CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula - Biblioteca

Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán
→
d r d
= ( R + r')rˆ
dt dt
drˆ
Como = ωtˆ
dt
→
d r
=
dt
→
=
( R + r')
dR dr'
rˆ
+ rˆ
+ ( R + r')
ωtˆ
dt dt
d drˆ
rˆ
+ ( R + r')
dt
dt
d r →
= v es la velocidad de la partícula vista en el
dt
→
d r'
→
sistema inercial y = v'
es la velocidad de la
dt
partícula vista en el sistema no inercial.
Tal que
→ dR →
v = rˆ
+ v'+
( R + r')
ωtˆ
dt
Para encontrar la aceleración es necesario derivar
nuevamente:
→
2 2
d r d
= ( R + r')r
2 2 ˆ = d ⎡d
( R + r')
⎤
( )
dt dt
⎢ r + R + r'
ω tˆ
dt
⎥
⎣ dt
⎦
drˆ
dtˆ
Como = ωtˆ
y = −ωrˆ
dt dt
→
2 2
d r d ( R + r')
d(
R + r')
= rˆ
+ ωtˆ
2
2
dt dt dt
d(
R + r')
d
tˆ
ω
2
+ ω + ( R + r')
tˆ
− ( R + r')
ω rˆ
dt
dt
( R + r')
d(
R + r')
2
d
= rˆ
+ 2 ωtˆ
2
dt
dt
( R r ) tˆ
2
+ + ' α − ( R + r')
ω rˆ
2 ⎡d
( R + r')
2 ⎤ ⎡d
( R + r')
⎤
= ⎢ − ( R + r')
ω rˆ
2
⎥ + 2
( R r')
tˆ
⎣ dt
⎢ ω + + α
⎦ ⎣ dt
⎥
⎦
→
2
→ d r
donde a = es la aceleración de la partícula
2
dt
vista en el sistema inercial y
→
2
→ d r'
a'
= es la aceleración de la partícula vista en
2
dt
e1 sistema no inercial.
Llamando a
→ 2 ⎡d
( R + r')
2 ⎤
Ar = ⎢ − ( R + r')
ω r
2
⎥ ˆ
⎣ dt
⎦
→ ⎡d
( R + r')
⎤
y At = 2
⎢ ω + ( R + r')
α tˆ
dt
⎥
⎣
⎦
→
A r t
→ → →
Tenemos: = A rˆ
+ A tˆ
Tal que:
a = a'
+ A
38
Si la partícula tiene una masa m y aplicamos la
segunda ley de Newton en el sistema inercial
→ →
F = m a
→
donde F es la suma de todas las fuerzas de
interacción que actúan sobre la partícula.
Para relacionar con el sistema inercia!
→ → → → → →
⎛ ⎞
F = m⎜a'
+ A⎟
o m a'
= F−
m A
⎝ ⎠
Para que el observador pueda aplicar la segunda ley
de Newton debemos introducir aquí también una
→
fuerza extra A
diagramas de fuerzas
→ →
FA = −m
A
→
→
FA = FArrˆ
+ FAt
tˆ
F y debemos incluirla en los
→
2
d ( R + r')
d(
R + r')
drˆ
d(
R + r')
dω
dtˆ
rˆ
+
+ ω tˆ
+ ( R + r')
tˆ
+ ( R + r')
ω
2
dt dt dt dt
dt
dt
→
2 ⎡d
( R + r')
2 ⎤
FAr = −m⎢
− ( R + r')
ω r
2
⎥ ˆ
⎣ dt
⎦
→
y ⎡d
( R + r')
⎤
FAt = 2m
⎢ ω + ( R + r')
α tˆ
⎣ dt
⎥
⎦
De este modo, en el sistema no inercial
→
→
→
→
F' = m a'
= F+
FA
Recalquemos el carácter ficticio de F A Con el objeto
de clarificar esta idea veamos dos casos especiales:
a) El origen O’ rota con velocidad angular constante
ω a una distancia constante b, tal
R + r'
= b , R y r’ son constantes.
2
d(
R + r'
) d ( R + r')
= 0 y = 0
2
dt
dt
dω
ω = constante, α = = 0
dt
Sólo nos queda
→
2
2
( R + r')
ω r = mbω
r
FAr = m ˆ ˆ
Que es la fuerza ficticia del centro hacia afuera y se le
da el nombre de FUERZA CENTRÍFUGA, debemos
insistir que solo aparece en el marco no inercial.
b) El origen O’ rota con velocidad angular constante
ω y también se está alejando del origen fijo en O
d(
R + r')
con una velocidad constante V = .
dt
dω
Con esto, α = = 0
dt
y nos queda
→
FAr = m
2 ( R + r')
ω r
ˆ
→