CAPÍTULO 4. Dinámica de una partícula - Biblioteca

Dinámica de una partícula Hugo Medina Guzmán
De la geometría de la figura, r = Lsenα
,
reemplazando se obtiene la rapidez de m:
2
v = Lsenα
g tan
( ) α
⇒ v = Lg tanα
senα
Para calcular el periodo T, esto es el tiempo que
demora en dar una vuelta.
Se sabe que
Δ x = vΔt
, con Δ x = 2πr
, entonces:
2πr
2πL
senα
Δ t = =
v Lg tan sen
= 2
π
⇒ T = 2π
L cosα
g
L cosα
g
α
Ejemplo 41. Una bola de masa m, atada al extremo
de una cuerda se hace ir en un plano horizontal
formando una circunferencia de radio R. Si tiene una
velocidad angular ω , ¿cuál es la tensión en la
cuerda?
Solución.
La figura muestra el D.C.L.
Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m .
n c ma
2
∑ F = ⇒ − T = −mRω
t t ma ∑ F = ⇒ 0 = mRα
2
La tensión en la cuerda es T = mRω
. La fuerza
tangencial es cero y la aceleración tangencial α
también es cero, ya que la velocidad angular es
constante.
Ejemplo 42. Resolver el problema anterior pero en
el caso que el giro sea en el plano vertical.
α
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Solución. La figura muestra el D.C.L.
Aplicando la segunda ley de Newton.
n c ma
2
∑ F = ⇒ − T − mgsenθ
= −mRω
t t ma ∑ F = ⇒ − mg cos θ = mRα
La tensión en la cuerda es
2
T = mRω
− mgsenθ
La fuerza tangencial es − mg cosθ
y la aceleración
angular es
g
α = − cosθ
R
2
d θ
Como α = , obtenemos la ecuación
dt
diferencial:
2
d θ g
= − cosθ
dt R
cuya solución esta fuera del alcance de este curso.
Pero podríamos encontrar la tensión y fuerza
tangencial para posiciones determinadas, es decir
para valores dados de θ .
2 ⎧T
= mRω
Para θ = 0º
⎨
,
⎩Ft
= −mg
2 ⎧T
= mRω
− mg
Para θ = 90º
⎨
,
⎩Ft
= 0
2 ⎧T
= mRω
Para θ = 180º
⎨
,
⎩Ft
= mg
2 ⎧T
= mRω
+ mg
Para θ = 270º
⎨
,
⎩Ft
= 0
2 ⎧T
= mRω
Para θ
= 360º
⎨
⎩Ft
= −mg