12 son continuos solo <strong>en</strong> dos<br />
<strong>de</strong> sus lados e ilustran <strong>los</strong> casos 3, 4 o 5 y el panel 4 es continuo solo <strong>en</strong> un lado e ilustra<br />
<strong>los</strong> casos 6 y 7. Se pue<strong>de</strong> apreciar <strong>en</strong> este simple ejemplo como el caso 1 ( bor<strong>de</strong>s no<br />
continuos ) no ha sido consi<strong>de</strong>rado confirmando lo dicho inicialm<strong>en</strong>te.<br />
En un bor<strong>de</strong> continuo <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos son negativos <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> las vigas continuas<br />
interiores y la magnitud <strong>de</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos positivos <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> las condiciones <strong>de</strong><br />
continuidad <strong>de</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a <strong>en</strong> forma similar al <strong>método</strong> <strong>de</strong> <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes para<br />
vigas continuas y <strong>los</strong>as <strong>en</strong> una dirección.<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
la / 2<br />
Ma / 3<br />
Mb / 3<br />
Mb<br />
182
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Y<br />
A<br />
l1x l2x l3x l4x<br />
1 2 3 4<br />
5 6 7<br />
8<br />
8 9<br />
9 10<br />
11 12<br />
B C D<br />
Figura 10.14 Sistema <strong>de</strong> piso <strong>en</strong> dos direcciones con vigas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong><br />
Según lo anterior las tablas 10.1 a 10.4 dan <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to y cortante para<br />
las difer<strong>en</strong>tes condiciones <strong>de</strong> apoyo y dim<strong>en</strong>siones indicadas. Los máximos mom<strong>en</strong>tos<br />
negativos se pres<strong>en</strong>tan cuando se aplica la totalidad <strong>de</strong> la carga muerta y viva <strong>en</strong> dos<br />
paneles consecutivos. En <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s discontinuos la viga <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> o <strong>los</strong> muros <strong>de</strong> apoyo<br />
suministran cierto grado <strong>de</strong> restricción rotacional <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a por lo que exist<strong>en</strong><br />
mom<strong>en</strong>tos negativos cuya magnitud se pue<strong>de</strong> asumir igual a la tercera parte <strong>de</strong>l<br />
mom<strong>en</strong>to positivo para la misma dirección. Para <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos positivos el efecto<br />
anterior es <strong>de</strong>spreciable cuando solo actúa la carga muerta <strong>en</strong> <strong>los</strong> dos paneles<br />
consecutivos. Los máximos mom<strong>en</strong>tos positivos por carga viva se pres<strong>en</strong>tan cuando la<br />
carga actúa solo <strong>en</strong> el panel indicado mi<strong>en</strong>tras <strong>los</strong> paneles adyac<strong>en</strong>tes están sometidos<br />
solo a la carga muerta. En este caso se pue<strong>de</strong> pres<strong>en</strong>tar una ligera rotación <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s<br />
continuos <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a el cual es consi<strong>de</strong>rado <strong>en</strong> <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes dados <strong>en</strong> la tabla 10.3.<br />
Finalm<strong>en</strong>te para <strong>de</strong>terminar la cortante <strong>en</strong> la <strong>los</strong>a y la cargas sobre las vigas se utilizan<br />
<strong>los</strong> valores <strong>de</strong> la tabla 10.4 para ambas direcciones.<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
l2y<br />
l3y<br />
l4y<br />
5<br />
3<br />
4<br />
E<br />
183<br />
X<br />
l1y<br />
1<br />
2
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
10.2.3 Cuantías, posición y distribución <strong>de</strong>l refuerzo <strong>en</strong> la <strong>los</strong>a<br />
El refuerzo a flexión <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a se coloca distribuido <strong>en</strong> forma <strong>de</strong> malla con barras<br />
paralelas a cada dirección <strong>de</strong> trabajo. Cuando se trabaja con barras prácticam<strong>en</strong>te es<br />
imposible que ambas capas <strong>de</strong> refuerzo ( X y Y ) qued<strong>en</strong> a la misma altura efectiva “ d “<br />
por lo que se <strong>de</strong>be colocar la capa <strong>en</strong> dirección por <strong>en</strong>cima <strong>de</strong> la capa <strong>en</strong> dirección corta.<br />
Este problema solo se pres<strong>en</strong>ta <strong>en</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos positivos porque para <strong>los</strong> negativos<br />
solo se refuerza <strong>en</strong> la dirección consi<strong>de</strong>rada.<br />
El refuerzo <strong>en</strong> forma <strong>de</strong> malla se pue<strong>de</strong> utilizar siempre y cuando se coloque la cuantía<br />
a<strong>de</strong>cuada <strong>en</strong> cada sección. El uso <strong>de</strong> barras rectas es el <strong>método</strong> mas conv<strong>en</strong>cional pero<br />
este requiere <strong>de</strong>tallarlo a<strong>de</strong>cuadam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> aquel<strong>los</strong> puntos <strong>de</strong> corte y doblado. Se<br />
pued<strong>en</strong> utilizar también barras rectas dobladas a 45° que sirvan para at<strong>en</strong><strong>de</strong>r mom<strong>en</strong>tos<br />
positivos y negativos simultáneam<strong>en</strong>te. La figura 10.15 resume las recom<strong>en</strong>daciones<br />
g<strong>en</strong>erales <strong>de</strong> colocación y distribución <strong>de</strong>l refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>de</strong> acuerdo a la practica mas<br />
utilizada <strong>en</strong> la ing<strong>en</strong>iería.<br />
L1/ 4<br />
150<br />
Cortar<br />
¾ As<br />
L1<br />
L1/ 3 L2/ 3 L2/ 3<br />
L1/ 8<br />
150<br />
Figura 10.15 Puntos <strong>de</strong> corte y doblado <strong>de</strong> barras <strong>en</strong> <strong>los</strong>as bidireccionales<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
L2/ 8<br />
150<br />
Cortar<br />
¾ As<br />
L1/ 7 L1/ 3 L2/ 3 L2/ 3<br />
150<br />
L1<br />
L1/ 4<br />
150<br />
L2/ 4<br />
150<br />
L2<br />
Cortar<br />
¾ As<br />
L2<br />
L2/ 8<br />
L2/ 4<br />
184
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
La cantidad <strong>de</strong> refuerzo mínimo <strong>en</strong> cada dirección equivale al <strong>de</strong> la requerida por<br />
retracción y temperatura <strong>de</strong> acuerdo a <strong>los</strong> sigui<strong>en</strong>tes valores:<br />
Cuando fy = 280 o 350 MPa ρmin = 0.0020<br />
Si fy = 420 MPa o se refuerza con malla ρmin = 0.0018<br />
Si fy > 420 MPa ( fy medido a un εs = 0.0035 ) ρmin = 0.0018 x ( 420 / fy )<br />
En las zonas <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to máximo la separación lateral <strong>de</strong>l refuerzo no <strong>de</strong>be exce<strong>de</strong>r <strong>de</strong><br />
dos veces el espesor <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos torsores que actúan <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a solo ti<strong>en</strong><strong>en</strong> influ<strong>en</strong>cia <strong>en</strong> las<br />
esquinas exteriores don<strong>de</strong> el efecto es mayor. En estas regiones se produce una<br />
fisuración tanto <strong>en</strong> la parte superior como inferior <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a sigui<strong>en</strong>do un patrón <strong>en</strong><br />
forma <strong>de</strong> diagonal como se ilustra <strong>en</strong> la figura 10.16. Para evitar este efecto se<br />
recomi<strong>en</strong>da colocar <strong>en</strong> estos puntos un refuerzo diagonal que se prolongue una longitud<br />
igual a la quinta parte <strong>de</strong> la mayor dim<strong>en</strong>sión <strong>de</strong>l panel.<br />
Refuerzo inferior<br />
lb<br />
Figura 10.16 Refuerzo por torsión <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s exteriores <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a<br />
Ejemplo 10.2 Se requiere diseñar la <strong>los</strong>a <strong>de</strong> la figura 10.14 con <strong>los</strong> sigui<strong>en</strong>tes datos:<br />
distancia <strong>de</strong> c<strong>en</strong>tro a c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> ejes <strong>en</strong> X = 6.50 m , distancia <strong>de</strong> c<strong>en</strong>tro a c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> ejes<br />
<strong>en</strong> Y = 8.0 m, Carga viva <strong>de</strong> servicio: 7.0 kN / m 2 , f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa.<br />
Solución: El procedimi<strong>en</strong>to <strong>de</strong> diseño se resume <strong>en</strong> <strong>los</strong> sigui<strong>en</strong>tes pasos: a) dim<strong>en</strong>sionar<br />
<strong>los</strong>a y vigas b) estimar cargas <strong>de</strong> diseño c) Determinar mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> cada panel<br />
utilizando <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> las tablas d) Ajustar y equilibrar <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> cada<br />
una <strong>de</strong> las direcciones <strong>de</strong> trabajo e ) <strong>de</strong>terminar el refuerzo a flexión f) revisar la<br />
cortante y g) <strong>de</strong>terminar las cargas sobre las vigas <strong>en</strong> las dos direcciones<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
la<br />
Refuerzo superior<br />
185
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
a) Dim<strong>en</strong>sionami<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a y las vigas: Para <strong>de</strong>terminar el espesor <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a “ hs “<br />
se pue<strong>de</strong> inicialm<strong>en</strong>te consi<strong>de</strong>rar que el ancho <strong>de</strong> las vigas sea <strong>de</strong> bv = 300 mm <br />
[ 2.<br />
( 6.<br />
5 − 0.<br />
3)<br />
+ 2.<br />
( 8.<br />
0 − 0.<br />
3)<br />
]<br />
hs ≥<br />
s<br />
180<br />
⇒ h ≥ 0.<br />
15m<br />
Se pue<strong>de</strong> asumir que el espesor <strong>de</strong> <strong>los</strong>a maciza sea hs = 150 mm. Si se quiere utilizar un<br />
sistema nervado <strong>en</strong> dos direcciones se <strong>de</strong>b<strong>en</strong> dim<strong>en</strong>sionar <strong>los</strong> nervios, el sistema<br />
aligerante y el espesor <strong>de</strong>l recubrimi<strong>en</strong>to así: sea bw =100 mm, cajas <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra como<br />
aligerante <strong>de</strong> dim<strong>en</strong>siones 0.60 x 0.60 x 0.35 m y recubrimi<strong>en</strong>to <strong>de</strong> 50 mm =><br />
0.35 m<br />
0.10 m 0.10 m<br />
Figura 10.17 Sección típica <strong>de</strong> <strong>los</strong>a aligerada <strong>en</strong> dos direcciones<br />
Para garantizar rigi<strong>de</strong>z <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a las vigas <strong>de</strong>b<strong>en</strong> t<strong>en</strong>er alturas mayores o<br />
iguales a 3 x 150 mm = 450 mm. Sean vigas <strong>en</strong> las dos direcciones <strong>de</strong> hv = 500 mm la<br />
cual cumple satisfactoriam<strong>en</strong>te con la restricción <strong>de</strong> hv ≥ ( 8.0 - 0.30 ) / 24 = 0.32 m.<br />
6.20 m<br />
0.70 m<br />
0.60 m<br />
7.70 m<br />
Figura 10.18 Panel interior típico <strong>de</strong> <strong>los</strong>a <strong>en</strong> dos direcciones<br />
50 mm<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
186
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
b) Cargas <strong>de</strong> diseño <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. El peso propio <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a es:<br />
Aligerada:<br />
Maciza:<br />
q pp<br />
q pp<br />
= 0. 15×<br />
2.<br />
4×<br />
9.<br />
80 = 3.<br />
5.<br />
kN / m<br />
( 0.<br />
35 0.<br />
10)<br />
⎞⎞<br />
2<br />
⎛ ⎛ ×<br />
= ⎜0.<br />
05 + ⎜2.<br />
⎟⎟<br />
× 2.<br />
4 × 9.<br />
8 = 3.<br />
5kN<br />
/ m<br />
⎝ ⎝ 0.<br />
60 ⎠⎠<br />
Caja <strong>de</strong> ma<strong>de</strong>ra = 0.15 kN/m 2<br />
Acabados <strong>de</strong> piso e instalaciones=1.0 kN/ m 2<br />
Divisiones interiores = 1.5 kN/ m 2<br />
Total <strong>de</strong> la carga muerta: 3.5 + 0.15 + 1.0 + 1.5 = 6.15 kN/m 2<br />
Carga total <strong>de</strong> diseño:<br />
Total <strong>de</strong> la carga viva = 6.70 kN/ m 2<br />
c) Determinación <strong>de</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> cada panel<br />
q u<br />
= 1. 2×<br />
6.<br />
15 + 1.<br />
6×<br />
6.<br />
70 = 7.<br />
4 + 10.<br />
7 = 18 kN / m<br />
La <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> <strong>los</strong> valores <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to y cortante se realizara para cada tipo <strong>de</strong><br />
panel y cada dirección utilizando primero las franjas c<strong>en</strong>trales, luego se <strong>de</strong>finirán las<br />
características <strong>de</strong> las franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. “ la / lb = 6.2 / 7.7 = 0.80 “ para todos <strong>los</strong> paneles.<br />
Paneles: 1, 8, 11 y 12. Están con dos bor<strong>de</strong>s discontinuos => caso # 4<br />
Y<br />
Lb = 7.70<br />
La = 6.20<br />
Franja c<strong>en</strong>tral<br />
<strong>en</strong> Y<br />
Figura 10.19 Panel continuo <strong>en</strong> dos lados <strong>de</strong>l ejemplo 10.2<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> X<br />
X<br />
2<br />
187
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Mom<strong>en</strong>tos negativos <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s continuos: Tabla 10.1<br />
−<br />
M a<br />
−<br />
M b<br />
= 0.<br />
071×<br />
18×<br />
6.<br />
2<br />
49.<br />
kN.<br />
m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2 =<br />
= 0.<br />
029×<br />
18×<br />
7.<br />
7<br />
2 =<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos por carga muerta: Tabla 10.2<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
039×<br />
7.<br />
4 × 6.<br />
2<br />
31.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2 =<br />
11.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
016×<br />
7.<br />
4 × 7.<br />
7 = 7 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos por carga viva: Tabla 10.3<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
Fuerza cortante y reacciones: tabla 10.4<br />
Va = 40<br />
Franja media corta<br />
V a<br />
V b<br />
La = 6.2 m<br />
Ma ( +) = 11 y 20 kN.m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
048×<br />
10.<br />
7 × 6.<br />
2 = 20 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
020×<br />
10.<br />
7 × 7.<br />
7 = 13⋅<br />
kN.<br />
m / m<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2 × 7.<br />
7)<br />
= 40 kN / m<br />
= 0. 71×<br />
18×<br />
⋅<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2×<br />
6.<br />
2)<br />
= 20 kN / m<br />
= 0. 29×<br />
18×<br />
⋅<br />
Ma(-) = 49 kN.m / m<br />
Va = 40<br />
Franja media larga<br />
Lb = 7.7 m<br />
Vb = 20 Vb = 20<br />
Mb(-) = 49 kN.m / m<br />
Mb ( +) = 7 y 13 kN.m / m<br />
Figura 10.20 Mom<strong>en</strong>tos y cortantes <strong>en</strong> panel # 1 <strong>en</strong> las dos franjas c<strong>en</strong>trales<br />
188
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Paneles: 2 y 3. Están con un bor<strong>de</strong> discontinuo => caso # 9<br />
Lb = 7.70<br />
Y<br />
Mom<strong>en</strong>tos negativos :<br />
Figura 10.21 Panel continuo <strong>en</strong> tres lados <strong>de</strong>l ejemplo 10.2<br />
−<br />
M a<br />
−<br />
M b<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos (carga muerta):<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos (carga viva):<br />
Cortante y reacciones:<br />
V a<br />
V b<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
La = 6.20<br />
Franja c<strong>en</strong>tral<br />
<strong>en</strong> Y<br />
= 0.<br />
075×<br />
18×<br />
6.<br />
2<br />
52.<br />
kN.<br />
m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2 =<br />
= 0.<br />
017×<br />
18×<br />
7.<br />
7<br />
2 =<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
029×<br />
7.<br />
4 × 6.<br />
2<br />
18.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2 =<br />
8.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
010×<br />
7.<br />
4 × 7.<br />
7 = 4 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
042×<br />
10.<br />
7 × 6.<br />
2 = 17 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
017×<br />
10.<br />
7 × 7.<br />
7 = 11⋅<br />
kN.<br />
m / m<br />
( 6.<br />
2 × 7.<br />
7)<br />
/ ( 2×<br />
7.<br />
7)<br />
= 46 kN / m<br />
= 0. 83×<br />
18×<br />
⋅<br />
( 6.<br />
2 × 7.<br />
7)<br />
/ ( 2 × 6.<br />
2)<br />
= 12 kN / m<br />
= 0. 17×<br />
18×<br />
⋅<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> X<br />
X<br />
189
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Panel: 4. ti<strong>en</strong>e un solo bor<strong>de</strong> continuo => caso # 6<br />
Lb = 7.70<br />
Y<br />
Mom<strong>en</strong>tos negativo:<br />
Figura 10.22 Panel continuo <strong>en</strong> un solo lado <strong>de</strong>l ejemplo 10.2<br />
−<br />
M a<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos ( carga muerta ):<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos ( carga viva ):<br />
Cortante y reacciones:<br />
V a<br />
V b<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
La = 6.20<br />
Franja c<strong>en</strong>tral<br />
<strong>en</strong> Y<br />
= 0.<br />
086×<br />
18×<br />
6.<br />
2<br />
60.<br />
kN.<br />
m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2 =<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
045×<br />
7.<br />
4×<br />
6.<br />
2<br />
2 =<br />
13.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
015×<br />
7.<br />
4×<br />
7.<br />
7 = 7 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
051×<br />
10.<br />
7 × 6.<br />
2<br />
2<br />
= 21⋅<br />
kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
019×<br />
10.<br />
7 × 7.<br />
7 = 12 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2×<br />
7.<br />
7)<br />
= 48 kN / m<br />
= 0. 86×<br />
18×<br />
⋅<br />
( 6.<br />
2 × 7.<br />
7)<br />
/ ( 2×<br />
6.<br />
2)<br />
= 10 kN / m<br />
= 0. 14×<br />
18×<br />
⋅<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> X<br />
X<br />
190
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Paneles: 5, 7 y 10. Están con un bor<strong>de</strong> discontinuo => caso # 8<br />
Lb = 7.70<br />
Y<br />
Mom<strong>en</strong>tos negativos:<br />
Figura 10.23 Panel continuo <strong>en</strong> dos <strong>de</strong> sus lados. Ejemplo 10.2<br />
−<br />
M a<br />
−<br />
M b<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos ( carga muerta ):<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos ( carga viva ):<br />
Cortante y reacciones:<br />
V a<br />
V b<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
La = 6.20<br />
Franja c<strong>en</strong>tral<br />
<strong>en</strong> Y<br />
= 0.<br />
055×<br />
18×<br />
6.<br />
2<br />
= 0.<br />
041×<br />
18×<br />
7.<br />
7<br />
38.<br />
kN.<br />
m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2 =<br />
2 =<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
032×<br />
7.<br />
4 × 6.<br />
2<br />
44.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2 =<br />
9.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
015×<br />
7.<br />
4×<br />
7.<br />
7 = 7 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
044×<br />
10.<br />
7 × 6.<br />
2 = 18⋅<br />
kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
019×<br />
10.<br />
7 × 7.<br />
7 = 12 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2 × 7.<br />
7)<br />
= 31 kN / m<br />
= 0. 55×<br />
18×<br />
⋅<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2×<br />
6.<br />
2)<br />
= 31 kN / m<br />
= 0. 45×<br />
18×<br />
⋅<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> X<br />
X<br />
191
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Paneles: 6 y 9. Están con todos <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s continuos => caso # 2<br />
Lb = 7.70<br />
Y<br />
Mom<strong>en</strong>tos negativos:<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos<br />
Mom<strong>en</strong>tos positivos<br />
Figura 10.24 Panel continuo <strong>en</strong> todos sus lados. Ejemplo 10.2<br />
−<br />
M a<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
+<br />
M a<br />
+<br />
M b<br />
−<br />
M b<br />
Fuerza cortante y reacciones:<br />
V a<br />
V b<br />
La = 6.20<br />
Franja c<strong>en</strong>tral<br />
<strong>en</strong> Y<br />
= 0.<br />
065×<br />
18×<br />
6.<br />
2<br />
45.<br />
kN.<br />
m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2 =<br />
= 0.<br />
027×<br />
18×<br />
7.<br />
7<br />
2 =<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
026×<br />
7.<br />
4 × 6.<br />
2<br />
( cm)<br />
= 0.<br />
011×<br />
7.<br />
4×<br />
7.<br />
7<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
041×<br />
10.<br />
7 × 6.<br />
2<br />
2<br />
2<br />
29.<br />
kN.<br />
m / m<br />
2 =<br />
8.<br />
kN.<br />
m / m<br />
= 5⋅<br />
kN.<br />
m / m<br />
= 17 ⋅ kN.<br />
m / m<br />
2<br />
( cv)<br />
= 0.<br />
017×<br />
10.<br />
7 × 7.<br />
7 = 11⋅<br />
kN.<br />
m / m<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2 × 7.<br />
7)<br />
= 40 kN / m<br />
= 0. 71×<br />
18×<br />
⋅<br />
( 6.<br />
2×<br />
7.<br />
7)<br />
/ ( 2×<br />
6.<br />
2)<br />
= 20 kN / m<br />
= 0. 29×<br />
18×<br />
⋅<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> X<br />
X<br />
192
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
d) Ajuste y equilibrio <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> cada dirección<br />
Dirección X<br />
Franja media <strong>en</strong> paneles 1, 2, 3 y 4<br />
Ma(-)<br />
A B C D E<br />
1 2 3 4<br />
Ma(+)cm 11 8 8 13<br />
Ma(+)cv 20 17 17 21<br />
30<br />
10<br />
49 52 52 52 52 60<br />
50 52<br />
9<br />
26<br />
Figura 10.25 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral X paneles “ 1 2 3 y 4 “<br />
De la figura 10.25 se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la<br />
región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 2, 3 y 4 <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. El tramo AB se diseña para un<br />
mom<strong>en</strong>to positivo <strong>de</strong> MuAB = 30 kN.m /m; el tramo BC: MuBC = 26 kN.m / m; el tramo<br />
CD: MuCD = 27 kN.m / m y el tramo DE: MuDE = 36 kN.m /m.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos son: <strong>en</strong> el bor<strong>de</strong> A: MuA = 30 / 3 = 10 kN.m/m; <strong>en</strong><br />
B: MuB = 50 kN.m/m; <strong>en</strong> C: MuC = 52 kN.m/m; <strong>en</strong> D: MuD =56 kN.m/m y <strong>en</strong> E: MuE =<br />
36 / 3 = 12 kN.m / m.<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
27<br />
6<br />
56<br />
50 52 56<br />
15<br />
36<br />
Primera<br />
combinación<br />
<strong>de</strong> carga<br />
Segunda<br />
combinación<br />
<strong>de</strong> carga<br />
193<br />
1<br />
2
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franja media <strong>en</strong> paneles 5, 6 y 7:<br />
Ma(-)<br />
A B C D<br />
5 6 7<br />
Ma(+)cm 9 8 9<br />
Ma(+)cv 18 17 18<br />
26<br />
8<br />
38 45 45 38<br />
41 41<br />
Figura 10.26 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral X paneles “ 5, 6 y 7 “<br />
De la figura 10.26 se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la<br />
región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 5, 6 y 7 <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. Los mom<strong>en</strong>tos positivos son:<br />
Tramo AB: MuAB = 26 kN.m / m;<br />
Tramo BC: MuBC = 27 kN.m / m;<br />
Tramo CD: MuCD = 26 kN.m / m.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos son:<br />
En el bor<strong>de</strong> A: MuA =26 / 3 = 9 kN.m / m.<br />
En B: MuB = 41 kN.m / m.<br />
En C: MuC = 41 kN.m / m<br />
En D: MuD = 9 kN.m / m.<br />
8<br />
41 41<br />
27<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
26<br />
8<br />
2<br />
3<br />
Primera<br />
combinación <strong>de</strong><br />
carga<br />
Segunda<br />
combinación <strong>de</strong><br />
carga<br />
194
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franja media <strong>en</strong> paneles 8, 9 y 10:<br />
Ma(-)<br />
A B C D<br />
8 9 10<br />
Ma(+)cm 11 8 9<br />
Ma(+)cv 20 17 18<br />
32<br />
12<br />
49 45 45 38<br />
47 41<br />
Figura 10.27 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral X paneles “ 8, 9 y 10 “<br />
La figura 10.27 resume <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la región<br />
c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 8, 9 y 10 <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a. Los mom<strong>en</strong>tos positivos son:<br />
Tramo AB: MuAB = 32 kN.m / m;<br />
Tramo BC: MuBC = 26 kN.m / m;<br />
Tramo CD: MuCD = 25 kN.m / m.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos son:<br />
En A: MuA = 32 / 3 = 11 kN.m / m.<br />
En B: MuB = 47 kN.m / m.<br />
En C: MuC = 41 kN.m / m<br />
En D: MuD = 25 / 3 = 8 kN.m / m.<br />
9<br />
47 41<br />
26<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
25<br />
5<br />
4<br />
3<br />
Primera<br />
combinación <strong>de</strong><br />
carga<br />
Segunda<br />
combinación <strong>de</strong><br />
carga<br />
195
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franja media <strong>en</strong> paneles 11 y 12<br />
B C D<br />
11 12<br />
6.2 6.2<br />
Figura 10.28 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral X paneles “ 11 y 12 “<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 11 y<br />
12 están indicados <strong>en</strong> la figura 10.28. Los mom<strong>en</strong>tos positivos son:<br />
Tramo BC: MuBC = 31 kN.m / m;<br />
Tramo CD: MuCD = 31 kN.m / m.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos son:<br />
En B: MuA = 31 / 3 = 10 kN.m / m.<br />
En C: MuC = 49 kN.m / m<br />
En D: MuD = 31 / 3 = 10 kN.m / m.<br />
11<br />
31<br />
49<br />
49<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
11<br />
31<br />
4<br />
5<br />
196
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Dirección Y<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> paneles 1, 5 y 8<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
A B<br />
1<br />
5<br />
8<br />
Figura 10.29 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral Y paneles “ 1, 5 y 8 “<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 5<br />
y 8 están indicados <strong>en</strong> la figura 10.29.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos son:<br />
Tramo 1-2: Mu12 = 16 kN.m / m<br />
Tramo 2-3: Mu23 = 25 kN.m / m<br />
Tramo 3-4: Mu34 = 16 kN.m / m.<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos son:<br />
En 1: Mu1 = 16 / 3 = 5 kN.m / m.<br />
En 2: Mu2 = 38 kN.m / m<br />
En 3: Mu3 = 38 kN.m / m.<br />
En 4: Mu4 = 16 / 3 = 5 kN.m / m.<br />
31<br />
44<br />
44<br />
31<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
7<br />
13<br />
7<br />
12<br />
7<br />
13<br />
38<br />
38<br />
16<br />
38<br />
13<br />
38<br />
16<br />
3<br />
25<br />
3<br />
197
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> paneles 2, 6, 9 y 11<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
B C<br />
2<br />
6<br />
9<br />
11<br />
18<br />
29<br />
29<br />
29<br />
29<br />
31<br />
Figura 10.29 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral Y paneles “ 1, 5 y 8 “<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 5<br />
y 8 están indicados <strong>en</strong> la figura 10.29.<br />
Mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos Mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos<br />
Tramo 1-2: Mu12 = 13 kN.m / m En 1: Mu1 = 13 / 3 = 4 kN.m / m.<br />
Tramo 2-3: Mu23 = 16 kN.m / m En 2: Mu2 = 23 kN.m / m<br />
Tramo 3-4: Mu34 = 16 kN.m / m. En 3: Mu3 = 29 kN.m / m<br />
Tramo 4-5: Mu34 = 20 kN.m / m En 4: Mu4 = 30 kN.m / m<br />
En 5: Mu4 = 20 / 3 = 7 kN.m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
4<br />
11<br />
5<br />
11<br />
5<br />
11<br />
7<br />
13<br />
23<br />
29<br />
30<br />
13<br />
23<br />
8<br />
29<br />
16<br />
30<br />
4<br />
16<br />
5<br />
7 20<br />
198
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> paneles 3, 7, 10 y 12<br />
1<br />
2<br />
3<br />
4<br />
5<br />
C D<br />
3<br />
7<br />
10<br />
12<br />
18<br />
44<br />
44<br />
44<br />
44<br />
31<br />
Figura 10.29 Equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> franja c<strong>en</strong>tral Y paneles “ 1, 5 y 8 “<br />
Los mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos y negativos para la región c<strong>en</strong>tral <strong>de</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 5<br />
y 8 están indicados <strong>en</strong> la figura 10.29.<br />
Mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño positivos Mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> diseño negativos<br />
Tramo 1-2: Mu12 = 9 kN.m / m En 1: Mu1 = 9 / 3 = 3 kN.m / m.<br />
Tramo 2-3: Mu23 = 26 kN.m / m En 2: Mu2 = 31 kN.m / m<br />
Tramo 3-4: Mu34 = 22 kN.m / m. En 3: Mu3 = 44 kN.m / m<br />
Tramo 4-5: Mu34 = 17 kN.m / m En 4: Mu4 = 38 kN.m / m<br />
En 5: Mu4 = 17 / 3 = 6 kN.m / m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
4<br />
11<br />
7<br />
12<br />
7<br />
12<br />
7<br />
13<br />
31<br />
44<br />
38<br />
9<br />
31<br />
14<br />
44<br />
22<br />
38<br />
-2<br />
26<br />
10<br />
4 17<br />
199
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franja c<strong>en</strong>tral <strong>en</strong> panel 4<br />
En esta franja no hay que realizar equilibrio y ajuste <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>en</strong> dirección Y :<br />
Mom<strong>en</strong>to <strong>de</strong> diseño positivo: MuAB = 19 kN.m / m<br />
Mom<strong>en</strong>to negativo <strong>en</strong> bor<strong>de</strong> 1: Mu1 = 19 / 3 = 6 kN.m / m<br />
Mom<strong>en</strong>to negativo <strong>en</strong> bor<strong>de</strong> 2: Mu2 = 19 / 3 = 6 kN.m / m<br />
e) Determinación <strong>de</strong>l refuerzo a flexión para cada dirección<br />
Se utiliza el algoritmo <strong>de</strong> diseño <strong>de</strong> secciones rectangulares simplem<strong>en</strong>te reforzadas.<br />
Los datos necesarios para el diseño son: espesor <strong>de</strong> <strong>los</strong>a maciza h = 150 mm, d = 125<br />
mm y b = 1000 mm. El hormigón <strong>de</strong> f´c = 21 MPa y el acero <strong>de</strong> fy = 420 MPa<br />
El refuerzo mínimo es Asmin = 0.0018 x 1000 x 125 = 225 mm 2 / m 1# 4 @ 0.55 m.<br />
Sin embargo <strong>en</strong> las zonas <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to máximo ( franjas medias ) el máximo<br />
espaciami<strong>en</strong>to es 2 x h = 300 mm mi<strong>en</strong>tras que <strong>en</strong> el resto <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a es 3 x h = 450 mm.<br />
Dirección X<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 2, 3 y 4.<br />
Tramo AB <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuAB = 30 kN.m / m => As = 678 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuAB = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo BC <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuBC = 26 kN.m / m => As = 582 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuBC = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo CD <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuCD = 27 kN.m / m => As = 606 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuCD = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo DE <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuDE = 36 kN.m / m => As = 826 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuDE = 12 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> A <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuA = 10 kN. m / m => As = 216 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuA = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo B <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuB = 50 kN. m / m => As = 1192 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.10 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuB = 17 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
200
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Nudo C <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuC = 52 kN. m / m => As = 1247 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.10 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuC = 17 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Nudo D <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuD = 56 kN. m / m => As = 1360 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.10 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuD = 19 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Bor<strong>de</strong> E <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuE = 12 kN. m / m => As = 260 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuE = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 5, 6 y 7.<br />
Tramo AB <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuAB = 26 kN.m / m => As = 582 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuAB = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo BC <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuBC = 27 kN.m / m => As = 582 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuBC = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo CD <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuCD = 26 kN.m / m => As = 582 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuCD = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> A <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuA = 9 kN. m / m => As = 216 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuA = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo B <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuB = 41 kN. m / m => As = 954 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuB = 14 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.40 m<br />
Nudo C <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuC = 41 kN. m / m => As = 954 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuC = 14 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.40 m<br />
Nudo D <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuD = 9 kN. m / m => As = 216 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuD = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 8, 9 y 10.<br />
Tramo AB <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuAB = 32 kN.m / m => As = 727 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
201
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuAB = 11 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo BC <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuBC = 26 kN.m / m => As = 582 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuBC = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo CD <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuCD = 25 kN.m / m => As = 559 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuCD = 8 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> A <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuA = 11 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuA = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo B <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuB = 47 kN. m / m => As = 1111 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.10 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuB = 16 kN.m / m => As = 350 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.35 m<br />
Nudo C <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuC = 41 kN. m / m => As = 954 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuC = 14 kN.m / m => As = 305 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.40 m<br />
Nudo D <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuD = 8 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuD = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 11 y 12<br />
Tramo BC <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuBC = 31 kN.m / m => As = 703 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuBC = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo CD <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuCD = 31 kN.m / m => As = 703 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuCD = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> B <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuB = 10 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuB = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo C <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuC = 49 kN. m / m => As = 1165 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.10 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuC = 16 kN.m / m => As = 350 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.35 m<br />
Bor<strong>de</strong> D <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: MuD = 10 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: MuD = 3 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
202
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Dirección Y<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 5 y 8<br />
Tramo 1-2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu12 = 16 kN.m / m => As = 350 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu12 = 5 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 2-3 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu23 = 25 kN.m / m => As = 559 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu23 = 8 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 3-4 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu34 = 16 kN.m / m => As = 350 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu34 = 5 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 1 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu1 = 5 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu1 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo 2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu2 = 38 kN. m / m => As = 877 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu2 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo 3 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu3 = 38 kN. m / m => As = 877 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu3 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 4 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu4 = 5 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu4 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 2, 6, 9 y 11<br />
Tramo 1-2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu12 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu12 = 4 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 2-3 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu23 = 16 kN.m / m => As = 350 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu23 = 5 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 3-4 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu34 = 16 kN.m / m => As = 350 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu34 = 5 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
203
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Tramo 4-5 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu45 = 20 kN.m / m => As = 442 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu45 = 7 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 1 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu1 = 4 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu1 = 1 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo 2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu2 = 23 kN. m / m => As = 511 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.25 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu2 = 8 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo 3 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu3 = 29 kN. m / m => As = 654 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu3 = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo 4 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu4 = 30 kN. m / m => As = 678 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu4 = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 5 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu5 = 7 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu5 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Refuerzo <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 3, 7, 10 y 12<br />
Tramo 1-2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu12 = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu12 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 2-3 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu23 = 26 kN.m / m => As = 582 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.20 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu23 = 9 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 3-4 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu34 = 22 kN.m / m => As = 488 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.25 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu34 = 7 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Tramo 4-5 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu45 = 17 kN.m / m => As = 373 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu45 = 6 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 1 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu1 = 3 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu1 = 1 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
204
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Nudo 2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu2 = 31 kN. m / m => As = 703 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu2 = 10 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Nudo 3 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu3 = 44 kN. m / m => As = 1032 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.10 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu3 = 15 kN.m / m => As = 328 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.40 m<br />
Nudo 4 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu4 = 38 kN. m / m => As = 877 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.15 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu4 = 13 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 5 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu4 = 6 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu4 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Refuerzo <strong>en</strong> el panel 4<br />
Tramo 1-2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu12 = 19 kN.m / m => As = 419 mm 2 / m 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu12 = 6 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 1 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu1 = 6 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu1 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
Bor<strong>de</strong> 2 <br />
Franjas c<strong>en</strong>trales: Mu2 = 6 kN. m / m => 1 # 4 @ 0.30 m<br />
Franjas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>: Mu2 = 2 kN.m / m => 1 # 4 @ 0.45 m<br />
La figuras 10.30 ilustra el refuerzo <strong>en</strong> una franja media <strong>en</strong> dirección X y la figura 10.31<br />
para una franja <strong>en</strong> dirección Y.<br />
Panel 1 Panel 2 Panel 3 Panel 4<br />
# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.10 # 4 @ 0.10 # 4 @ 0.10 # 4 @ 0.30<br />
# 4 @ 0..20 # 4 @ 0..20 # 4 @ 0..20 # 4 @ 0..15<br />
Figura 10.30 Colocación <strong>de</strong>l refuerzo <strong>en</strong> dirección X. Franja típica c<strong>en</strong>tral<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
205
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Panel 2 Panel 6 Panel 9 Panel 11<br />
# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.25 # 4 @ 0.20 # 4 @ 0.20 # 4 @ 0..30<br />
# 4 @ 0..30 # 4 @ 0.30 # 4 @ 0.30 # 4 @ 0.30<br />
Figura 10.31 Colocación <strong>de</strong>l refuerzo <strong>en</strong> dirección Y. Franja típica c<strong>en</strong>tral<br />
f) Revisión <strong>de</strong> la cortante <strong>en</strong> la <strong>los</strong>a<br />
La cortante que le transmite la <strong>los</strong>a a las vigas es numéricam<strong>en</strong>te igual a las cargas<br />
verticales sobre las vigas reducidas <strong>en</strong> una cantidad equival<strong>en</strong>te al valor <strong>de</strong> “ Vud “. La<br />
resist<strong>en</strong>cia a cortante <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a es:<br />
φ<br />
. Vc =<br />
0.<br />
75<br />
× 0.<br />
17×<br />
3<br />
21×<br />
1000×<br />
125 = 73×<br />
10 N / mm = 73.<br />
kN / m<br />
Si la cortante externa “ Vud “ es m<strong>en</strong>or que “ ΦVc / 2 = 37 kN / m “ se concluye que la<br />
<strong>los</strong>a no requiere refuerzo transversal.<br />
La carga total por panel es: 18 kN / m 2 x 6.2 x 7.7 = 859 kN ( 41% muerta, 59% viva)<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 1, 2, 3 y 4 ( dirección X )<br />
De la tabla 10.4 para una relación la / lb = 0.80 se obti<strong>en</strong>e:<br />
Panel 1 : Caso 4 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m<br />
Panel 2 y 3 : Caso 9 => Ca = 0.83 Vu = 0.83 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 46 kN / m<br />
Panel 4 : Caso 6 => Ca = 0.86 Vu = 0.86 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 48 kN / m<br />
La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ <strong>de</strong> la cara <strong>de</strong>l apoyo es:<br />
Panel 1 : Vud = 38 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
Paneles 2 y 3: Vud = 44 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
Panel 4 : Vud = 46 kN / m > 37 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
206
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
40 kN/m<br />
Panel 1<br />
6.2 6.2 6.2 6.2<br />
40 kN/m<br />
46 kN/m<br />
Panel 2 Panel 3 Panel 4<br />
46 kN/m<br />
46 kN/m<br />
Figura 10.32 Cortante <strong>en</strong> <strong>los</strong> paneles 1, 2, 3 y 4 ( dirección X )<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 5, 6 y 7 ( dirección X ): la / lb = 0.80<br />
Paneles 5 y 7: Caso 8 => Ca = 0.55 Vu = 0.55 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 31 kN / m<br />
Panel 6: Caso 2 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m<br />
La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ <strong>de</strong> la cara <strong>de</strong>l apoyo es:<br />
Paneles 5 y 7 => Vud = 30 kN / m => No se requiere refuerzo transversal<br />
Panel 6 => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 8, 9 y 10 ( dirección X ): la / lb = 0.80<br />
46 kN/m<br />
Panel 8: Caso 4 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m<br />
Panel 9: Caso 2 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m<br />
Panel 10: Caso 8 => Ca = 0.55 Vu = 0.55 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 31 kN / m<br />
La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ <strong>de</strong> la cara <strong>de</strong>l apoyo es:<br />
Panel 8: => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
Panel 9: => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
Panel 10: => Vud = 30 kN / m => No se requiere refuerzo transversal<br />
48 kN/m<br />
48 kN/m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
207
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 11 y 12 ( dirección X ): la / lb = 0.80<br />
Paneles 11 y 12: Caso 4 => Ca = 0.71 Vu = 0.71 x 859 / ( 2 x 7.7 ) = 40 kN / m<br />
La cortante a una distancia “ d = 125 mm “ <strong>de</strong> la cara <strong>de</strong>l apoyo es:<br />
Paneles 11 y 12: => Vud = 38 kN / m => Se requiere refuerzo transversal<br />
Nota: Por lo g<strong>en</strong>eral las <strong>los</strong>as no llevan refuerzo transversal ya que <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el<br />
dim<strong>en</strong>sionami<strong>en</strong>to preliminar se asegura que su espesor sea el a<strong>de</strong>cuado para resistir la<br />
mayor cortante <strong>en</strong> la <strong>los</strong>a. En casos excepcionales el refuerzo por cortante se coloca <strong>en</strong><br />
forma similar a las vigas es <strong>de</strong>cir <strong>en</strong> forma <strong>de</strong> estribos <strong>de</strong> una o varias ramas. En este<br />
caso como la cortante que aporta el hormigón es <strong>de</strong> 73 kN / m se requiere colocar un<br />
refuerzo mínimo a cortante:<br />
Si se utilizan barras @ 65 mm con fy = 420 MPa el área mínima <strong>de</strong> refuerzo es:<br />
1000×<br />
65<br />
= 0. 35×<br />
= 54.<br />
mm<br />
420<br />
2<br />
Av , min<br />
⇔ Usar # 2 (31 mm 2 ) @ 65 mm según figura 10.33<br />
Figura 10.33 Refuerzo a cortante <strong>en</strong> dirección X <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a <strong>de</strong>l ejemplo 10.2<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 1, 5 y 8 <strong>en</strong> dirección Y<br />
Panel 1 y 8 : Caso 4 => Cb = 0.29 Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m<br />
Panel 5 : Caso 8 => Cb = 0.45 Vu = 0.45 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 31 kN / m<br />
Todos < 37 kN / m => No se requiere refuerzo por cortante<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 2, 6, 9 y 11 <strong>en</strong> dirección Y<br />
Panel 2: Caso 9 => Cb = 0.17 Vu = 0.17 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 12 kN / m<br />
Panel 6 y 9 : Caso 2 => Cb = 0.29 Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m<br />
Panel 11: Caso 4 => Cb = 0.29 Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m<br />
=> No se requiere refuerzo por cortante<br />
1.0 m<br />
# 2 @ 65 mm<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
208
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Cortante <strong>en</strong> paneles 3, 7, 10 y 12 <strong>en</strong> dirección Y<br />
Panel 3: Caso 9 => Cb = 0.17 Vu = 0.17 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 12 kN / m<br />
Panel 7 y 10 : Caso 8 => Cb = 0.45 Vu = 0.45 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 31 kN / m<br />
Panel 12: Caso 4 => Cb = 0.29 Vu = 0.29 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 20 kN / m<br />
=> No se requiere refuerzo por cortante<br />
Cortante <strong>en</strong> panel 4, dirección Y<br />
Panel 4: Caso 6=> Cb = 0.14 Vu = 0.14 x 859 / ( 2 x 6.2 ) = 10 kN / m<br />
En resum<strong>en</strong> para la dirección Y no se requiere refuerzo por cortante.<br />
g ) Determinación <strong>de</strong> las cargas ultimas vivas y muertas sobre las vigas<br />
Una vez se conoc<strong>en</strong> las cortantes <strong>en</strong> cada panel se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> también las reacciones para<br />
cada dirección que precisam<strong>en</strong>te son las cargas sobre las vigas. Del total el 41% es<br />
carga muerta y el 59% carga viva. Para diseñar las vigas se <strong>de</strong>be sumar el peso propio.<br />
Vigas <strong>en</strong> dirección Y ( recib<strong>en</strong> las franjas <strong>en</strong> dirección X <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a)<br />
Viga A: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m<br />
Tramo 2-3: qm= 0.41 x 31 = 13 kN/m qv =0.59 x 31 = 18 kN/m<br />
Tramo 3-4: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m<br />
Viga B: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 86 = 35 kN/m qv =0.59 x 86 = 51 kN/m<br />
Tramo 2-3: qm= 0.41 x 71 = 29 kN/m qv =0.59 x 71 = 42 kN/m<br />
Tramo 3-4: qm= 0.41 x 80 = 33 kN/m qv =0.59 x 80 = 47 kN/m<br />
Tramo 4-5: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m<br />
Viga C: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 92 = 38 kN/m qv =0.59 x 92 = 54 kN/m<br />
Tramo 2-3: qm= 0.41 x 71 = 29 kN/m qv =0.59 x 71 = 42 kN/m<br />
Tramo 3-4: qm= 0.41 x 71 = 29 kN/m qv =0.59 x 71 = 42 kN/m<br />
Tramo 4-5: qm= 0.41 x 80 = 33 kN/m qv =0.59 x 80 = 47 kN/m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
209
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Viga D: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 94 = 39 kN/m qv =0.59 x 94 = 55 kN/m<br />
Tramo 2-3: qm= 0.41 x 31 = 13 kN/m qv =0.59 x 31 = 18 kN/m<br />
Tramo 3-4: qm= 0.41 x 31 = 13 kN/m qv =0.59 x 31 = 18 kN/m<br />
Tramo 4-5: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m<br />
Viga E: Tramo 1-2: qm= 0.41 x 48 = 20 kN/m qv =0.59 x 48 = 28 kN/m<br />
Vigas <strong>en</strong> dirección X ( recib<strong>en</strong> las franjas <strong>en</strong> dirección Y <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a)<br />
Viga 1: Tramo AB: qm= 0.41 x 20 = 8 kN/m qv =0.59 x 20 = 12 kN/m<br />
Tramo BC: qm= 0.41 x 12 = 5 kN/m qv =0.59 x 12 = 7 kN/m<br />
Tramo CD: qm= 0.41 x 12 = 5 kN/m qv =0.59 x 12 = 7 kN/m<br />
Tramo DE: qm= 0.41 x 10 = 4 kN/m qv =0.59 x 10 = 6 kN/m<br />
Viga 2: Tramo AB: qm= 0.41 x 51 = 21 kN/m qv =0.59 x 51 = 30 kN/m<br />
Tramo BC: qm= 0.41 x 32 = 13 kN/m qv =0.59 x 32 = 19 kN/m<br />
Tramo CD: qm= 0.41 x 33 = 14 kN/m qv =0.59 x 33 = 20 kN/m<br />
Viga 3: Tramo AB: qm= 0.41 x 51 = 21 kN/m qv =0.59 x 51 = 30 kN/m<br />
Tramo BC: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m<br />
Tramo CD: qm= 0.41 x 62 = 25 kN/m qv =0.59 x 62 = 37 kN/m<br />
Viga 4: Tramo AB: qm= 0.41 x 20 = 8 kN/m qv =0.59 x 20 = 12 kN/m<br />
Tramo BC: qm= 0.41 x 40 = 16 kN/m qv =0.59 x 40 = 24 kN/m<br />
Tramo CD: qm= 0.41 x 51 = 21 kN/m qv =0.59 x 51 = 30 kN/m<br />
Viga 5: Tramo BC: qm= 0.41 x 20 = 8 kN/m qv =0.59 x 20 = 12 kN/m<br />
Tramo CD: qm= 0.41 x 20 = 8 kN/m qv =0.59 x 20 = 12 kN/m<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
210
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
10.2.4 Control <strong>de</strong> las <strong>de</strong>flexiones<br />
Por las características <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> particulares para este tipo <strong>de</strong> <strong>los</strong>as es frecu<strong>en</strong>te obt<strong>en</strong>er<br />
pequeños espesores que reflejan gran<strong>de</strong>s <strong>de</strong>flexiones a no ser que se impongan algunas<br />
restricciones respecto a la relación luz – espesor. En la edición <strong>de</strong>l código ACI 318-63,<br />
don<strong>de</strong> por primera vez se pres<strong>en</strong>ta el <strong>método</strong>, se indicaba que <strong>de</strong> acuerdo al<br />
comportami<strong>en</strong>to observado <strong>en</strong> la practica y <strong>los</strong> <strong>en</strong>sayos realizados el espesor mínimo <strong>de</strong><br />
<strong>los</strong>a <strong>de</strong>be ser el mayor <strong>de</strong>: a ) 100 mm o b) el perímetro <strong>de</strong>l panel dividido por 180. Sin<br />
embargo <strong>en</strong> este <strong>método</strong> quedan algunas variables por solucionar como por ejemplo el<br />
efecto <strong>de</strong> la rigi<strong>de</strong>z <strong>de</strong> las vigas perimetrales <strong>en</strong> el comportami<strong>en</strong>to <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a y la<br />
posibilidad <strong>de</strong> disponer <strong>de</strong> un sistema <strong>de</strong> piso sin vigas <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Este ultimo aspecto lo<br />
soluciona el ACI proponi<strong>en</strong>do dos procedimi<strong>en</strong>tos g<strong>en</strong>erales <strong>de</strong> calculo que aparec<strong>en</strong><br />
por primera vez <strong>en</strong> la versión <strong>de</strong>l código ACI-318-71: a) el <strong>método</strong> directo y b) el<br />
<strong>método</strong> <strong>de</strong>l pórtico equival<strong>en</strong>te, ambos permit<strong>en</strong> resolver cualquier sistema <strong>de</strong> piso que<br />
trabaje <strong>en</strong> dos direcciones.<br />
Alternativam<strong>en</strong>te la <strong>de</strong>flexión máxima <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong> un panel <strong>en</strong> dos direcciones<br />
pue<strong>de</strong> estimarse por las ecuaciones geométricas y luego compararse con <strong>los</strong> valores<br />
admisibles <strong>de</strong>finidos <strong>en</strong> las especificaciones <strong>de</strong> diseño. La tabla 10.5 resume esta<br />
recom<strong>en</strong>daciones para <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones y vigas.<br />
Tabla 10.5 Deflexiones máximas admisibles <strong>en</strong> <strong>los</strong>as <strong>en</strong> dos direcciones y vigas<br />
Tipo <strong>de</strong> elem<strong>en</strong>to Deflexión consi<strong>de</strong>rada Deflexión limite<br />
<strong>Losas</strong> <strong>de</strong> cubierta cuya <strong>de</strong>flexión<br />
no afecta a divisiones o<br />
conexiones interiores.<br />
<strong>Losas</strong> <strong>de</strong> piso cuya <strong>de</strong>flexión no<br />
afecta a divisiones y conexiones<br />
interiores.<br />
<strong>Losas</strong> <strong>de</strong> piso y <strong>de</strong> cubierta cuya<br />
<strong>de</strong>flexión si afecta otros<br />
elem<strong>en</strong>tos interiores<br />
<strong>Losas</strong> <strong>de</strong> piso y <strong>de</strong> cubierta cuya<br />
<strong>de</strong>flexión no afecte a otros<br />
elem<strong>en</strong>tos interiores.<br />
Instantánea <strong>de</strong>bida a la carga<br />
viva<br />
Instantánea <strong>de</strong>bida a la carga viva<br />
Deflexión obt<strong>en</strong>ida <strong>de</strong>spués <strong>de</strong><br />
colocar <strong>los</strong> elem<strong>en</strong>to no<br />
estructurales. Es la suma <strong>de</strong> la<br />
<strong>de</strong>flexión diferida por carga<br />
sost<strong>en</strong>ida mas la <strong>de</strong>flexión<br />
inmediata por carga viva<br />
Luz / 180<br />
Luz / 360<br />
Luz / 480<br />
Luz / 240<br />
El calculo <strong>de</strong> la <strong>de</strong>flexión <strong>de</strong> una <strong>los</strong>a es complejo por la influ<strong>en</strong>cia <strong>de</strong> gran numero <strong>de</strong><br />
variables, por ejemplo: la variación rotacional <strong>de</strong> las restricciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>, la influ<strong>en</strong>cia<br />
<strong>de</strong> la disposición <strong>de</strong> cargas alternadas, la variación <strong>en</strong> la relación dim<strong>en</strong>sional <strong>de</strong> <strong>los</strong><br />
lados y <strong>los</strong> efectos <strong>de</strong> la fisuración, la retracción y la flu<strong>en</strong>cia <strong>de</strong>l hormigón. Sin<br />
embargo es posible <strong>de</strong>terminar unos valores apropiados <strong>de</strong> la <strong>de</strong>flexión con base <strong>en</strong> <strong>los</strong><br />
coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to dados <strong>en</strong> las tablas 10.1 a 10.3.<br />
La <strong>de</strong>flexión total <strong>de</strong> una <strong>los</strong>a esta compuesta <strong>de</strong> una parte inmediata <strong>de</strong>bida a la carga<br />
viva mas una diferida <strong>de</strong>bida a la carga sost<strong>en</strong>ida. La tabla 10.5 da <strong>los</strong> valores limites<br />
aceptables para cualquier caso <strong>en</strong> consi<strong>de</strong>ración <strong>en</strong> función <strong>de</strong> la luz ( las<br />
especificaciones ACI no son claras al indicar cual luz usar si la corta o la larga, pero es<br />
razonable basar <strong>los</strong> cálcu<strong>los</strong> <strong>en</strong> la luz corta ya que indica una m<strong>en</strong>or <strong>de</strong>flexión).<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
211
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Es importante recordar que <strong>en</strong> la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> <strong>los</strong> mom<strong>en</strong>tos utilizando el <strong>método</strong><br />
<strong>de</strong> <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes se obti<strong>en</strong><strong>en</strong> siempre <strong>los</strong> máximos positivos y negativos para cada<br />
condición <strong>de</strong> bor<strong>de</strong>. Igualm<strong>en</strong>te se estimaron con base <strong>en</strong> una condición <strong>de</strong> carga viva<br />
alterna para mom<strong>en</strong>to positivo y continua para mom<strong>en</strong>to negativo. Estas probables<br />
condiciones <strong>de</strong> carga son incorrectas para estimar las <strong>de</strong>flexiones ya que es<br />
prácticam<strong>en</strong>te imposible que se pres<strong>en</strong>t<strong>en</strong> simultáneam<strong>en</strong>te dos condiciones máximas <strong>de</strong><br />
carga <strong>en</strong> un <strong>de</strong>terminado mom<strong>en</strong>to.<br />
La <strong>de</strong>flexión máxima por carga viva se obti<strong>en</strong>e cuando esta actúa sobre el panel<br />
indicado, con sus paneles vecinos <strong>de</strong>scargados. Esta disposición es la conocida como “<br />
tablero <strong>de</strong> ajedrez “. La <strong>de</strong>flexión por carga viva se <strong>de</strong>be estimar a partir <strong>de</strong>l máximo<br />
mom<strong>en</strong>to positivo hallado según las tablas y con <strong>los</strong> correspondi<strong>en</strong>tes mom<strong>en</strong>tos<br />
negativos para las condiciones <strong>de</strong> bor<strong>de</strong> indicadas.<br />
La figura 10.34 ilustra lo indicado anteriorm<strong>en</strong>te: <strong>en</strong> esta <strong>los</strong>a se consi<strong>de</strong>ra la franja<br />
media por unidad <strong>de</strong> ancho <strong>en</strong> la dirección larga <strong>de</strong>l panel. La variación <strong>de</strong>l mom<strong>en</strong>to<br />
para una carga uniformem<strong>en</strong>te distribuida es parabólica y la suma <strong>de</strong>l mom<strong>en</strong>to positivo<br />
y el promedio <strong>de</strong>l mom<strong>en</strong>to negativo <strong>de</strong>be dar según la estática: “ Mest. = qb.lb 2 / 8 “.<br />
lb<br />
Franja media<br />
<strong>en</strong> luz larga<br />
la<br />
Línea <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to cero<br />
para apoyos articulados<br />
Figura 10.34 Variación <strong>de</strong>l mom<strong>en</strong>to positivo <strong>de</strong> acuerdo a <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
∆l<br />
Línea <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to cero para<br />
apoyos 50% empotrados<br />
Línea <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to cero<br />
para apoyos empotrados<br />
1/3 Mest.<br />
2/3 Mest<br />
Mb = Cb.q.lb 2<br />
Mom<strong>en</strong>to<br />
estatico total :<br />
Mest.<br />
1/3 Mest<br />
212
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
Don<strong>de</strong> “ qb “ es la fracción <strong>de</strong> la carga <strong>en</strong> dirección larga. Si se pres<strong>en</strong>tara<br />
empotrami<strong>en</strong>to total <strong>en</strong> <strong>los</strong> apoyos el mom<strong>en</strong>to negativo seria:<br />
El mom<strong>en</strong>to positivo seria:<br />
1 2 1 ⎛ 2 2 ⎞ 2<br />
M neg.<br />
= qb.<br />
lb<br />
= ⎜ . qb.<br />
lb<br />
⎟ = . M<br />
12 8 ⎝ 3 ⎠ 3<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
est.<br />
2 1 1 ⎛ 1 2 ⎞<br />
M pos.<br />
= M est.<br />
− . M est.<br />
= . M est.<br />
= . ⎜ . qb.<br />
lb<br />
⎟ =<br />
3 3 3 ⎝ 8 ⎠<br />
1<br />
. qb.<br />
l<br />
24<br />
Como previam<strong>en</strong>te se ha indicado al usar las tablas 10.1 a 10.3 <strong>los</strong> coefici<strong>en</strong>tes <strong>de</strong><br />
máximo mom<strong>en</strong>to positivo por carga viva se han obt<strong>en</strong>ido para un 50% <strong>de</strong><br />
empotrami<strong>en</strong>to y no un 100%. Según lo anterior la línea <strong>de</strong> cero mom<strong>en</strong>to asociada con<br />
el máximo mom<strong>en</strong>to positivo “ Mb “ es como se indica <strong>en</strong> la figura 10.34 <strong>en</strong> línea<br />
punteada resaltada.<br />
Los cálcu<strong>los</strong> <strong>de</strong> la <strong>de</strong>flexión se basan <strong>en</strong> el diagrama parabólico <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos <strong>de</strong> la<br />
figura 10.34 con un valor <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>to máximo <strong>en</strong> la mitad <strong>de</strong> la luz igual a “ Mb “ y <strong>los</strong><br />
mom<strong>en</strong>tos negativos <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s iguales a la mitad <strong>de</strong> este valor. La <strong>de</strong>flexión por<br />
carga viva <strong>en</strong> la mitad <strong>de</strong> la luz “ ∆L “ <strong>de</strong> la franja media <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a indicada <strong>en</strong> la figura<br />
10.34 se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar fácilm<strong>en</strong>te usando el diagrama <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos ilustrado. Si la<br />
<strong>los</strong>a ti<strong>en</strong>e ambos bor<strong>de</strong>s continuos =><br />
2<br />
3 M b.<br />
lb<br />
∆ L =<br />
( 10.6 )<br />
32 E . I<br />
c<br />
eff<br />
Para <strong>de</strong>mostrar la ecuación anterior se parte <strong>de</strong> que la <strong>de</strong>flexión máxima <strong>de</strong> una viga<br />
doblem<strong>en</strong>te empotrada y sometida a una carga uniformem<strong>en</strong>te distribuida es:<br />
∆ max =<br />
A<strong>de</strong>más el mom<strong>en</strong>to <strong>en</strong> la franja media es:<br />
qb. lb<br />
384.<br />
E.<br />
I<br />
4<br />
36.<br />
M<br />
Despejando el valor <strong>de</strong> la carga: q b = 2<br />
l<br />
Reemplazando “ qb “ <strong>en</strong> “∆max” se obti<strong>en</strong>e:<br />
2<br />
b<br />
2 2 ⎛ 1 ⎞ qb.<br />
l<br />
M b = M est = ⎜ qb.<br />
lb<br />
⎟ =<br />
3 3 ⎝ 24 ⎠ 36<br />
b<br />
b<br />
max<br />
36.<br />
=<br />
l<br />
2<br />
2 b<br />
M b<br />
b<br />
2<br />
b<br />
4<br />
2<br />
lb<br />
3.<br />
M b.<br />
l<br />
. =<br />
384.<br />
E.<br />
I 32.<br />
E.<br />
I<br />
Este ultimo valor concuerda perfectam<strong>en</strong>te con la ecuación 10.6. El valor <strong>de</strong> “ Mb “ es el<br />
mom<strong>en</strong>to positivo por carga viva usando el coefici<strong>en</strong>te <strong>de</strong> la tabla correspondi<strong>en</strong>te. “ Ec<br />
∆<br />
213
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
“ es el modulo elástico <strong>de</strong>l hormigón y “ Ieff “ es el mom<strong>en</strong>to efectivo <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong> la<br />
sección <strong>de</strong> hormigón utilizando un ancho <strong>de</strong> franja unitario.<br />
La ecuación 10.6 se ha <strong>de</strong>rivado para un panel interior típico <strong>de</strong> una <strong>los</strong>a, con mom<strong>en</strong>tos<br />
<strong>de</strong> empotrami<strong>en</strong>to iguales <strong>en</strong> <strong>los</strong> extremos. En g<strong>en</strong>eral se pued<strong>en</strong> <strong>de</strong>rivar <strong>de</strong> la misma<br />
forma otros casos para <strong>de</strong>terminar la <strong>de</strong>flexión cuando uno o <strong>los</strong> dos extremos sean<br />
discontinuos. Sin embargo reconoci<strong>en</strong>do que el análisis por el <strong>método</strong> <strong>de</strong> <strong>los</strong><br />
coefici<strong>en</strong>tes utiliza <strong>en</strong> <strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s discontinuos un mom<strong>en</strong>to igual a un tercio <strong>de</strong>l<br />
mom<strong>en</strong>to positivo es evid<strong>en</strong>te que el resultado <strong>de</strong> las ecuaciones <strong>de</strong>ducidas difiere muy<br />
poco <strong>de</strong>l obt<strong>en</strong>ido con la ecuación 10.6 y por tanto esta se pue<strong>de</strong> usar, con muy poco<br />
error, <strong>en</strong> paneles con uno o ambos extremos discontinuos siempre y cuando la <strong>los</strong>a<br />
trabaje monolíticam<strong>en</strong>te con las vigas perimetrales.<br />
En <strong>los</strong> casos <strong>en</strong> que la <strong>los</strong>a se apoye directam<strong>en</strong>te sobre muros se concluye que no hay<br />
restricción al giro por lo que la <strong>de</strong>flexión por carga viva es:<br />
2<br />
5 M b.<br />
lb<br />
∆ L =<br />
( 10.7 )<br />
48 E . I<br />
c<br />
eff<br />
La <strong>de</strong>flexión por carga muerta pue<strong>de</strong> obt<strong>en</strong>erse a partir <strong>de</strong>l diagrama <strong>de</strong> mom<strong>en</strong>tos,<br />
usando el máximo mom<strong>en</strong>to positivo por carga muerta obt<strong>en</strong>ido <strong>de</strong> las tablas<br />
correspondi<strong>en</strong>tes y consi<strong>de</strong>rando todos <strong>los</strong> paneles cargados. Se <strong>de</strong>be recordar que para<br />
<strong>los</strong> bor<strong>de</strong>s continuos no se utilizo el empotrami<strong>en</strong>to total <strong>en</strong> la <strong>de</strong>terminación <strong>de</strong> <strong>los</strong><br />
coefici<strong>en</strong>tes por lo que para <strong>de</strong>terminar la <strong>de</strong>flexión por carga muerta se <strong>de</strong>be<br />
consi<strong>de</strong>rar este aspecto =><br />
2<br />
1 M b.<br />
lb<br />
∆ D =<br />
( 10.8 )<br />
16 E . I<br />
c<br />
eff<br />
En este caso “ Mb “ es el máximo mom<strong>en</strong>to positivo por carga muerta. En <strong>los</strong> casos <strong>en</strong><br />
don<strong>de</strong> la <strong>los</strong>a este apoyada sobre muros y pueda rotar librem<strong>en</strong>te se ti<strong>en</strong>e:<br />
2<br />
5 M b.<br />
lb<br />
∆ D =<br />
( 10.9 )<br />
48 E . I<br />
c<br />
eff<br />
Ya que las <strong>de</strong>flexiones indicadas anteriorm<strong>en</strong>te se han obt<strong>en</strong>ido <strong>en</strong> la franja unitaria <strong>de</strong><br />
la <strong>los</strong>a <strong>en</strong> dirección larga es claro que si se realizan <strong>los</strong> cálcu<strong>los</strong> <strong>en</strong> dirección corta se<br />
<strong>de</strong>b<strong>en</strong> obt<strong>en</strong>er <strong>los</strong> mismos resultados ya que la <strong>de</strong>flexión <strong>en</strong> el c<strong>en</strong>tro <strong>de</strong>l panel <strong>de</strong>be ser<br />
la misma <strong>en</strong> ambas direcciones. Si se pres<strong>en</strong>tan algunas difer<strong>en</strong>cias, estas se <strong>de</strong>b<strong>en</strong> a las<br />
aproximaciones <strong>de</strong> <strong>los</strong> cálcu<strong>los</strong>. En algunos casos se pued<strong>en</strong> <strong>de</strong>terminar las <strong>de</strong>flexiones<br />
para cada dirección y luego promediar el resultado para obt<strong>en</strong>er la <strong>de</strong>l panel.<br />
El ACI recomi<strong>en</strong>da ( igual el NSR-98 ) que el mom<strong>en</strong>to efectivo <strong>de</strong> inercia se <strong>de</strong>termine<br />
usando la expresión 10.10 <strong>en</strong> don<strong>de</strong> “ Mcr “ es el mom<strong>en</strong>to <strong>de</strong> fisuración <strong>de</strong>l hormigón.<br />
<strong>de</strong> esta forma se consi<strong>de</strong>ra el efecto <strong>de</strong> la fisuración <strong>de</strong>l hormigón <strong>en</strong> la reducción <strong>de</strong> la<br />
rigi<strong>de</strong>z. En <strong>los</strong>as apoyadas <strong>en</strong> sus bor<strong>de</strong>s la fisuración bajo cargas <strong>de</strong> servicio es por lo<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
214
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
g<strong>en</strong>eral reducida y con muy poco error se pued<strong>en</strong> realizar <strong>los</strong> cálcu<strong>los</strong> usando la sección<br />
bruta “ Ig “ para la franja unitaria.<br />
⎛ M<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎡<br />
⎢<br />
⎣<br />
⎛ M<br />
⎜<br />
⎝<br />
3<br />
⎞ ⎤<br />
⎟ ⎥<br />
⎠ ⎦<br />
cr<br />
cr<br />
Ieff =<br />
⎜<br />
Ig<br />
Icr<br />
M ⎟<br />
. + 1−<br />
⎜<br />
≤<br />
a ⎢ M ⎟<br />
.<br />
a ⎥<br />
I<br />
g<br />
( 10.10 )<br />
Las <strong>de</strong>flexiones <strong>de</strong> la <strong>los</strong>a <strong>de</strong>terminadas con el procedimi<strong>en</strong>to indicado son las elásticas<br />
iniciales producidas por la aplicación <strong>de</strong> las cargas. En el caso <strong>de</strong> cargas sost<strong>en</strong>idas se<br />
recomi<strong>en</strong>da que la <strong>de</strong>flexión diferida se obt<strong>en</strong>ga <strong>de</strong> multiplicar la <strong>de</strong>flexión inmediata<br />
por el factor <strong>de</strong> la ecuación 10.11.<br />
T<br />
λ =<br />
´<br />
1+ 50ρ<br />
( 10.11 )<br />
En don<strong>de</strong> “ λ “ es el factor que multiplica a la <strong>de</strong>flexión inmediata para hallar la<br />
<strong>de</strong>flexión a largo plazo. “ T “ es el coefici<strong>en</strong>te <strong>de</strong> tiempo que <strong>de</strong>p<strong>en</strong><strong>de</strong> <strong>de</strong> la duración <strong>de</strong><br />
la carga ( <strong>en</strong>tre 1.0 y 2.0 ). “ ρ´ ” es la cuantía <strong>de</strong>l refuerzo a compresión.<br />
La experi<strong>en</strong>cia indica que un valor <strong>de</strong> T = 2.0 subestima el valor <strong>de</strong> las <strong>de</strong>flexiones para<br />
el caso <strong>de</strong> <strong>los</strong>as por lo <strong>en</strong> estos casos se sugiere “ T = 3.0 “ .<br />
Ejemplo 10.3 Consi<strong>de</strong>rando el panel # 1 <strong>de</strong>l ejemplo 10.2 y suponi<strong>en</strong>do que sobre la<br />
<strong>los</strong>a se colocan elem<strong>en</strong>tos <strong>de</strong>corativos y arquitectónicos que no soportan gran<strong>de</strong>s<br />
<strong>de</strong>flexiones <strong>de</strong>terminar . a) la <strong>de</strong>flexión por carga muerta b) la <strong>de</strong>flexión por carga viva<br />
y c) la <strong>de</strong>flexión diferida. Asumir a<strong>de</strong>más que estos elem<strong>en</strong>tos se van a colocar tres<br />
meses <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> construida la <strong>los</strong>a y el periodo <strong>de</strong> carga sost<strong>en</strong>ida es <strong>de</strong> 5 años.<br />
Solución: Se <strong>de</strong>b<strong>en</strong> trabajar <strong>los</strong> cálcu<strong>los</strong> con las cargas <strong>en</strong> servicio =><br />
Deflexión inmediata por carga muerta: se utiliza la ecuación 10.8<br />
E c<br />
Para franjas <strong>de</strong> b = 1.0 m <br />
= 4790 × 21 = 21950.<br />
MPa<br />
I g<br />
3<br />
1000×<br />
150<br />
6<br />
=<br />
= 281×<br />
10 mm<br />
12<br />
7.<br />
0<br />
Mom<strong>en</strong>to ( + ) <strong>en</strong> servicio ( carga muerta ) dirección larga: M b = = 5.<br />
8 kN.<br />
m / m<br />
1.<br />
2<br />
∆<br />
D<br />
=<br />
1<br />
16<br />
6<br />
2<br />
5.<br />
8×<br />
10 × 7700<br />
×<br />
= 3.<br />
48.<br />
mm<br />
6<br />
21950×<br />
281×<br />
10<br />
11<br />
Mom<strong>en</strong>to ( + ) <strong>en</strong> servicio ( carga muerta ) dirección corta: M a =<br />
= 9.<br />
2 kN.<br />
m / m<br />
1.<br />
2<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
4<br />
215
DISEÑO DE LOSAS 2D ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2<br />
_________________________________________________________________________________________________________<br />
∆<br />
D<br />
=<br />
1<br />
16<br />
6<br />
2<br />
9.<br />
2×<br />
10 × 6200<br />
×<br />
= 3.<br />
58&<br />
mm<br />
6<br />
21950×<br />
281×<br />
10<br />
( )<br />
3.<br />
48 + 3.<br />
58<br />
La <strong>de</strong>flexión inmediata por carga muerta es: ∆ D =<br />
= 3.<br />
53 mm<br />
2<br />
Deflexión diferida por carga sost<strong>en</strong>ida: Se asume que solo la carga muerta<br />
permanece aplicada continuam<strong>en</strong>te <strong>en</strong> <strong>los</strong> 5 años. A<strong>de</strong>más como parte <strong>de</strong> la<br />
carga muerta se aplica a <strong>los</strong> tres meses cuando ya se ti<strong>en</strong>e aproximadam<strong>en</strong>te un<br />
50% <strong>de</strong> la <strong>de</strong>flexión diferida el coefici<strong>en</strong>te λ se <strong>de</strong>be dividir por 2 => λ = T = 3.0<br />
∆<br />
LP<br />
= ∆<br />
D<br />
λ 3.<br />
0<br />
⋅ = 3.<br />
53×<br />
= 5.<br />
30 mm<br />
2 2<br />
Deflexión por carga viva: se <strong>de</strong>termina con la ecuación 10.6 =><br />
13<br />
Mom<strong>en</strong>to ( + ) <strong>en</strong> servicio ( carga viva ) dirección larga: M b = = 10.<br />
8 kN.<br />
m / m<br />
1.<br />
2<br />
∆<br />
L<br />
6<br />
3 10.<br />
8×<br />
10 × 7700<br />
= ×<br />
32 21950×<br />
281×<br />
10<br />
9.<br />
73<br />
20<br />
Mom<strong>en</strong>to ( + ) <strong>en</strong> servicio ( carga viva ) dirección corta: M a = = 17.<br />
0 kN.<br />
m / m<br />
1.<br />
2<br />
∆<br />
L<br />
6 2<br />
3 17 × 10 × 6200<br />
= ×<br />
32 21950×<br />
281×<br />
10<br />
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003<br />
2<br />
6<br />
6<br />
=<br />
=<br />
9.<br />
93<br />
( )<br />
9.<br />
73 + 9.<br />
93<br />
La <strong>de</strong>flexión inmediata por carga viva es: ∆ L =<br />
= 9.<br />
83 mm<br />
2<br />
La <strong>de</strong>flexión total a <strong>los</strong> 5 años es: 5.30 + 9.83 = 15.13 mm<br />
6200<br />
La <strong>de</strong>flexión admisible para este panel es: ∆ adm = = 12.<br />
92 mm . Se concluye que<br />
480<br />
la <strong>los</strong>a no cumple la especificación exigida y se recomi<strong>en</strong>da modificar sus dim<strong>en</strong>siones<br />
o consi<strong>de</strong>rar la posibilidad <strong>de</strong> aligerar el peso <strong>de</strong> <strong>los</strong> elem<strong>en</strong>tos <strong>de</strong>corativos o<br />
arquitectónicos que actúan sobre la <strong>los</strong>a.<br />
De la misma forma se proce<strong>de</strong> con <strong>los</strong> paneles restantes <strong>en</strong> la <strong>los</strong>a <strong>de</strong>terminando las<br />
<strong>de</strong>flexiones inmediatas y diferidas y comparándolas con las admisibles <strong>de</strong> acuerdo a <strong>los</strong><br />
requisitos <strong>de</strong> uso y servicio <strong>de</strong> la edificación.<br />
mm<br />
mm<br />
216