CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula - Biblioteca

Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán
Aplicando la segunda ley de Newton:
z z ma ∑ F = ⇒ N − mg = 0
r r ma
2
v
∑ F = ⇒ μ N = m
R
De las ecuaciones obtenemos
2
v
N = mg y μ mg = m
R
Finalmente v = μgR
Del D.C.L. también obtenemos:
μN
tan θ = = μ
N
Esto quiere decir que si el motociclista al realizar una
curva no se reclina y el piso no es lo suficientemente
áspero (fricción), éste caerá.
Curvas peraltadas sin rozamiento
Para no tener que confiar en el roce o reducir el
desgaste de los rieles y pestañas, la carretera o la vía
pueden inclinarse, como en la figura. En este caso la
componente de la normal dirigida hacia el centro de
curvatura proporciona la fuerza necesaria para
mantener al móvil en la pista. A la inclinación de la
pista o vía se le llama ángulo de peralte, θ .
En estos casos se toma la proyección de la normal
sobre la horizontal como causante de la fuerza
centrípeta. Este caso se tiene, que:
2
v
m 2
R v
tan θ = =
mg Rg
Siendo θ , la inclinación de la carretera.
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Ejemplo 52. ¿Cuál es la velocidad a que puede ir un
automóvil por una curva con peralte, de radio R, sin
derrapar, el peralte es de θ grados?
Solución.
∑ ⊥ = 0 F
2
v
ac =
R
2
v
∑ F // = mac
cosθ
⇒ mgsen
θ = m
R
⇒ v = gR tanθ
Curvas peraltadas con rozamiento
Este es un caso bastante más complejo de analizar.
Ejemplo 53. ¿Cuál es la velocidad a la que puede ir
un automóvil por una curva con peralte, de radio R,
para que no se deslice hacia el exterior, el coeficiente
de rozamiento entre las ruedas y el suelo vale μ., el
peralte es de θ grados?
Solución.
2
v
F f = μN
, ac =
R
∑ F // = mac
cosθ
2
v
⇒ mg senθ
+ μN
= m cosθ
R
∑ F ⊥ = 0 ⇒ θ senθ
cos
2
v
N − mg = m
R
2
v
⇒ N = mg cosθ
+ m senθ
R
2
2
⎛
v ⎞ v
mg senθ
+ μ ⎜
⎜mg
cosθ
+ m senθ
= m cosθ
R ⎟
⎝
⎠ R
2
2
v v
mg senθ
+ μmg
cosθ
+ μm
senθ
= m cosθ
R R
2
v
mg ( senθ
+ μ cosθ
) = m ( cosθ
− μsenθ
)
R
( senθ
+ μcosθ
)
v
= gR
cosθ
− μsenθ
( )