Guía de Ejercicios Nº3

Mecánica Racional Guía de Ejercicios 3
Guía de Ejercicios Nº3
Cinemática de la Partícula
1. Una gota de lluvia de peso “P” se encuentra, durante su caída , con una fuerza resistiva
“FRes” que varía en forma directamente proporcional a la rapidez “v”.
a. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la gota en su caída y escribir la expresión
vectorial de la fuerza resistiva.
b. Explicar las condiciones que se tienen que dar para que la gota alcance su
rapidez límite en la caída.
c. Si la gota tiene una rapidez límite de 8 m/s, calcular el instante en el cual
alcanza la rapidez de 6 m/s, sabiendo que parte del reposo.
2. Un grifo gotea agua a razón de 6 gotas por segundo. El grifo esta a 20 cm del suelo.
Cuando la gota choca contra el suelo ¿A que altura del suelo esta la siguiente gota?
3. Un bote a motor se mueve a la rapidez v0, en un lago de agua muy viscosa.
Repentinamente deja de funcionar el motor con lo cual el bote adquiere una aceleración
n
negativa de valor a = k·
v , hasta detenerse completamente después de recorrer una
distancia total de “sT” de 10 m.
a. Clasificar de todas las maneras posibles el movimiento que adquiere el bote
después de que deja de funcionar el motor.
b. Encontrar la expresión de la rapidez del bote en un instante cualquiera en
función de: n, k, v0 y s. calcular los valores numéricos de k y n , indicando sus
correspondientes unidades, si además se sabe que cuando s=2 m su rapidez es
v=5 m/s.
c. Si en sistema internacional n=1.6 y k=0.7, calcular la rapidez del bote en el
instante en que lleva recorrida una distancia s=8 m desde el momento en que
dejó de funcionar el motor.
4. La Rapidez de una partícula varía con el desplazamiento s
como se muestra en la figura para un intervalo de su
movimiento. Hallar la rapidez v de la partícula en el
instante en que s=12 m si su rapidez disminuye 9 m/s cada
segundo en esa posición.
-1-
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5. Un cohete de masa total inicial se dispara verticalmente hacia arriba desde el reposo. El
combustible se consume a una tasa constante m’ tal que después de t segundos la masa
del cohete es m( t)
= m0
− m'·
t . Con un empuje constante T la aceleración hacia arriba
T
es de la forma a(
t)
= − g , donde se desprecia la resistencia de atmosférica y
m0
− m'·
t
la aceleración de gravedad se supone constante para un vuelo de poca altura. Deduzca
un expresión para la velocidad del cohete hacia arriba en función del tiempo de vuelo,
hasta quemar todo el combustible.
6. Se puede demostrar que en forma aproximada la presión de empuje sobre una bala de
un rifle varía inversamente con la distancia recorrida por la bala a lo largo del cañón. La
aceleración de la bala puede escribirse a = k x , donde k es una constante. Si la bala
parte del reposo en x = 7.6 mm y su velocidad de salida es de 600 m/s en el extremo del
cañón de 760 mm, calcular su aceleración al pasar por el punto medio del cañón.
7. ¿A que ángulo δ por delante del blanco debe el piloto
de un bombardero que vuela un picada con un ángulo
θ=45º soltar su bomba a una altura de 1800 m y a una
velocidad de 960 Km/hr, para acertar?
8. La velocidad de salida de un cañón de largo alcance ,
situado en A, es v0=360 m/s. Determinar los dos
ángulos de elevación θ que permitirán al proyectil
alcanzar el blanco B en la montaña.
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9. Un esquiador viaja a una rapidez constante de 6
m/s describiendo una trayectoria parabólica
1 2
y = x como se muestra en la figura.
20
Determine la velocidad y aceleración en el
instante en que llega a A. Ignorar la estatura del
esquiador.
10. Un destructor esta patrullando a una velocidad
de 20 m/s. Cuando este está a la altura del su
objetivo que es un silo de misiles, dispara dos
proyectiles. El objetivo esta a 12 Km del
destructor. Si la velocidad inicial del disparo es
de 400 m/s ¿Cuál es el ángulo de elevación
respecto al plano horizontal α con que se debe
disparar para dar en el blanco? ¿En que ángulo
horizontal β se debe orientar la torreta relativo a
la línea de visión en el instante del disparo para
acertar?
Ayuda: Determine la velocidad vy del proyectil
11. Un segundo destructor más pequeño, dispara
contra el mismo objetivo del problema anterior.
Los datos de este problema son los mismos,
salvo que en esta ocasión existe un fuerte viento
y corrientes marinas que induce una velocidad de
deriva de 1.7 m/s en dirección Noreste adicional
a su velocidad de 20 m/s. ¿Cuál es el ángulo de
elevación respecto al plano horizontal α con que
se debe disparar para dar en el blanco? ¿En que
ángulo horizontal β se debe orientar la torreta
relativo a la línea de visión en el instante del
disparo para acertar?
12. Se lanza un proyectil desde un acantilado, como se muestra en la figura, con una
velocidad inicial v0=20 m/s, con una inclinación de θ=30º respecto a la horizontal.
Debido a la acción del viento, que actúa en sentido contrario al desplazamiento
-3-
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6 m
horizontal del proyectil, sufre un aceleración que es proporcional a la componente
horizontal de la velocidad. Se ha podido medir que la velocidad horizontal cuando el
proyectil alcanza su máxima altura es 5.64 m/s. Determine el alcance “L” del proyectil
al caer sobre el terreno, que posee un inclinación de 85º respecto a la vertical.
V0
30º
85º
13. Un misil auto propulsado es disparado desde el punto “O”, como se muestra en la
figura, con una velocidad inicial v0 y un ángulo θ respecto a la horizontal. Cuando el
misil alcanza el punto “A” de máxima altura, se activa el sistema de propulsión, el cual
imprime una aceleración sólo en componente horizontal del movimiento dada por la
ecuación:
2
a x ( t)
= k·
t dónde k es una constante.
Calcule en función de las constantes v0, θ y k el alcance “L” del misil autopropulsado.
Obs: El punto “B” corresponde al punto donde caería el misil sin el sistema de
autopropulsión.
-4-
L
Viento
“C” “B” “O”
L
“A”
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θ
V0

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14. El disco circular de radio r está montado en un soporte en horquilla y gira con
•
velocidad constante β = p alrededor de su eje y. Simultáneamente la horquilla gira
alrededor del eje z con velocidad angular ω . Los ejes x-y-z están fijos en la horquilla.
Determine la aceleración del punto A del borde
del disco en función del ángulo β en indicar
los valores de aceleración cuando A pasa por
β = 0 º y β = 90º
.
Respuesta:
β = 0º a A = rp·(
2ω·
jˆ
− p·
kˆ
)
-5-
→
→
2
β = 90º
a A = −r
( ω + p
15. Mientras un disco gira alrededor del eje z con velocidad angular constante ω , la
corredera oscila en su ranura con un desplazamiento dado por s( t)
= s0
sen(
2πnt
) ,
donde n es la frecuencia de oscilación y t el tiempo. Los ejes x-y-z están ligados al
disco.
2
)· iˆ
Determinarla aceleración a de la
corredera cuando pasa por la posición
s ( t)
= 0 con s ( t)
> 0 .
Respuesta:
→
a A
0
•
= −4·
π·
n·
ω·
s ·cos β·
iˆ
.
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16. El disco grande de radio R de la figura rota entorno a su eje vertical con velocidad
angular ω constante en el sentido indicado. Los discos pequeños de radio r rotan en
torno a sus respectivos ejes horizontales con velocidad angular p constante, como se
muestra en la figura.
Determine la velocidad y aceleración absolutas de un punto en el borde del disco D1
utilizando:
a. Ecuaciones de movimiento relativo.
b. Coordenadas cilíndricas.
En ambos casos exprese los resultados en el sistema de coordenadas
absolutas x-y-z.
c. Evalúe los resultados para los puntos A y B en el instante que se
muestra en la figura.
Respuesta:
-6-
→
a
→
a
A
B
2
2
= bω
· iˆ
+ 2rpω·
ˆj
− rp · kˆ
2 2
= [ ( b − r ) ω − rp ]i · ˆ
17. Suponiendo que la Tierra rota solo en torno a un eje que pasa por los polos, con
velocidad angular constante ω, determine la velocidad y aceleración absolutas de un
avión que se mueve sobre un meridiano de norte a sur, con velocidad constante vo, a
una altura h sobre la superficie de la Tierra.
Avión
Resuelva usando:
a. Ecuaciones generales
para el movimiento en
coordenadas esféricas
b. Principios del
movimiento relativo
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18. El sistema de la figura consiste en un disco de radio r que gira con una velocidad
angular constante ωR en torno a su eje, el cual se mantiene horizontal en todo
instante unido rígidamente a distancia l a un segundo eje vertical Z, el que gira con
velocidad angular constante ωP. Sobre el disco se mueve una partícula P con
velocidad constante vo en dirección radial hacia el centro del disco.
Determine la velocidad y aceleración de la partícula P mediante:
a. Principios de movimiento relativo
b. Coordenadas curvilíneas
c. Demuestre que ambos resultados son idénticos.
ωP
Z
ωR
19. El motor eléctrico con el disco acoplado están montado sobre la base S, la cual gira en
torno al eje vertical Z con velocidad angular constante ω . El eje del motor forma con
la horizontal un ángulo fijo de 30º. Los ejes x-y-z están ligados al armazón del motor,
correspondiendo el eje z al eje del disco y el eje x a un eje horizontal. El disco gira con
velocidad angular p de manera que el punto P de su periferia cruza el eje y con
frecuencia p / 2π
.
Determine las expresiones vectoriales de la aceleración y la velocidad cuando P pasa
por = 60º
= 10 rad / s p = 20 rad / s .
θ , si ω [ ] y [ ]
l
r
Respuesta:
→
v p
→
-7-
p
P
vo
= −1.
90·
iˆ
−1.
56·
ˆj
− 0.
54·
kˆ
[ m / s]
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.
2 [ m s ]
a = −43.
75·
iˆ
− 63.
75·
ˆj
+ 32.
25·
kˆ
/

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20. La grúa ferroviaria se desplaza hacia la derecha a v 0 = 2 [ m / s]
y tiene una
2
aceleración de 1 . 5 [ m / s ] , en tanto que la pluma gira en torno al eje z, con una
velocidad angular 1 0.
5 [ rad / s]
= ω , la cual se incrementa a ] / [ .
2
α 1 = 3 0 rad s . En
ese instante θ = 30º
y la pluma se mueve hacia arriba con una rapidez constante
•
θ = 3 [ rad / s]
. Determine la velocidad y aceleración del extremo B de la pluma.
-8-
Respuesta :
→
v = −10.
16iˆ
− 28 jˆ
+ 51.
96kˆ
→
a = −30.
96iˆ
−159.
56 ˆj
− 90kˆ
21. La grúa de la figura gira en torno al eje z con una rapidez constante
1 0.
25 [ rad / s]
= ω , en tanto que la pluma OA gira hacia abajo con una rapidez
constante 2 0.
4 [ rad / s]
= ω . Calcule la velocidad y aceleración del punto A ubicado
en la parte superior de la pluma en el instante que se ilustra.
Respuesta:
→
v = −1.
5 3·
iˆ
+ 2.
4·
jˆ
− 2.
4 3·
kˆ
→
a = −1.
2·
iˆ
−1.
335 3·
ˆj
− 0.
96·
kˆ
22. Resuelva el problema anterior suponiendo que los movimientos angulares aumentan a
2
2
razón α = 0.
4 [ rad / s ] y α = 0.
8 [ rad / s ] en el instante que se ilustra.
1
→
2
Respuesta v = −1.
5 3·
iˆ
+ 2.
4·
jˆ
− 2.
4 3·
kˆ
→
a = −
( 1.
2 + 2.
4 3 ) · iˆ
+ ( 4.
8 −1.
335 3 ) · ˆj
− ( 0.
96 + 4.
8 3 )k · ˆ
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23. Durante el instante que se ilustra en la figura, el sistema de rayos X gira entorno al eje
vertical a ω 0.
5 [ rad / s]
y ] / [ .
2
ω z = 2 0 rad s . En relación con el sistema del
z =
•
•
brazo gira a ω Rel = 2.
0 [ rad / s]
y ω Rel
2
= 1.
0 [ rad / s ] . Determine la velocidad y
aceleración del centro de la cámara C en dicho instante.
-9-
Respuesta:
→
v = 1.
125·
iˆ
− 0.
625·
ˆj
→
a = −2.
1875·
iˆ
− 0.
9375·
jˆ
− 4.
0·
kˆ
24. En el instante que se ilustra en la figura, el brazo OA de la banda transportadora gira
en torno al eje z con una velocidad angular 1 6 [ rad / s]
= ω , en tanto que en el mismo
instante el brazo se eleva con una rapidez constante 2 4 [ rad / s]
= ω . Si la banda
•
2
transportadora se mueve con una velocidad r = 1.
5 [ m / s ] , determine la velocidad y
aceleración del paquete P en dicho instante. Desprecie el tamaño del paquete.
Respuesta:
→
v = −18
2iˆ
−11.
25 2 ˆj
+ 12.
75
→
a = 135
2iˆ
−162
2 ˆj
− 42
2kˆ
2kˆ
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